Ejemplo Como 5 > 2 y 2 > -1 entonces 5 > -1 Como 3<5 y 5<9 entonces 3<9

Transcripción

1 DESIGUALDADES INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES Una desigualdad son dos expresiones aritméticas relacionadas con los operadores de relación: <, >,, Ley de la tricotomía: Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones: a < b ó a > b ó a=b Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales. Desigualdad absoluta es aquella que es válida para cualquier valor que se atribuya a las variables definidas en ella. Por ejemplo: x 2 +1 > x Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las variables. Por ejemplo: 4x -12 > 0 que solamente satisface para x > 3. Propiedades de las desigualdades Si (a, b, c, d) R: Propiedad Transitiva Suma Multiplicación por un número positivo Multiplicación por un número negativo Descripción Si a > b y b > c, entonces a > c Si a < b y b < c, entonces a < c Ejemplo Como 5 > 2 y 2 > -1 entonces 5 > -1 Como 3<5 y 5<9 entonces 3<9 Si a > b entonces a + c > b + c Ejemplo Como 7 > 2 entonces > 2 + 3, 10 > 5 Si a > b y c > d entonces a + c > b + d Si a < b y c < d entonces a + c < b + d Ejemplo Como 6>2 y 7>3 entonces 6+7>2+3 Como 5<7 y 2<6 entonces 5+2<7+6 Si a > b y c > 0 entonces ac > bc Ejemplo Como 8>4 entonces 8*2>4*2, 16>8 Si a > b y c < 0 entonces ac < bc Como 9>5 entonces 9*(-2)<5*(-2),-18<-10

2 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 2 División por un número positivo Si a > b y c > 0 entonces a c > b c Como 8>6 entonces 8 2 > 6 2, 4 > 3 Si a > b y c < 0 entonces a c < b c División por un número negativo Cambio de signo Si a < b y c < 0 entonces a c > b c Como 8>4 entonces 8 2 > 4 2, - 4 <-2 Como 6<9 entonces 6 3 > 9 3, -2>-3 a > 0 si y solamente si, a < 0 a > 0 si y solamente si, 1 a > 0 Si a > b entonces a < b Como 5>3 entonces -5<-3 Si a 0 entonces a 2 > 0 INTERVALOS Subconjunto de los números reales y se clasifican en: Tipo Definición Grafica Abierto (a, b) = {x ε R/ a < x < b} a b Cerrado [a, b] = {x ε R/ a x b} a b Mixtos [a, b)= {x ε R/ a x b} a b (a, b]= {x ε R/ a x b} a a b b Infinit os (a, ) = {x R/x > a} a

3 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 3 [a, ) = {x R/x a} a (, a) = {x R/x < a} a (, a] = {x R/x a} a a INECUACIONES LINEALES Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente). Ejercicios: Resolver cada inecuación justificando cada uno de los pasos y expresando el resultado en forma de intervalo y gráficamente 1. x + 3 > 7 x > 7 3: Por Igualación x + 0 > 7 3: Inverso aditivo x > 7 3: Propiedad Modulativa de la suma x > 4: Operando En notación de intervalos, la solución es x (4, ) es decir todos los valores reales mayores que 4. Gráficamente - 4

4 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso x 4 < 6 2x < 6 + 4: Por igualación 2x + 0 < 6 + 4: Inverso Aditivo 2x < 6 + 4: Propiedad Modulativa de la suma 2x < 10: Operando 2 10 x < : 2 2 Por igualación 1x < 10 2 x < 10 2 x < 5: : Inverso Multiplicativo : Propiedad Modulativa de la multiplicación Operando En notación de intervalos, la solución es x (, 5), es decir todos los valores reales menores que 5. Gráficamente x x 2 0 2(2x 1)+3(1 2x) 6 0 4x x 0(6) Operando Operando 1 2x 0 Operando 1 2x + 2x 0 + 2x Igualando x Inverso Aditivo x Propiedad modulativa de la suma 1 2 2x Por igualación 1. x Inverso multiplicativo 5 x Propiedad modulativa de la multiplicación Gráficamente - En forma de intervalo (, 1/2) 1/2

