TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES

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1 TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES NOTAS Es bie sabido que e el cojuto de los úmeros reales existe ua relació de orde atural : se dice que x < y cuado y x es u úmero positivo Co esta relació, el cojuto está totalmete ordeado, es decir si x y, etoces, o bie x < y, o bie y < x E esta lecció cometaremos alguas desigualdades famosas : aquellas que se establece etre los distitos promedios de u cojuto de úmeros reales Co ellas itetaremos resolver los problemas que se propoe después Dado u cojuto arbitrario de úmeros positivos {x, x,, x }, se puede defiir varios promedios Los más comues so los siguietes: Media aritmética: MA = x + x + + x Media geométrica: MG = x x x Media armóica: MH = /x + /x + + /x x Media cuadrática: MC = + x + + x E este mometo, es atural pregutarse: Qué es u promedio? Por qué existe varios promedios? A grades rasgos, u promedio es ua catidad que represeta la escala de valores de u grupo de úmeros Las características básicas de u promedio so la homogeeidad o puede variar bajo u cambio e la escala de medida) y que su valor debe estar compredido etre el máximo y el míimo de las catidades que represeta Por otra parte, o todos los promedios represeta co la misma fiabilidad el mismo cojuto de úmeros Depediedo del caso, es más coveiete uo que otro Etre los distitos promedios se puede establecer las siguietes relacioes geerales: mí{x, x,, x } MH MG MA MC máx{x, x,, x } Vamos a demostrar la desigualdad MG MA, para lo cual distiguiremos dos casos:

2 ) El caso = k, para todos los valores de k, lo demostraremos por iducció E primer lugar, si k =, teemos que demostrar que x x x + x Para ello partimos de la desigualdad evidete 0 x x ) y desarrollamos Así pues, 0 x + x x x = x x x + x Supodremos a cotiuació que la desigualdad es cierta para cualquier valor de k, es decir k x x x k x + x + + x k k y veamos que tambié lo es para k + Ahora bie, x + x + + x k+ = x + x + + x k + xk + + x k x k +k k+ k+ k+ = [ x + x + + x k + x ] k + + x k x k +k k k Aplicamos la hipótesis de iducció a los dos sumados Así obteemos: x + x + + x k+ k+ [ x ) / k ) ] / k x x k + x k + + x k x k + k Esta última expresió correspode a la media aritmética de dos térmios Como e este caso se sabe que es mayor o igual que la media geométrica de dichos térmios, resulta e defiitiva que x + x + + x k+ x ) / x k+ x k ) ) / k x k + + x k x k ) k + k = x x x k+) /k+ ) Para demostrar el caso geeral, procedemos del siguiete modo: Sea N = k + m, co 0 < m < k A partir de la desigualdad ya probada) x + x + + x k+ k+ x x x k+) /k+, sustituimos x i por x + x + + x N )/N, para i = N +,, k+ Obteemos etoces: x +x + +x N + k+ N) x +x + +x N )/N k+ x x x N ) /k+ x+x + +x N N k+ N k+ Agrupado térmios y simplificado, llegamos a la desigualdad buscada x + x + + x N N x x x N ) /N

3 Otras desigualdades muy útiles e variedad de problemas so las siguietes: Desigualdad de Cauchy-Schwarz Dados dos cojutos {x, x,, x }, {y, y,, y }, se verifica que x y + x y + + x y ) x + x + + x ) y + y + + y ) Para demostrar esta desigualdad, cosideramos la desigualdad evidete) x λy ) + x λy ) + + x λy ) 0, dode λ es u parámetro real Desarrollado la expresió aterior y agrupado térmios, obteemos: y + y + + y )λ λx y + x y + + x y ) + x + x + + x ) 0 Para que el poliomio cuadrático sea siempre mayor o igual que cero, ecesariamete el discrimiate debe ser meor o igual que cero Esto os coduce directamete a la desigualdad deseada Por cierto, a partir de esta desigualdad, es muy fácil probar que la media aritmética es siempre meor o igual a la media cuadrática Se te ocurre cómo probarlo? Desigualdad de Berouilli Sea a u úmero real arbitrario Etoces, a) Si 0 < a <, etoces + x) a + ax, para todo x mayor o igual que uo b) Si a < 0 ó a >, etoces + x) a + ax, para todo x mayor que uo Alguos de los problemas siguietes requiere coocer alguas de las desigualdades ateriores pero otros se resuelve si ecesidad de ellas Bastará coocimietos más geerales o deduccioes más simples

