Distribución de la probabilidad normal

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1 678 CAPÍTULO 14 Distribuciones de probabilidad 12. En un hospital local, 48% de los recién nacidos son varones. En un día particular nacen cinco niños. Qué probabilidades existen de que cuatro o más de ellos sean varones? Cuál es la media de esta distribución cuando n = 5? Cuál es la desviación estándar? 13. Encuesta política Para las próximas elecciones del senado de Estados Unidos, las encuestas de opinión indican que 50% de la población apoya al candidato demócrata, 40% apoya al candidato republicano y 10% se encuentra indeciso. Si se selecciona una muestra de cinco personas al aar, cuál será la probabilidad de que al menos cuatro personas sean simpatiantes del candidato demócrata? Y que menos de dos personas apoyen a este mismo candidato? 14. Tabaquismo Un hospital local lleva a cabo un programa experimental para ayudar a personas que desean dejar el hábito de fumar. Después de completar el programa, los participantes informan una tasa de éxitos de 60%. Si se selecciona una muestra aleatoria de cuatro participantes, cuál es la probabilidad de que todos ellos hayan dejado de fumar? Y de que por lo menos tres hayan dejado ese hábito? 15. Recesión económica Una encuesta de opinión reveló que 80% de las personas en un estado de Nueva Inglaterra consideran que el área está sufriendo recesión económica. Si se selecciona una muestra aleatoria de seis personas en ese estado, cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad de ellas crea que existe dicha recesión? 14.4 Distribución de la probabilidad normal En las distribuciones de probabilidad continua, el número de valores posibles de la variable aleatoria es infinito. En ellas, las probabilidades se asignan exclusivamente a intervalos de valores de la variable aleatoria. Para dar un ejemplo de ello, imagine la variable aleatoria que representa las lluvias anuales en una región, medidas en pulgadas. El número de la posible precipitación pluvial es infinito. Por ejemplo, un valor posible de es pulgadas. En un número infinito de valores posibles de, la probabilidad de cada valor es sumamente pequeña. Por lo tanto, en las distribuciones de probabilidad continua no se hacen afirmaciones respecto de la probabilidad de que la variable aleatoria adopte un valor específico. Por lo contrario, casi siempre se hacen en cuanto a la probabilidad de que la variable aleatoria asuma un valor dentro de un intervalo definido. En el ejemplo de la precipitación pluvial, quiá se desee conocer la probabilidad de que la precipitación anual fluctúe entre 24 y 25 pulgadas. En la presente sección se trata de una de las distribuciones continuas más conocidas y de mayor aplicación: la distribución de la probabilidad normal. Distribución de la probabilidad normal Este tipo de distribución es uno de los más importantes en la teoría moderna de la probabilidad. La distribución de la probabilidad normal se representa mediante la clásica curva en forma de campana, llamada también curva normal, que aparece en la figura La curva de la figura 14.4 es representativa de una familia de curvas en forma de campana que indican las distribuciones de probabilidad normal, todas ellas distintas en relación con su media y su desviación estándar. La figura 14.5 muestra las gráficas de dos distribuciones normales que tienen la misma media pero diferentes desviaciones estándar. La figura 14.6 ilustra las gráficas de dos distribuciones normales que tienen diferentes medias pero una misma desviación estándar.

2 14.4 Distribución de la probabilidad normal 679 f() Figura 14.4 Curva normal. µ f() Figura 14.5 Distribuciones normales con medias iguales. µ f() Figura 14.6 Distribuciones normales con desviaciones estándar iguales. µ 1 µ 2 La curva normal es simétrica alrededor de una línea vertical imaginaria que pasa por la media µ. Esta simetría significa que la curva es la misma si el espectador recorre distancias iguales a la derecha e iquierda de la media. Las colas de la curva se van acercando cada ve más al eje horiontal sin tocarlo nunca, por mucho que el espectador se desplace a la derecha o la iquierda. Las áreas bajo la curva que representan una distribución de la probabilidad son equivalentes a las probabilidades. Si el área total bajo una curva normal se considera igual a 1, la probabilidad de que la variable aleatoria asuma un valor entre a y b equivale al área situada debajo de la curva y limitada a la derecha e iquierda por las líneas verticales = a y = b. Esto se muestra en la figura 14.7.

