FUNDAMENTOS DE FÍSICA GENERAL

Transcripción

1 Agustín E. González Moles FUNDAMENTOS DE FÍSICA GENEAL (soluciones) Y X t y(x, t) A sen t T x

2 Agustín E. González Moles

3 TEMA I CÁLCULO VECTOIAL Mgnitudes escles y ectoiles Sum o composición de ectoes Sistems de efeenci ectoiles. Componentes. Cosenos diectoes. Vectoes unitios Poducto escl de ectoes Ángulo de dos ectoes Pependiculidd Poyección Poducto ectoil Momento de un ecto especto un punto. Momento especto un eje Deición e integción ectoil Ejecicios TEMA II CINEMÁTICA Mecánic, Cinemátic y Cinétic Punto mteil. Móil puntul. Sistem de efeenci inecil Tyectoi, ecto de posición y ecto desplzmiento Velocidd Aceleción Componentes intínsecs de l celeción Moimientos ectilíneos Moimiento ectilíneo y unifome (M..U.) Gáfics -t y -t del M..U. Moimiento ectilíneo y unifomemente celedo (M..U.A.) Gáfics -t, -t y -t del M..U.A. Lnzmiento eticl Moimiento cicul El ecto elocidd ngul El ecto celeción ngul elción ente y n Peíodo y fecuenci Moimiento cicul unifome (M.C.U.) Moimiento cicul unifomemente celedo (M.C.U.A.) Composición de moimientos. Tio pbólico Tiempo de uelo Alcnce Altu máxim Tiempo en lcnz l ltu máxim Ecuciones pmétics y ctesins de l tyectoi Agustín E. González Moles

4 Ángulo y módulo del ecto elocidd en cd punto Pábol de seguidd Moimientos eltios Ejes en tslción Ejes en otción Ejecicios TEMA III DINÁMICA DE UNA PATÍCULA Intoducción Leyes de Newton El pincipio de eltiidd de Glileo y l ª ley de Newton Cntidd de moimiento o momento linel ª ley de Newton Ms y peso. eposo y equilibio. Impulso mecánico Tece ley de Newton. Acción y ección Cinétic del punto mteil esistenci l deslizmiento Cuepos poydos en supeficies Cuepo poydo en un plno inclindo sometido un fuez de tcción Método p detemin el coeficiente estático de ozmiento Vios cuepos poydos Cuepos enlzdos. Tensión Fuez centípet en el moimiento cuilíneo Fuezs ficticis: Fuez de ineci y centífug Ejecicios TEMA IV DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PATÍCULAS Intoducción los sistems de ptículs Sistem de ptículs. Sistems discetos y continuos Fuezs intens y extens Conseción de l cntidd de moimiento en sistems isldos Intección ente sistems Cento de mss. Cento de gedd Popieddes del cento de mss Cento de gedd Sistem de efeenci situdo en el cdm Momento ngul de un ptícul Teoem del momento ngul de un ptícul Conseción del momento ngul de un ptícul Agustín E. González Moles

5 Fuezs centles Teoem de ls áes Impulso ngul Momento ngul de un sistem de ptículs Conseción del momento ngul de un sistem de ptículs Momento ngul especto l cdm Ejecicios TEMA V TABAJO Y ENEGÍA Tbjo Potenci. endimiento Enegí Enegí cinétic. Teoem de l enegí cinétic Fuezs consetis Enegí potencil Enegí potencil gittoi Enegí potencil elástic Enegí mecánic Sin ozmiento Con ozmiento Deteminción de l fuez conseti medinte l enegí potencil Cmpos escles Gdiente Cmpos ectoiles Ciculción Flujo Diegenci otcionl Choques ente cuepos Choque oblicuo Choque elástico Choque inelástico Choque no pefectmente elástico Choque centl Ejecicios TEMA VI DINÁMICA DE OTACIÓN DEL SÓLIDO ÍGIDO Sólido ígido Moimiento lededo de un eje fijo Momento de Ineci Agustín E. González Moles 4

6 Enegí cinétic de otción Teoem de ls figus plns Momentos de ineci de cuepos compuestos Teoem de Steine o de los ejes plelos Algunos momentos de ineci dio de gio Momento ngul totl. Momento ngul especto un eje Momento de un fuez especto un punto y especto un eje Ecución fundmentl de l Dinámic de otción oddu y deslizmiento Tbjo de otción. Potenci Anlogís ente l tslción y l otción Ejecicios TEMA VII TEMODINÁMICA Sistems temodinámicos. Pedes Vibles o coodends temodinámics Pesión Volumen Tempetu Ecución de estdo. Equilibio. Pocesos eesibles Gses ideles. Leyes y ecución de estdo de los gses ideles Clo. Clo específico. Clo ltente Tbjo temodinámico. Digms p V Pime pincipio de l Temodinámic. Aplicciones Pocesos cíclicos Poceso isócoo Poceso isóbo. Entlpí Poceso dibático Pocesos en gses ideles Enegí inten de un gs idel Pocesos isóbos en gses ideles. Fómul de Meye Pocesos dibáticos en gses ideles. Ecuciones de Poisson Segundo pincipio de l Temodinámic. Máquin témic. Entopí Necesidd del segundo pincipio de l temodinámic Conesión de clo en tbjo Enuncido del segundo pincipio de l temodinámic Máquin témic endimiento Entopí S Cálculo de ls iciones de entopí en pocesos eesibles Poceso eesible y dibático Poceso eesible e isotemo Poceso eesible no isotemo Cálculo de ls iciones de entopí en pocesos ieesibles Cálculo de ls iciones de entopí en los cmbios de fse. Medid del desoden Entopí de fusión Entopí de poizción Agustín E. González Moles 5

7 L entopí como medid del desoden Ciclo de Cnot endimiento del ciclo de Cnot Máquins figoífics y bombs témics Eficienci de un máquin figoífic Eficienci de un bomb témic Ejecicios TEMA VIII CAMPO GAVITATOIO Y ELECTOSTÁTICO Concepto de cmpo gittoio y eléctico Intensidd del cmpo gittoio y eléctico Intensidd del cmpo gittoio: g Intensidd del cmpo eléctico: E epesentciones gáfics Leyes de Keple Ley de gitción uniesl Ley de Coulomb Cmpos cedos po un o is mss o cgs puntules Potencil y enegí potencil gittoi Velocidd de escpe. Óbits Velocidd de escpe Óbits Óbit cicul Óbit elíptic Óbit pbólic Óbit hipebólic Potencil y enegí potenci eléctic Teoem de Guss Teoem de Guss p el cmpo gittoio Teoem de Guss p el cmpo eléctico Dielécticos y conductoes Dielécticos Conductoes Inducción electostátic Conducto cgdo en equilibio electostático con un cidd inteio Conducto descgdo con un cg situd dento de un cidd inteio Ejecicios TEMA IX ELECTOMAGNETISMO Electomgnetismo. Imnes y coientes Agustín E. González Moles 6

8 Fuez mgnétic. Ley de Loentz Moimiento de un ptícul cgd dento de un cmpo mgnético unifome Espectógfo de mss. Ciclotón Cmpo mgnético. Ley de Biot y Sbt. Pemebilidd mgnétic Momento mgnético. Glnómeto Cmpo cedo po un coiente ectilíne indefinid Fuezs ente coientes plels. Ampeio Cmpo cedo po un espi cicul unifome, un solenoide bieto y un solenoide cedo Espi cicul Solenoide bieto Solenoide cedo Ciculción del cmpo mgnético. Ley de Ampee. Coiente de desplzmiento de Mxwell Ejecicios TEMA X INDUCCIÓN ELECTOMAGNÉTICA Flujo mgnético tés de un supeficie ced Expeiencis de Fdy Heny Fuezs electomotiz inducid. Ley de Fdy Heny. Coiente inducid. Cg inducid Ley de Lenz Genelizción de l Ley de Fdy Heny Autoinducción Coeficiente de utoinducción L. Inductnci de un bobin de n espis F.e.m. de utoinducción Cí de tensión en un bobin Coientes de ciee y petu Enegí mgnétic lmcend en un bobin. Densidd de enegí de un cmpo electomgnético Inducción mutu Tnsfomdoes Fundmentos de l geneción de l coiente lten Ejecicios TEMA XI ONDAS Moimiento ibtoio mónico Enegís potencil y cinétic en el M.V.A. Moimiento ondultoio Tipos de onds Ecución del moimiento ondultoio Fse Peiodicidd Agustín E. González Moles 7

9 Ecución genel de onds Velocidd de popgción de ls onds Enegí socid l moimiento ondultoio Intensidd del moimiento ondultoio Atenución de ls onds mónics mecánics esféics Absoción de onds Pincipio de Huygens eflexión efcción Intefeencis Onds estcionis Difcción Polizción Intensidd sono. Tono. Timbe Efecto Dopple Ccteístics y especto de ls onds electomgnétics Ejecicios Agustín E. González Moles 8

10 TEMA I CÁLCULO VECTOIAL Mgnitudes escles y ectoiles Sum o composición de ectoes Sistems de efeenci ectoiles. Componentes. Cosenos diectoes. Vectoes unitios Poducto escl de ectoes Ángulo de dos ectoes Pependiculidd Poyección Poducto ectoil Momento de un ecto especto un punto. Momento especto un eje Deición e integción ectoil Ejecicios Agustín E. González Moles 9

11 . Un bco neg hci el Note nudos y l me lo st hci el Este 9 nudos. Clcul el umbo y l elocidd el del buque. N α ) 9 E El módulo de l elocidd el es El umbo se mide desde el Note en sentido hoio: tg esp.: 5 nudos esp.: 6º 5. Desemos ol en un ión 5 km/h hci el Este. Clcul el módulo de l elocidd y el umbo del ión si el iento sopl 8 km/h hci ) el Su; b) el Sueste; c) el Suoeste. N N N α α α E E S S S () (b) (c) ) ) ) E 5 Si se elige un S ctesino otogonl dextógio con el semieje OX puntndo l E y el semieje OY hci el N, l elocidd y el umbo del ión en cd cso es: ) 5 i 8 j ; km/h. 5 El umbo es α = ctg = 8º esp.: 56.6 km/h 8º 54 5 b) El umbo SE fom 45º con el S y el E. Po tnto, l elocidd del iento es 4 hci el S y hci el E. L elocidd del ión debe se: (5 4 ) i 4 j ; km/h. 5 4 El umbo es α = ctg 4 = 8º 4 48 esp.: 447. km/h 8º 4 48 c) El umbo SO fom 45º con el S y el O. Po tnto, l elocidd del iento es 4 hci el S y hci el O. L elocidd del ión debe se: (5 4 ) i 4 j ; km/h. 5 4 El umbo es α = ctg 4 = 84º 47 esp.: km/h 84º 47 Agustín E. González Moles

12 . Dos fuezs coplnis concuentes de 5 y 7 N fomn 6º y º con el semieje OX. En l fuez esultnte clcul el módulo y el ángulo que fom con el semieje OX. F 5(cos 6 i sen 6 j) 5 7 F F F (5 cos 6 7 cos ) i (5 sen 6 7 sen ) j F 7 cos ( ) i sen ( ) j 7(cos i sen j) 5 i 7 j F F x y F F ctg F y x esp.: F = 8.6 N α = 5º 6 4. Si un ecto de módulo 4 fom con los ejes X e Y ángulos de 6º, clcul el ángulo que fom con el eje Z y sus componentes. cos cos cos ; cos 6 + cos 6 + cos = esp.: = 45º x = V cos α = 4 cos 6; y = V cos β = 4 cos 6; z = V cos γ = 4 cos 45 esp.: V i j k 5. Ddos los ectoes de módulo y cosenos diectoes popocionles, y ; b que tiene su oigen especto un cieto S en el punto O (,, ) y el extemo en P (,, ); y c (,, ). Clcul b c. cos cos cos cos cos cos ( ) 9 (cos,cos, cos ),, (,, ) b OP (,,) (,,) (4,,) b c (,, ) (4,,) (,, ) esp.: ( 6, 4, ) 6. Ddos los ectoes i j k ; b tiene l diección del eje OX y su módulo es el del momento del ecto 7k plicdo en el punto (,, ) con especto l ect y = x situd en el plno XY; y c está sobe l ect de ecuciones x = y, z =, su módulo es y sus componentes son positis. Clcul el momento especto l oigen del sistem de ectoes deslizntes A b, B b c, C c que psn espectimente po los puntos (,, ), (,, ) y (,, ) Cálculo de b Empezmos po detemin un punto de l ect y = x, situd en el plno XY. Se, po ejemplo, x =, entonces y =. Po tnto, un punto de es P(,, ). Clculemos el momento de 7k plicdo en el punto (,, ) especto P: M P i j k 4i 7 Agustín E. González Moles

