PROBLEMAS RESUELTOS del espacio vectorial curso
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- Cristián Martin Agüero
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1 PROBLEMAS RESUELTOS del espacio vectorial curso - - Consideremos el conjunto R formado por todas las parejas () de números reales Se define en R la operación interna ()( )( ) una de las operaciones eternas siguientes: a) λ()(λ) b) λ()(λλ) c) λ()(λλ-λλ-) d) λ()(λλ) para λ R Decir para cada uno de los cuatro casos si se obtiene o no una estructura de espacio vectorial en R Previamente comprobemos que R con la suma tiene estructura de grupo abeliano: [A] Asociativa: ( ab ) c a ( bc) abc R Sean a ( ) b ( ' ') c ( '' '') R entonces: a b c () ('') ('''') ('') ('''') (') ''(') '' a ( b c ) ( ) ((' ') ('' '') ) ( ) (' ''' '') ( (' '') (' '') ) Por ser R un cuerpo se cumple la asociativa se tiene que ( ab ) c( ' '' ' '' ) a ( bc ) se verifica la propiedad asociativa ( ab ) c a ( bc) [A] Eistencia de elemento neutro: Eiste un elemento que designaremos ( ) R que verifica que a a a para cualquier a R En efecto: a ( ) ( ) ( ) ( ) a por otra parte a ( ) ( ) ( ) ( ) a luego a a a ( ) es el vector nulo [A] Eistencia de elemento simétrico: Para cualquier a R eiste un único elemento de R que designaremos por - a tal que a a ( ) ( a) a El elemento a ( ) es el elemento opuesto del vector a ( ) R a que a ( a) ( ) ( ) ( ) ( ) que ( a) a ( ) ( ) ( ) ( ) se cumple a ( a) ( a) a [A] Conmutativa: ab b a ab R Sean a ( ) b ( ' ') R entonces: a b () ('') ('') permutando b a ('') ( ) (' ' ) por ser conmutativo R ab b a Por tanto es (R ) un grupo conmutativo A continuación iremos viendo las siguientes condiciones para cada caso: a) λ()(λ) Este caso se resuelve rápidamente considerando la [A8] El elemento unidad del cuerpo K que designaremos por verifica a a para cualquier a R Como a ( ) ( ) ( ) ( ) a No se cumple una de las condiciones no puede ser un espacio vectorial con esta le eterna ( ) ( ) ( ) U D de Matemáticas de la ETSItGC
2 b) λ()(λλ) Vamos a estudiar las cuatro condiciones: [A] λ (a b) λa b λ K ab R En efecto: λ (a b) λ (( ) (' ') ) λ( ' ' ) ( λ ' λ ') ( λ λ) ( λ' λ' ) λ a b [A6] ( λ μ)a λa μa λ μ K a R En este caso: ( λ μ)a ( λ μ)( ) (( λ μ) ( λ μ) ) (( λ μ) ( λ μ) ) (( λ μ) ( λ μ) ) ( λ λ) ( μ μ) λ( ) μ( ) λa μa [A7] λ ( μa) ( λμ) a λ μ K a R Ahora: λ ( μa) λ( μ( ) ) λ( μ μ) ( λμ λμ) ( λμ)( ) ( λμ) a [A8] El elemento unidad del cuerpo K que designaremos por verifica a a para cualquier a R Por último: a ( ) () ( ) a Cumple las ocho condiciones con estas operaciones R es un espacio vectorial sobre K c) λ()(λλ-λλ-) Podemos verificar en primer lugar cualquier condición por ejemplo [A6] ( λ μ)a λa μa λ μ K a R Y resulta que: ( λ μ)a ( λ μ)( ) ( λ μ ( λ μ) λ μ ( λ μ) ) ( λ μ ( λ μ) λ μ( λ μ) ) λ μ ( λ μ) λ μ( λ μ) ( λ ( λ) λ ( λ) ) ( μ ( μ) μ ( μ) ) λ( ) μ( ) λa μa Por tanto ( λ μ)a λa μa no se cumple la condición no puede ser un espacio vectorial con esta operación ( ) d) λ()(λλ) Este caso se resuelve rápidamente considerando la [A8] El elemento unidad del cuerpo K que designaremos por verifica a a para cualquier a R Como a ( ) () ( ) ( ) a No se cumple una de las condiciones no puede ser un espacio vectorial con esta le eterna - Analiar cuáles de los siguientes subconjuntos de R son subespacios vectoriales Para los que lo sean buscar una base: a) F {() R / } b) G {() R / } c) H {() R / - } d) I {() R / } e) J {() R /má()<} f) K {() R /} a) Tenemos que comprobar si se cumple que: λ μ K a b F λa μb F U D de Matemáticas de la ETSItGC
