Tema 2: El modelo clásico de regresión

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1 CURSO 010/011 Tema : El modelo clásco de regresón Aránzazu de Juan Fernández ECONOMETRÍA I

2 ESQUEMA DEL TEMA Presentacón del modelo Hpótess del modelo Estmacón MCO Propedades algebracas de los estmadores Propedades estadístcas de los estmadores Bondad del ajuste Error estándar de la regresón BIBLIOGRAFÍA BÁSICA [1] Wooldrdge, J.M. (006). Introduccón a la Econometría. Un enfoque moderno. Thomson. Cap., 3 8 [] Kennedy, P. (008). A Gude to Econometrcs. Blackwell Publshng. Cap. 3 5 [3] Stock, J.H. y Watson, M.W. (008). Introducton to Econometrcs ( Ed.) Pearson Internatonal Edton, Cap. 4-7, 18 [4] Novales, A. (1997). Estadístca y Econometría. McGraw Hll, Cap. 13 [5] Novales, A. (1993). Econometría. McGraw Hll, Cap. 3-6

3 1. PRESENTACIÓN DEL MODELO Un modelo es un conjunto de restrccones sobre la dstrbucón conjunta de la varable dependente y las varables ndependentes -Y Varable dependente, regresando, endógena -X Varables ndependentes, regresores, exógenas Se observan n datos de esas varables aleatoras ( 1,,...,n ) El modelo de regresón clásco es un conjunto de dstrbucones conjuntas que satsfacen las sguentes hpótess:

4 .- HIPÓTESIS DEL MODELO DE REGRESIÓN CLÁSICO [H1]: LINEALIDAD EN LOS PARÁMETROS (los parámetros entran en el modelo de forma lneal) y x x... x u 1 1 k k Regresón o funcón de regresón Térmno de error no observado 1,,..., k Son los coefcentes de regresón y representan los efectos margnales separados de los regresores u Térmno de error que representa la parte de la varabl endógena no explcada por las varables exógenas

5 Representa el cambo en la varable dependente cuando el segundo regresor se ncrementa en una undad mentras que el resto de los regresores se mantenen constantes En térmnos de cálculo: y x La lnealdad mplca que el efecto margnal no depende del nvel de los regresores

6 Ejemplos: 1.- Funcón de consumo CON YD u 1 donde: CON YD u Representa el consumo del -ésmo hogar en la muestra de n hogares Representa la renta dsponble del - ésmo hogar en la muestra de n hogares Representa otras varables además de la renta dsponble que nfluyen sobre el consumo

7 Defnendo: y 1 CON x 1 x YD (una constante) Se puede reescrbr el modelo de la funcón de consumo como: y x x u 1 1 Cuando el modelo sólo tene un regresor además del térmno constante, se llama MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE y lo consderaremos como un caso especal del modelo de regresón múltple.

8 .- Ecuacón de salaros Salaro exp( )exp( S )exp( Años )exp( Exper )exp( u ) donde: Salaro Representa la tasa salaral percbda por el trabajador -ésmo de la muestra de n trabajadores S Años Exper Representa el número de años de educacón Representa el número de años del trabajador -ésmo en ese puesto de trabajo Representa el número de años de experenca laboral del trabajador -ésmo

9 Tomando logartmos: log( Salaros ) S Años Exper u Defnendo: log( Salaros ) S Años x Exper x 3 x 4 y Se obtene la expresón del MODELO CLÁSICO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE y x x x u

10 En este caso los coefcentes del modelo en la forma sem-log tenen la nterpretacón de cambos porcentuales, no de cambos en nveles. Por ejemplo, un valor de 0.05 para β mplca que un año adconal en la educacón del ndvduo tene el efecto de aumentar el salaro del ndvduo -ésmo un 5%. IMPLICACIÓN IMPORTANTE DE ESTE EJEMPLO: LA HIPÓTESIS DE LINEALIDAD NO ES TAN RESTRICTIVA YA QUE EN LA MAYOR PARTE DE LAS OCASIONES SE PUEDEN REALIZAR TRANFORMACIONES CONDUCENTES A OBTENER LA LINEALIDAD DE LOS PARÁMETROS EN EL MODELO

11 La hpótess de lnealdad se refere a que los parámetros entran en el modelo de forma lneal. Sn embargo, en el MLG pueden aparecer transformacones lneales y no lneales de las varables orgnales. Ejemplos: y x u Modelo lneal: 1 ln y ln x u Modelo logarítmco: 1 [M1] [M] Modelo sem-logarítmco: ln y x u 1 [M3] Modelo lneal-log: y 1 ln x u 1 y u x y x x u Modelo recíproco: 1 Modelo cuadrátco: 1 3 [M4] [M5] [M6]

12 Efectos ceters parbus y elastcdades de los modelos MODELO Efecto ceters parbus Elastcdad [M1 ] [M] [M3] y x y x y x y % y % x x y y % y (100 ) x x x y x [M4 ] y 1 y ( )% x x x y [M5] y 1 y % x x x 100 x y 1 x [M6] y x x 3 ( x ) 3 x y

13 La fnaldad de escoger una forma funconal concreta o de transformar las varables es consegur que el modelo ncluya térmnos de error que cumplan con las hpótess que veremos a contnuacón para que tengan valdez los métodos de nferenca sobre el modelo lneal general que se utlzarán.