13 Deteminemos un ecto según l diección de l ect. Elegimos oto punto Q sobe, po ejemplo, x =, entonces y =, po tnto Q (,, ): QP (,,) (,,) (,,) el ecto unitio según QP es: u QP QP (,,) (i j) el módulo del momento de 7k con especto es: M P u 4i (i j) 4 po tnto b 4 i Cálculo de c Si c está sobe l ect de ecuciones x = y, z =, un ecto diecto de l ect es el ecto (,, ), y un ecto unitio u ' según l diección de dich ect es: u' (,,) (i j) c c u' (i j) (i j) c (i j) Po tnto: A b 4 i j k B b c 4 i j C c i j k Los momentos son: i j k j k 4 M oa Agustín E. González Moles

14 M ob M oc pues ps po el oigen. i j k i k Y el momento del sistem es: M M oa M ob M oc esp.: M i j 6k 7. El ecto V, de módulo, tiene los cosenos diectoes popocionles, y 4 y está situdo en un ect que ps po el oigen de coodends, especto l oigen es (,, ), y V V (,, ) y su momento (,, ) está situdo en l ect de cción que ps po el punto (,, ). Clcul el ecto esultnte y el momento esultnte especto l oigen de coodends. deducimos cos cos cos cos 4 cos α = 4cos cos cos cos cos ; 5 cos 4 5 entonces V V(cos,cos, cos ) (,, 5 4 ) 5 (, 6, 8) V V V (, 6, 8) (,, ) (,,) Clculemos los momentos especto l oigen M M (,, ) (ps po el oigen) i j k M x V (, 4,) (, 5, 7) esp.: (, 5, 7) Agustín E. González Moles

15 M M M (,, ) (, 4,) (,,) M esp.: M (,, ) 8. Clcul el momento del ecto V (,, 5) plicdo en el punto (,, ) especto l eje x y z definido po l ecución. Un punto P del eje es (,, ); y el ecto que une P con el punto de plicción de V es (,, ) (, ) (, 4, ) ; po tnto: M P i x V j 4 k ( 6,, 4) 5 (,, ) Un ecto unitio según l diección del eje es: u (,, ) ( ) 4 M eje P oy eje ( x V) (MP u)u ( 6,, 4) (,, ) (,, ) esp.: M eje (,, ) 4 9. Clcul el momento del ecto V (,, ) que ps po el punto P (,, ) especto l punto A (,, ), el módulo del momento especto l eje que ps po A y B(,, ) y l distnci ente P y el eje AB. Momento especto A AP (,, ) (,,) (,, ) M A i x V j k (,, ) esp.: (,, ) M A Momento especto l eje AB M ejeab AB (,,) (,,) (,, ) M A (,, ) (,, ) (,, ) AB AB esp.: Distnci ente P y el eje AB: i x AB B A )α d P V Como j x AB k (6,, 4); cuyo módulo es AB d; entonces 6 x AB d AB 4 M ejeab esp.: d = Agustín E. González Moles 4

16 . Descompone el ecto V diigido según i j k, de módulo 7, según ls diecciones u i j, j k, w i k. El ecto entonces: i j k tiene los tes cosenos diectoes igules, como cos cos cos, cos cos cos y V V(cos,cos,cos ) 7 (,, ) (i j k). El ecto V escito como combinción linel de u,, w es: donde obtenemos: (i j k) mu n pw m(i j) n( j k) p(i k) m n p, po tnto: esp.: V (u w). Ddos los ectoes V i j k y V i j, clcul ls componentes de un ecto unitio peteneciente l plno detemindo po V y V pependicul l ecto V V. V El ecto buscdo es un combinción linel de V y V : Al se mv nv (m n)i (m n) j mk U U y V pependicules: U V V V j k V m (m n) m n 4 m m m U m i m j mk (5i j 4k) El módulo es: m U 4 5 ( ) 4 m 4 45 El ecto unitio en l diección y el sentido de U es: Agustín E. González Moles 5

17 m (5i j 4k) U u 4 U m 45 4 esp.: u (5i j 4k) 45. Hll el áe del plelogmo cuys digonles son V 5i 4 j 7k y W i k. V W Como se peci en l figu, el áe del plelogmo es l mitd del que fomímos con ls digonles como ldos: i V x W 5 V x W j 4 k 7 (4,, 4) 4 ( 4) 6 S V x W 6 esp.:. Tes étices de un plelogmo ABCD tienen po coodends A(,, ), B(,, ) y D(,, ). Clcul ls coodends de C, el áe del plelogmo y el ángulo en B. AB (,,) (,,) (,, ) DC AD (,, ) (,,) (,, ) BC (x, y, z) (,,) (x, y, z) AD D(,, -) C(x, y, z) Po tnto: A(,, ) B(,, ) x ; y ; z esp.: C(, 4, ) El áe del plelogmo es el módulo del poducto ectoil AB x AD i j k (, 5, 4) S AB x AD AB x AD : ( ) esp.: S = 5 El ángulo en el étice B: cos B BA BC (,,) (,, ) BA BC esp.: B = 4º 8 Agustín E. González Moles 6

18 4. Los ectoes A(,,), B(, 4, ), C(4,, 8) son concuentes en el punto (,, ). Clcul el momento del ecto esultnte especto l oigen de coodends. Como los ectoes son concuentes podemos plic el teoem de Vignon. P ello clculmos el ecto esultnte, y después el momento de éste especto l oigen: A B C (,, 9) M O i x j k (5,, ) 9 esp.: (5,, ) M O 5. Se = (5t, 5 t, ln t), clcul el módulo de l deid y l deid del módulo p el lo t =. d(t) 5 d(t) 65 d() 65 t,, ; t ; dt t t dt 4t t dt 4 d() 9 esp.: dt d (t) t 65 (ln t) d 4 t d () 65 5t 65t ln t ; dt dt 4 5t 65t ln t dt 5 65 d () 75 esp.: dt Clcul el olumen del plelepípedo cuyos ldos son los ectoes (,, ), V (4, 5, 6), V (8, 7,9). V x y z V (V x V ) x y z x y z Volumen: (V x V ) 9 9 V esp.: 9 7. Clcul el ángulo que fomn ls digonles de un cubo. Bst clcullo en un cubo situdo en el oigen de coodends, tes de cuys its sen los ectoes i, j y k. B OA i j k k OC i j A j BC OC OB i j k O i OA BC (,,) (,, ) cos C cos esp.: α = 7º 4 Agustín E. González Moles 7

19 8. Demost que, si se cumple que OA b OB c OC d OD, l condición necesi y suficiente p que los puntos extemos A, B, C y D de los ectoes sen coplnios es + b + c + d =. Sen OA, OB y OC un bse de espcio ectoil. Entonces: Sen det(oa, OB, OC) A D C B OA (,, ) x OB (b, b, b ) x OC (c, c, c ) x OD (d, d, d ) x y y y y z z z z O si el punto D petenece l plno entonces: b c d x x b d y y b d z x y z x cy cz z Como OA b OB c OC d OD con (, b, c, d) entonces: x + b b x + c c x + d d x = () y + b b y + c c y + d d y = () z + b b z + c c z + d d z = () En multiplicmos l pime fil F po, F po b, F po c y F 4 po d, y sustituimos l fil cut po F + F + F + F 4 : x bb x bb y bb z b ( b c d) b c cc cc cc c x () y y () z z () b c d po tnto: esp.: + b + c + d = Agustín E. González Moles 8

20 TEMA II CINEMÁTICA Mecánic, Cinemátic y Cinétic Punto mteil. Móil puntul. Sistem de efeenci inecil Tyectoi, ecto de posición y ecto desplzmiento Velocidd Aceleción Componentes intínsecs de l celeción Moimientos ectilíneos Moimiento ectilíneo y unifome (M..U.) Gáfics -t y -t del M..U. Moimiento ectilíneo y unifomemente celedo (M..U.A.) Gáfics -t, -t y -t del M..U.A. Lnzmiento eticl Moimiento cicul El ecto elocidd ngul El ecto celeción ngul elción ente y n Peíodo y fecuenci Moimiento cicul unifome (M.C.U.) Moimiento cicul unifomemente celedo (M.C.U.A.) Composición de moimientos. Tio pbólico Tiempo de uelo Alcnce Altu máxim Tiempo en lcnz l ltu máxim Ecuciones pmétics y ctesins de l tyectoi Ángulo y módulo del ecto elocidd en cd punto Pábol de seguidd Moimientos eltios Ejes en tslción Ejes en otción Agustín E. González Moles 9

21 . Un ciclist cicul po un egión donde existen subids y bjds, mbs de igul longitud. En ls subids 5 km/h, en ls bjds km/h. Clcul su celeidd medi. Se L l longitud tnto de ls subids como de ls bjds. Si t es el tiempo que emple en subi L, y t es el que td en bj L, entonces ls celeiddes medis de subid y bjd son y : L L 5 km/h km/h t t L celeidd medi necesi p eliz el ecoido totl L en un tiempo t = t + t es: L L t t t L L L 5 Opendo: esp: = 8 km/h Not: Obséese que l celeidd medi no es l medi de ls celeiddes.. Dos nddoes cuzn un cnl ente dos puntos A y B. Uno sle de A y oto de B, l mismo tiempo. Suponiendo que inicin el ije de egeso en cunto llegn l oill opuest, y sbiendo que l id se hn cuzdo m de A, y l uelt lo hn hecho 4 m de B, clcul l distnci ente ls dos oills. d M A N B 4 El nddo M que sle de A ecoe m elocidd M, mients que el N que sle de B ecoe d en el mismo tiempo t elocidd N, tl que: t d Peo M ecoe d + 4 mients que N nd d 4 en el mismo tiempo t, po tnto: t d 4 d 4 Diidiendo miembo miembo ls dos expesiones: M N d 4 d 4 d M N Despejndo: esp.: d = 5 m. Un ptícul que pte del eposo se muee siguiendo un tyectoi ect con un celeción dd po l expesión = exp( kt), donde y k son constntes. Hll l elocidd límite y el cmino ecoido l cbo de t segundos. t dt t kt e dt Agustín E. González Moles

22 (e k kt ) L elocidd límite se lcnz cundo el tiempo tiende infinito. Su lo es: El cmino ecoido l cbo de t segundos es: esp.: k x t dt t (e k kt )dt esp.: x k (e k kt ) t 4. Dos discos sepdos.5 m, están montdos en un mismo eje hoizontl que gi 6 PM. Se disp un bl, plelmente l eje, que ties los dos discos, peo el gujeo del segundo está desido del pimeo un ángulo de π/5 d. Clcul l elocidd de l bl. 6 6 PM d/s En l expesión t : 6 t 5 de donde se deduce que t s. Sustituyendo en 8 d, obtenemos: t.5 8 esp.: = 4 m/s 5. Clcul l ltu en metos desde l que debe ce un cuepo en el cío p ecoe un longitud de g metos (el lo de g es el de l celeción de l gedd), dunte el último segundo de su cíd. L ltu h se ecoe en un tiempo t, tl que: h gt L elocidd que lcnz ts ecoe t segundos ptiendo de eposo es: = g (t ). Si en el último segundo ecoe un distnci s = g, entonces en l expesión s t gt : g g(t ) gt de donde deducimos que t s; po tnto, el lo de h es: h g Agustín E. González Moles