3 a λ ( ) F μ K a b F b ( ' ' ') F ' ' ' λ λ λ λ λ λ λ λ a ( ) F μb ( μ' μ' μ') F μ' μ' μ' μ λa μb ( λ μ' λ μ' λ μ') F λ μ' μ' μ' λa μb F Por tanto se cumple la caracteriación de subespacios vectoriales F es un subespacio vectorial con la ecuación cartesiana que lo determina de donde se puede despejar siendo -- o bien λ μ unas ecuaciones paramétricas una { } posible base de F ( ) ( ) por supuesto dim(f) b) Es fácil observar que el vector nulo de R no pertenece al subconjunto G ( ) R pero no cumple la ecuación a que G G no es un subespacio vectorial del espacio vectorial R c) En este caso el sistema se puede escribir - abreviadamente AX el subconjunto H{X/AX} siendo A X ; ; entonces λ μ K a b H λa μb H se cumple puesto que a X H AX resulta que λa μb λx μx' H a que b X' H AX' A( λx) B( μx') λ( AX) μ( AX' ) λ μ Tenemos un subespacio vectorial por ser un sistema de ecuaciones lineales homogéneo α Para obtener una base resolvemos dicho sistema quedando una α base posible {(-)} d) En este caso: I {() R / } basta con considerar un vector () del suconjunto I observar que su opuesto (-)() (-) a no es un vector del subconjunto I a que < no se cumple Por tanto I no es un subespacio vectorial e) J {() R / má()<} es un caso análogo al anterior tomando al vector (/) del subconjunto J se le multiplica por se obtiene (/)(/) con /> por consiguiente ( / ) J luego J no es un subespacio vectorial f) Tenemos que comprobar si se cumple que: λ μ K a b K λa μb K U D de Matemáticas de la ETSItGC
4 a λ ( ) K μ K a b F b ( ' ' ') K ' λ λ λ λ λ λ a ( ) K μb ( μ' μ' μ') K μ' μ λa μb ( λ μ' λ μ' λ μ') K λ μ' λa μb K Por tanto se cumple la caracteriación de subespacios vectoriales F es un subespacio vectorial con la ecuación cartesiana que lo determina de donde se puede escribir λ μ unas ecuaciones paramétricas una base {( )( )} por supuesto dim(k) - Comprobar que el conjunto {() () ()} forma una base del espacio R Hallar las coordenadas del vector () en dicha base Sabemos que dim R que el cardinal del conjunto {() () ()} es si calculamos el rango del conjunto {() () ()} obtenemos que: r que quiere decir que el sistema es libre contres vectores linealmente independientes por tanto base del espacio vectorial R Para hallar las coordenadas se plantea el sistema: Siendo que el vector () respecto la base canónica es igual al vector () respecto la base {() () ()} - Demostrar que los vectores (-) (-) () son linealmente independientes Construir a partir de la base canónica una base que contenga a estos tres vectores Calculamos el rango del sistema formado por los tres vectores (-) (-) (): r r r Los pasos 8 seguidos par obtener el rango son: )c-c c-c )c-c La base canónica Bc { e e e e} del espacio vectorial R permite escribir: ( ) e e e e pudiendo despejar e ( ) e e e Con lo B ( ) e e e cual la nueva base será: { } U D de Matemáticas de la ETSItGC
5 Ahora el segundo vector ( ) e e e e como e ( ) e e e sustituendo se tiene que ( ) e e e e e e e ( ( ) e e e) ( ) e e e pudiendo despejar e ( ) / ( ) / e / e otra base B {( )( ) e e} Por último () e e e e los resultados anteriores de e ( ) / ( ) / e / e e ( ) e e e permiten escribir e ( ) e e ( ( ) / ( ) / e / e) ( ) ( ) e e resultando () e e e e e e ( ( ) / ( ) / e / e ) ( ) ( ) e e 7( ) ( ) e e Despejando e 7 / ( ) / ( ) / e la base definitiva B {( )( )( ) e} - Encontrar una base del subespacio F de R engendrado por los vectores () (- ) (98) Qué valor ha que dar a para que el vector (6) sea de este subespacio? Los vectores () (-) (98) son claramente linealmente dependientes puesto que (98)()(-) Nos quedamos con () (-) que son linealmente independientes generador de F Una posible base de F es B F {()(-)} Para que ( 6 ) F tiene que ser (6) combinación lineal de los vectores de la base de F que se puede epresar mediante el determinante de los tres vectores cua ecuación es - de donde 6 6- Si los números son las coordenadas de un vector v en la base {()() ()} hallar las coordenadas del vector v en la base canónica La epresión analítica del vector v teniendo en cuenta que sus coordenadas son es v () () () de donde v () () ()(68) siendo 6 8 las coordenadas respecto de la base canónica 7- Sean B { u v w} B' { u ' v ' w '} dos bases de R tales que u' u v w v' u v w' u w Hallar las ecuaciones del cambio de la base B a B de la base B a B U D de Matemáticas de la ETSItGC