4 PROBLEMAS Sea a,, a úmeros positivos a) Probar que, si a + a + + a =, etoces a + a + + a / b) Probar que, si a a a =, etoces a + a + + a Sol La primera parte es cosecuecia imediata de la desigualdad de Cauchy- Schwarz haciedo y k =, para todo k) y la seguda se deduce directamete de la desigualdad etre la media aritmética y la media geométrica Dado el cojuto {a,, a } de úmeros positivos, probar que a a + a a a a Sol La respuesta es imediata si aplicamos la desigualdad etre la media aritmética y la media geométrica 3 Sea a, b, c tres úmeros positivos tales que abc = Probar que a+b)b+c)c+a) 8 Sol La desigualdad que queremos probar es equivalete a a + b b + c c + a Debido a la desigualdad etre la media aritmética y la media geométrica, sabemos que a + b ab, bc b + c, ca c + a Multiplicado miembro a miembro las tres desigualdades, se obtiee la desigualdad deseada 4 Fase Local, 007) Hallar todas las solucioes reales de la ecuació 3 x x y + 3 y y z + 3 z z x = Sol Aplicado la desigualdad etre las medias aritmética y geométrica, teemos: 3 x x y +3 y y z +3 z z x x +y +z x y z = 3 x ) +y ) +z ) )/3 3 0 = La igualdad se cumple cuado x = y = z =

5 5 a) Probar que, e todo triágulo, tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ b) Probar que, si α, β, γ so agudos, tg α tg β tg γ 3 3 y la igualdad se alcaza cuado el triágulo es equilátero Sol a) tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ se α cos β cos γ + se β cos α cos γ + se γ cos α cos β = b) Por la desigualdad etre las medias aritmética y geométrica, cos γ seα + β) = se γ cosα + β) cos γ se γ A + B + C 3 = ABC 3 3 ABC = ABC) /3 3 + ) 6 Sea u úmero atural mayor que Probar que! < Sol Reescribimos la desigualdad a probar de la siguiete forma: + ) < El primer miembro de la desigualdad sugiere utilizar la desigualdad etre la media aritmética y la media geométrica Teemos etoces: + ) ) < = + 7 Sea x, y, z tres úmeros reales tales que x + y + z + xyz = Probar que x + y + z 3/4 Sol Supodremos que todos los úmeros so distitos de cero caso cotrario, el resultado es evidete) Llamaremos, para simplificar la otació, M = x + y + z Por hipótesis, xyz = M Además, si aplicamos la desigualdad etre la media aritmética y la media geométrica a los úmeros positivos x, y, z, teemos que M 3 xyz)/3 De las dos codicioes, resulta que M M ) /3 3 De aquí deducimos que 4M 3 7M + 54M 7 0 Se puede comprobar por métodos de cálculo diferecial) que este poliomio de tercer grado toma valores egativos cuado M < 3/4 y positivos cuado M > 3/4, lo que demuestra el euciado

