Apuntes de Clases. Modelos de Probabilidad Discretos

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1 2010

2 Índice 1. Distribución de Bernouilli 2 2. Distribución Binomial 3 3. Distribución Hipergeométrica 3.1. Aproximación Binomial de la distribución Hipergeométrica Distribución Geométrica 9. Distribución de Poisson Aproximación usando Poisson de la distribución Binomial Universidad Tecnológica INACAP 1 Ricardo Salinas P.

3 1. Distribución de Bernouilli Si X es una variable aleatoria discreta, se dice que X sigue una distribución de probabilidad de Bernouilli, si su función de probabilidad está dada por: fx; p = p x q 1 x ; si x = 0, 1 0 ; T.O.P Donde, p: probabilidad de éxito. q = 1 p: probabilidad de fracaso. x: número de éxitos. Esta distribución se utiliza en experimentos con dos resultados posibles, caso favorable éxito y caso desfavorable fracaso. X se distribuye Bernouilli se denota por X bp, donde p se denomina parámetro de la distribución. La media y la varianza para X bp son: µ = EX = p σ 2 = V X = p q = p 1 p Ejemplo 1.1 Una máquina produce 00 artículos mensuales, de los cuales 2 resultaron defectuosos. Si se elige un artículo al azar: 1. Cuál es la probabilidad de que resulte defectuoso? 2. Cuál es la probabilidad de que resulte bueno? 3. Cuál es la media y la varianza? Caso favorable éxito:. El artículo resulta defectuoso. Caso desfavorable fracaso:. El artículo resulta bueno. Universidad Tecnológica INACAP 2 Ricardo Salinas P.

4 probabilidad de éxito: p = 2 = 0, 0 00 probabilidad de fracaso: q = 1 p = 1 0, 0 = 0, 9 1. P X = 1 = 0, 0 1 0, 9 0 = 0, 0 2. P X = 1 = 0, 0 0 0, 9 1 = 0, 9 3. µ = EX = 0, 0 σ 2 = V X = 0, 0 0, 9 = 0, Distribución Binomial Sea X una variable aleatoria discreta, se dice que X sigue una distribución de probabilidad Binomial, si su función de probabilidad está dada por: fx; n, p = n x p x q n x ; si x = 0, 1, 2,..., n 0 ; T.O.P Donde, p: probabilidad de éxito. q = 1 p: probabilidad de fracaso. x: número de éxitos. n: número de pruebas. La distribución Binomial se utiliza en experimentos con dos resultados posibles, caso favorable éxito, caso desfavorable fracaso y donde se realizan pruebas repetidas e independientes del mismo experimento, es decir en experimentos con reemplazo. Universidad Tecnológica INACAP 3 Ricardo Salinas P.

5 P X = x = n x p x q n x Probabilidad de que ocurran exactamente x éxitos en n pruebas repetidas. X se distribuye Binomial se denota por X Bn, p, donde n y p se denominan parámetros de la distribución. La media y la varianza para X Bn, p son: µ = EX = np σ 2 = V X = npq = np1 p Ejemplo 2.1 Se sabe que el 1 % de las fallas de cierta marca de motores se deben al desgaste de las escobillas. si se seleccionan al azar motores con reemplazo de dicha marca. Calcular: 1. La probabilidad de que exactamente 2 motores fallen por desgaste de las escobillas. 2. La probabilidad de que a lo más 2 motores fallen por desgaste de las escobillas. 3. La probabilidad de que a lo menos 4 motores fallen por desgaste de las escobillas. 4. EX y V X. probabilidad de éxito: p = 0, 1 probabilidad de fracaso: q = 1 p = 0, 8 número de pruebas: n = 1. P X = 2 = 2 0, 1 2 0, 8 3 = 0, 1381 Universidad Tecnológica INACAP 4 Ricardo Salinas P.