23 esp.: 9 h g 8 6. Un cuepo ce libemente sin elocidd inicil. Demost que el tiempo que iniete en ecoe el enésimo meto de su tyectoi es t g n n Si td t segundos en ecoe n metos ptiendo del eposo, entonces: n gt () Si td t segundos en ecoe el último meto (el enésimo), entonces l elocidd que dquiee en ecoe los n metos ptiendo del eposo es g(t t). Peo tmbién es gn ; po lo tnto: g(t t) gn () Eliminndo t ente () y (), y despejndo t, obtenemos: esp.: t n n 7. Demost que l inclinción de los tejdos debe se de 45º p que el gu pemnezc en ellos el meno tiempo posible, si l supeficie hoizontl que cuben es fij. g g ( po tnto b s ( En l figu, l supeficie cubiet po el tejdo es b = s cos α, siendo s el cmino que ecoe un got. L celeción l que está sometid (despecindo ozmientos) es = g sen α. Si pte del eposo, entonces: t s gt sen b 4b g sen cos g sen El mínimo lo de t se obtiene cundo sen α = ; es deci, α = 9º; α = 45º, como queímos demost. 8. En un moimiento ectilíneo se mntiene constnte el poducto del cmino ecoido po elocidd x = 8 m /s. Si p t = es x =, hll l posición p t = 4 s. dx dx Como, entonces x 8; es deci: dt dt Integndo: x dx 8 dt xdx 8dt Agustín E. González Moles

24 x 8t k Como p t = es x =, entonces k =, de donde deducimos que: x 4 t y p t = 4: esp: x = 8 m 9. Un móil ecoe l mitd del cmino 5 m/s. El esto lo hce m/s l mitd del tiempo estnte, y 8 m/s l ot mitd. Detemin l elocidd medi. s s o t o t t En ecoe l pime mitd iniete t o segundos, mients que l segund lo hce en t segundos; po lo tnto, l elocidd medi (si el ecoido fuese ectilíneo en un solo sentido) es: t o s t s o s s Po lo tnto: o o ( ) 5( 8) 5 8 esp.: = m/s. L tyectoi descit po un ptícul está definid po l ecución: (x + y ) = 4 (x y ) Clcul el módulo del dio ecto cundo éste fom º con l hoizontl. º x y Sustituyendo x = cos, y = sen, con = x + y en l ecución del enuncido, obtenemos: 4 4( cos sen ) De donde deducimos: esp.:. El plto de un biciclet enome tiene cm de dio. Pte del eposo con un celeción de.4 π d /s y tnsmite su moimiento un piñón de 8 cm de dio medinte l cden. Detemin el tiempo que td el piñón en lcnz PM. Culquie longitud L ecoid po l cden debe se l mism en el plto que en el piñón. Si el plto de dio gi un ángulo φ y el piñón de dio gi un ángulo φ, entonces: L ' Agustín E. González Moles

25 Deindo especto l tiempo φ = φ, obtenemos ', y deindo de nueo: ' ' Peo el piñón pte del eposo, po tnto: ' ' t. Sustituyendo α y despejndo t: ' t esp.:5 s. Clcul el dio de cutu mínimo de l tyectoi de un poyectil dispdo con un elocidd inicil y con gdos de eleción. cos α L celeción totl que tiene el poyectil en el étice de g l tyectoi es, exclusimente, su componente noml n, cuyo lo es pecismente g; demás, como l celeción tngencil es nul, n es máxim. α Po oto ldo, en ese punto l elocidd del móil es mínim, pues l componente eticl de l elocidd es nul. Como consecuenci, el dio de cutu mínimo se poduce en el étice de l tyectoi. Su lo es: min min n mx cos g. Un cno, 5 m/s sobe el fondo, cuz un ío de 8 m cuy coiente es de m/s. Cuánto td si tom el umbo peciso p que el tyecto se el más coto posible? 8 5 El tyecto más coto posible es el pependicul ls oills del ío. En l figu se peci que l elocidd el sobe el fondo se compone de l elocidd de l cno y l poocd po l coiente: 5 4 Po tnto, el tiempo que td en cuz el ío es: t s 8 4 esp.: 7 s 4. Se punt con un dispositio seguido de eones un ión que uel hoizontlmente con elocidd, un ltu h. Clcul l elocidd y l celeción ngules de l isul p culquie ángulo. t En l figu se peci el ángulo θ que í confome el ión se muee, peo en todo momento se cumple que: t tg θ h Deindo con especto l tiempo: h θ Agustín E. González Moles 4

26 Teniendo en cuent que y h son constntes: dθ peo, sbemos que ω, po tnto: dt es deci: d dt d t dt h tg θ dθ sec θ dt ω h sec θ h esp.: ω cos h θ P clcul l celeción ngul α olemos dei: es deci: α dω dt dω dθ dω ω ( sen θcosθ) cos dθ dt dθ h h θ esp.: α h sen θ cos θ 5. En un MUA, cómo se epesent el espcio en l gáfic elocidd-tiempo? = o + t Teniendo en cuent que el módulo de l elocidd en culquie instnte es: o t o (t) l elocidd se epesent en un gáfic elociddtiempo como un ect. Además, l elocidd es l deid de l posición, entonces: t (t) o dt po lo tnto, (t) se epesent en l gáfic medinte el áe de l figu. 6. Si, como hipótesis de un tio con un cñón, se supone que el lcnce x es un función de l fom x = g b m c f(), donde es l elocidd inicil, g es l celeción de l gedd, m l ms del poyectil y f() es un función dimensionl del ángulo de lnzmiento; clcul, b y c efectundo exclusimente un nálisis dimensionl. Anliz el lo obtenido de c. Se L l dimensión de un longitud, T l del tiempo y M l de l ms. L ecución de dimensiones de x es L, l de es LT -, l de g es LT - y l de m es M. Entonces, ls dimensiones de l expesión del enuncido son: Agustín E. González Moles 5

27 L b c LT LT M es deci: L L b T b M c lo que implic que: + b = b = c = de donde se deduce que: esp.: =, b =, c = De c = se despende que el lcnce no depende de l ms del poyectil. 7. Un diligenci ij en líne ect desde A hst B 5 km/h. En qué pueblo debe bjse un ijeo p segui ndndo km/h y lleg P lo ntes posible si l distnci PC es 4 km? Se t el tiempo inetido en ecoe AB, y t el necesio p i desde B hst P. s Como t t t : 4 P t t t L x 5 x 4 P hce mínimo el tiempo totl, deimos t con especto x, e igulmos ceo: C x B L-x A dt dx 5 x x 4 Despejndo x: esp: x = km 8. Un punto M descibe un cicunfeenci de dio cm estndo sometido l tcción de un punto C de l mism. Su elocidd eol es k cm /s. Hll los módulos de l elocidd y celeción y el tiempo que td en ecoe un co ¾ π que temin en C. M M El lo de l supeficie infinitesiml CMM (csi tingul) es: ds CM h A h α ( dα ( dα ( α ( C siendo dα h CM' sen de donde Agustín E. González Moles 6

28 ds CM CM' dα sen dα peo, como el ángulo es infinitesiml, el segmento CM es equilente (en el límite) l dα dα segmento CM y sen es equilente ; es deci: Como en el tiángulo ACM, es deci: ds CM dα α CM cos, entonces: ds cos ds cos dα α dα α ds Teniendo en cuent que l elocidd eol es constnte, de lo k: dt peo po lo que k dα dt ds dt k ω cos ds dα dα dt α de donde deducimos que: esp.: k sec α El módulo de l celeción tngencil se obtiene deindo l expesión nteio: Sustituyendo t d dt d dt k sec α d dt dα ω y simplificndo: dt El módulo de l celeción noml es: t k k k tg α tg sec 4 α α k α tg sec α dα dt Agustín E. González Moles 7

29 n k sec 4 α k sec 4 α Como el módulo de l celeción totl es: t n esp.: k sec 5 α P clcul el tiempo que iniete en ecoe un co de ¾ π dines despejmos dt en: de donde deducimos que: k ds dt t ds dα dα dt dt k π 4 cos cos α dα α dα dt Integndo: esp.: π t 4k 9. Un poyectil se lnz desde el oigen de coodends O con un ángulo α especto l eje hoizontl OX, e impct sobe un plno inclindo un ángulo β < α especto l eje OX que ps po O. Clcul: ) α en función de β, si l elocidd en ese instnte es pependicul l plno, b) el punto de impcto en el plno en función de β y de l elocidd inicil del poyectil. Y ) Eje X Eje Y y x x o o o cos t cos sen α gt y ot sen α gt En el tiángulo PS: si llmmos cot g (7 β) x y o cos α sen α gt gt z y tenemos en cuent que cotg (7 + β) = tg β, entonces: cos α o tg β () tg α z o O ) o β o g α x y y M P β x S X Agustín E. González Moles 8

30 En el tiángulo OMP: tg β PM OM t sen α gt y o x t cosα o es deci: tg β z tg α () o gt De () y (), con z, deducimos que: cos α esp.: tg α = tgβ + cotg β b) En el tiángulo OMP: x ot cos α OP () cosβ cosβ gt De () y, con z, deducimos que: cos α o cos OP g α tg α tgβ cosβ como tg α = tgβ + cotg β y cos α, l expesión de OP se simplific esultndo: tg α esp.: OP g o sen β sen β. Detemin el ángulo bjo el cul debe lnzse un móil en el cío, desde un punto O, p lcnz l ect AB en el meno tiempo posible. x t cos α () o y ot sen α gt () Y A g En P: y x tg () Sustituyendo () y () en (): OA = β P o t sen gt o t cos tg O o x α y β B X Obsemos que hy dos ibles: t y α. Deimos l expesión nteio especto α: Agustín E. González Moles 9

31 o dt sen d o t cos g t dt d o dt cos tg d o t sen tg despejndo dt e igulndo ceo p detemin el mínimo, obtenemos: dα cos α + sen α tg β = es deci: tg α tg β = po lo tnto: esp.: α = 9º β. Un ect se muee nomlmente su diección con elocidd constnte c. En su moimiento cot un cicunfeenci fij de cento O en un punto ible M. Hll l elocidd y l celeción de M sobe l cicunfeenci y sobe l ect, en función de c, y α. Descomponemos c según ls elociddes y, como se peci en l figu. Como c dα ω, entonces ω es: sen α dt dα dt c sen α L celeción tngencil es: t d dt c cos α sen α dα dt c cos α sen α α M c x α O l celeción noml es: n c sen α y l celeción totl es t n ; es deci: esp.: c sen α Como x = sen α, l elocidd sobe l ect es: dx dt cosα dα dt po tnto: Y l celeción sobe l ect es : esp.: = c cotg α d dt c sen α dα dt es deci: Agustín E. González Moles

32 esp.: c sen α. Un ptícul se muee sobe un tyectoi de ecución = θ. P θ = 6º, detemin su elocidd, si θ = t. x = cos θ, y = sen θ, = θ, θ = t : x = t cos t, y = t sen t º θ x y dx dt x (t) 4t cos t 4t sen t (t) y dy 4t sen t dt 4t cos t π π P θ 6º to entonces t o. Sustituyendo t o en ls expesiones de x y y, y teniendo en cuent que: x y esp.: (t o ) = 5.97 m/s. L pueb de un espolet de un gnd de fgmentción se eliz en el cento del fondo de un pozo cilíndico de pofundidd H. Los fgmentos que se fomn dunte l explosión, cuys elociddes no sobepsn l elocidd, no deben ce en l supeficie de l tie que cicund l gujeo. Cuál debe se el diámeto mínimo D del pozo? El fgmento no debe supe l D distnci hoizontl cundo lcnce l ltu H, po tnto: Eje X D t cosα () H g Y O D o α X Eje Y H = t sen α ½ gt Se despej t en () y se sustituye en H, teniendo pesente que + tg α = sec α: D gd H tg α 8 ( tg eodenndo l expesión nteio como un ecución de º gdo en tg α: α) Agustín E. González Moles

33 4 8H tg α tg α gd gd P que dich ecución, de l fom x + bx + c =, no teng solución el; es deci, p que el fgmento no lcnce l ltu H, debe ocui que b < 4c. O se: es deci: de tl fom que: 4 gd D 4 g 8H 4 gd ( gh) esp.: P gh, D puede tom culquie lo. P gh, D g gh 4. Po un clle de nchu = m ciculn, uno ts oto y pefectmente linedos, coches = 4 km/h, de nchu b = m, distncidos ente sí c = 8 m (distnci del pchoques posteio del pecedente l nteio del siguiente). Clcul: ) el tiempo necesio p que un petón cuce l clle en líne ect lo más despcio posible, y b) l elocidd y l tyectoi del petón. Se PN l tyectoi ect descit po el petón, de mne que cundo está en P, el pchoques tseo del coche sombedo está en PM; peo, cundo lleg N, el pchoques delnteo del coche sin sombe debe est en QN. Se t el tiempo que td el petón en i de P N. En t el coche tseo ecoe elocidd : b c = 8 M P x α N Q po tnto: c + PQ = c + x t c x L elocidd del petón seá: b PN sen α t c x siendo sen α b b x po tnto Agustín E. González Moles