14 NOTACIÓN MATRICIAL Defnmos los vectores columna K-dmensonales: de manera que x1 1 x x, xk K (K1)... (K1)... x x x... x ' 1 1 k k Así las ecuacones de la [H1] pueden escrbrse: y x u ( 1,,...,n ) '

15 Defnamos tambén: y u 1 1 y u x... x 1 1K y ; u ; X (n1)... (n1)... (nk ) x... x n1 nk y u n n Así la hpótess [H1] puede escrbrse de forma compacta: y X u (n1) (nk ) (K1) (n1) (n1) MODELO LINEAL GENERAL EN FORMA MATRICIAL

16 [H]: EXOGENEIDAD ESTRICTA E u X 0 1,,...,n Aquí la Esperanza (meda) está condconada a los regresores para todas las observacones E u x, x,..., x 0 1,,...,n 1 n El que la meda condconada sea una constante no es restrctva s el modelo tene térmno constante ya que se puede redefnr el térmno constante de manera que la esperanza condconada sea 0.

17 Implcacones de la EXOGENEIDAD ESTRICTA La meda no condconada del térmno de error es 0 E u 0 ( 1,,...,n ) Esto es debdo a que, por la Ley de Esperanzas Iteradas de la teoría de probabldad básca, E Eu X E u Bajo estrcta exogenedad, los regresores son ortogonales al térmno de error para todas las observacones E x jku 0 (, j 1,,...,n; k 1,,...,K )

18 ó tambén: Ex u j1 Ex u... E x u jk j E x u j 0 ( para todo, j ) (K1) El punto aquí es que la exogenedad estrcta requere que los regresores sean ortogonales no sólo con el térmno de error de la msma observacón, sno tambén con los térmnos de error de las otras observacones.

19 Como la meda del térmno de error es 0, las condcones de ortogonaldad son equvalentes a las condcones de correlacones nulas. jk jk jk Cov u, x E x u E x E u Ex u jk 0 La exogenedad extrcta mplca el requermento de que los regresores están contemporáneamente ncorrelados con el térmno de error. para j, Cov x,u 0 Exogenedad estrcta en seres temporales k

20 [H3]: AUSENCIA DE MULTICOLINEALIDAD El rango de matrz de datos X de dmensones nxk es K con probabldad 1 X K (nk ) La matrz X es de rango completo. Esta hpótess mplca que debe haber al menos tantas observacones de las varables como regresores tenga el modelo n K Ejemplo: S en la ecuacón de salaros nngún trabajador ha cambado nunca de empleo, entonces los años de experenca laboral y la experenca serán exactamente guales, para todos los ndvduos que componen la muestra: Años Exper, Habrá MULTICOLINEALIDAD PERFECTA (X) K

21 No se podrá dstngur entonces el efecto de los años de experenca laboral del efecto de los años en el msmo trabajo Solucón: Substtur esta gualdad en la ecuacón de salaro para elmnar la varable años: log( Salaros ) S ( )Exper u En este caso, no se podrán estmar todos los parámetros por separado; sólo se podrá estmar 3 4

22 [H4]: PERTURBACIONES ESFÉRICAS [H4.1] Homocedastcdad: E u X 0 ( 1,,...,n ) [H4.] Ausenca de autocorrelacón: j E u u X 0 (, j 1,,...,n; j ) De forma compacta: E uu X I n (Demostracón.)

23 Esta hpótess [H4] es muy restrctva ya que mplca: que la dspersón (la varanza) del efecto del térmno de error asocada a cada observacón es déntca a la de las demás los térmnos de error o perturbacones son homocedástcos que la covaranza entre las perturbacones de observacones dstntas es nula las perturbacones no tenen correlacón seral s a esto se añade un supuesto tradconal como es la dstrbucón conjunta Normal, sgnfcará que las perturbacones son ndependentes para las dstntas observacones

24 3.- ESTIMACIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS (MCO) MLG: y X u OBJETIVO: Obtener estmacones de los parámetros β desconocdos de manera que los errores sean lo más pequeños posbles. Para ello, defnmos: Para un valor hpotétco de β,, RESIDUO: û y x SUMA DE CUADRADOS DE RESIDUOS (SCR): n n ' ˆ 1 1 SCR u ( y x ) (y X )'(y X )

25 ˆ El estmador MCO de β ( ) es el que mnmza la SCR MCO Ecuacones normales: SCR( ) ( y X )'( y X ) (y' 'X')(y X ) y' y 'X'y y'x 'X'X y'yx' 'X'X Reglas de dferencacón de formas cuadrátcas: (a' ) ( 'A ) a A para A smetrca

26 Entonces: SCR( ) X' y X'X Igualando a 0: X' y X'X 0 X'X X'y Ecuacones normales ˆ X'X X'y Despejando: 1 MCO Condcón de segundo orden: SCR( ) X'X s.d.p. (Obtencón del MCO en dferentes modelos.)