3 680 CAPÍTULO 14 Distribuciones de probabilidad f() a b P(a b) Figura 14.7 El área bajo la curva normal representa la probabilidad. a b Pongamos el caso en que se observa que las calificaciones conseguidas en una prueba estandariada de aptitudes está normalmente distribuida con una media de 70 y una desviación estándar de 7.5. Suponga que se quiere determinar la probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación de 70 a 85 en la prueba. Con objeto de calcular esa probabilidad, se recurre a la utilísima propiedad de las distribuciones normales. Cualquier distribución de la probabilidad normal con media µ y desviación estándar puede ser transformada en una distribución normal estándar (unitaria) equivalente que tenga una media igual a 0 y una desviación estándar de 1. La transformación redefine cada valor de la variable aleatoria en función de su distancia respecto de la media, expresada como un múltiplo de la desviación estándar. La figura 14.8 ilustra esta transformación de en función de otra variable. Esta variable expresa a en términos de la distancia respecto de la media en múltiplos de la desviación estándar. Adviértase que los valores a la derecha de la media son positivos y que los de la iquierda son negativos. Un valor de que sea una desviación estándar a la derecha de la media se definirá en forma equivalente por un valor de igual a 1. Un punto situado tres desviaciones estándar a la iquierda de la media se definirá de modo equivalente por un valor de 3. µ 3 µ 2 µ µ µ + µ + 2 µ Variable aleatoria Variable aleatoria transformada (número de desviaciones estándar a partir de la media) Figura 14.8 Transformación a la distribución normal estándar (unitaria).

4 14.4 Distribución de la probabilidad normal 681 Ejemplo 23 Dada una variable aleatoria con µ = 10 y = 2, existen las equivalencias siguientes entre valores específicos de y los correspondientes valores de. (número de desviaciones estándar desde la media) La tabla (de la siguiente página) contiene las áreas bajo la curva normal estándar. Nótese que las áreas dadas son las que se encuentran debajo de las curvas entre la media y otro punto situado a desviaciones estándar respecto de la media. La curva normal es tal que 50% del área se encuentra a la iquierda de la media y 50% a la derecha. En otras palabras, existe una probabilidad de 50% de que el valor de la variable aleatoria sea menor que la media y 50% de probabilidad de que sea mayor. La simetría de la curva normal indica que la tabla puede emplearse para determinar las áreas comprendidas entre la media y otro punto, cuando el segundo punto se halla a la iquierda o la derecha de la media. Un valor de 1 en la tabla significa que el área debajo de la curva entre = 0 y = 1 es de El área es la misma entre = 0 y = 1. La figura 14.9 muestra esas áreas. Obsérvese, asimismo, que se puede hacer la afirmación de que el área bajo la curva normal estándar entre = 1 y = 1 es Volvamos ahora al problema original concerniente a la prueba estandariada de aptitudes. Se ha descubierto que las puntuaciones están normalmente distribuidas con una media de 70 y una desviación estándar de 7.5. El problema radicaba en determinar la probabilidad de que un estudiante seleccionado en forma aleatoria obtuviese una puntuación comprendida entre 70 y 85. Para determinar esta probabilidad, hay que transformar la distribución original en la distribución normal estándar. Área Área Figura

5 682 CAPÍTULO 14 Distribuciones de probabilidad Tabla Área bajo la curva normal estándar Y para ello es preciso identificar los valores de para los valores pertinentes de. La fórmula que permite convertir los valores de la variable aleatoria en los valores equivalentes de es µ = (14.10) El valor correspondiente a la media siempre es 0. Para ilustrarlo, el valor de correspondiente a una calificación de 70 es