6 2. P X 2 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 = 0 0, 1 0 0, , 1 1 0, , 1 2 0, 8 3 = 0, , , 1381 = 0, P X 4 = P X = 4 + P X = = 4 0, 1 4 0, , 1 0, 8 0 = 0, , = 0, EX = 0, 1 = 0, 7 y V X = 0, 1 0, 8 = 0, Distribución Hipergeométrica La distribución Hipergeométrica se utiliza en situaciones de experimentos sin reemplazo donde el tamaño de la muestra es un porcentaje considerable del de la población. Considerense N objetos de los cuales k son éxitos y el resto N k son fracasos, si se seleccionan n de los N objetos, es decir n pruebas no independientes, la Distribución Hipergeométrica permite calcular la probabilidad de obtener x éxitos en las n pruebas. Si X es una variable aleatoria discreta, se dice que X sigue una distribución de probabilidad Hipergeométrica, si su función de probabilidad está dada por: Universidad Tecnológica INACAP Ricardo Salinas P.

7 fx; k, n, p = k x N k n x N ; si x = 0, 1, 2,..., k n 0 ; T.O.P Donde, N: número total de objetos. n: número de pruebas. k: número de éxitos. x: número de éxitos en las n pruebas. P X = x = k x N k n x N n Probabilidad de obtener exactamente x éxitos en n pruebas no independientes. X se distribuye Hipergeométrica se denota por X Hk, n, p, donde k, n y p se denominan parámetros de la distribución. La media y la varianza para X Hk, n, p son: µ = EX = nk N σ 2 = V X = n k N 1 k N n n N 1 Universidad Tecnológica INACAP 6 Ricardo Salinas P.

8 3.1. Aproximación Binomial de la distribución Hipergeométrica Para la población completa N objetos, la probabilidad de un éxito y un fracaso son: p = k N Reemplazando en µ y σ 2, se tiene y q = 1 p = 1 k N µ = EX = np y σ 2 = V X = np q N n N 1 Si N ó n es un porcentaje pequeño en relación a N, se tiene que N n 1 N 1 Por tanto, µ = EX = np y σ 2 = V X = npq Estas expresiones corresponden a la media y la varianza de una Binomial, por lo que X se puede aproximar usando la distribución Binomial n P X = x = p x q n x x Donde, p = k N y q = 1 p = 1 k N Como regla general, se puede utilizar la distribución Binomial para aproximar la distribución Hipergeométrica de experimentos sin reemplazo, siempre que el tamaño de la muestra sea menor al % del tamaño de la población, es decir cuando n < 0, 0N. Ejemplo 3.1 Para un trabajo en una empresa se presentan 10 postulantes, de los cuales 6 son hombres y 4 mujeres. Si se seleccionan al azar y sin reemplazo solicitudes de empleo, calcular la probabilidad de que: 1. exactamente 3 de las solicitudes sean de hombres. 2. a lo más 1 de las solicitudes sea de mujer. Universidad Tecnológica INACAP 7 Ricardo Salinas P.

9 1. éxito:. el postulante sea hombre N = 10, n =, k = 6, x = 3 P X = 3 = = = 0, éxito:. el postulante sea mujer N = 10, n =, k = 4, x 1 P X 1 = P X = 0+P X = 1 = = = 0, 2619 Ejemplo 3.2 Una fábrica produce un día cualquiera 10 tornillos de los cuales 12 resultan defectuosos. Si se eligen al azar y sin reemplazo 6 tornillos, Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 resulten defectuosos? éxito:. el tornillo resulta defectuoso. N = 10, n = 6, k = 12, x = 2 Por ser un experimento sin reposición y n < 0, 0N, usamos la aproximación Binomial de la distribución Hipergeométrica. Donde p = 12 = 0, 08 y q = 1 p = 0, Por tanto, P X = 2 = 6 2 0, , 92 4 = 0, 0687 Universidad Tecnológica INACAP 8 Ricardo Salinas P.