5 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso > 3x 1 2 > > ( 3x 1) 2 > Por igualación 10 > 3x 1 > 8 Inverso Multiplicativo > 3x > Por igualación 11 > 3x > 9 Inverso aditivo 11 < 3x < Por igualación < x < 3 Inverso multiplicativo - -11/ x+3 x 1 > 0 Inicialmente hallamos los valores críticos igualando el numerador y el denominador a cero x + 3 = 0, x = 3 x 1 = 0, x = 1 Los valores críticos son x = 3 y x = 1. Evaluamos esos valores críticos en la inecuación para ver si satisfacen la inecuación, si la satisfacen pertenecen al conjunto solución de lo contrario no pertenece, veamos Si x = 3, ( 3)+3 = 0 = 0, no pertenece al conjunto solución ( 3) 1 4 Si x = 1, (1)+3 = 4 =, no pertenece al conjunto solución (1) 1 0 En una recta real representamos los valores críticos. Tomamos valores arbitrarios a derecha e izquierda de los valores críticos y lo evaluamos en la desigualdad. Si el valora remplazado satisface la desigualdad, el intervalo al cual pertenece el valor es conjunto solución, veamos Si x = 4, ( 4)+3 = 1 = 1 > 0, el intervalo (-, 3) es conjunto solución ( 4) Si x = 0, (0)+3 = 3 = 3 < 0, el intervalo (-3,1) no es conjunto solución (0) 1 1

6 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 6 Si x = 2, (2)+3 = 5 = 5 > 0, el intervalo (1,) es conjunto solución (2) 1 1 Por tanto el conjunto solución de la inecuación x+3 > 0 es (, 3) (1, ) x x + 1 > x 3 3x x 9 9. x 3 2 < x + 1 < x 11. 3x 2 + 2x 4x + 2x x(x + 3) < 3(x 2 + 3) 13. 3(x 1) x x x 1 2 > x x 3 2 < x x 15 3x x+3 x 2 < Aplicaciones 1. Para un producto determinado la función del ingreso está dada por R(x) = 40x y la del costo C(x) = 20x , donde x son las unidades vendidas. Para obtener utilidad, el ingreso tiene que ser mayor al costo para qué valores habrá utilidad? Grafique. R(x) > C(x) 40x > 20x x 20x > x > 1600

7 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 7 x > 80 En notación de intervalos la solución es (80, ) es decir habrá utilidad cuando se venden más de 80 unidades Una compañía de alquiler de vehículos renta un tipo de vehículo en US$33 por día y otro en US$20 día más una tarifa inicial de US$78 Por cuántos días sería más barato rentar el segundo tipo de vehículo? Graficar. Sea T 1 la tarifa del primer tipo de vehículo es decir:t 1 = 33x Sea T 2 la tarifa del segundo tipo de vehículo es decir T 2 = 20x + 78 Como vamos a indagar por cuántos días el tipo dos es más barato que el tipo uno T 2 < T 1 20x + 78 < 33x 78 < 33x 20x 78 < 13x < x 6 < x La solución en forma de intervalo es (6, ) es decir que la renta del vehículo tipo 2 es más barata que el tipo uno después del sexto día Una fábrica de camisetas produce N camisetas con un costo de mano de obra total (en dólares) de 1.2N y un costo total por material de 0.3N. Los gastos generales para la planta son de $6000. Si cada camiseta se vende en $3, cuántas camisetas deben venderse para que la compañía obtenga utilidades? Para obtener utilidad se tiene que cumplir: Ingreso Costo > 0 Por datos el costo de producción es: 1.2N + 0.3N , y los ingresos 3N Remplazando 3N (1.2N + 0.3N ) > 0 3N (1.5N ) > 0 3N 1.5N 6000 > 0 1.5N > 6000