34 b x () c x d Si debe se mínim, entonces, de donde esult que: dx b x c Sustituyendo este lo de x en (): esp.: =,669 m/s P detemin l tyectoi bst clcul α: tg α b 4 x esp.: α = 75º 57 5 Y el tiempo t, inetido en cuz l clle es: t sen α.669 sen α esp.: t = 6.75 s 5. Un ptícul se muee en el plno XY con celeción constnte en el sentido negtio del eje OY. L ecución de l tyectoi es y = px qx, siendo p y q constntes. Detemin l elocidd en el oigen de coodends. dy d y L elocidd de l ptícul en el eje Y es y, y l celeción es y, po dt dt tnto: d x dx peo, y x, po tnto: dt dt es deci: y d(px qx dt ) p d x dx p q dt dx dt dx dt dt y = (p qx) x = q x qx dx dt d x x dt x q y (p qx) q y en el oigen de coodends (,): Agustín E. González Moles

35 x () q y () p q como () x y () () entonces esp.: () ( p ) q 6. Un móil se desplz po un co de cicunfeenci de dio. Su elocidd depende del ecoido según l elción = k s donde k es constnte. Detemin el ángulo que fomn los ectoes celeción totl y elocidd, en función de s. n t d dt El ángulo solicitdo es el que fomn los ectoes y : t k ds k k k s dt s s n k s esp.: α ctg k s n t s ctg 7. Un moimiento ectilíneo es tl que su elocidd en función del desplzmiento es = x +. Hll ls ecuciones hois sbiendo que p t = se encuent en el oigen. Como ) α dx dt t x, es deci dx dt, po tnto: x ln(x dx x dt ) k t Como p t = es x =, entonces k =, po lo que, despejndo x: esp.: e x t dx e dt t d t e dt esp.: = e t esp,: = e t 8. Un ptícul pte del eposo y sigue un tyectoi ect con un celeción cuy ición en el tiempo iene dd po l quebd ABCM en un plno de ejes Agustín E. González Moles 4

36 celeción tiempo. Ls coodends (, t) de los étices de l quebd en el S.I. son ls siguientes: A(6,), B( 9,), C(,4) y M(,). Clcul l posición y l elocidd p t =. 6 A C M 4 t -9 B En el tmo AB: Se = mt + b, como p t = es = 6, entonces b = 6; y p t = es = 9, po tnto m = 5. De donde deducimos que: = 5t + 6 Integndo l expesión nteio, obtenemos (t) = 7.5t + 6t + k. Como l ptícul pte del eposo, () =, po tnto k = : Y en el instnte t = obtenemos B : (t) = 7.5t + 6t B = 5 m/s Integndo l expesión (t), obtenemos x(t).5t t k. Peo, en t = l ptícul se encuent en x =, po tnto k = : Y en el instnte t = obtenemos x B : En el tmo BC: x(t).5t t x B = 5 m Se = mt + b, como p t = es = 9 y p t = 4 es =, entonces los loes de m y b son m = y b = 9. De donde deducimos que: = t 9 Integndo l expesión nteio, obtenemos (t) = 5t 9t + k. Como l ptícul tiene un elocidd () = 5, entonces k = 5 m/s, po tnto: Y en el instnte t = 4 obtenemos C : (t) = 5t 9t + 5 C = 7 m/s Agustín E. González Moles 5

37 Integndo l expesión (t), obtenemos x(t) 5t 95t 5t k 4. Peo, en t = l ptícul se encuent en x = 5, po tnto k 4 = 75 m, es deci: Y en el instnte t = 4 obtenemos x C : En el tmo CM: Es x(t) 5t 95t x C = 5 = 5t 75 Integndo obtenemos (t) = t + k 5. Como l ptícul tiene un elocidd (4) = 7, entonces k 5 = 69 m/s, po tnto: Y en el instnte t = obtenemos M : (t) = t 69 esp: M = 9 m/s Integndo l expesión (t), obtenemos x(t) 5t 69t k 6. Peo, en t = 4 l ptícul se encuent en x = 5, po tnto k 6 = 6 m, po tnto: Y en el instnte t = obtenemos x M : x(t) 5t 69t 6 esp.: x M = 58 m 9. Dos puntos A y B se encuentn en eposo, situdos un distnci s ente mbos. En l ect que los une hy oto punto C, tmbién en eposo, que distn de A el doble que de B. Los puntos A y B se ponen en moimiento sobe su ect sopote con celeciones de 4 y m/s espectimente. Hll l celeción de C de mne que dicho móil se encuente siempe un distnci de A doble que de B. Del enuncido se deduce que: Peo s s s C C A A x AC BC B B A'C' B'C' A C = AC + x s B C = BC + s x Agustín E. González Moles 6

38 po tnto: AC x s BC s x y teniendo en cuent que AC = BC, clculmos x: s x s Peo sustituyendo x = ½ t, s =½ t y s = ½ t, ts simplific obtenemos: 4 esp.: m/s. Un ptícul se muee lo lgo de un cu x = t, y = t 4t, z = t 5, donde t es el tiempo. Hll ls componentes de l elocidd y l celeción en l diección del ecto ctesino (,, ) cundo t =. P clcul l elocidd y celeción bst dei ls tes componentes del ecto de posición obteniendo: (4t,t 4,) y (4,,). P t = : () (4,,) Un ecto unitio según l diección del ecto (,,) es: u (,,) ( ) (,,) 4 P clcul ls poyecciones sobe (,,), los ectoes se multiplicn esclmente po u : 4 ( ) ( ). () u 4 esp.: Poyección de () 4 ( ). u 4 esp.: Poyección de Un móil descibe un M..U. 6 km/h en un tyectoi hoizontl m de ltu sobe el plno hoizontl. En un instnte ddo, ps po l eticl de un punto P del plno y, en ese mismo instnte, se lnz un poyectil de kg desde P con un elocidd que fom un ángulo α con el plno hoizontl. Clcul el lo de l tg α, sbiendo que el móil fue lcnzdo po el poyectil segundos después del instnte nteio. Si o es l elocidd inicil del poyectil, se cumple que: h = o t sen α gt h gt sen α () t o h ) α x g x = o t cos α x cos α () t o Agustín E. González Moles 7

39 Diidiendo () ente (): h gt tg α x Peo, si l elocidd del móil es, entonces el lo de x tmbién es t: h gt tg α t esp.: tg α =.48. Bjo qué ángulo especto l hoizontl es necesio lnz un pied 4 m/s desde un cntildo de m de ltu, p que llegue l m un distnci máxim del bode del pecipicio? De x = t cos α despejmos t: x t () cos α y = h + t sen α ½ g t () sen α α cos α g Sustituyendo () en () y hciendo y = p detemin el lcnce sobe l hoizontl: h gx h x tg α cos α x eodenndo téminos en tg α, teniendo en cuent que tg α : cos α h tg α tg α gx gx ecución de º gdo en tg α de l fom tg α + b tg α + c cuyo disciminnte b 4c debe se myo o igul ceo p que exist solución: despejndo x: g 4 x 4 h 4 gx x g gh de donde se deduce que el lo máximo de x es: x mx g gh Agustín E. González Moles 8

40 que se coesponde con l nulción de b 4c. Po tnto, el lo de tg α que pooc el lcnce máximo es: tg α b gx mx gx mx y sustituyendo x mx : tg α gh P h = y = 4 m/s: tg α esp.: α = º. L elocidd de l coiente de un ío de nchu c cece popocionlmente l distnci desde l oill, lcnzndo su lo máximo en el cento. Junto ls oills l elocidd de l coiente es ceo. Un bote flot de modo que su elocidd u con especto l gu es constnte y pependicul l oill. Hll l distnci l cul seá lledo po l coiente l cuz el ío y detemin l tyectoi del bote. c A y x c B Si l elocidd de l coiente í linelmente, siendo un distnci ½c de l oill, ceo en l oill A y un distnci y, entonces l ecución de l elocidd es: c álid p loes de y compendidos ente y ½ c. El cmino ecoido po el bote en el eje Y es y ut. Sustituyendo el lo de y en l expesión de : u t c que popocion l elocidd, según el eje X, que tiene el bote l se stdo po l coiente hst el cento del ío. Obséese que l celeción en el eje X es pecismente el coeficiente que multiplic t en l ecución nteio: u c cuyo lo es constnte. Po lo tnto el bote expeiment un celeción según un MUA en el eje X hst que lcnz el cento del ío. P detemin l elocidd de l coiente,, en el tmo que desde el cento del ío hst l ot oill B, tenemos que tene en cuent que en y = ½c l elocidd es, peo cundo y = c, entonces l elocidd es ceo. Po tnto: y Agustín E. González Moles 9

41 ' c (c y) expesión álid p los loes de y compendidos ente ½ c y c. Como el cmino ecoido po el bote según el eje Y sigue siendo y = ut, sustituimos este lo en l expesión de : ' u t c que popocion l elocidd, según el eje X, que tiene el bote l se stdo po l coiente desde el cento del ío hst l oill B. Obséese que l celeción en el eje X es pecismente el coeficiente que multiplic t en l ecución nteio: u ' c cuyo lo es constnte. Po lo tnto, el bote expeiment un deceleción según un MUA en el eje X desde el cento del ío hst l oill opuest. Además, nótese que =. Si el bote cuz completmente el ío en un tiempo T, como l nchu del ío es c, de l expesión y = ut deducimos que c = u T. Po tnto: T Además, como =, el moimiento es simético especto l cento del ío (e figu), de mne que en el eje X el bote está celendo dunte l pime mitd del ecoido y decelendo dunte l segund mitd. P t = T el bote se encuent en l posición x(t): c u x(t) T P clcul l posición x en el instnte t = T, emplemos l expesión = + (t t ) + ½ (t t ), siendo = x, t = T, = x(t), = (l elocidd en el cento del ío) y =, l deceleción que expeiment en el segundo tmo. Po tnto: x T Sustituyendo los loes obtenidos de, y T: T ' T esp.: c x u P clcul l tyectoi del bote ente l oill A y el cento del ío eliminmos t ente ls u ecuciones x t, y = ut con : c cu esp.: pábol y x L tyectoi ente el cento del ío y l oill opuest B es l pábol simétic l nteio, especto l cento del ío. 4. Dos móiles pten del mismo punto y en el mismo sentido ecoiendo un cicunfeenci de m de dio. El pimeo se muee con un elocidd ngul de d/s, y el segundo con un celeción de d/s. Cuánto tiempo tdán en eunise Agustín E. González Moles 4

42 de nueo? Qué celeciones tngencil y dil tienen en ese instnte? Qué ángulo fomn ls celeciones totles de mbos móiles? El móil gi un ángulo φ = ω t, el móil gi un ángulo φ = ½ α t. Si φ = φ : ωt αt po tnto ω t α sustituyendo loes: L celeción tngencil del móil es ceo. esp.: t = 4 s esp.: t = L celeción dil o centípet del móil es: n ω sustituyendo loes: esp.: n = 8 d/s L celeción tngencil del móil es: t α sustituyendo loes: esp.: t = d/s L celeción dil o centípet del móil es: n ω α t α 4ω ω α sustituyendo loes: esp.: n = d/s El ángulo que fomn ls celeciones totles de mbos móiles es el que existe ente l celeción totl del móil y su celeción tngencil (pues coincide con l diección de l celeción totl del móil ). Po tnto: tg θ n t 6 esp.: θ = 86º 5 5, 5. Un punto mteil descibe un tyectoi cicul de m de dio dndo uelts en un minuto. Clcul el peíodo, l fecuenci, l elocidd linel, l elocidd eol y l celeción. Como en 6 segundos d teint uelts, td segundos en d un. L fecuenci es l ines del peiodo: esp.: T = s esp.: f = ½ s - Como l elocidd ngul es π ω y l elocidd linel es = ω, entonces: T Agustín E. González Moles 4