6 14.4 Distribución de la probabilidad normal 683 P(70 85) P(0 2) Valores equivalentes Figura Puntuación del examen de aptitud = = El valor de correspondiente a un valor de 85 es = = = Esta media tiene una puntuación de 85 y se encuentra a dos desviaciones estándar arriba (a la derecha de) la puntuación promedio de 70. Así pues, la probabilidad de que un estudiante logre puntuaciones entre 70 y 85 es igual al área debajo de la curva normal estándar entre = 0 y = 2. Esta área, que aparece en la figura 14.10, se obtiene directamente de la tabla como En consecuencia, la probabilidad de que un estudiante logre una puntuación de 70 a 85 es En la figura 14.10, nótese que se traó una escala equivalente de debajo de la escala de para mostrar el valor correspondiente de. Ello no es necesario, pero sirve para recordar los valores pertinentes de la variable aleatoria. Supóngase que se quiere conocer la probabilidad de que un estudiante reciba calificaciones entre 0 y 85 en el examen. La probabilidad es igual a la de que sea menor que 2 en la distribución normal estándar. La probabilidad es el área debajo de la curva normal P( 85) P( 2) P( 0) + P(0 2) Valores equivalentes Figura Puntuación del examen de aptitud

7 684 CAPÍTULO 14 Distribuciones de probabilidad estándar, que se observa en la figura Esta área consta de los a la iquierda de la media y de los que se identificaron antes, o sea P( 2) P( 0) P(0 2) NOTA Para los problemas que requieren la identificación de las probabilidades para una variable normalmente distribuida, se recomienda mucho que se haga un esquema que identifique el área o áreas equivalentes bajo la curva normal estándar. Ejemplo 24 Una encuesta reveló que el ingreso anual per cápita de los habitantes de un estado tiene una distribución normal con una media de $9 800 y una desviación estándar de $. Si se selecciona una persona en forma aleatoria, qué probabilidad hay de que sus ingresos anuales: a) sean mayores que $5 000, b) mayores que $12 200, c) fluctúen entre $8 520 y $12 200, y d) entre $ y $13 000? SOLUCIÓN a) El valor de correspondiente a un ingreso de $5 000 es Con base en la figura es posible concluir que la probabilidad de que el sueldo de una persona sea mayor que $5 000 es igual a la de que sea mayor que 3 en la distribución normal estándar. Según la tabla P( 3) P( 3 0) P( 0) b) El valor de correspondiente a un ingreso de $ es P( 5 000) P( 3) P( 3 0) + P( 0) Valores equivalentes Figura Ingreso anual, en dólares

8 14.4 Distribución de la probabilidad normal 685 P( $12 200) P( 15) P( 0) P(0 1.5) Valores equivalentes Figura Ingreso anual, en dólares = = = A partir de la figura se llega a la conclusión de que la probabilidad de que el sueldo de una persona sea mayor que $ es igual a la de que sea mayor que 1.5. Según la tabla 14.26, puede determinarse que P(0 < 1.5) = Dado que P( 0) P( 1.5) P( 0) P(0 < 1.5) = c) El valor de correspondiente a un ingreso de $8 520 es = = = 0.8 Conforme a la figura 14.14, la probabilidad de que el sueldo de una persona fluctúe entre $8 520 y $ es igual a la de que esté comprendida entre 0.8 y 1.5, es decir, P( ) P( 0.8 0) P(0 1.5) P( ) P( ) P( 0.8 0) P(0 1.5) Valores equivalentes Figura Ingreso anual, en dólares

