Métodos de Conteo y Principio del Palomar. Matemática Discreta. Agustín G. Bonifacio UNSL

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1 UNSL Métodos de Conteo y

2 s (a) Cuántas cadenas de longitud 4 se pueden formar usando las letras A,B,C,D y E si no se aceptan repeticiones? = 120. (b) Cuántas cadenas del inciso (a) comienzan con la letra B? = 24. (c) Cuántas cadenas del inciso (a) no comienzan con B? = 96 ó = 96.

3 Principio de la Multiplicación Si una actividad se puede construir en t pasos sucesivos y el paso 1 se puede hacer de n 1 maneras, el paso 2 de n 2 maneras,..., y el paso t de n t maneras, entonces el número de actividades posibles diferentes es n 1.n 2...n t. Use el Principio de la Multiplicación para demostrar que un conjunto de n elementos {x 1,...,x n } tiene 2 n subconjuntos. Respuesta. Un subconjunto se puede construir en n pasos sucesivos: se elige o no x 1, se elige o no x 2,..., se elige o no x n. Entonces, el número de subconjuntos posibles es = 2 n. }{{} n veces

4 Sea X un conjunto de n elementos. Cuántos pares ordenados (A,B) satisfacen A B X? Respuesta. El número de estos pares es igual al número de maneras de asignar los elementos de X a los tres conjuntos A,B A y X B. Por lo tanto, el número de pares es = 3 n. }{{} n veces

5 Principio de la Suma Supongamos que X 1,...,X t son conjuntos y que el i-ésimo de ellos, X i, tiene n i elementos. Si {X 1,...,X t } es una familia disjunta de a pares (esto es, X i X j = si i j), entonces el número de elementos posibles que se puede seleccionar de X 1 ó X 2 ó...ó X t es: n 1 +n n t. (Esto es análogo a decir que la unión t i=1 X i tiene n 1 +n n t elementos).

6 De cuántas maneras se pueden seleccionar dos libros de temas diferentes entre cinco de computación, tres de matemáticas y dos de arte? Respuesta. Por el Principio de la Multiplicación, computación - matemáticas: 5 3 = 15, computación - arte: 5 2 = 10, matemáticas - arte: 3 2 = 6. Como estos conjuntos de selecciones son disjuntos de a pares, por el Principio de la Suma podemos seleccionar los libros de maneras diferentes = 31

7 Un comité de 6 personas, A,B,C,D,E y F, debe seleccionar un presidente, un secretario y un tesorero. (a) De cuántas maneras puede hacer esto? Por el Principio de la Multiplicación, = 120. (b) De cuántas maneras puede hacerlo si A ó B debe ser el presidente? 1 Si A es presidente, hay 5 4 maneras de elegir el resto, 2 Si B es presidente, hay 5 4 maneras de elegir el resto. Entonces, por el Principio de la Suma, se puede hacer de = 40 maneras.

8 (c) De cuántas maneras pueden hacerlo si E debe ocupar uno de los puestos? 1 Si E es presidente, hay 5 4 maneras de elegir el resto, 2 Si E es secretario, hay 5 4 maneras de elegir el resto. 3 Si E es tesorero, hay 5 4 maneras de elegir el resto. Entonces, por el Principio de la Suma, se puede hacer de = 60 maneras. Otra forma: Por el Principio de la Multiplicación, = 60. (d) De cuántas maneras pueden hacerlo si tanto A como F deben ocupar un puesto? Tres pasos sucesivos: asignar a A, asignar a F, asignar el lugar que queda: = 24.

9 Cuántas cadenas de ocho bits comienzan con 101 ó 111? 1 Con 101 : = 2 }{{} 5 = 32, 5 lugares 2 Con 111: = 2 }{{} 5 = 32, 5 lugares Por el Principio de la Suma, = 64.

10 Definición Una permutación de n elementos diferentes x 1,...,x n es un ordenamiento de los n elementos en cuestión. Existen 6 permutaciones de 3 elementos A,B,C. Teorema Existen n! permutaciones de n elementos. Prueba. Una permutación de n elementos se construye en n pasos sucesivos...

11 (a) Cuántas permutaciones de la cadena ABCDEF contienen la subcadena DEF? Tomo a DEF como un objeto: hay 4! permutaciones. (b) Cuántas permutaciones de la cadena ABCDEF contienen DEF pero en cualquier orden? Dos pasos: 1 DEF en cualquier orden: 3!, 2 Permutación con DEF como un objeto: 4! Por el Principio de la Multiplicación, hay 4! 3! = 6 24 = 144 permutaciones de este tipo.

12 A veces se desea considerar un orden de r elementos seleccionados entre n elementos. Definición Una permutación r de n elementos x 1,...,x n es un ordenamiento de r elementos de x 1,...,x n. El número de permutaciones r de un conjunto de n elementos se denota por P(n,r) ó P n r. s de permutaciones 2 de a,b,c son: ab,ba,ca. Teorema P n r = n(n 1)(n 2)...(n r +1), r n. Prueba. Por el Principio de la Multiplicación.

