UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO

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1 UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELO Curso / MATERIA MATEMATICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El lumno contestrá los cutro ejercicios de un de ls dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunc deerá contestr unos ejercicios de un opción y otros ejercicios de l otr opción. En culquier cso, l clificción se hrá sore lo respondido un de ls dos opciones. No se permite el uso de clculdors gráfics. Clificción totl máxim puntos. Tiempo Hor y medi. OPCIÓN A Ejercicio. Clificción máxim puntos. Ddos los puntos A(,, ), B(,, ), C(,, ), se pide ) ( puntos) Hllr todos los puntos que equidistn de A, B y C. Cuáles de ellos pertenecen l plno π x y z? ) ( punto) Hllr l ecución del plno que ps por A, B, C.. El lugr geométrico de los puntos del espcio que equidistn de tres puntos es l ret intersección de los plnos meditrices que genern los tres puntos dos dos. Pr determinr l rect, solo se necesitn dos de los tres plnos meditrices. Plno meditriz AB. Si P(x, y z) es un punto genérico del plno meditriz, se dee cumplir d A P d B P ( ) ( ) ( x ) ( y ) ( z ) ( x ) ( y ) ( z ) ( x ) ( y ) ( z ) ( x ) ( y ) ( z ) Desrrollndo los cudrdos, simplificndo y ordenndo se otiene l ecución generl del plno meditriz AB (Lugr geométrico de los puntos del espcio que equidistn de A y B). π AB x y 6z Plno meditriz BC. Operndo de igul form d B P d C P ( ) ( ) ( x ) ( y ) ( z ) ( x ) ( y ) ( z ) ( x ) ( y ) ( z ) ( x ) ( y ) ( z ) π BC 4x y 8z 5 Los puntos que equidistn de A, B y C es l rect intersección de los plnos π AB y π BC. x y 6z r 4x y 8z 5 Pr expresr l rect en form de ecuciones prmétrics se resuelve sistem que formn ls dos ecuciones.

2 x y 6z Sistem comptile indetermindo. 4x y 8z 5 Pr resolver el sistem se trnsform un de ls vriles en prámetro y se resuelve función del prámetro (z λ). 7 x λ x y 6λ r y λ λ R 4x y 5 8λ z λ El punto (Q) del plno π que equidist de A, B y C es l intersección de l rect r con el plno π. Not l intersección de l rect y el plno se puede hcer con l rect en prmétrics o con l rect como intersección de plnos, lo que os se más fácil. 7 x λ r y λ 7 Q λ λ λ { 8λ z λ π x y z λ Q (,, ) x y 6z x y 6z x r CRAMER Q 4x y 8z 5 4x y 8z 5 y π x y z x y z z Q (,, ). Un determinción linel del plno (σ) que ps por A, B y C es el punto A y los vectores AB y AC. A (,, ) σ AB (, ( ), ) (,, ) AC (, ( ), ) (,,) x y z σ Desrrollndo el determinnte y simplificndo se otiene l ecución generl del plno que ps por A, B y C. σ 7x y z

3 Ejercicio. Clificción máxim puntos. Se considern ls rects Ddo el sistem linel de ecuciones x y z x y z x my 5z 4 se pide ) ( puntos) Discutir el sistem según los vlores de m. ) ( punto) Resolverlo pr m.. Al sistem lo definen ls mtrices de coeficientes (A) y mplid (A*) A A * A A* rg A rg A* n m 5 m 5 4 Si el A, el rngo de de l mtriz de coeficientes es y por tnto el sistem es comptile determindo, se discute el tipo de solución del sistem pr los vlores del prámetro que no nulen el determinnte. det A A m 5 SARRUS 9m 7 9m 7 m Discusión. i. Si m. A. rg A rg A* n. Sistem comptile determindo. ii. Si m. A. rg A <. 8 rg A. Pr estudir el rngo de l mplid se estudin los menores orldos l menor de orden nterior., rg A* rg A. Sistem incomptile 4. Pr m. Sistem comptile determindo. Se puede resolvr por culquier método. Crmer A x x ; A A y y ; A z A z A A m x ; y ; z Solución (,, )

4 Ejercicio. Clificción máxim puntos. Hll el vlor de λ pr que l función λx e si x > f ( x) x sen x si x x se continu. Rzonr l respuest. Pr que l función se continu en x dee tener limite y que l función en el punto se igul l límite. Pr que un función teng límite en un punto, dee tener límites lterles y que sen igules. Lím f x Lím f x ( x) ( x) Lím x λx e Lím x x sen x x ( ) L'H ( ) cos x Lím cos L'H x e Lím x λx λx λe Lím 6x x ( ) λx λ λe λ λ Teniendo en cuent que los límites lterles deen ser igules λ Lím f ( x) Lím f ( x) λ 6 x x Pr que en x l función teng límite el vlor de λ dee ser 6. Pr que l función se continu, su expresión deerá ser λx e si x > x f ( x) si x sen x si x x Ejercicio 4. Clificción máxim puntos. Ddo el polinomio P(x) x x x c, otener los vlores de, y c de modo que se verifiquen ls condiciones siguientes El polinomio P(x) teng extremos reltivos en los puntos de sciss x /, x. L rect tngente l gráfic de P(x) en el punto (, P()) se y x. Los dtos que precen en el enuncido permiten plnter cutro ecuciones con tres incógnits. - x extremos reltivo. P - x extremos reltivo. P ( ) - L pendiente de l rect tngente en x vle (y mx n). P ( ) - L tngente y l función comprten el punto de tngenci. Si x, y P(). El punto (, ) pertenece l función. P ( ) P ( x) x x 4