10 4. Distribución Geométrica Si X es una variable aleatoria discreta, se dice que X sigue una distribución de probabilidad Geométrica, si su función de probabilidad está dada por: fx; p = p x 1 p x 1 ; si x = 1, 2, 3, ; T.O.P Donde, p: probabilidad de éxito. x: número de repeticiones. Esta distribución se utiliza en experimentos con dos resultados posibles, caso favorable éxito y caso desfavorable fracaso y permite calcular la probabilidad de obtener el primer éxito después de un número determinado de repeticiones independientes del experimento en idénticas condiciones. P X = x = p x 1 p x 1 Probabilidad de encontrar el primer éxito en la x - ésima repetición X se distribuye Geométrica se denota por X Gp, donde p se denomina parámetro de la distribución. La media y la varianza para X Gp son: µ = EX = 1 p σ 2 = V X = 1 p p 2 Universidad Tecnológica INACAP 9 Ricardo Salinas P.

11 Ejemplo 4.1 En Servivicios de Impuestos Internos se sabe que 20 de cada 100 declaraciones de renta presenta errores. 1. Cuál es la probabilidad de que la tercera declaración revisada sea la primera en contener errores? 2. Si el cada declaración demora 2 minutos en ser revisada. Cuántos minutos en promedio pasan hasta que se encuentra el primer error en una declaración? 1. éxito: La declaración presenta errores p = = 0, 2 P X = 3 = 0, 2 3 0, 8 2 = 0, EX = 1 p = 1 0, 2 = Minutos que pasan hasta encontrar el primer error M = 2X EM = E2X = 2EX = 10 minutos. Distribución de Poisson Sea X una variable aleatoria discreta, se dice que X sigue una distribución de probabilidad de Poisson, si su función de probabilidad está dada por: fx; λ = e λ λ x x! ; si x = 0, 1, 2, 3, 4,... 0 ; T.O.P Universidad Tecnológica INACAP 10 Ricardo Salinas P.

12 Donde, λ: número promedio de éxitos en la unidad de tiempo o área. x: número de éxitos. La distribución de Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos en un intervalo de tiempo o en una área específica. Algunos ejemplos de variables que se distribuyen Poisson son: 1. Variables relacionadas con tiempo: a Número de fallas de una máquina en una semana. b Número de personas que llegan a un servicio de urgencias en una hora determinada. c Número de llamadas que entran a una central telefónica cada diez minutos. 2. Variables relacionadas con áreas o espacios: a Número de errores de mecanografía por página. b Número de habitantes por kilómetro cuadrado. P X = x = e λ λ x x! Probabilidad de que ocurran exactamente x éxitos en la unidad de tiempo o área especificada. X se distribuye Poisson se denota por X P λ, donde λ se denomina parámetro de la distribución. La media y la varianza para X P λ son: µ = EX = λ σ 2 = V X = λ Universidad Tecnológica INACAP 11 Ricardo Salinas P.

13 Ejemplo.1 Una central telefónica recibe en promedio 6 llamadas cada media hora. 1. Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 4 llamadas en media hora? 2. Cuál es la probabilidad de que se reciban más de 2 llamadas cada media hora? 3. Cuál es la probabilidad de que se reciba exactamente 1 llamada cada diez minutos? 1. λ = 6 en 30 minutos P X = 4 = e ! = 3, = 0, λ = 6 en 30 minutos P X > 2 = 1 P X 2 = 1 [P X = 0 + P X = 1 + P X = 2] = 1 e ! + e ! + e ! = 1 0, , , 0446 = 0, λ = 2 en 10 minutos P X = 1 = e ! = 0, 2706 Universidad Tecnológica INACAP 12 Ricardo Salinas P.

14 .1. Aproximación usando Poisson de la distribución Binomial Si X Bn, p, en los casos en que n es grande y la probabilidad p está cerca de cero, es posible usar la distribución de Poisson para aproximar la distribución Binomial. Como regla general, se considera está aproximación cuando n 0 y np <. Luego X P λ con λ = np Ejemplo.2 En una cierta comunidad la probabilidad de que una persona infectada por neumonía muera es 0,002. Si se eligen 2000 mil personas infectadas al azar cuál es la probabilidad de que exactamente mueran? En este caso X B2000, 0, 002. Sin embargo se cumplen las condiciones para aproximar la distribución a una Poisson. n = y np = 4 <. Por tanto, considerando λ = np = 4, se tiene que X P λ. P X = = e 4 4! = 18, = 0, 162 Universidad Tecnológica INACAP 13 Ricardo Salinas P.

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