8 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 8 N > N > 4000 Veámoslo El costo de producir N camisetas es: 1.2(4000) + 0.3(4000) = El ingreso por la venta de N camisetas es: 3(4000)=12000 Por tanto para obtener utilidad se tienen que vender más de 4000 camisetas 4. El ingreso mensual logrado por vender x relojes de pulsera se calcula como x(40 0.2x) U.M. El precio de costo de cada reloj es de 32 U.M. Cuántas unidades deben venderse cada mes para obtener una utilidad de por lo menos 50 U.M.? Inicialmente hallamos la expresión de la utilidad. Por datos el ingreso es I = x(40 0.2x) y la ecuación de costo C = 32x. Como la utilidad es U = I C, remplazamos U = x(40 0.2x) 32x Por tanto U = 8x 0.2x 2 La condición es U 50, luego debemos resolver la inecuación 8x 0.2x 2 50 Resolvemos la ecuación 8x 0.2x 2 = 50, para hallar los valores críticos 8x 0.2x 2 = 50 8x 0.2x 2 50 = 0 Resolviendo por fórmula general 8 ± x = ± x = ± 4.89 x = 0.4 Tenemos dos raíces x 1 = = , y x 2 = = Los valores críticos son 8 y 32, los representamos en la recta real y evaluamos valores arbitrarios en los intervalos comprendidos entre los valores críticos en la inecuación original

9 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 9 Si x = 7, 8(7) 0.2(7) 2 = 46.8 < 50, no cumple con la desigualdad. Si x = 10, 8(10) 0.2(10) 2 = 60 > 50, si cumple con la desigualdad. Si x = 33, 8(33) 0.2(33) 2 = 46.2 < 50, no cumple con la desigualdad. Por tanto el conjunto solución es el intervalo (8,32), es decir que para vender por lo menos 50 U.M. deben venderse entre 8 a 32 relojes al mes 5. Una vendedora tiene un ingreso mensual I que se determina por medio de I = S, donde S es el volumen de ventas mensuales. Cuánto debe vender para reunir por lo menos $3 500 en un mes? 6. Se pueden gastar máximo $900 en una cámara de video y algunas cintas de video. Planea comprar la cámara en $695 y las cintas en $5.75 cada una. Escriba una desigualdad que se pueda utilizar para encontrar el número de cintas x que se podrían comprar Cuántas cintas se podrían comprar? Grafique. 7. Sea f(x) = 3x 6 una función que representa los beneficios que obtiene una empresa, x+2 siendo x los años de vida de la misma. a partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas? 8. Los ingresos mensuales logrados al vender x cajas de dulces se calcula como x( x) U.M. El precio de costo de cada caja de dulce es de 1.5 Cuántas cajas deben venderse cada mes para lograr una utilidad de por lo menos 60 U.M.? 9. Un vendedor recibe una cantidad fija al mes de 600, además de un 5% de las ventas que realice Qué cantidad debe vender para tener un sueldo entre 1200 y 1500? DESIGUALDADES PARA DOS VARIABLES Si y < x las soluciones para esta desigualdad son los pares ordenados (x, y) que satisfacen la desigualdad, como (2,1), ( 1, 3), (0, 1) ( 3 2, 1 2 ) pero (1,2), ( 4, 3), ( 1,0) ( 1, 3 ) no lo son. 4 4 La gráfica de la desigualdad y < x consta de los puntos cuya coordenada y es menor que la coordenada x. Ejercicio. Trace la gráfica de cada desigualdad 1. y 2x 1 (, 8) (8,32) (32, )

10 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 10 Inicialmente graficamos y = 2x 1 y x Tenemos dos áreas una que está por encima y la otra por debajo de la gráfica. Tomamos dos valores arbitrarios de cada una de las áreas y lo evaluamos en la desigualdad. La solución de la desigualdad es del área al que pertenece el punto que satisface la desigualdad. Tomamos un punto por encima de la gráfica, el (0,0), es decir x = 0 y y = 0, evaluamos en y 2x 1 0 2(0) No satisface la desigualdad. Tomamos un punto por debajo de la gráfica, el (2,1), es decir x = 2 y y = 1, evaluamos en y 2x 1 1 2(2) Si satisface la desigualdad. Por tanto la solución de la desigualdad son aquellas parejas ordenadas ubicadas en el área donde se encuentra el punto (2,1), es decir aquellas que están por debajo de la gráfica, gráficamente y x