6 El sistema ( u' v' w' ) ( u v w) u' u v w v u v w' u w en forma matricial sería: Cualquier vector v R se puede escribir respecto a ' Ahora ' sustituendo la ecuación anterior resulta ' ' v ( u v w) ( u v w) ( u v w) ( u v w) ' ' ' ' ' Como ' ' las dos base B B en la forma matricial v ( u' v' w' ) ' ( u v w) ' la epresión de un vector respecto de una base es única queda ' que son ' las ecuaciones del cambio de base de B a B Para obtener las ecuaciones del cambio de base de B a B basta con despejar ( ) con respecto a () en el sistema anterior ' ' ' ' ' ' ' ' ' 8- Dadas las bases de R B{ u () u (-) u (-)} B { v () v () v ()} a) Hallar la epresión analítica del cambio de base de B a B de B a B de B a la base canónica b) Si a ( ) respecto de B cuáles son sus coordenadas respecto de B? c) Si b v v escribir la epresión de b respecto de B a) Si consideramos la base canónica Bc { e () e ( ) e ( )} que los vectores de las bases B B vienen referidos a la base canónica tenemos los sistemas en forma matricial: ( u u u ) ( e e e) ( v v v ) ( e e e) Cualquier vector v R se puede escribir respecto a las tres bases B B B c en la forma matricial ' c v ( u u ) ( v v ) ( e e e ) c u v ' ' c U D de Matemáticas de la ETSItGC 6
7 U D de Matemáticas de la ETSItGC 7 Ahora sustituendo las ecuaciones anteriores resulta ( ) ( ) ( ) v u u e e e c c c e e e u ( ) ( ) ( ) v v v v ' ' ' e e e c c c e e e ' ' ' Como la epresión de un vector respecto de una base es única queda c c c ' ' ' de donde podemos obtener cualquier cambio de base entre las tres bases consideradas a saber B B B c : Cambio de base de B a B c : c c c Cambio de base de B a B c : c c c ' ' ' Cambio de base de B a B: ' ' ' ' ' ' ' ' ' Cambio de base de B a B : ' ' ' ' ' ' 6 b) Para el vector ) a ( respecto de la base B usamos las ecuaciones últimas 6 ' ' ' sustituimos() por () quedando 7 6 ' ' ' siendo (7-) las coordenadas del vector a respecto de la base B
8 c) Análogamente para el vector b v v necesitamos las ecuaciones del cambio de ' base de B a B: ' sustituimos ( ) por (-) puesto que ' b v v ( ) B' de donde se obtiene con lo cual - b v v ( ) B' u u B 9- Sea la matri A de cambio de base de B a B siendo B{ u u u } B { v v v } Escribir el vector u en función de los vectores de B Hallar la matri del cambio de base de B a B La matri A que representa el cambio de base de B a B esta construida con las coordenadas de los vectores de la base B referidos a la base B en nuestro caso será u u u siendo cada vector u () B ' v v v; u () B ' v v v; u () B ' v v v La matri del cambio de base de B a B será la inversa de la matri A: A - Consideremos las bases de V : B { e ( ) e ( ) e ( )} B u ( )u ( - ) u ( - ) a) Hallar el cambio de base de B a B b) Hallar el conjunto F de vectores que tienen las mismas coordenadas respecto de B de B Demostrar que F es subespacio de V hallar una base de F U D de Matemáticas de la ETSItGC 8