43 π T esp.: = π m/s L elocidd eol es el áe bid en cd uelt en l unidd de tiempo: π T esp.: ½ π m /s L celeción que tiene este móil es sólo l centípet: n ω esp.: π d/s 6. Desde un boy situd en el cento de un ío pten dos botes A y B tomndo diecciones pependicules: el bote A lo lgo del ío y el B lo ncho. Al sepse l mism distnci de l boy empenden el egeso. Hll l elción ente el tiempo empledo po cd bote t A /t B, si l elocidd de cd uno es. eces l de l coiente del ío. El tiempo inetido po A en i es: A t A A s C B C s s Al i siendo C l elocidd de l coiente que, en este cso, es fo. El tiempo inetido po B en i es: A t B B s pues l elocidd el es l sum ectoil epesentd en l figu. C B C s s Al ole B C El tiempo inetido po A en ole es: t A A s C pues en este cso l coiente es en cont. El tiempo inetido po B en ole es: t B pues l elocidd el es l sum ectoil B tmbién epesentd en l figu. Los tiempos totles t A y t B son l sum de los dos pciles de cd bote. Si tenemos en cuent que los dos llen l mism elocidd y que ést es n =. eces l de l coiente: B s C C Agustín E. González Moles 4

44 t A C sn (n ) t B C s n Diidiendo t A ente t B : t t A B n n y p n =.: t esp.: A. 89 t B 7. Un ión en uelo hoizontl ectilíneo, un ltu de 784 m y 45 km/h, dej ce un bomb l ps po l eticl de un punto A del suelo. ) Al cbo de cuánto tiempo se poduce l explosión de l bomb po impcto con el suelo?, b) qué distnci h ecoido ente tnto el ión?, c) qué distnci del punto A se poduce l explosión?, d) cuánto tiempo td en oíse l explosión desde el ión, cont desde el instnte de lnzmiento, si el sonido se popg m/s? ) b) h = ½ gt, po tnto t h g esp.: 4 s h d s = t s = s t c) 45 d t 4.6 esp: 5 m A l mism que l que h ecoido el ión en 4 s. d) esp.: 5 m Como se cumple l elción pitgóic: s s h, tnto: t h s entonces t t h ; 784 s po T = t + t = esp: s 8. Se disp un cñón con 5º de eleción y un elocidd inicil de m/s. Clcul: ) l elocidd con l que lleg tie?, b) topiez con un colin de m de ltu, situd en l mitd del lcnce?; en cso fimtio, qué solución podímos d si queemos hce blnco en el mismo objetio, dispndo con el mismo cñón y desde el mismo punto? ) Lleg tie con l mism elocidd (en módulo) con l que se podujo el dispo. esp.: m/s b) Agustín E. González Moles 4

45 El tiempo de uelo es l mitd del necesio p obtene el lcnce máximo: sen α t t mx () g L ltu lcnzd en ese instnte es: h sen α t Sustituyendo () en l expesión nteio, esult: gt sen α sen 5 h 6.7 m g.9.8 Podímos disp con el ángulo complementio: esp.: Topiez α' 9 α pues sen α' sen 75 h' 94. m g.9.8 esp.: Disp con un ángulo de 75º 9. Un muchcho, que está 4 m de un ped eticl, lnz un pelot cont l ped desde un ltu de m, con un elocidd inicil de i j m/s. Cundo l pelot choc en l ped se iniete l componente hoizontl de su elocidd, peo pemnece constnte l eticl. Dónde chocá l pelot cont el suelo? Como x ox t; 4 t; entonces t.4s. Y p ese instnte: y y oyt gt x = 4 y demás en ese instnte l elocidd eticl con l que topiez en l ped es: D y oy gt Ptiendo de es elocidd debe lcnz el suelo en un tiempo t, po tnto, plicndo l expesión y y oyt gt p ese instnte: t 9.8t ecución de segundo gdo en t cuy solución positi es t =.84. Como l elocidd en el eje hoizontl sólo cmbi de sentido, peo mntiene su módulo, l distnci hoizontl D de l figu es: D = x t =.84 esp.: A 8.4 m de l ped Agustín E. González Moles 44

46 4. Un ión bombdeo en uelo hoizontl 6 km/h y m de ltu, lnz un bomb. ) A qué distnci de un objetio inmóil, medid hoizontlmente, debe lnz?, b) si el objetio se muee po un cete hoizontl 7 km/h en l mism diección y plno eticl, qué distnci debe lnz, si el objetio se muee en el mismo o en distinto sentido? ) y Como x t; y gt entonces x g b) esp.: m Si el objetio se muee elocidd en el mismo sentido: x Si lo hce en sentido contio: ( ')t ( ') y g esp.: 74.9 m x ( ')t ( ') y g esp.: 4.86 m 4. Un móil situdo en el oigen de coodends, tiene un elocidd inicil en el sentido positio del eje OX. Simultánemente se le plicn dos celeciones constntes del mismo módulo, un diigid según el sentido negtio del eje OX y l ot en el sentido positio del eje OY. Clcul: ) l tyectoi, b) ls coodends del punto de elocidd mínim, y c) el lo de l elocidd mínim. ) x t y t t P elimin t ente ls dos ecuciones, ls summos y despejmos t: ts sustitui en y, obtenemos: b) Si t es el módulo de l elocidd, entonces: de donde deducimos que: x y t x t y t t x y esp.: x y xy y Agustín E. González Moles 45

47 t f (t) t t y deindo f(t) con especto l tiempo e igulndo ceo p detemin el mínimo: es deci: 4 t min po tnto: t min c) t min t min t min esp.: t min Ls coodends donde se consigue este lo mínimo son: x min t y min min t min t min esp: x min 8 ; y min 8 4. El moimiento de un cuepo, que ce en un medio esistente ptiendo del eposo, está d definido po l ecución A B, con A y B constntes. Clcul en función de A y dt B: ) l celeción inicil, b) l elocidd p l cul l celeción es nul, c) l expesión de l elocidd en culquie instnte. ) d Como pte del eposo entonces es = en A B, po tnto, l celeción en el dt instnte inicil es: esp.: = A b) L elocidd p l cul l celeción c) d A B se nul es: dt A B = esp.: A B Integndo d A B dt d dt A B d A B t dt A Bt esp.: (t) e B Agustín E. González Moles 46

48 4. Un punto se muee en el plno XY según l ley x = pt, y = pt( qt), con p y q constntes. Detemin: ) l ecución de l tyectoi, b) l elocidd y celeción en función del tiempo, y c) el instnte en el que el ecto elocidd fom un ángulo de ¼ π dines con l celeción. ) Como t = x/p, sustituimos este lo en l expesión de y: b) esp.: Pábol: y x q x p x y dx p; dt dy p( qt); dt x y ; x y d x dt d y pq dt x y c) esp.: p ( qt) ; = pq tg 5 y x 45 p( qt) p esp.: t q 44. Un móil, que pte del oigen de coodends, ecoe l cu x = y. L poyección del moimiento sobe el eje OX es un MU m/s. Hll l cbo de segundos: ) el módulo de l elocidd, b) ls componentes intínsecs de l celeción, y c) el dio de cutu. ) Como x =, l posición en el eje X es: x = x t = t. Como y = ½ x, sustituyendo x obtenemos y = t. Deindo: y = 4t. Y sustituyendo estos loes en: t x y 4 6 P t = : b) esp.: = 6 m/s t d dt d dt 4 6t P t = : Agustín E. González Moles 47

49 esp.: t 8 = d d x y Como x y y 4 l celeción totl es 4, y l celeción noml p dt dt t = es: m/s c) n t 4 8 esp: 4 n m/s De n deducimos que, cuyo lo p t = es: n esp.: = 7 m 45. Un ptícul se muee sobe l tyectoi y = x + x + de mne que p x = y = m/s. Clcul el ecto elocidd en ese instnte. Po tnto dy dx x dy dt dx dt y x x y x Sustituyendo x = y y = : Como (, ) : x y x = esp.: (, ) 46. Un ptícul que tiene un moimiento ectilíneo ecoe un distnci de 7 m ntes de empez cont el tiempo, y cundo t = s posee un elocidd de 4 m/s. Si l ecución de l celeción es = t, clcul: ) l elocidd y l posición, b) l elocidd medi ente t = y t = 4, y c) l distnci l posición inicil p t = 7. ) dt (t )dt t t k Como () = 4, entonces k =. esp.: (t) t t x Como x() = 7, entonces k = 7 dt (t 4 t t t )dt t k' 4 Agustín E. González Moles 48

50 t t esp.: x(t) t b) m: 4 x(4) x() esp.: 5 m/s c) x(7) esp.: m 47. L b de l figu se desliz sobe el poste eticl y está sujet l bloque A que se muee hci l deech con elocidd constnte. Detemin l elocidd ngul de l b. Como x cotg θ, deindo especto l tiempo: dx dθ dt sen θ dt x θ ( A dθ peo ω, entonces dt ω sen θ po tnto esp.: ω sen θ 48. Un ión uel elocidd constnte con un ángulo β de scensión especto l hoizontl. Cundo está 6 m de ltu sobeuel un cñón enemigo que, en ese instnte, be fuego con un elocidd inicil del poyectil de 6 m/s. Poco después l bl ps ozndo el ión. Cundo el ión está 964 m de ltu el poyectil uele ps ozndo, explotndo en el suelo segundos después. Clcul: ) el ángulo de eleción del cñón, b) el ángulo β, y c) l elocidd del ión en km/h. Y y y ) β 6 α ) x x X ) Agustín E. González Moles 49

51 Como l elocidd hoizontl del ión es cos β, l posición x del ión es x = t cos β. L elocidd hoizontl del poyectil es cos α, y su posición x (coincidente con l del ión en el instnte t ) es x = t cos α. Po tnto: cos β = cos α () L posición y l lcnzn el ión y el poyectil en el instnte t. L elocidd eticl del ión es constntemente sen β. El poyectil está sometido l celeción de l gedd e inicilmente tiene un elocidd eticl sen α, po tnto: y = 6 + t sen β = t sen α ½ gt () Análogmente con y = 964 en el instnte t : y = 964 = 6 + t sen β = t sen α ½ gt () Como el poyectil lleg l suelo en el instnte t + : = (t + ) sen α ½ g(t +) deducimos que: sen α = ½ g(t + ) (4) Sustituyendo (4) en (): 964 = ½ g (t + )t ½ gt obtenemos t = 98 s. Este lo lo llemos (4) p detemin α: g(t ) 9.8(98 ) sen α 6 esp.: α = 74º 8 b) En (), sbiendo α: cos β = (5) En (), p t = 98: 964 = sen β Po tnto: sen β = (6) Diidiendo (6) ente (5): tg β esp.: β =º c) En (): Agustín E. González Moles 5

52 cos α cos α m/s km/h cosβ cosβ esp.: = km/h 49. Un bombdeo uel en picdo m/s y dej ce un bomb desde 8 m de ltu, estndo su poyección hoizontl 6 m del objetio. Con g = S.I., con qué ángulo con especto l hoizontl debe pic? Como s = t cos φ, h = t sen φ + ½ gt, entonces: h s tg g s ( tg ) Intoduciendo dtos y eodenndo téminos: tg tg 899 h ) φ cuy solución meno de 9º es: s esp.: 7º Un ptícul se muee en líne ect con un celeción =. En t = s su posición es en t = s. 64 m y su elocidd 6 m/s. Detemin l posición, elocidd y celeción Como d, dt d dt, e integndo: dt d t k P t =, = 6, entonces k = 4; de donde deducimos que: = (t + ) ds Como (t ), (t ) dt ds, e integndo y teniendo en cuent que p t = l dt 64 posición es s : Y p t = : s (t 5 esp.. s() m, () = 5 m/s, () = m/s 5. Tes tuists tienen que lleg un lug en el plzo de tiempo más coto, contándose el tiempo hst que el último lleg l citdo lug. Andndo cminn 4 km/h, peo disponen de un biciclet con l que dos de ellos pueden i km/h. Deciden que uno de ellos llee oto en l bici hst un punto detemindo del cmino, desde donde el ) Agustín E. González Moles 5