11 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso x 2 + y 4 < 1 Trazamos x 2 + y 4 = 1 y x Tomamos un punto por debajo de la gráfica, el (1,1), es decir x = 1 y y = 1, evaluamos en x 2 + y 4 < < < 1 Si satisface la desigualdad. Tomamos un punto por encima de la gráfica, el (2,2), es decir x = 2 y y = 2, evaluamos en x 2 + y 4 < < < < 1 No satisface la desigualdad. Por tanto la solución de la desigualdad son aquellas parejas ordenadas ubicadas en el área donde se encuentra el punto (1,1), es decir aquellas que están por debajo de la gráfica, gráficamente

12 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 12 y x 3. 2(x y) < y + 3 Graficamos 2(x y) = y + 3 y x Tomamos un punto por encima de la gráfica, el (1, 2), es decir x = 1 y y = 2, evaluamos en 2(x y) < y + 3 2(1 2) < ( 1) < 5 2 < 5 Si satisface la desigualdad. Tomamos un punto por debajo de la gráfica, el (2, 1), es decir x = 2 y y = 1, evaluamos en 2(x y) < y + 3 2(2 ( 1)) < (3) < 2 6 < 2 No satisface la desigualdad. Por tanto la solución de la desigualdad son aquellas parejas ordenadas ubicadas en el área donde se encuentra el punto (1,2), es decir aquellas que están por encima de la gráfica, gráficamente

13 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 13 y x 4. y 4x 5 5. x 4 3 < (x y) x + 4 SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE DESIGUALDADES Para resolver gráficamente un sistema de desigualdades se siguen los siguientes pasos: Se grafican las inecuaciones en un solo plano. Se evalúan un punto arbitrario de cada región. Aquella región en la cual el punto satisfaga las dos inecuaciones es el conjunto solución Ejercicios. Resuelva gráficamente cada sistema de desigualdades 1. y < 2x y > x + 1 Trazamos las dos graficas y Area 4 Area 3 Area 1 x Area 2 Tenemos 4 áreas, entonces evaluamos un punto de cada área en la desigualdad: Del área 1: tomamos (2,1) es decir x = 2 y y = 1

14 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 14 En y < 2x:1 < 2(2): 1 < 4 Satisface En y > x + 1: 1 > 2 + 1: 1 > 3 No satisface Del área 2: tomemos ( 2, 2) es decir x = 2 y y = 2 En y < 2x: 2 < 2( 2): 2 < 4 No Satisface En y > x + 1: 2 > 2 + 1: 2 > 1 No satisface Del área 3: tomemos ( 1,1) es decir x = 1 y y = 1 En y < 2x: 1 < 2( 1) :1 < 2 No Satisface En y > x + 1: 1 > 1 + 1: 1 > 0 satisface Del área 4: tomemos (3,5) es decir x = 3 y y = 5 En y < 2x:5 < 2(3): 5 < 6 Satisface En y > x + 1: 5 > 3 + 1: 5 > 4 satisface Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 4 y = 2x y Area 4 Area 3 Area 1 x Area 2 y = x x + y < 3 x 2y 1 Graficamos x-2y>=-1 Area 3 y Area 4 Area 1 x Area 2 2x+y<3 Evaluamos cada una de las áreas Del área 1: tomamos (2,1) es decir x = 2 y y = 1

15 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 15 En 2x + y < 3: 2(2) + 1 < 3 5 < 3 No Satisface Del área 2: tomemos (1,0) es decir x = 1 y y = 0 En 2x + y < 3: 2(1) + 0 < 3: 2 < 3 Satisface En x 2y 1: 1 2(0) 1: 1 1 Satisface Del área 3: tomemos ( 2,0) es decir x = 2 y y = 0 En 2x + y < 3: 2( 2) + 0 < 3: 4 < 3 Satisface En x 2y 1: 2 2(0) 1: 2 1 No Satisface Del área 4: tomemos (1,2) es decir x = 1 y y = 2 En 2x + y < 3: 2(1) + 2 < 3: 4 < 3 No Satisface Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 2 x-2y>=-1 Area 3 y Area 4 Area 1 x Area 2 2x+y<3 3. x + 2y 48 x + y 30 2x + y 50 x 0, y 0 Graficamos

