CAPITULO 6 CONCEPTOS ESTADISTICOS EN LA GENETICA FORESTAL PARTE III. PARENTESCO Y COVARIANZA ENTRE PARIENTES 1. INTRODUCCION.

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1 CAPITULO 6 CONCEPTOS ESTADISTICOS EN LA GENETICA FORESTAL PARTE III. PARENTESCO Y COVARIANZA ENTRE PARIENTES 1. INTRODUCCION. El parentesco entre parientes es uno de los fenomenos genéticos básicos desplegados por un carácter métricos, y el grado de parentesco es una propiedad del carácter que puede ser determinada directamente de la población, conociendo el pedigree de los individuos involucrados. El grado de parentesco entrega un medio de estimación de la varianza genético aditiva y es el monto relativo de la variación aditiva, o heredabilidad, la cual determinará principalment el mejor método de selección a ser usado para el mejoramiento del o los caracteres de interés. Un entendimiento de las causas del parecido entre parientes es, por lo tanto, fundamental para el estudio practico de un carácter métrico y para su aplicación en el mejoramiento forestal. Como fue mencionado anteriormente, la varianza fenotipica puede ser particionada en componentes atribuibles a diferentes causas. Estos componentes son comúnmente denominados "componentes causales" de varianza y se denotan mediante el símbolo "V". La medicion del grado de parecido entre parientes descansa en la partición de la varianza fenotipica en una manera diferente, en componentes correspondientes a la agrupación de los individuos en familias. Estos componentes pueden ser estimados directamente de los valores fenotipicos y por esta razón se les denomina "componentes observables" de la varianza fenotipica, y se les denota con el símbolo "σ²" para mantener una distinción clara. En esta tercera parte se presentan algunos aspectos esenciales para la estimación de parámetros genéticos. Primero se definen y explican los conceptos de parentesco y consanguinidad en términos de probabilidades; segundo, la covarianza entre parientes se deduce 1

2 usando consideraciones teóricas basadas en los componentes causales y observables de la variación genética y tercero, la heredabilidad de un carácter es definida en términos de los componentes causales y estimada a través de los componentes observables. 2. CONCEPTOS DE PARENTESCO O COASCENDENCIA Y CONSANGUINIDAD Para fines de derivación, supongamos que un carácter esta controlado por un locus autosomico A. Dos alelos, x e y, se dice que son similares en estado si x e y son funcionalmente indistinguibles. En contraste, x e y son "idéntico por descendencia" (IPD) si una de las tres condiciones siguientes se cumple: a). x es una copia de y, b). y es una copia de x, o c). x e y son copias de un mismo gen ancestral. El concepto de "copia" es sinónimo de duplicación meiotica. Ahora, si x e y son alelos aleatoriamente seleccionados del locus A y desde los individuos X e Y, luego el coeficiente de parentesco se define como r xy = P(x y), donde " " significa IPD. 2.1 DERIVACION DEL PARENTESCO Y LA CONSANGUINIDAD El coeficiente de parentesco (o consanguinidad) para caracteres autosomicos y loci diploides puede ser derivado aplicando las reglas simples del calculo de probabilidades. Considerando la figura numero 1, sean x e y dos alelos del locus A muestreados al azar desde los individuos X e Y, entonces el parentesco entre ambos individuos es equivalente a estimar la probabilidad del siguiente suceso compuesto: r xy = P{ (alelo x es a) (alelo y es c) (a c) (alelo x es a) (alelo y es d) (a d) (alelo x es b) (alelo y es c) ( b c) (alelo x es b) (alelo y es d) ( b d) } (1) donde: representa la intersección entre dos sucesos y es la unión de dos sucesos. De acuerdo a las reglas comunmente usadas en el calculo de probabilidades, si dos sucesos A y B 2