53 segundo continú pie, y el oto uele con l bici ecoge l teceo. Hll l elocidd medi. Sen = 4, =, t el tiempo en biciclet, t el que td el ciclist en ole y t + t el tiempo que están ndndo. El tiempo seá el meno posible cundo todos lleguen en el mismo instnte. L elocidd medi m seá: m (t t ) t t t t y p que l biciclet y el petón coincidn en el punto de ecogid: t t (t t ) de donde deducimos que t =.5 t. E Intoduciendo los dtos l expesión de l elocidd medi: esp.: km/h 5. Tes puntos A, B y C, en el momento inicil, están situdos sobe l mism ect hoizontl. El punto A comienz moese eticlmente hci ib con elocidd constnte, y el punto C, sin elocidd inicil, eticlmente hci bjo con celeción constnte. Si los tes puntos empiezn moese simultánemente, de qué modo debe moese B eticlmente p encontse en todo momento en l ect que une A con C? Como AA' t j; CC' t j ; demás: AA' BB' CC' AO BO OC y poechndo ls popieddes de ls popociones: A peo AA' BB' BB' CC' AO BO BO OC AO BO BO OC A B B AB = BC O C C po tnto, AA ' BB' BB' CC' de donde deducimos que: AA' CC' BB' t t es deci: esp.: B se muee según un M..U.A. cuy elocidd inicil es y cuy celeción es. j Agustín E. González Moles 5

54 5. Cundo un coche que se muee 9 km/h d l uelt un esquin, se encuent con oto que cicul delnte de él en l mism diección y sentido 45 km/h. Si l máxim deceleción que sus fenos pueden popocion es de 6 m/s, ) clcul l distnci mínim ente mbos que impediá el choque si el tiempo de ección del conducto es de.5 segundos. Se = 9 km/h, = 45 km/h y d l distnci de sepción que debe se ecoid po el coche un elocidd inicil elti con un celeción 6 m/s, po tnto: d ( )t t po oto ldo, el coche debe dquii l elocidd del coche en el intelo t; es deci: Despejndo t en est últim expesión y sustituyéndolo en l nteio: t ( ) d Peo, si el conducto del coche td un tiempo t =.5 s en eccion, mients tnto ecoe un distnci ( )t elocidd constnte, de mne que l distnci el mínim que necesit es: ( ) d ( )t' Intoduciendo los dtos: esp.: 9.5 m 54. Un coche posee un celeción máxim, constnte p elociddes lts, y un desceleción máxim. Debe ecoe un distnci cot L, empezndo y finlizndo el tyecto en eposo en un tiempo mínimo T. En qué posición de L debe empez decele, y en qué fcción del tiempo totl debe est decelendo? Como empiez y finliz en eposo: t t, entonces: t t L distnci L seá l ecoid celendo y descelendo: De ls expesiones nteioes deducimos que: L t t L t 4 Empezá decele cundo deje de cele; es deci, cundo hy ecoido un distnci: Diidiendo miembo miembo: d t Agustín E. González Moles 5

55 Si el tiempo totl es T = t + t, como t = t, entonces: esp.: d L de donde deducimos que: T t esp.: t T 55. Po O ps un plno inclindo un ángulo β con l hoizontl. Un poyectil se lnz desde O con un elocidd e impct en un punto A del plno. Detemin el ángulo α de lnzmiento, con especto l hoizontl, p que l distnci OA se mínim. Ls coodends (x, y) de A son: x = t cos α y = t sen α ½ gt Como y = x tg β, sustituyendo x e y deducimos que: t g sen( ) cos expesión en l que hemos tenido en cuent que O α β x A y sen (α β) = sen α cos β cos α sen β Como x = OA cos β entonces: OA g cos sen( ) cos Deindo especto α e igulndo ceo dich deid: sen α sen (α β) + cos α cos (α β) = de donde deducimos que : ctg α = tg (α β) es deci: 9º α = α β esp.: α = 45º + ½ β Agustín E. González Moles 54

56 56. Un coche mch po un cete 5 m/s. En el momento de ps po un cuce pependicul un gmbeo le lnz un pied, en el plno noml l moimiento del coche, con un ángulo de eleción de 45º, desde un ltu de. m. Si el módulo de l elocidd inicil de l pied, elti l coche, es de m/s, clcul: ) l elocidd inicil de l pied elti l cete, y b) lug de l tyectoi donde lcnzá l coche. ) L elocidd inicil de l pied elti l cete es l que tiene con especto l coche (cos 45 j sen 45k) 5 ( j k) más l elocidd del coche: esp.: 5i 5 ( j k) b) Como Z. t sen 45 gt ecución de º gdo en t cuy solución posible es t =.596. Como x = 5 t, y = t cos 45, p t =.596 obtenemos: esp.: 9.9 i. j 5 X 45º O. y x Y 57. Un ptícul, que se bndon en l pte supeio de un plno de m, inclindo º con l hoizontl, desliz sin ozmiento. Simultánemente el plno se muee con un elocidd hoizontl de m/s de fom que l ptícul no se sep del plno. Si g = m/s, clcul: ) l elocidd y celeción bsolut de l ptícul cundo llegue l finl del plno, y b) l tyectoi bsolut de l ptícul en ecuciones pmétics. ) L elocidd bsolut del plno es i, y l celeción de l ptícul, elti l plno,, tiene po módulo g sen θ = sen = 5 y sus componentes ctesins son: 5(cosi sen j) 5 ( i j) L elocidd elti es l integl de l celeción elti; es deci: Y g θ θ X 5t ( i j) pues en t = l elocidd es ceo. L elocidd bsolut es l sum ectoil de l elocidd elti y l que tiene el plno: 5 t 5t i j Agustín E. González Moles 55

57 L ptícul llegá l finl del plno cundo eco sus metos ptiendo del eposo, peo con l celeción elti de 5 m/s : L = ½ t L ; t s 5 P t =, l elocidd bsolut es: esp.: () ( 5 )i 5 j b) x t 5 t dt x esp.: x t 5 4 t t 5t y dt esp.: 5 y t Un nddo es cpz de nd l mitd de l elocidd de l coiente de un ío que quiee tes de mne que l coiente lo ste lo menos posible. ) Con qué ángulo con especto l oill debe nd?, y b) qué distnci se lo lleá l coiente si l nchu del ío es de m? ) Y Ls componentes de l elocidd son: x = cos α y = sen α α D X El tiempo inetido en cuz es: t D y D sen α L distnci es: cosα xt D sen α Efectundo l dei de con especto α e igulándol ceo, esult: cos α = esp.: 6º b) cos α cos 6 D sen α sen 6 esp.: m Agustín E. González Moles 56

58 59. Dos nddoes tienen que tes un ío desde el punto A de un de ls oills hst el B, situdo en l oill opuest enfente l pimeo. Uno de ellos decide tes según l ect AB, peo el oto quiee mntenese en todo momento pependicul l coiente, de mne que l distnci que lo ste l ecoeá ndndo elocidd u. Con qué lo de u lcnzán mbos nddoes el punto B l mismo tiempo si l elocidd l que ndn es de.5 km/h y l de l coiente es km/h? Si l elocidd de l coiente es c, l elocidd bsolut del nddo es: A A c El tiempo que iniete en cuz es: t s s () c c s B B A c L elocidd bsolut del nddo es: c El tiempo que iniete es: s t t AA' t A' B A'B u peo A'B c t AA' c s po tnto: t s cs () u igulndo () y () y despejndo u: c u c c E intoduciendo loes: esp.: u = km/h 6. Un pto olb po un ect hoizontl elocidd constnte u. Un czdo inexpeto le dispó un poyectil elocidd con un diección oientd hci l posición del pto en el instnte de disp. A qué ltu olb el pto si, pes de todo, fue lcnzdo? )θ x u y h Como x ut y tmbién es x = t cos θ, tg θ entonces, igulndo y despejndo t: Agustín E. González Moles 57

59 t h tg θ ( cos θ u) y sustituyendo este lo en: h = t sen θ ½ gt esp.: u h ( cos θ u)tg g θ 6. Desde un ltu H se lnzn dos pelots con l mism elocidd, un hci ib con un ángulo α y ot hci bjo con un ángulo β (mbos especto l hoizontl). Demost que ls dos pelots chocn cont el suelo l mism elocidd. Anlicemos el lnzmiento hci ib. Emplemos un sistem ctesino con el oigen en el suelo. Ls componentes de l elocidd son: x = cos α y = sen α gt El módulo l cuddo de l elocidd totl en cd instnte es: x y cos α ( Peo, l posición l lleg l suelo es: o sen α gt) g t sen α gt = H + t sen α gt Po tnto: gh expesión en l que se peci que el esultdo es independiente del ángulo de lnzmiento. 6. Con qué elocidd mínim debe lnzse un cuepo desde m de ltu p que cig 4 metos de su poyección hoizontl? Emplemos un sistem ctesino con el oigen en el suelo. s = t cos α = H + t sen α gt En l expesión de s despejmos t, lo sustituimos en l segund y deteminmos : gs gs gs cos α(h s tg α) H(cos α ) s sen α cos α H Hcos α s sen α f(α) debe se máxim p que l elocidd se mínim, po eso deimos f(α) especto α e igulmos ceo: df (α) H sen α s cos α dα gs f (α) Agustín E. González Moles 58

60 tg α de donde deducimos que sen α =.8 y cos α =.6. E intoduciendo dtos en: s H 4 gs H Hcos α s sen α esp.: 4 m/s 6. Un punto gi etddmente en un tyectoi cicul de dio de modo que, en todo momento, sus celeciones noml y tngencil tienen el mismo módulo. Si en el instnte inicil su elocidd es, clcul l elocidd en función del ecoido. d Como gi etddmente: t. Si t = n : dt peo es deci o se simplificndo e integndo: d dt d ds dt ds d ds ds dt d ds d s ds esp.: e s 64. Dos citos se mueen siguiendo los ejes X e Y, unidos medinte un b de longitud L. Uno de ellos sube po el eje Y elocidd. Detemin el moimiento del oto. El cito A se desplz elocidd constnte, de mne que: dy y = t dt Además, se cumple l elción pitgóic: A y L B x L y L t x u Agustín E. González Moles 59

61 y deindo x con especto l tiempo obtenemos dx u : dt esp: u t L t 65. Un ehículo, cuys ueds tienen un diámeto de 8 cm y 4 dios, desciende po un pendiente sin ozmiento. El moimiento es egistdo po un cám que tom 4 fotos po segundo. Al poyect l películ se peci que p t = s l elocidd de otción de ls ueds es pentemente nul. Clcul l pendiente. Si n es el númeo de dios, p que l ued pezc inmóil tiene que gi un múltiplo de π en el tiempo T tnscuido ente dos fotos. n π Se k el ángulo gido en T con un celeción ngul α, ptiendo de un elocidd n ngul ω. Entonces: π k n ω T αt Al cbo de t = s más se poduce l inmoilizción pente de l ueds en el siguiente π múltiplo de, el k +. Po tnto: n De ls dos expesiones deducimos que: π ( k ) (ω n αt)t αt π π αtt α n ntt Si el ángulo de inclinción del plno es φ, entonces = g sen φ = α y, demás, si N es el númeo de toms, entonces T, de donde deducimos que: N sen φ πn gnt π esp.: º Un lmbe está dobldo en fom de co de dio. En él se sient, sin ozmiento, un cuent que puede moese lo lgo del lmbe. En el instnte inicil l cuent está en l posición O. Qué elocidd hoizontl es necesio tsmitile l cuent p que l lleg A lcnce el punto B, si el ángulo centl que mide el co AB es α? Se peci en l figu que: AB = ( sen α) Peo AB tmbién es el lcnce de un lnzmiento efectudo desde A con elocidd u y un ángulo de eleción α: A u )α B A α B u u AB sen α g g sen α cos α O Agustín E. González Moles 6

62 Igulndo: u L elocidd con l que debe sli de O es: g cos α u gh u g( cos α) Sustituyendo u : esp.: g cos α cos α 67. Dos móiles A y B están obligdos moese sobe los semiejes OX y OY en busc del oigen de coodends elociddes constntes y espectimente. Inicilmente A se encuentn distnci y B distnci b del oigen. Detemin: ) el moimiento del punto medio P del segmento AB, y b) el instnte en el que l distnci OP es mínim. ) Como x A = ut B P(x,y) y B = b t entonces ls coodends de P son: O u A x = ½ ( ut) y = ½ (b t) Eliminndo t y opendo esult que l tyectoi es l ect de ecución x y b u dx dy L elocidd de P es, (u,), cuyo módulo es constnte de lo u, dt dt po tnto: esp.: Es un M..U. cuy elocidd es u b) f (t) OP x y ( ut) 4 (b t) Deindo f(t) con especto l tiempo, igulndo ceo y despejndo t: esp.: u b t u Agustín E. González Moles 6