16 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 16 Evaluamos cada una de las áreas Del área 1: tomamos (0,26) es decir x = 0 y y = 26 En x + 2y 48: 0 + 2(26) 48: No satisface Del área 2: tomemos (0,32) es decir x = 0 y y = 32 En x + 2y 48: 0 + 2(32) 48: No satisface Del área 3: tomemos (0,52) es decir x = 0 y y = 52 En x + 2y 48: 0 + 2(52) 48: No satisface Del área 4: tomemos (32,0) es decir x = 32 y y = 0 En x + 2y 48: (0) 48: Si satisface En x + y 30: : No Satisface Del área 5: tomemos (28,0) es decir x = 28 y y = 0 En x + 2y 48: (0) 48: Satisface En x + y 30: : Satisface En 2x + y 50: 2(28) : No satisface Del área 6: tomemos (2,2) es decir x = 2 y y = 2 En x + 2y 48: 2 + 2(2) 48: 6 48 Satisface En x + y 30: : 4 30 Satisface En 2x + y 50: 2(2) : 6 50 satisface

17 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 17 Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 6 4. y > 3x 4 y < 2x x + y > 4 x 2y < x + y 4 > 0 x y + 1 > x 5y 30 4x + 3y 0 8. x + y 2 x + 2y 10 3x + y 15 x 0, y 0 9. x y 0 y 2 0 2x + y 10 y y 2 x + y 3 x 0 y x 0 y 0 x + y 2 y + y 5 Ejercicios Determine el sistema de inecuaciones que representa la región sombreada Inicialmente hallamos las ecuaciones de las rectas, identifiquemos como L 1 la recta azul y L 2 la recta roja. Para hallara las ecuaciones debemos hallar la pendientes. Para L 1, la recta pasa por los puntos (0,1) y (5/4,3/4) remplazando en la ecuación de la pendiente: m 1 = y 3 2 y 1 = 4 1 = 1 x 2 x , remplazando en la ecuación punto pendiente: y y 1 = m(x x 1 ), luego la ecuación de L 1 es: y 1 = 1 (x 0) 5

18 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 18 y = 1 5 x + 1 Realizamos el mismo procedimiento para L 2 :, la pendiente es m 2 = 3, y la ecuación será y = 3x 3 Consideramos el sistema de inecuación lineal y < 1 5 x y < 3x 3 2 Lo evaluamos en un punto del área, consideremos el punto (0.5, 0), veámoslo: En 1 : 0 < 1 (0.5) + 1, si se cumple. 5 En 2: 0 < 3(0.5) 3, no se cumple Evaluemos el mismo punto en el sistema de inecuación lineal y < 1 5 x y > 3x 3 2 En 1: 0 < 1 (0.5) + 1, si se cumple. 5 En 2: 0 > 3(0.5) 3, si se cumple Por tanto el sistema de inecuaciones que representa la región sombreada es y < 1 5 x + 1 y > 3x 3 Ejercicios Determine el sistema de inecuaciones que representa la región sombreada

19 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 19 Ejercicios Calcule el valor máximo de la función objetivo Z sujeto a las restricciones dadas. 1. Z 3x 4y x 0, y 0 2x + y 5 Graficamos las restricciones Evaluamos los valores los valores extremos en el objetivo Z: Si x = 0 y y = 5: Z = 3(0) + 4(5) = 20 Si x = 2.5 y y = 0: Z = 3(2.5) + 4(0) = 7.5 Los valores máximos son 20 y z = 2(x + y) x 0; y 0 6x + 5y 17 4x + 9y 17 Graficamos las restricciones y tomamos los puntos que cortan los ejes coordenados Evaluamos los puntos de corte en la función objetivo (2.83, 0) z = 2( ) = 5.66

20 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 20 (4.25, 0) z = 2( ) = 8.5 Máximo (0, 1.88) z = 2( ) = 3.76 (0, 3.4) z = 2( ) = 6.88 Máximo La solución se alcanza en los puntos (4.25, 0) y (0, 3.4) 3. z = x + 3y x 0, y 0 2x + 3y 6 2x + y 5 x + 4y 6 Graficamos las restricciones Evaluamos los puntos de corte en la función objetivo z = x + 3y (2.5, 0) z = (0) = 2.5 (3, 0) z = 3 + 3(0) = 3 (6, 0) z = 6 + 3(0) = 6 Máximo (0, 5) z = 0 + 3(5) = 15 Máximo (0, 2) z = 0 + 3(2) = 6 (0, 1.5) z = 0 + 3(1.5) = 4.5 Los valores máximos se encuentran en los puntos (6,0) y (0, 15) Ejercicios Determine los valores mínimos de la función objetivo Z sujeta a las restricciones dadas. 1. Z x 2y