3 son independientes, entonces: P(A B) = P(A) * P( B); mientras que, si A y B son mutuamente excluyentes, entonces: P(A B) = P(A) + P( B). Si asumimos que el evento de extraer un alelo al azar del individuo X es independiente de extraer otro del individuo Y y, además, este evento simultaneo es mutuamente excluyente con cualquier otra seleccion de alelos, entonces el coeficiente de parentesco se puede expresar como: r xy = P(x=a, y=c, a c) + P(x=a, y=d, a d) + P(x=b, y=c, b c) + P(x=b, y=d, b d) (2a) Si consideramos P(x=a) = P(x=b) = P(y=c) = P(y=d) = 1/2, entonces r xy = 1/4 [ P(a c) + P(a d) + P(b c) + P(b d) ]. r xy = 1/4 (r AC + r AD + r BC + r BD ) (2b) Entonces, el coeficiente de parentesco (r xy ), de consanguinidad o de ascendencia es la probabilidad que un gen al azar de X sea IPD con un gen al azar de Y. A (a1,a2) B (b1,b2) C (c1,c2) D (d1,d2) a b c d X (x1,x2) Y (y1,y2) x y Z (z1,z2) Figura 1.- Pedigree que muestra los genes en un locus de un individuo autosomico diploide. 3

4 Si Z es una progenie de X e Y, se deriva directamente que el "coeficiente de endogamia" (F Z ) es la probabilidad que los alelos z 1 y z 2 son IPD: F Z = P(z 1 =z 2 ) = P(z 1 =a, z 2 =c, a=c) + P(z 1 =a, z 2 =d, a=d) + P(z 1 =b, z 2 =c, b=c) + P(z 1 =b, z 2 =d, b=d) F Z = 1/4 [ P(a=c) + P(a=d) + P(b=c) + P(b=d) ]. F Z = r XY Lo que demuestra que el coeficiente de endogamia de un individuo es igual a la consanguinidad o parentesco entre los padres del individuo. Entonces, F es la probabilidad que los dos genes poseídos por el individuo en un locus sean IPD. Un caso especial es el parentesco de un individuo consigo mismo. Consideremos el muestreo de un gen dos veces con reemplazo desde el individuo X. Designemos estos genes como x y x', entonces r XX = P(x=a, x'=a, a=a) + P(x=a, x'=b, a=b) + P(x=b, x'=a, b=a) + P(x=b, x'=b, b=b) r XX = 1/4 [ P(a=a) + P(a=b) + P(b=a) + P(b=b) ]. r XX = 1/4 [ 2 + 2F X ] r XX = 1/2 [ 1 + F X ] donde P(a=a) = P(b=b) = 1 El calculo del grado de parentesco es particularmente importante en el caso forestal principalmente cuando se consideran familias de medio-hermanos o hermanos completos. En el caso de medio-hermanos y considerando la figura 2, el coeficiente de parentesco es: r XY = P(x=a, y=a', a=a') + P(x=a, y=b', a=b') + P(x=b, y=a', b=a') + P(x=b, y=b', b=b'). r XY = 1/4 [ P(a=a') + P(a=b') + P(b=a') + P(b=b') ]. r XY = 1/4 [ (1/2(1 + F A ) + (1/2(1 + F B ) + 2r AB ) ] 4

5 Si no existe endogamia ni consanguinidad entre los individuos A y B, entonces F A = F B = r AB = 0 y r XY = 1/4 es: En el caso de medio-hermanos y considerando la figura 3, el coeficiente de parentesco r XY = P(x=a, y=b', a=b') + P(x=a, y=c, a=c) + P(x=b, y=b', b=b') + P(x=b, y=c, b=c). r XY = 1/4 [ P(a=b') + P(a=c) + P(b=b') + P(b=c) ]. r XY = 1/4 [ r AB + r AC + r BB + r BC ] r XY = 1/4 [ r AB + r AC + (1/2 (1 + F B )) + r BC ] Si no existe endogamia ni consanguinidad entre los individuos A, B y C, entonces r AB = r AC = r BC = F B = 0 y r XY = 1/8 A(a 1,a 2 ) B(b 1,b 2 ) A(a 1,a 2 ) B(b 1,b 2 ) a b a' b' X(a,b) Y(a',b') Figura 2.- Pedigree entre hermanos completos. A(a 1,a 2 ) B(b 1,b 2 ) C(c 1,c 2 ) a b a' c X(a,b) Y(b',c) Figura 3.- Pedigree entre medio-hermanos. 5