13 s (a) El número de permutaciones 2 de X = {a,b,c} es Pr n = 3 2 = 6. Estas 6 permutaciones son: ab,ac,ba,bc,ca,cb. (b) De cuántas maneras se puede seleccionar presidente, vicepresidente, secretario y tesorero de un grupo de 10 personas? P 10 4 = = Observación P n r = n(n 1)(n 2)...(n r+1) = = n(n 1)(n 2)...(n r+1)(n r)...21 (n r) = n! (n r)!. Por lo tanto, P n r = n! (n r)!.

14 De cuántas maneras pueden hacer cola 7 marcianos y 5 venusinos si ningún par de venusinos se paran juntos? Proceso de dos pasos: M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 1 Formar marcianos: 7! = 5040 formas, 2 Formar venusinos: P 8 5 = = 6720 formas Por el Principio de la Multiplicación, el número de maneras es =

15 Definición 1 Una combinación r de n elementos es una selección no ordenada de r de esos n elementos. 2 El número de combinaciones r de n elementos se denota C(n,r) ó ( n r). Un grupo de 5 estudiantes A,B,C,D y E ha decidido hablar con el director de departamento de matemáticas para que ofrezcan más cursos de Discreta. El director dijo que hablará, pero sólo con 3. De cuántas maneras se pueden elegir 3 estudiantes de un grupo de 5? NO TOMAR EN CUENTA EL ORDEN! ( 5 3) = 10

16 Teorema El número de combinaciones r de n objetos es ( ) n = Pn r n(n 1)...(n r +1) n! = = r r! r! (n r)!r!, r n. Prueba. Podemos construir permutaciones r de n elementos en 2 pasos: 1 elegimos una combinación r de n : hay ( n r), 2 ordenamos: hay r! Entonces, por el Principio de la Multiplicación, P n r = ( n r) r!.

17 Teorema (Binomial) Si a,b R y n N, entonces (a+b) n = n k=0 ( ) n a n k b k. k Observación n k=0 ( ) n = 2 n k

18 (Primera Forma) Si n palomas vuelan a k palomares y k < n, entonces algunos palomares contienen al menos 2 palomas. 10 personas tienen por nombre Alicia, Bernardo o Carlos y por apellido López, Maza o Noriega. Demuestre que al menos 2 tienen el mismo nombre y apellido. Personas = palomas = 10, Nombre y Apellido = palomares = 9.

19 (Segunda Forma) Si f es una función de un conjunto finito X a un conjunto finito Y y además X > Y, entonces f(x 1 ) = f(x 2 ) para algún par x 1,x 2 X con x 1 x 2. (Es decir, f no puede ser inyectiva).

20 Demuestre que si se seleccionan 151 cursos diferentes de Computación numerados entre 1 y 300, inclusive, al menos 2 tienen números consecutivos. Sean los números de los cursos seleccionados c 1,c 2,...,c 150. (1) Los 302 números que consisten en los números de (1) más sus sucesores c 1 +1,c 2 +1,...,c (2) tienen valores que van del 1 al 301. Como los números en (1) son todos distintos y los números en (2) también, por el, al menos dos coinciden. Entonces existen i, j tales que c i = c j +1, lo que implica que el curso c i es sucesor de c j.

21 (Tercera Forma) Sea f una función de un conjunto finito X a un conjunto finito Y. Supongamos que X = n, Y = m y sea k = n m. Entonces, hay al menos k valores x 1,x 2,...,x k X tales que f(x 1 ) = f(x 2 ) =... = f(x k ). Prueba. Sea Y = {y 1,...,y m } y supongamos que la conclusión es falsa. Entonces: existen a lo sumo k 1 valores x X tales que f(x) = y 1 ; existen a lo sumo k 1 valores x X tales que f(x) = y 2 ;.... existen a lo sumo k 1 valores x X tales que f(x) = y m ; Esto implica que X m(k 1). Como además, k 1 < n m (Probar!!!), tenemos que n = X m(k 1) < m n m = n.

22 Una característica útil de las fotos en blanco y negro es el brillo promedio. Digamos que 2 fotos son similares si su brillo promedio difiere en a lo sumo un cierto valor fijo. Demuestre que entre 6 fotos, hay o bien 3 mutuamente similares o bien 3 mutuamente no similares. Sean P 1,...,P 6 las 6 fotos. Cada uno de los 5 pares {P 1,P 2 },{P 1,P 3 },...,{P 1,P 6 } son similares (S) o no similares (NS). Tomando como X el conjunto de pares anterior y a Y = {S,NS}, el nos dice que existen 5 2 = 3 pares con el mismo valor. Es decir, existen i,j,k tales que {P 1,P i },{P 1,P j },{P 1,P k } son todos S o todos NS. Consideremos ahora los pares {P i,p j },{P j,p k },{P i,p k } (continuar)

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