9 686 CAPÍTULO 14 Distribuciones de probabilidad P( ) P( ) P(0 2) P(0 1) Valores equivalentes Figura Ingreso anual, en dólares d) El valor de correspondiente a un ingreso de $ es El valor de correspondiente a un ingreso de $ es De acuerdo con la figura 14.15, la probabilidad de que el sueldo de una persona se encuentre entre $ y $ es igual a la de que esté comprendida entre 1 y 2. Para calcular esa probabilidad, hay que encontrar el área entre = 0 y = 2, restándole después el área entre = 0 y = 1. En otras palabras, Ejercicio de práctica P(1 2) P(0 2) P(0 1) En el ejemplo 24, cuál es la probabilidad de que el ingreso anual de una persona sea: a) mayor que $8 200, b) menor que $15 800, y c) entre $9 000 y $13 000? Respuesta: a) , b) , y c) Hay que hacer una aclaración respecto del uso de la tabla Ya se señaló antes que, en el caso de variables continuas, la probabilidad de que ocurra un valor específico de la variable es 0. Es decir, para un punto cualquiera a, P( a) 0 Por lo tanto, para dos constantes cualesquiera a < b, P(a b) P(a b) P(a b) P(a b)

10 14.4 Distribución de la probabilidad normal 687 La consecuencia o implicación práctica de lo anterior es que los valores de la tabla representan las probabilidades de que adopte valores entre dos puntos 1 y 2, donde los valores exactos de 1 y 2 pueden estar o no incluidos. En el ejemplo 24a, las probabilidades de que el sueldo de una persona sea mayor que $5 000 o bien mayor o igual a esa cifra son iguales: Una última observación respecto de las variables aleatorias con distribución normal es que, entre todos los posibles resultados de la variable aleatoria, se prevé que aproximadamente 68% ocurrirá dentro de más o menos una desviación estándar respecto de la media (es decir, µ ± 1 ), se prevé que más o menos 95% ocurrirá dentro de dos desviaciones estándar respecto de la media (µ ± 2 ), y cerca de 99% dentro de tres desviaciones estándar respecto de la media (µ ± 3 ). Éste es un conjunto útil de propiedades cuando se intenta hacer generaliaciones sobre las variables aleatorias con distribución normal. Dichas propiedades se describen en la figura % m 1s 95.44% m 2s 99.73% Figura Propiedades de las variables aleatorias normalmente distribuidas m 3s

11 688 CAPÍTULO 14 Distribuciones de probabilidad Sección 14.4 Ejercicios de seguimiento 1. En una distribución normal donde µ = 50 y = 8, determine los valores de correspondientes a cada uno de los siguientes valores de la variable aleatoria respecto de la media: a) 56, b) 42, c) 66, d) 36 y e) En una distribución normal donde µ = 300 y = 60, determine los valores de correspondientes a los siguientes valores de la variable aleatoria respecto de la media: a) 320, b) 160, c) 365, d) 430 y e) Dada una distribución normal donde µ = 0.72 y = 0.08, determine los valores de correspondientes a cada uno de los valores siguientes de la variable aleatoria: a) 0.84, b) 0.62, c) 0.50, d) 0.90 y e) Dada una distribución normal donde µ = 18 y = 4.0, determine los valores de correspondientes a cada uno de los siguientes valores de la variable aleatoria: a) 25, b) 12.5, c) 22.5, d) 17.2 y e) Para la distribución normal estándar determine: a) P( 2.4) b) P( 1.2) c) P( ) d) P( ) 6. Para la distribución normal estándar determine: a) P( 1.6) b) P( 1.3) c) P( ) d) P( ) 7. Para la distribución normal estándar determine: a) P( 0.25) b) P( 0.4) c) P( ) d) P( ) 8. Para la distribución normal estándar determine: a) P( ) b) P( ) c) P( ) d) P( ) 9. Si se tiene una variable aleatoria que tiene una distribución normal con una media de 15 y una desviación estándar de 2.5, determine: a) P( 11.8) b) P( 17.8) c) P( ) d) P( ) 10. Si hay una variable aleatoria que tiene una distribución normal con media de 75 y desviación estándar de 5, determine: a) P( 80) b) P( 78.5) c) P( ) d) P( ) 11. Si hay una variable aleatoria que tenga una distribución normal con media de 300 y desviación estándar de 20, determine: a) P( 255) b) P( ) c) P( ) d) P( ) 12. Si se tiene una variable aleatoria que tiene una distribución normal con media de 160 y desviación estándar de 8, determine: a) P( 150) b) P( ) c) P( ) d) P( ) 13. Pesos de los recién nacidos El peso de los recién nacidos en un hospital muestra distribución normal con media de 3.5 kg y desviación estándar de 180 g. Qué probabilidad existe de que un niño nacido en el hospital pese más de 3.6 kg? Y de que pese menos de 3.1 kg? 14. Los ingresos anuales de los empleados de un estado de la Unión Americana presentan distribución normal con media de $ y desviación estándar de $ Si se escoge a un empleado