21 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 21 x0, y0 x y5 x4y8 Graficamos Evaluamos los puntos de corte en la función objetivo z = x + 2y (8, 0) z = 8 + 2(0) = 8 (5, 0) z = 5 + 2(0) = 5 (0, 2) z = 0 + 2(2) = 4 (0, 5) z = 0 + 2(5) = 10 Los valores mínimos se encuentran en los puntos (5,0) y (0, 2) 2. z = x 3y 0 x 3 y 0 x + 2y 6 x + y 5 3. z = x y x 0, y 0 x + y 4 x + 2y 10 Problemas de Aplicación 1. Una compañía produce 2 tipos de trituradores de madera, económico y de lujo. El modelo de lujo requiere 3 horas de ensamble y ½ hora de pintura y el modelo

22 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 22 económico requiere 2 horas de ensamble y 1 de pintura. El número máximo de horas de ensamble disponible es 24 horas por día y el número máximo de horas de pintura disponible es de 8 horas al día. Organizamos la información en una tabla Económico De Lujo Ensamble Pintura 1 1/2 8 Escribimos el sistema de desigualdades, consideremos x el tiempo requerido por las trituradoras económicas y y el tiempo requerido por las trituradoras de lujo 2x + 3y 24 x y 8 Graficamos y x+1/2y<=8 Area 2 Area 3 Area 1 2x+3y<=24 x Area 4 Evaluamos las áreas Del área 1: tomemos (0, 0) es decir x = 0 y y = 0 En 2x + 3y 24: 2(0) + 3(0) 24: 0 24 Satisface En x + 1 y 8: : 0 8 Satisface 2 2 Del área 2: tomemos (0, 12) es decir x = 0 y y = 12 En 2x + 3y 24: 2(0) + 3(12) 24: No Satisface Del área 3: tomemos (0, 18) es decir x = 0 y y = 18 En 2x + 3y 24: 2(0) + 3(18) 24: No Satisface Del área 4: tomemos (0, 0) es decir x = 10 y y = 0 En 2x + 3y 24: 2(10) + 3(0) 24: Satisface En x + 1 y 8: (0) 8: 10 8 No Satisface 2 2

23 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 23 Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 1. Indica que con las restricciones dadas máximo se puede 8 unidades por cada tipo de triturador. y x+1/2y<=8 Area 2 Area 3 Area 1 2x+3y<=24 x Area 4 2. Una empresa fabrica dos tipos de reguladores eléctricos, uno de los cuales es inalámbrico. El regulador con cableado requiere 2 horas de fabricación y el inalámbrico necesita 4 horas. La compañía solo tiene 800 horas hábiles para utilizarlas en producción y el departamento de empaque puede empacar solo 300 reguladores por día. a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la producción Organizamos la información en una tabla Tipo de Reguladores Con Cableado Inalámbrico Producción Empaque Escribimos el sistema de desigualdades, consideremos x el número de reguladores Con cableado que se producen y y el número de reguladores inalámbricos que se producen 2x + 4y 800 x + y 300 Graficamos

24 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 24 Evaluamos las áreas Del área 1: tomemos (0, 0) es decir x = 0 y y = 0 En 2x + 4y 800: 2(0) + 4(0) 800: Satisface En x + y 300: : Satisface Del área 2: tomemos (0, 350) es decir x = 0 y y = 350 En 2x + 4y 800: 2(0) + 4(350) 800: No Satisface En x + y 300: : No Satisface Del área 3: tomemos (0, 450) es decir x = 0 y y = 450 En 2x + 4y 800: 2(0) + 4(450) 800: No Satisface En x + y 300: : No Satisface Del área 4: tomemos (240, 0) es decir x = 240 y y = 0 En 2x + 4y 800: 2(240) + 4(0) 800: Satisface En x + y 300: : Satisface Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 1. Indica que con las restricciones dadas, máximo se pueden producir 300 unidades de cada equipo