9 U D de Matemáticas de la ETSItGC 9 a) La matri representa el cambio de base de B a B pues las columnas son los vectores de la base B respecto de la base B Entonces calculamos la matri inversa de la anterior que resulta ser la misma (es ortogonal) tenemos la matri del cambio de base de B a B : b) Buscamos los vectores que tienen las mismas coordenadas respecto a las dos bases: de aquí se obtiene resolviendo el sistema queda como única ecuación Por tanto { } F ( )/ Para demostrar que F es un subespacio vectorial del espacio vectorial R utiliamos la caracteriación: λ μ λ μ K a b F a b F λ ( ) ( ' ' ') ' ' ' μ K a b F a F b F λ λ λ λ λ λ λ λ μ μ μ μ μ μ μ μ a F b F ( ) ( ' ' ') ' ' ' λ μ λ μ λ μ λ μ λ μ λ μ λ μ a b F ( ' ' ') ' ( ') ( ') λ μ a b F Por tanto se cumple la caracteriación de subespacios vectoriales F es un subespacio vectorial con la ecuación cartesiana que lo determina de donde se puede despejar siendo o bien λ μ unas ecuaciones paramétricas una posible base de F ( ) ( ) { } por supuesto dim(f)
10 - a) Hallar el rango de la matri A b) Hallar una base del subespacio engendrado por los vectores fila de la matri A c) Hallar unas ecuaciones vectoriales paramétricas e implícitas de dicho subespacio a) El rango de la matri A se obtiene mediante combinación lineal de las filas de dicha matri: ff 7 8 ff 8 ff 8 f6f f f f f La última matri indica que son tres las filas linealmente independientes luego el rango de A es b) Una base posible es la formada por las tres filas resultantes en el proceso anterior B {( )( ) ( 8 )} c) Las ecuaciones del subespacio vectorial se obtienen a partir de la base anterior Ecuación vectorial: v ( ) λ( ) ( ) ( 8 ) λ λ Ecuaciones paramétricas: λ 8λ λ λ Ecuación implícita: 8 - Hallar una base del subespacio vectorial F formado por las matrices de la forma a b Encontrar un subespacio complementario de F b Puesto que podemos escribir la matri como combinación lineal de dos matrices a b independientes a b se cumple que son b independientes a que k k por tanto una base de F puede ser U D de Matemáticas de la ETSItGC
11 U D de Matemáticas de la ETSItGC Como el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden es de dimensión R bcd a / d c b a M la dimensión del subespacio complementario de F F será: dim F dim M -dim F - Necesitamos dos matrices cuadradas de orden independientes que no pertenecan al subespacio F El subespacio F dado es R b a / b a R b a / b b a F Y un subespacio suplementario β α β α R / ' F puesto que ' F ' F son independientes - Dados los subespacios vectoriales F determinado por las ecuaciones cartesianas G por las ecuaciones paramétricas λ λ λ λ λ del espacio vectorial R se pide: bases de F G FG G F a) Una base del subespacio vectorial F debe tener tres vectores de F linealmente independientes puesto que la dimensión de F es la dimensión del espacio vectorial R menos el número de ecuaciones linealmente independientes de F Los tres vectores necesarios son soluciones particulares del sistema α γ γ α β β α γ β α luego una base de F puede ser
12 U D de Matemáticas de la ETSItGC b) En el caso del subespacio vectorial G tenemos las ecuaciones paramétricas λ λ λ λ λ λ una base puede ser c) Una base del subespacio suma sale de la unión de los vectores de cada base quitando los que sean combinación lineal de los restantes para ello calculamos el rango de la siguiente matri r la matri que identifica el rango indica los vectores linealmente independientes por lo tanto la base ( ) ( ) ( ) ( ) { } Si queremos escribir las ecuaciones del subespacio FG podemos escribir el siguiente determinante d) Para obtener las ecuaciones del subespacio vectorial G F solamente debemos juntar las ecuaciones cartesianas de cada subespacio vectorial F G; de las ecuaciones paramétricas de G obtenemos las ecuaciones ; Por lo tanto las ecuaciones de G F : G F que es un sistema equivalente al siguiente ; ; cuas ecuaciones paramétricas son λ λ λ λ una base es Concluimos observando que las dimensiones de los distintos subespacios vectoriales cumplen: ) G dim(f dimg dim F G) F dim( en efecto -
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