12 Términos y conceptos clave 689 de modo aleatorio, qué probabilidad hay de que perciba más de $16 000? Menos de $12 000? Entre $ y $20 000? 15. Un fabricante efectuó un estudio sobre la vida útil de determinado tipo de lámpara. El estudio llegó a la conclusión de que la vida útil, medida en horas, es una variable aleatoria con distribución normal. La vida útil media es de 650 horas, con desviación estándar de 100 horas. Qué probabilidad hay de que la lámpara seleccionada al aar tenga una vida útil que oscile entre 500 y 800 horas? Más de 900 horas? 16. Se ha comprobado que las puntuaciones obtenidas en una prueba de aptitudes a nivel nacional tienen distribución normal con media de 480 y desviación estándar de 75. Qué probabilidad hay de que un estudiante, seleccionado de modo aleatorio, reciba una calificación comprendida entre 450 y 540? Mayor que 600? 17. En una gran ciudad, el número de llamadas en que se solicita el servicio de la policía en un periodo de 24 horas parece ser aleatorio. Se ha descubierto que presentan distribución normal, con media de 225 y desviación estándar de 30. Qué probabilidad hay de que, en un día escogido en forma aleatoria, las llamadas no lleguen a 300? Sean más de 180? 18. Las ventas anuales (en dólares) por vendedor en una fábrica de máquinas copiadoras tienen distribución normal con media de $ y desviación estándar de $ Si se selecciona a uno de los vendedores en forma aleatoria, qué probabilidades existen de que sus ventas anuales: a) excedan los $ , b) fluctúen entre $ y $ , c) sean menores que $ o d) oscilen entre $ y $ ? 19. Acondicionamiento físico Se ha aplicado una prueba de acondicionamiento físico a nivel nacional. Un elemento de la prueba midió la cantidad de planchas ( lagartijas ) que una persona podría hacer. En el caso de los estudiantes de último año, esos ejercicios de lagartijas presentaban distribución normal con una media de 12.5 y una desviación estándar de 5.0. Si se escoge en forma aleatoria a un estudiante del último año de enseñana media, qué probabilidad existe de que pueda hacer: a) más de 16 lagartijas, b) más de 20, c) entre 10 y 15, y d) menos de 25? 20. Sismografía Un sismólogo ha reunido datos en torno a la frecuencia de los terremotos en todo el mundo, en los cuales se miden los de 5.0 o más intensos en la escala de Richter. El sismólogo estima que el número de terremotos por año muestra una distribución normal con una media de 24 y desviación estándar de 4.0. En un año cualquiera, qué probabilidad hay de que haya: a) más de 30 terremotos, b) menos de 18, c) más de 16 y d) entre 20 y 25 terremotos? TÉRMINOS Y CONCEPTOS CLAVE curva normal 678 desviación estándar 665 distribución de la frecuencia 651 distribución de la probabilidad 653 distribución de la probabilidad binomial 669 distribución de la probabilidad normal 678 distribución de probabilidad discreta 654 distribución normal estándar (unitaria) 680 frecuencia 652 frecuencia relativa 653 histograma 655 intervalo (rango) 664 media 660 mediana 662 moda 662 procesos de Bernoulli 669 variable aleatoria 650 variable aleatoria continua 651 variable aleatoria discreta 651 variana 665