63 68. L b G se puede desplz siguiendo un moimiento de ién según el eje Y guid po los cojinetes pefectmente lubicdos C y D, debido un ill AB de 5 metos cuyo extemo A se muee según el eje X cciondo po un émbolo un elocidd constnte de m/s en el sentido positio del eje OX. Clcul l elocidd y celeción de l b G en el instnte en el que el segmento BO mid metos. Se AB = k y c = m/s l elocidd de A. Según se peci en l figu : Y dx c dt dy dt C B y O G x A X Como se h de cumpli l elción pitgóic: D x y k Deindo especto t: dx dy x y dt dt es deci: x c + y = o se x k y c c () y y y cundo y = : y 5 esp.: 4 m/s y P clcul l celeción en () deimos con especto t: d dt d dy dy dt d c dy k y y y y k y c k y y k y c y cundo y = : y 5 esp.: y 5 7 Agustín E. González Moles 6

64 ρ = El coche A gi en un cu de 4 m de dio 48 km/h. En el instnte indicdo en l figu mbos coches están sepdos.48 m y el coche B se muee 7 km/h, peo disminuye su elocidd zón de m/s. Detemin el módulo de l elocidd y l celeción de A obseds desde B. El ecto elocidd de B obsedo desde A, es l opuest l elocidd de A obsed desde B? Clcull. Y Y A A B B X A / B B A X El coche B sólo se tsld, no gi, po lo tnto, el sistem de efeenci situdo en B sólo expeiment un tslción. En l figu de l deech, A es l elocidd bsolut del coche A (cuyo módulo es 48 km/h = 4/ m/s), B es l elocidd bsolut de B (cuyo módulo es 7 km/h = m/s) y A / B el l elocidd de A ist desde B. Se cumple l siguiente elción ectoil: El módulo de A / B es: A / B A B A / B A B 48 7 esp.: A/B = 86.5 km/h L celeción bsolut del móil A es sólo l centípet, cuyo lo es: Como, según los dtos, B A 4 A 6 i i i m/s 4 6 i y se cumple que: A / B A B Entonces: A / B 6 i 6 cuyo módulo es: esp.: A/B = 4. m/s Aho bien, l elocidd de B obsed desde A no es l mism que l opuest l elocidd de A obsed desde B, poque p clcul hy que tene en cuent que el sistem de B / A efeenci situdo en A expeiment un otción. Si entonces: A es l elocidd bsolut de A, Agustín E. González Moles 6

65 A A A x j A j 4 j j 6.6 j 4 Como se cumple l siguiente elción ectoil: B / A B A esp.: B / A i 6.6 j m/s de módulo 9 km/h Agustín E. González Moles 64

66 TEMA III DINÁMICA DE UNA PATÍCULA Intoducción Leyes de Newton El pincipio de eltiidd de Glileo y l ª ley de Newton Cntidd de moimiento o momento linel ª ley de Newton Ms y peso. eposo y equilibio. Impulso mecánico Tece ley de Newton. Acción y ección Cinétic del punto mteil esistenci l deslizmiento Cuepos poydos en supeficies Cuepo poydo en un plno inclindo sometido un fuez de tcción Método p detemin el coeficiente estático de ozmiento Vios cuepos poydos Cuepos enlzdos. Tensión Fuez centípet en el moimiento cuilíneo Fuezs ficticis: Fuez de ineci y centífug Agustín E. González Moles 65

67 . Un cued inelástic, sin peso, sujet dos mss de y kg que cuelgn de sus extemos sobe un pole sin ozmiento. Qué fuez ejece l cued sobe l pole? (g = m/s ) En l pole (supuest idel: sin ms): F T = F En l ms : En l ms : T m g = m S (+) T T T T T m g = m Con ests tes ecuciones obtenemos: 4mm F m m 4 g m g m g esp.: 48 N. Un peso de 7 Kg se encuent sobe un báscul de esote, en un scenso, cm de ltu. Demost que, p g = m/s, l elción ente lo que mc l báscul l subi y l bj con celeción constnte de m/s es /. Depende de l ms? Depende de l ltu? Dibujmos el digm del sólido libe del peso de 7 kg en el que se peci l ección de l báscul. Est ección es, pecismente, l fuez medid po l báscul. Si s es l ección que se poduce subiendo y b es l detectd bjndo: Po tnto scenso s mg = m s s = m(g + s ) b mg = m b b = m(g b ) b mg s S (+) s b s b g s () g b esp.: Como se peci en l expesión (), dich elción es independiente de l ms depositd en l báscul y de l ltu l que se encuente el scenso.. Tenemos un bloque de m kg, situdo metos del cento de un pltfom hoizontl gitoi, que tiene un coeficiente estático de ozmiento μ e. Demost que l máxim Agustín E. González Moles 66

68 elocidd ngul que puede comunicse l pltfom sin que el bloque deslice es g e. L únic fuez que ctú hoizontlmente es l de ozmiento poocndo l existenci de un celeción centípet ω, de mne que: F = mω Como el lo máximo de l fuez de ozmiento es: Entonces, l elocidd ngul máxim es: F = μ e mg F mg ω mx μ e g 4. Un ido se lnz en picdo 98 m/s y temin su descenso descibiendo un co de cicunfeenci en el plno eticl. Si el peso pente es ocho eces el el, cuál es el dio de l tyectoi? N El ido está sentdo en su siento. Su digm del sólido libe es el de l figu, en el que N es l ección del siento. Est ección es l que mide el peso pente del piloto: y con los dtos: mg N mg = m Como N = 8mg, entonces: 7g esp.: 4 m 5. Un cuepo de 64 kg se dej ce en pcíds. Si l fuez ejecid po el pcíds es F = (S.I.). Clcul l elocidd límite en km/h con g = m/s. mg = m L elocidd límite se lcnz cundo l celeción es ceo, po tnto: mg = 8 m/s F = S (+) y en km/h mg esp.: Demost que el lo mínimo de l fuez hoizontl que debe plicse sobe el eje de un ued de dio y ms m, p que sub un esclón de ltu h < es mg cotg α siendo α el ángulo fomdo po l fuez y el dio en el punto de contcto con el esclón. Agustín E. González Moles 67

69 En el instnte en el que despeg del suelo, no existe celeción eticl ni hoizontl: F N cos α = N sen α mg = De ls expesiones nteioes deducimos que: Oto método: F = mg cotg α mg ) N α N A h F L sum de todos los momentos especto l punto A de ls fuezs que ctún sobe l ued debe se ceo en el instnte en el que l ued empiez despegse del suelo. Obséese que l ección N no influye en el cálculo de estos momentos poque está plicd pecismente en el punto A. Si estblecemos que ls fuezs que poocín gios deechs genen momentos positios, entonces: demás entonces: F ( h) mg cos α = h = sen α F = mg cotg α Aquí no hy ección poque está despegd del suelo 7. Colocmos un cued flexible de longitud L sobe un mes de fom que pte de ell cuelg po un extemo. Clcul l máxim longitud de cued que puede colg, sin que se cig, si el coeficiente estático de ozmiento es μ e. Se l cued homogéne de densidd linel ρ. Entonces: Po tnto m m L x ml x L x x oz = μ e m L-x g L-x T T x m x g m m m x x m L x (L x) L L En el tmo que cuelg: m T mxg ; T x L En el tmo poydo en l mes: m T e ml xg ; T e (L x)g L Elimindo T y despejndo x: esp.: e x e L Agustín E. González Moles 68

70 8. Un cisten descg gu 5 litos/segundo sobe un ten ljibe de ms m y olumen V. Clcul l fuez que ejece l locomoto, cundo elocidd constnte de m/s, dunte l cg de gu. F dp dt d(m) dt dm dt m d dt d Como cicul elocidd constnte, entonces: dt dm F dt Como l densidd del gu es g/cm dm 5 kg, 5 litos equilen 5 kg; es deci: ; po dt s tnto: dm F 5 dt esp.: N 9. Se lnz eticlmente hci ib un móil con un elocidd inicil de. Un iento ltel ejece un fuez hoizontl igul l quint pte del peso del móil. A qué distnci del punto de lnzmiento ceá? F = m; mg 5 m g Po tnto l celeción hoizontl es constnte de lo. 5 El tiempo que td en lcnz el punto más lto se clcul en l expesión = gt hciendo =. t g Como el tiempo de uelo t que td en lleg de nueo l suelo es el doble del nteio, l distnci hoizontl ecoid es: x t g 5 g esp.: 5 g. Sobe un plno inclindo α gdos sobe l hoizontl se coloc un cuepo. Clcul l celeción hoizontl que hy que comunic l plno p que el moimiento del cuepo se eticl y en cíd libe. Mients el cuepo bj l distnci y, el plno debe nz l distnci x: y = ½ gt x = ½ t Agustín E. González Moles 69 y x α (

71 Además se debe cumpli l siguiente elción tigonométic: x = y cotg α Con ests tes ecuciones se deduce que: esp.: = g cotg α. Un bloque de ms M descns sobe un supeficie hoizontl. Sobe dicho cuepo se coloc oto de ms m que necesit un fuez hoizontl F p que deslice sobe M estndo éste fijo. Clcul l fuez hoizontl máxim que se puede plic sobe M sin que deslice m. Tods ls supeficies son pefectmente liss. En l fig. (), con M fijo: F = m F F En l fig. (b), considendo l conjunto como un todo que se muee con celeción : () (b) F = (m+m) Diidiendo miembo miembo: esp.: F = M m F m. Un bloque de ms m está encim de oto de ms M que se poy en un suelo hoizontl liso. El coeficiente de ozmiento ente mbos bloques es. Cuál es l fuez hoizontl mínim plicd en el bloque de bjo p que el bloque de ib deslice sobe el infeio? Si es l fuez de ozmiento ente mbs mss, del digm del sólido libe de l ms M deducimos: F = M El mínimo lo de F es el que pemite que M se mue con un MU, po tnto: Peo, en el digm del sólido libe de m: Además Po tnto: F = N mg = = μn esp.: F = mg. Un bloque de kg está encim de oto de 5 kg que se poy en un suelo hoizontl liso. Un fuez hoizontl plicd en el bloque de bjo gene un celeción de.8 m/s l ms de 5 kg. Si l fuez de ozmiento ente mbos bloques es de. N, clcul l fuez plicd y l celeción del bloque supeio. m M mg N F Agustín E. González Moles 7

72 Emplendo los digms del ejecicio nteio: F = M F = M + = esp.: F = 5. N ' = m m. esp.: =.6 m/s 4. Se dejn ce, l ez, desde l mism ltu, dos objetos esféicos del mismo tmño y distint ms. L esistenci del ie es l mism p los dos. Demost que el cuepo de myo ms lleg ntes l suelo. Mg = M M M g M M m mg = m m m g m Mg mg Como M >m M m entonces M > m 5. Un metlldo disp n poyectiles po segundo m/s. L ms del poyectil es m. Cuánto le l fuez medi ejecid sobe el blnco? F m Δp Δt n(m) esp.: nm 6. Un bloque de kg está punto de desliz po un plno ugoso de º. Clcul l fuez mínim necesi, plel l plno, p que empiece subi po él cundo esté inclindo 45º. Si con el plno inclindo º el cuepo está punto de desliz quiee deci que el coeficiente estático de ozmiento es N F μ e = tg º Cundo el ángulo se de 45º, si comienz desliz medinte l fuez F entonces: F mg sen θ = mg θ = 45 siendo = μ e N = μ e mg cos θ po tnto Agustín E. González Moles 7