27 Otra forma de expresarlo: Puesto que: X' X X' y X' X 1 1 X' y n n El estmador MCO puede expresarse tambén como: ˆ S s 1 MCO XX Xy donde: 1 1 S X'X x x n n 1 1 n sxy X' y xy n n 1 n ' XX 1 Meda muestral de Meda muestral de xx xy '

28 Y: varable dependente Modelo de regresón Lneal Smple bajo hpótess y 1 E y X x 1 u 0 1 x 1 1 E y X x 1 1 x 1 E y X x 1 u 0 y 0 x x1 X: varable explcatva

29 Y: varable dependente Modelo de regresón Lneal Smple estmado ŷ ˆ ˆ x 1 y 1 ˆ ˆ x 1 1 E y X x 1 û 0 1 ŷ Eˆ y X x ˆ ˆ x 1 û 0 ŷ Eˆ y X x y ˆ 1 0 x x 1 X: varable explcatva

30 4.- PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS ESTIMADORES 1.- X'uˆ 0 Regresores y resduos son ortogonales.- ˆy'uˆ 0 X ˆ sendo MCO 3.- y' y ˆy'y ˆ u u ˆ ˆ ŷ 4.- u'u ˆ ˆ y'y ˆy'y ˆ y'y ˆ 'X'Xˆ y'y ˆ 'X'y 5.- En modelos con térmno constante: n 1 n û 0 y n 1 1 ˆy

31 6.- Suma Total de Cuadrados (STC) n STC y' y ny y y Suma Explcada de Cuadrados (SEC) SEC ˆy' ˆy ny Puede ser negatva, pero en modelos con térmno constante: n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 y y;sec y' yny y y Suma de Resduos Cuadrados (SRC) SRC u' ˆ uˆ uˆ 0 n 1

32 9.- STC SEC SRC ŷ X( X' X ) X' y PX y 1 û (In X(X'X ) X')y MX y La estmacón MCO de y, es decr el vector X,se obtene proyectando y sobre todo el conjunto de todas las combnacones lneales de los regresores (todos los posbles modelos lneales generados con los regresores X), para selecconar aquel cuya suma de resduos al cuadrado es menor. ŷ P y û M y Los resduos son la proyeccón del vector X sobre el espaco ortogonal al anteror. y Demostracones de todas las propedades algebracas para el Modelo Lneal General, partcularzando (Ejercco) para el Modelo Lneal Smple y para casos especales (modelo sólo con constante).

33 5.- PROPIEDADES ESTADÍSTICAS DE LOS ESTIMADORES 1.- Error muestral: ˆ MCO ˆ 1 (X'X) X'u.- El estmador MCO es nsesgado E ˆ MCO X 3.- Matrz de varanzas-covaranzas ˆ 1 Var( X ) X' X MCO

34 4.- TEOREMA DE GAUSS-MARKOV El estmador MCO es ELIO (Estmador Lneal Insesgado y Óptmo) en el sentdo de que tene la menor varanza dentro de los estmadores lneales e nsesgados. 5.- Cov( ˆ,uˆ X ) 0 MCO Demostracones y aplcacones a modelos sencllos..

35 6.- BONDAD DEL AJUSTE R NO CENTRADO: nterpretacón: fraccón de la varacón de la varable dependente que se atrbuye a la varacón de las varables explcatvas u' ˆ uˆ RNC 1 0 RNC 1 y' y 6..- R CENTRADO: coefcente de determnacón A partr de la descomposcón: n n n (y y) (y ˆ ˆ y) uí n n u ˆ ( ˆy y) 1 1 n n (y y) (y y) 1 1 R 1 ; 0 R 1

36 La descomposcón anteror es válda s el modelo tene térmno constante. S esto es así, el COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN es una medda del poder explcatvo de los regresores NO CONSTANTES del modelo S el modelo no ncluye térmno constante y aún así se calcula el coefcente de determnacón, éste podrá ser negatvo R : coefcente de determnacón corregdo n 1 R 1 1 R n k

37 7.- ERROR ESTÁNDAR DE LA REGRESIÓN Estmacón MCO de, la varanza del térmno de error n K SRC u' ˆ uˆ s n K n K Dvdr por para que sea un estmador nsesgado de El error estándar de la regresón: EER s s

38 EJEMPLO Modelo smulado: D p p 1.87Y Smulacón con observacones; Estmacón con 100 observacones. Varables: Dependente: D Exógenas: p 1,p,Y

39 Resduos, valores estmados y valores reales Matrz de varanzascovaranzas de los estmadores 13,105 13,100 13, ,090 13, Resdual Actual Ftted

40 Prncpales estadístcos de las varables y los resduos

41 Estmacón de con n = 00 Estmacón con n = 400

42 Estmacón con n = 10000

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