6 Otra importante probabilidad es la probabilidad que ambos alelos en X son IPD con ambos alelos en Y (ver figura 1): U XY = P(a=c,b=d) + P(a=d,b=c) = P(a=c)*P(b=d) + P(a=d)*P(b=c) = r AC *r BD + r AD *r BC Para el caso de dos individuos hermanos completos (ver figura 2), tenemos: U XY = P(a=a',b=b') + P(a=b',b=a') = P(a=a')*P(b=b') + P(a=b')*P(b=a') = r AA *r BB + r AB ² = 1/4(1 + F A )*(1 + F B ) + r AB ² Si F A = F B = r AB = 0, entonces U XY = 1/4 Mientras que en el caso de dos individuos medio-hermanos (ver figura 3), tenemos: U XY = P(a=b',b=c) + P(a=c,b=b') = P(a=b')*P(b=c) + P(a=c)*P(b=b') = r AB *r BC + r AC *r BB = r AB *r BC + r AC *1/2(1 + F B ) Si r AB = r BC = r AC = 0, entonces U XY = 0 6

7 3. COVARIANZA ENTRE PARIENTES. METODO DE MALECOT A continuación se derivara la covarianza entre parientes usando el método de Malecot, el cual permite examinar las causas del parecido entre parientes y mostrar en principio como el monto de variación aditiva puede ser estimado a través del grado de parecido observado. Para estimar la covarianza entre parientes, asumiremos que la población esta en equilibrio bajo cruzamiento aleatorio y que la selección, mutación, interacción genotipoambiente y la epistasis están ausentes. Consideremos un locus autosomico y dos individuos, Y 1 e Y 2, los cuales no están emparentados y no presentan endogamia. El valor genotipico de ambos individuos puede ser representado usando los siguientes modelos lineales: Y 1 = a m1 + a p1 + d m1p1 Y 2 = a m2 + a p2 + d m2p2 donde mi y fi se refieren a los alelos recibidos del árbol madre y árbol padre de Y, respectivamente. Entonces, la covarianza entre Y 1 e Y 2 es Cov(Y 1,Y 2 ) = E(Y 1 Y 2 ) = E(a m1 + a p1 + d m1p1 )(a m2 + a p2 + d m2p2 ) =E(a m1 a m2 ) + E(a m1 a p2 ) + E(a p1 a m2 ) + E(a p1 a m2 ) + E(d m1p1 d m2p2 ) + suma de productos cruzados donde los efectos materno-paterno a y d no están correlacionados, entonces Cov(Y 1,Y 2 ) = E(a i ²) [P(m 1 =m 2 )+ P(m 1 =p 2 )+ P(p 1 =m 2 )+ P(p 1 =p 2 )] + E(d ij ²) [P(m 1 =m 2,p 1 =p 2 ) + P(m 1 =p 2,p 1 =m 2 )] Cov(Y 1,Y 2 ) = 4 r XY E(a i ²) + U XY E(d ij ²) En el apunte numero 6 se vio que VA = 2 E{a i }² y que VD = E{d ij }², luego Cov(Y 1,Y 2 ) = 2 r XY * VA + U XY * VD Esta expresión es la mas simplificada y trata principalmente con el caso de un solo locus autosomico. Situaciones mas realistas involucran aquellos caracteres controlados por varios loci, con efectos maternales citoplasmaticos o nucleares (como es el caso del mejoramiento animal) o 7