6 8 Sea x, y, z tres úmeros reales tales que x+y+z = 6 Probar que x +y +z Sol Aplicaremos la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los cojutos {x, y, z}, {,, } Se obtiee: x + y + z 3 x + y + z Utilizado la hipótesis dada, se llega fácilmete a la coclusió pedida Observar que el mismo resultado se obtiee si se aplica directamete la desigualdad etre la media aritmética y la media cuadrática 9 Fase Nacioal, 007) Sea a u úmero real positivo y u etero positivo Demostrar que < a + a a + a Sol La desigualdad es equivalete a < a/ a / ) a / a / ) o bie < α α, co α α α = a Por la desigualdad etre las medias aritmética y geométrica, α α α α = α α α = α +α + +α ) > α α ) = Los problemas que viee a cotiuació, tambié relativos a desigualdades uméricas, ecesita otras técicas diferetes y o precisa coocer las fórmulas ateriores 0 Fase Local, 997) Si a, b, c so úmeros reales positivos, demostrar la desigualdad Cuádo se verifica la igualdad? a + b + c ab bc ca 3a b)b c) Sol Desarrollamos el producto del segudo miembro y agrupamos térmios Resulta la desigualdad equivalete a + 4b + c 4ab 4bc + ac 0 Es fácil ver ahora que el primer miembro es igual a b a + c) ), que es evidetemete mayor o igual que cero Además la igualdad será cierta cuado b = a + c Fase Local, 005) Sea x, y, z úmeros reales positivos a) Si x + y + z 3, se verifica ecesariamete que x + y + z 3? b) Si x + y + z 3, se verifica ecesariamete que x + y + z 3? Co la misma idea, probar que a + + a ) /a + + /a )

7 Sol La primera parte es falsa, como muestra el siguiete ejemplo: x = 0,0, y =, z = La seguda parte es cierta pues, si hacemos el producto x + y + z) x + y + ) = 3 + y z x + x y + y z + z y + z x + x z, y teemos e cueta que la suma de u úmero positivo más su recíproco es siempre mayor o igual a dos, resulta que 3 x + y + ) x + y + z) z x + y + ) 9, z de dode se deduce la desigualdad propuesta Fase Iberoamericaa, 988) Sea a, b, c, d, p, q eteros positivos tales que ad bc = y a/b > p/q > c/d Probar que q b + d y que, si q = b + d, etoces p = a + c Sol De p/q > c/d se deduce que pd > cq; etoces pd cq+, y p/q c/d+/qd) Aálogamete, a/b > p/q implica que a/b p/q + /bq) Así, a b c d qd + qb = b + d qbd, de dode a/b c/d = /bd y q b + d Supogamos ahora que q = b + d Teemos ad bc = led, de dode ad + cd d bc + cd y a + c )/b + d) c/d Por tato, p a + c Tambié ad bc b, o bie bc + b + ab ad + ab, co lo que a + c + )/b + d) a/b Etoces p a + c, es decir p = a + c 3 Fase Nacioal, 989) Probar las desigualdades 0 < < 0 Sol Escribimos el térmio cetral como Teiedo e cueta que < 3 < 3 4 < 4 5 < < < <, etoces < ) < Simplificado lo aterior y sacado raíces cuadradas, se obtiee el resultado pedido

8 4 Dado u úmero atural arbitrario, demostrar que,, 0, 00 + ) < Sol Haremos la demostració e varias etapas E primer lugar, debido a la desigualdad etre la media aritmética y la media geométrica, teemos: + ) ) ) [ + ] 0 < [ 0 = + ] Como la sucesió 0 es creciete y tiee límite /9, deducimos que 9 0 [ + ] 0 < + ) Para llegar al resultado propuesto, basta ahora probar que la última expresió es meor que 9/8 Es sabido que la sucesió + ) es creciete y tiee límite e, co lo que + ) < e /9, 9 de modo que basta probar que e /9 < 9/8 Para ello observamos que la sucesió + ) + tiee límite e Veamos que, además, es decreciete E efecto, si aplicamos la desigualdad etre { la media aritmética y la media geométrica a la sucesió de + elemetos), +, +,, }, obteemos: + + ) + + > +, + o bie + ) + + ) +, < + + ) + lo que idica que la sucesió es decreciete E particular, si hacemos = 8, resulta que e < 9/8) 9, como queríamos probar Solució alterativa Para la seguda parte de la demostració, si aplicamos la fórmula del biomio de Newto a la expresió + ), resulta: 9 + ) = ) ) ) = ) ) 9! 9! 9 < < = = /9 8

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