A puede expresarse como producto de matrices elementales

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1 TLLER GEOMETRÍ VECTORIL Y NLÍTIC FCULTD DE INGENIERÍ-UNIVERSIDD DE NTIOQUI - Profsor: Jim nrés Jrmillo Gonzálz Prt l mtril s tomo oumntos los profsors lrto Jrmillo Grimlo Ols En los siguints nunios oloqu V ó F sgún s l proposiión, vrr o fls En los sos qu su rspust s F, é un rv justifiión (pu usr un ontrjmplo Ls ltrs músuls rprsntn mtris ( Si los SEL X BX tinn soluión úni B R n, ntons B n ( Si toos los lmntos l igonl un mtriz ur son ros, su trminnt s ro ( El prouto os mtris lmntls s otr mtriz lmntl ( Si E s un mtriz lmntl, ntons E E ( Si s invrtil, pu prsrs omo prouto mtris lmntls f ( l sumr os mtris lmntls s otin un mtriz invrtil g ( El trminnt un mtriz lmntl s ifrnt ro h ( Si B B ntons B B Pr un ls mtris siguints, trmin si s invrtil, n so firmtivo ( hll ( Eprs omo prouto mtris lmntls ( Dtrmin si invrtils, n so firmtivo, hll su invrs i ii iii t, son α S: α no invrtil α α + α + ; α R Enuntr toos los vlors α pr los uls s α + 5

2 7α Enuntr toos los vlors α pr los uls + α α 7 (rspust: α ó 5 S Enuntr si s posil, un mtriz B, tl qu B D hr hllo l mtriz B Est s úni? os θ sn θ S Q Dmustr qu sn θ os θ t Q Q 7 Enuntr os mtris invrtils R u sum s no invrtil Enuntr os mtris singulrs R u sum s invrtil n n S R nn, tl qu: + α n + + α + α + α I, on α i R, (i,, n- Dmustr qu si α, ntons s invrtil Eprs n términos I potnis Sn B mtris tls qu: B B Enuntr l mtriz (rspust: Ds ls mtris, B, C R nn tos invrtils, tls qu: BC D - 7, BC F B G, Hllr ls mtris, B C - - S θ ; B ; on θ R θ θ I Dtrmin inino su proiminto los vlors θ pr los uls s invrtil II Si θ, trmin prs tnto omo omo prouto mtris lmntls III Dtrmin si s posil toos los vlors θ pr los uls l sistm X B tin: 5

3 Soluión úni Infinits soluions Ningun soluión S Sino qu t( Clul l trminnt ls siguints mtris: ( ( ( sumino qu: g h f i -, vlur los siguints trminnts: g h f i ; g h i ; f + g g + g + h h + h f + i i f + i 5 Dmustr: Si s invrtil, ntons t( t( Si α R R nn, ntons t(αα n t( Si R nn s ntisimétri, ntons t((- n t( Si R nn s ntisimétri n s impr, ntons t( Consir ls siguints finiions: Un mtriz B R nn s impotnt si B B Un mtriz R nn s involutori si I Dmustr Si s impotnt, ó 5

4 Si s involutori, ntons C ( + I s impotnt Si B s impotnt, ntons D B I s involutori 7 Consir l siguint finiión: Un mtriz s ortogonl si s invrtil Dmustr Si s ortogonl, ntons ± T Sn,, B, I R nn Si B ( I B son invrtils, mustr qu: B ( I B B B( I B I Sn,B ε R 55, on B Clul: ( ( F ( F ( ( B ( B ( B (f B T T Dtrminnt Vnrmon Dmustr qu: D ( ( ( Us propis los trminnts pr pror qu: ( + ( + ( + ( + t R nn, s invrtil, tl qu: Dmustr qu: n t B R nn, on ntisimétri Dmustr qu + B B ( + ( + Dmustr qu si R nn, s invrtil, ntons: 5 Consir los sistms: ( + + n j ( + ( + Hllr: I Mtriz ofiints II Eprsr omo prouto mtris lmntls III Eprsr omo prouto mtris lmntls 5

5 5 5 Enuntr l trminnt ls siguints mtris: i (Rspust: ; ii B ; iii D ; iv 7 ; v 5 ; vi ; vii ; viii 5 (Rspust: ; 7 Dmustr qu si (, B(,, ntons l uión l rt qu ps por los puntos B stá por: Sino qu l uión ih rt s: - ( S R I l mtriz inti R Dtrmin toos los vlors λ pr los uls: I λ, sino

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