8 para genes ligados al sexo. Estos casos escapan al objetivo del curso, pero se debe señalar que la expresion recién derivada involucra los dos componentes causales principales que pueden ser estimados a través de los ensayos genéticos. En el caso especifico de los hermanos completos, donde r XY = 1/4 y U XY = 1/4, la covarianza es Cov(Y 1,Y 2 ) = 1/2 VA + 1/4 VD y para el caso de los medio-hermanos, donde r XY = 1/8 y U XY = 0, la covarianza es Cov(Y 1,Y 2 ) = 1/4 VA 4. ESTIMACION DE PARAMETROS GENÉTICOS Si la varianza genética de una población es definida como la varianza entre individuos causada por efectos genicos, entonces no habría necesariamente una varianza genética entre individuos que son genéticamente idénticos. Por otro lado, la varianza genética haría su máxima contribución a la variación total si los individuos fueran aleatoriamente seleccionados. Entre estos extremos, el monto de variación exhibida depende del parentesco entre los individuos, o la cercanía de este parentesco. En ambientes similares, los individuos sercanamente emparentados son generalmente menos variables entre ellos que aquellos individuos no emparentados porque sus genes fueron derivados de una población restringida. Por lo tanto una correlación entre sus efectos genicos debe existir CORRELACIÓN INTRACLASE En la sección anterior, la correlación entre individuos emparentados fue definida en términos de los componentes de la varianza genética. En esta sección, la correlación entre parientes se definirá en términos de varianzas familiares estimadas directamente de ensayos genéticos. Considere por ejemplo que las distintas progenies de determinados genotipos parentales son agrupadas en familias. Entonces, mediante el análisis de varianza (ANDEVA) podemos particionar la variación total observada en dos componentes, entre grupos y dentro de grupos. El 8

9 componente "entre grupos" es la varianza de los promedios "verdaderos" de los grupos respecto del promedio de la población, y el componente "dentro de grupos" es la varianza de los individuos respecto al promedio verdadero de sus grupos. El promedio verdadero de un grupo es el promedio que habría sido encontrado si hubiese sido estimado sin error desde una población de individuos muy grande y al azar. Lo anterior significa que estamos considerando los efectos familiares como una muestra al azar provenientes de una población de gran tamaño. En otros términos, las familias involucradas son una muestra al azar de una población panmitica de familias. Por ejemplo, supongamos que "n" progenies son medidas en cada una de "a" familias. Entonces el carácter Y ij medido en la progenie "j" dentro de la familia "i" puede representarse a través del siguiente modelo lineal Y ij = m + f i + e ij donde f i es un efecto aleatorio, debido a la familia (entre grupos) y se asumirá normalmente e independientemente distribuido, con esperanza cero y varianza s f ², simbólicamente f i NID(0,s f ²). A su vez, e ij es el efecto residual (dentro de grupos) y también es NID(0,s e ²). Por lo tanto, la varianza total, o fenotipica, será VP = σ p ² = σ f ² + σ e ² Esto es equivalente a decir que el carácter Y esta NID(m, σ f ²+σ e ²). La covarianza entre dos individuos (j y j') de diferentes familias (i e i') es Cov(Y ij,y i'j' ) = E(f i + e ij )(f i' + e i'j' ) = 0 Mientras que la covarianza entre dos individuos (j y j') dentro de la misma familia (i) es Cov(Y ij,y ij' ) = E(f i + e ij )(f i + e ij' ) = E(f i ²) = σ f ² 9

10 Luego, podemos definir la correlación intraclase como Cov(Y ij,y ij' ) σ f ² t = = [Var(Y ij )Var(Y ij' )] σ f ² + σ e ² Ahora, el parecido entre individuos emparentados puede ser "observado" ya sea como la similaridad entre individuos dentro del mismo grupo, o como las diferencias entre individuos de grupos distintos. Mientras mayor sea la similaridad dentro de los grupos mayor serán las diferencias entre los grupos. Por lo tanto, el grado de parecido entre individuos puede ser expresado como la proporción del componente de variación entre grupos (σ f ²) respecto a la variación total (σ p ²). La estimación de los componentes de varianza observables debido a las diferencias entre (σ f ²) y dentro de familias (σ e ²) pueden ser obtenidas directamente de la tabla de ANDEVA, para el caso que se este usando el método de estimación de mínimos cuadrados. Un método alternativo de estimación es el de máximo verosimilitud (ML, en ingles) y de máximo verosimilitud restringida (RML), los cuales presentan propiedades estadísticas más adecuadas para el caso que los datos biometricos de las diferentes progenies en un ensayo genético sean desbalanceados. El método de estimación de cuadrados mínimos implica la derivación de la esperanza de los cuadrados medios (ECM) correspondientes a cada fuente de variación presente en el modelo lineal. Para el modelo presentado como ejemplo, las esperanzas de los cuadrados medios son las siguientes: FUENTE DE VARIACIÓN G.L. C.M. ECM ENTRE FAMILIAS (Grupos) a-1 CMF σ e ² + nσ f ² DENTRO DE FAMILIAS a(n-1) CME σ e ²