25 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso Una fábrica produce dos tipos de sillas, estándar y afelpadas. Las estándar requieren 2 horas de fabricación y acabado y las afelpadas 3 horas. El tapizado se lleva 1 hora las estándar y 3 las afelpadas. Hay 240 horas al mes disponibles para la fabricación y acabado, y 150 horas para el tapizado. a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la producción Organizamos la información en una tabla Tipo de Sillas Estándar Afelpadas Fabricación Tapizado Escribimos el sistema de desigualdades, consideremos x el número de sillas estándar y y el número de sillas afelpadas 2x + 3y 240 x + 3y 150 Graficamos

26 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 26 Evaluamos las áreas Del área 1: tomemos (0, 0) es decir x = 0 y y = 0 En 2x + 3y 240: 2(0) + 3(0) 240: Satisface En x + 3y 150: (0) + 3(0) 150: Satisface Del área 2: tomemos (0, 60) es decir x = 0 y y = 60 En 2x + 3y 240: 2(0) + 3(60) 240: Satisface En x + 3y 150: (0) + 3(60) 150: No Satisface Del área 3: tomemos (0, 90) es decir x = 0 y y = 90 En 2x + 3y 240: 2(0) + 3(90) 240: No Satisface Del área 4: tomemos (140, 0) es decir x = 140 y y = 0 En 2x + 3y 240: 2(140) + 3(0) 240: No Satisface Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 1. Indica que con las restricciones dadas, máximo se pueden producir 120 sillas estándar y 50 afelpadas.

27 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso Una compañía de sillas produce dos modelos de sillas. El modelo Secuoya toma 3 horas de trabajo para ensamblarlo y hora de trabajo para pintarlo. El modelo Saratoga toma 2 horas de trabajo para ensamblarlo y 1 hora de trabajo para pintarlo. El número máximo de horas de trabajo disponibles para ensamblar es de 160 por día, y el número máximo de horas de trabajo disponibles para pintar sillas es de 80 diarias. a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la producción c. Indique el número máximo de cada silla que se pueden fabricar 5. Una fábrica produce dos tipos de sillas, estándar y afelpadas. Las estándar requieren 2 horas de fabricación y acabado y las afelpadas 3 horas. El tapizado se lleva 1 hora las estándar y 3 las afelpadas. Hay 240 horas al mes disponibles para la fabricación y acabado, y 150 horas para el tapizado. a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la producción c. Indique el número máximo de cada silla que se pueden fabricar 6. Un fabricante vende sillas y mesas. Para su fabricación, necesita 2 y 5 horas, respectivamente, de trabajo manual y 1 y 2 horas para pintarlas. Si el fabricante no puede sobrepasar las 200 horas de trabajo manual y 90 horas de pintura, se solicita a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de fabricación

28 Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 28 b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la fabricación c. Indique el número máximo de silla y mesas que se pueden fabricar 7. Un comerciante desea comprar enfriadores y lavadoras, que cuestan 500 y 400, respectivamente. Si solo dispone de un sitio para almacenar 50 electrodomésticos, y de para invertir, se solicita a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de fabricación b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la fabricación c. Qué encuentra? 8. Un pastelero produce dos tipos de bollo. El tipo A lleve 400 g de harina y 100 g de azúcar, mientras que los del tipo B llevan 300 g de harina y 200 g de azúcar, Si el pastelero tiene para cada día 30 Kg de harina y 10 Kg de azúcar. Se solicita: a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción. b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de producción. c. Cuánto bollos de cada tipo puede producir? 9. En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. El número de bidones (recipiente hermético utilizado para contener, transportar y almacenar líquidos) de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones máximo cuántos bidones de cada tipo se pueden almacenar? 10. Una oficina quiere renovar su mobiliario. Por ello decide adquirir, como mínimo, dos mesas y 8 computadores. Teniendo en cuenta que una mesa cuesta $ y cada computador $ , y que el presupuesto máximo para estas compras es de Se solicita a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción. b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de producción. c. Máximo cuántas mesas y cuántos computadores puede comprar?