5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c P P P P P(x) x x x

6 OPCIÓN B Ejercicio. Clificción máxim puntos. Siendo que l función F(x) tiene derivd f(x) continu en el intervlo cerrdo [, 5], y, demás, que F() ; F() ; F(4) 6; F(5) ; f() y f(4) ; hllr 5 ) ('5 puntos). f ( x) dx ) ( punto) ( 5 f ( x) 7) 4 dx c) ('5 puntos). F ( x) f ( x) 5 dx Si F ( x) f ( x) f ( x) dx F( x) C Regl de Brrow f ( x) dx ( F( x) ] F( ) F( ) 5. f ( x) dx ( F( x) ] F( 5) F( ). ( 5 f ( x) 7) dx 5 f ( x) dx 7 dx 5 ( F( x) ] 7 ( x] 5 ( F( ) F( ) ) 7 ( ) 5 ( ) ( F( x) ) ( F( 4) ) ( F( ) ) c. F( x) f ( x) dx F( x) F ( x) dx Not En el enuncido hy dtos que nos ese utilizn en l resolución del ejercicio (f() ; f(4) ). Ejercicio. Clificción máxim puntos. Ddo el sistem x y x y x y 7 se pide ) ('5 puntos) Discutir el sistem según los vlores del prámetro. ) ('5 puntos) Resolver el sistem cundo se comptile.. Al sistem lo definen ls mtrices de coeficientes (A) y mplid (A*) A A * A A* rg A ; rg A* n 7 Si el A*, el rngo de de l mtriz de mplid es y por tnto el sistem es incomptile, l mtriz de coeficientes como máximo puede tener rngo, por lo tnto se discute el tipo de solución del sistem pr los vlores del prámetro que nulen el A*. A * 7 SARRUS 4 ( 8)( ) 6

7 8 A * ( 8)( ) Discusión. i. Si 8,, A*, rg A*. Sistem incomptile. ii. Si 8, A*, 5 ; rg A* rg A n. Sistem comptile determindo. iii. Si, A*, 5 ; rg A* rg A n. Sistem comptile determindo. x. 8 x x x y y y y RESOLVIENDO POR CUALQUIER MÉTODO 8 RESOLVIENDO POR CUALQUIER MÉTODO 7 x 5 y 5 x y Ejercicio. Clificción máxim Puntos. Ddos los plnos de ecuciones π x y z 4 ; π x y z se pide ) ( punto) Otener l ecución en form continu de l rect que determinn. ) ( punto) Hllr todos los puntos que equidistn de π y π.. Pr otener l ecución continu de l rect que determinn los plnos π y π se puede resolver el sistem comptile indetermindo que formn ls ecuciones de mos pr otener ls ecuciones prmétrics y después psrl l form continu, tmién se puede clculr por seprdo el vector de dirección y un punto de l rect, est segund form me prece ms sencill. Como l rect está contenid en los dos plno, su vector de dirección es perpendiculr los vectores normles de los plnos, por lo que se puede clculr con el producto vectoril de estos. r r r d r n n (,, ) (,, ),, (, 5, 6) El punto se otiene dndo un vlor culquier un de ls vriles y resolviendo el sistem de dos ecuciones con dos incógnits que qued. Hy que intentr que slgn vlores sencillos, en este cso dndo l y el vlor cero ls soluciones del sistem slen enters. x z 4 x y P (,, ) x z z Conocido un punto y el vector de dirección l ecución continu de l rect es x y z ( ) x y z r ; r Si se denomin P(x, y, z) un punto genérico que equidiste de mos plnos, se dee cumplir d P π d P π ( ) ( ) 7

8 x y z 4 ± x y z ( ) ( ) x y z 4 ± ( x y z ) σ y σ son los plnos isectrices de π y π. x y z 4 x y z ± 9 9 σ x y z 4 σ x y z 4 σ x 4y z 6 σ x z ( x y z ) ( x y z ) Ejercicio 4. Clificción máxim puntos. Dds ls rects x y 9 z 8 x y 9 z 8 r ; s se pide ) ( punto) Hllr l posición reltiv de ls rects r y s. ) ( punto) Hllr l distnci mínim entre r y s.. L posición reltiv de dos rects se puede estudir con el rngo de l mtriz que formn los vectores de dirección de ms rect y un segmento determindo con un punto de cd rect. A (, 9, 8) B (, 9, 8) r r ; s r d r ( 6, 4, 4) d s (,, ) ( ) AB r rg d rg rg r r ds ; 4 rg A 6 4 Teniendo en cuent que el rngo de l mtriz es dos y que los vectores de dirección de ms rect son proporcionles, ls rect son prlels.. L distnci entre rects prlels se clcul como l distnci de un punto de un de ells l otr. r AB d r d( r s) d( B r) r d 6 6 AB d r r ( 6,, ) ( 6, 4, 4),, (, 4, 4) AB d r r ( 4) 4 5 r d ( 6) r 5 5 d ( r s) r