11 Donde los estimadores son: σ e ² = CME σ f ² = (CMF - CME) / n La definición de la correlación intraclase como una forma de medir el parecido entre parientes, a través de la estimación de los componentes de varianza observables, entrega un medio poderoso para la estimación del componente de varianza causal debido a los efectos genicos (VA). Puesto que, dependiendo del tipo de parentesco, podemos igualar la covarianza entre parientes derivada a partir de los componentes causales con la estimación hecha a partir de los componentes observables. En el caso que las familias sean de hermanos completos tenemos que la covarianza entre parientes es Cov(Y ij,y ij' ) = 1/2 VA + 1/4 VD = σ f ² Si asumimos que los efectos de dominancia son irrelevantes, entonces VA = 2 σ f ² Mientras que, en el caso de familias de medio-hermanos, la covarianza es Cov(Y ij,y ij' ) = 1/4 VA = σ f ² por lo tanto VA = 4 σ f ² 4.2. HEREDABILIDAD La heredabilidad de un carácter métrico es una de sus propiedades mas importantes. Expresa la proporción de la varianza total (VP) que es atribuible a los efectos promedios de los genes (VA), y es lo que determina el parecido entre parientes. Pero la función mas importante de la heredabilidad en el estudio genético de un carácter métrico es su rol predictivo, puesto que 11

12 expresa la confiabilidad del valor fenotipico de los individuos como una "guía" al valor reproductivo. Solo el valor fenotipico de los individuos puede ser medido directamente, pero es el valor reproductivo lo que determina sus influencias en la próxima generación. Por lo tanto, si el mejorador o experimentador escoge individuos para ser parentales de acuerdo a sus valores fenotipicos, el éxito que se logre en cambiar las características de la población puede ser predicha solo a través de un conocimiento del "grado de correspondencia" entre los valores fenotipicos y los valores reproductivos. Este grado de correspondencia es medido a través de la heredabilidad. Actualmente se definen dos tipos de heredabilidad, la heredabilidad en "sentido estricto" es el cuociente entre la varianza aditiva y la varianza fenotipica: h² = VA / VP Mientras que la heredabilidad "en sentido amplio" es el cuociente entre la varianza genética total y la varianza fenotipica: h² = VG / VP La heredabilidad en sentido amplio expresa la extensión a la cual el fenotipo de los individuos esta determinado por el genotipo, es decir mide el "grado de determinación genética". Tiene un mayor interés desde un punto de vista teórico, cuando se esta trabajando con programas de mejoramiento basados en la reproduccion vegetativa y cuando se quiere obtener estimaciones mas precisas de la interacción genotipo-ambiente. En el caso que los ensayos genéticos involucren progenies de hermanos completos, y considerando los efectos de dominancia como irrelevantes, la estimación de heredabilidad (sentido estricto) será: h² = (2 σ f ²) / (σ f ² + σ e ²) 12

13 Mientras que el uso de progenies de medio-hermanos permite estimar la heredabilidad a través de la siguiente expresion: h² = (4 σ f ²) / (σ f ² + σ e ²) En ambos casos se esta asumiendo que VP = σ p ² = σ f ² + σ e ² Es decir, la varianza fenotipica predicha de la generación parental es igual a la varianza fenotipica observada en la generación filial. Es conveniente saber que la variación dentro de las familias también involucra una proporción de la varianza aditiva mas los efectos no aditivos. Para el caso de progenies de hermanos completos se tiene: VP = VA + VD + VE = σ f ² + σ e ² VA + VD + VE = 1/2 VA + 1/4 VD + σ e ² σ e ² = 1/2 VA + 3/4 VD + VE Mientras que en el caso de las progenies de medio-hermanos se tiene: VP = VA + VD + VE = σ f ² + σ e ² VA + VD + VE = 1/4 VA + σ e ² σ e ² = 3/4 VA + VD + VE 13