73 F = mg (tg º cos 45º + sen 45º) esp.: Kp 6 7. Un hombe se encuent sobe un blnz de esote en un scenso que posee un celeción scendente. L blnz mc 96 N. Peo, si coge un ms de kg en sus mss, l blnz indic N. Con g = m/s clcul l celeción del scenso. 96 mg = m (m + ) g = (m + ) esp.: = m/s T = 96 T = mg (m + )g 8. Un cmión que cicul 8 km/h tnspot un cuepo fágil sobe el suelo de su cj con coeficiente estático de ozmiento cj-cuepo.. El conducto quiee detene el cmión sin que el cuepo se deslice. Con g = en el S.I., cuál es l distnci mínim de pd del cmión? En el digm del sólido libe de l ms m que tiene desplzse hci l deech cundo el cmión fen: Además: = m N mg = = μn N m mg cmión S (+) De donde deducimos que l celeción de l fend es: = μg El cmión temin pándose, po tnto, en l expesión deducimos que: 8.6 s μg. s hcemos = y esp.: 5 m 9. Un gón se muee 5 m/s. Un objeto de kg cuelg del techo po un cued sin peso, qué ángulo fom l cued con l eticl? (g = en el S.I.) T sen θ = m T cos θ θ T sen θ T cos θ mg = mg Agustín E. González Moles 7

74 De donde deducimos que: tgθ g 5 esp.: θ = 6.56º. Un eole disp un poyectil de 5 gmos m/s sobe un ped homogéne, que le ofece un esistenci constnte l penetción de 6 N. Cuánto tiempo tdá en detenese? F Δt = m Δ 6 Δt = 5 - ( ) esp.: Δt =.5 s. Un coche de 5 kg desciende un pendiente del 5% sin que funcione el moto. El conjunto de ls esistencis que se oponen l moimiento iene ddo po l expesión.6 en el SI, siendo l elocidd. Clcul l elocidd límite lcnzd. L elocidd límite se lcnz cundo l celeción en l diección del plno es nul: mg sen θ = mg sen θ.6 = mg sen θ θ mgsenθ mg esp.: 5 m/s. L fuez de los gses que impulsn un poyectil de gmos cundo se disp iene dd po l expesión 8 4 t (S.I.). Td en sli po l boc del fusil. s. Clcul su elocidd l finl del ánim. F dt = m d t Fdt md Intoduciendo los dtos:. ( 8 4 t)dt m esp.: 5 m/s. Un b homogéne de longitud L se muee sobe un supeficie hoizontl sin ozmiento debido un fuez F que ti de ell en l diección de l supeficie. Clcul el lo de l fuez que un pte de l b de longitud x ejece sobe l ot. Aplicndo l segund ley de Newton l tmo de longitud L x: F L m Y l tmo x: F T = m F m m T T L x x Agustín E. González Moles 7

75 T = m Como l densidd linel λ es constnte: siendo m = m + m. m m L x x λ Con ests tes ecuciones deducimos que T (l fuez que ejece m sobe m y icees) es: x esp.: T F L 4. Un ión se desplz m/s en un M..U. En un detemindo instnte disp un misil de kg de peso con l ley de empuje T de l figu. Si l ms del misil se educe desde sus kg iniciles hst 5 kg dunte l fse en l que existe empuje y l ición tempol de l ms es igul m T, clcul el lo de l constnte. Clcul l elocidd del misil los 8 segundos de uelo y el espcio ecoido po el misil los 4 segundos de uelo. m L T(N) Según l gáfic, el empuje es: 7 t(s) T = p t T = 4 t p < t 7 Como dm = T; po tnto: dm = T dt dt m (t) dm Tdt dt m (t) = t m () = Como p t = 7 l ms debe se 5 kg, deteminmos el lo de : 5 (4 m () 7 dm t)dt esp.: = 9 L ley de ición de l ms p el intelo [,] es: El lo de m () es: t m (t) [,] 9 m () = 7 Kg 9 Clculemos l ley de ición de l ms p el intelo (,7]: m (t) dm (4 7 9 t 9 t)dt Agustín E. González Moles 74

76 El lo de m (7) es: m (t) = (t 4t 94) 9 (,7] Y el lo de l ms en el intelo (7, ) es: Además sbemos que: Como F = dp dt d(m) dt m (7) = 5 Kg m (t) = 5 (7, ) dm T = dt 9 d m(t) dt dm dt m(t) d dt T 9 En l diección de l populsión F = T: T = m(t) d dt T 9 Sepndo ibles: T dt m(t) 9 d () 9 Integndo () ente t = y t = t : t dt m (t) (t) 9 d 9 (t) = 9 9 t [,] donde clculmos (): () = 6 m/s 7 Integndo l expesión () ente t = y t = t 7: t 4 t dt m (t) (t) d 9 (t) = 9 9 m (t) (,7] En l expesión nteio, clculmos l elocidd del misil en t = 7 s, poque en t = 8 s tiene l mism, y que h cesdo el empuje: Agustín E. González Moles 75

77 (8) = (7) = esp.: (8) = m/s P detemin el espcio ecoido po el misil en los pimeos 4 segundos, debemos efectu el cálculo en dos ptes: ente t = y t =, y ente t = y t = 4: Espcio ecoido ente t = y t = : s = Espcio ecoido ente t = y t = 4: (t) dt = 99 ln (9/7) 8 m 4 s 4 = (t) dt = 66 5 ctg 5 8 m El espcio totl ecoido seá l sum de los dos clculdos s = s + s 4 : esp.: s = 4.66 m Método simplificdo: Supongmos que l ms del misil pemnece constnte e igul Kg: d F = m : dt d T = dt Tdt = d () Integndo () ente t = y t = t : t dt (t) d (t) = + t [,] donde clculmos (): () = 4 m/s Integndo () ente t = y t = t 7: t ( 4 t)dt (t) 4 d (t) = ( t + 4t +6) (,7] En l expesión nteio, clculmos l elocidd del misil en t = 7 s, poque en t = 8 s tiene l mism, y que h cesdo el empuje: (8) = (7) = 65 esp.: (8) = 65 m/s P detemin el espcio ecoido po el misil en los pimeos 4 segundos, debemos efectu el cálculo en dos ptes: ente t = y t =, y ente t = y t = 4: Espcio ecoido ente t = y t = : Agustín E. González Moles 76

78 Espcio ecoido ente t = y t = 4: s = 4 s 4 = (t) dt (t) dt = = 6 m 9 m El espcio totl ecoido seá l sum de los dos clculdos s = s + s 4 : esp.: s = 57. m 5. Un mes hoizontl de 8 cm de ltu está fij un gón de feocil en eposo. Se coloc sobe ell un bol. El gón, de 4 tonelds, se pone en mch y l bol ce l piso del mismo un distnci de 6 cm de l poyección del bode de l mes, sobe l que l bol h ecoido meto ntes de ce. Despecindo el ozmiento y suponiendo que el nque del gón se h elizdo con celeción constnte, detemin l fuez de tcción plicd l gón. L celeción de l bol es l mism l que está sometid el gón, peo de sentido contio. Como l bol pte del eposo y ecoe s = m, l elocidd que tiene en el bode de l mes con especto l gón es: s s h Como d h = ½ gt t = h g Sustituyendo y t en d = t + ½ t y llmndo h x () g obtenemos: x sx d ecución de segundo gdo cuy solución posible es: x s d s De (): gx h g h s d s Agustín E. González Moles 77

79 Y plicndo l ª ley de Newton l gón: 9.8 F = M = esp.: F = 48.7 N 6. Se dej ce un cj sobe un cint tnspotdo que se muee m/s. Si l cj está inicilmente en eposo y el coeficiente de ozmiento es /, cuánto tiempo tnscuiá hst que deje de desliz? Inicilmente l cj dquiee l elocidd de l cint, entonces ctú l fuez de ozmiento hst que se detiene l cj (especto l cint tnspotdo): ΣF x = m = m N S (+) = μn = μ mg Con ls expesiones nteioes deducimos que: mg Como = + t: μg ( ) t 9.8 esp.:.98 s 7. Sobe un plno hoizontl con coeficiente de ozmiento se encuentn dos cuepos A y B, sepdos L metos, que pueden desliz. El cuepo B, de ms l mitd que l de A, tiene un cetel donde se enollndo un cued que ti de A con celeción constnte. Al cbo de cuánto tiempo los cuepos chocn? N A L N B S (+) T T A B m A g A = B m B g Cuepo A Cuepo B Eje X: T A = m A B T = m B ( B ) Eje Y: N A = m A g N B = m B g A = μn A B = μn B Teniendo en cuent que m B = ½ m A, con ls ecuciones nteioes obtenemos: B = ( + μg) L celeción elti con l que se cecn los dos cuepos es: B μg μg L distnci L se ecoe en un tiempo t tl que L = ½ t. Es deci: Agustín E. González Moles 78

80 t L esp.: t L μg 8. Un bloque de kg descns sobe un plno liso de º que puede gi lededo del eje indicdo. L longitud L es m. Cuál es l tensión de l cued cundo l elocidd ngul del bloque y el plno es PM? Qué hí que el cuepo estuiese justo en contcto con el plno? Cuál es l tensión de l cued en ests condiciones? Del digm del sólido libe se despende que: L N (+) x T T mg sen α = m x O α Q L celeción centípet es ω OQ, peo OQ = L cos α. Y l componente x de dich celeción es x = cos α; po tnto: T mg sen α = m ω L cos α () α ω α mg y ω Con los dtos obtenemos: esp.: T = N Po oto ldo: N mg cos α = m y Sustituyendo y = sen α = ω L cos α sen α, y teniendo en cuent que si el cuepo no está en contcto con el plno entonces N =, obtenemos: ω g L sen α esp.: ω =. d/s En ests condiciones, l nue tensión se clcul sustituyendo ω en (): T = 96 N 9. Se dese subi un cj lo lgo de un pendiente con moimiento unifome. P ello se ti de un cued que lle td. Qué ángulo debe fom l cued con l pendiente p que l fuez que hy que eliz se mínim? =.. Como el moimiento es ectilíneo y unifome, l celeción es ceo. Po tnto: En el eje pependicul: F cos β mg sen α = (+) N F β Además: N + F sen β mg cos β = α α mg = μn Agustín E. González Moles 79

81 Con ests ecuciones deducimos: k F siendo k = mg (sen α + μ cos α) cos β μ sen β Deindo con especto β e igulndo ceo: es deci: df dβ k( sen β μ cos β) (cos β μ sen β) tg β = μ con μ =. Not: Obséese que el esultdo no depende del lo de m ni de α. esp.: β = 5º Sobe el bloque A de ms M que puede desliz po un plno inclindo gdos con l hoizontl, se poy el bloque B de ms m < M que puede desliz su ez sobe quél. Ambos cuepos están unidos po un hilo idel. El coeficiente de ozmiento es k en tods ls supeficies. ) Hll el lo mínimo de en función de M, m y k p que el sistem inicie el moimiento. b) Si k =. hll l elción M/m p que el moimiento comience cundo = 45º. ) En el momento de inici el moimiento l celeción según l diección del plno es nul. Cuepo A B + T + Mg sen α = N Mg cos α N B = Cuepo B S (+) Además: T B mg sen α = N B mg cos α = B A N B T N N B B T B = kn B = kn Con ests seis ecuciones obtenemos: α B mg α Mg M m tg α k M m po tnto b) P k =. y α = 45: esp.: M m α ctg k M m Agustín E. González Moles 8

82 M m M m M m. M m m M esp.: m. Colocmos un objeto sobe un plno cuy inclinción mos umentndo gdulmente. Cundo el ángulo de inclinción es de 5º comienz moese y obsemos que ecoe 8 cm en.4 s. Clcul los coeficientes estático y dinámico de ozmiento. El coeficiente estático de ozmiento es l tngente tigonométic del ángulo de inclinción θ que pooc que el cuepo comience desliz. μ e = tg θ esp.: μ e =.466 L celeción del cuepo se clcul con l expesión: s = ½ t s.8 t.4 Y cundo está en moimiento: mg sen θ μ mg cos θ = m po tnto: gsenθ μ g cos θ esp.: μ =.74. Cuál es el coeficiente de ozmiento ente el suelo y un cj de N, si l fuez mínim necesi p moel es de 6 N? L fuez mínim F seá quell que consig que l cj se pong en moimiento. En ese instnte l celeción hoizontl es nul. F cos α = N ) α F N + F sen α P = P = μ N De ests tes ecuciones deducimos que: μp F () cos α μ sen α Como el numedo es constnte, bst hce mínimo el denomindo f (α) = cos α + μ sen α. Deindo f (α) con especto α e igulndo ceo obtenemos: es deci df (α) sen α + μ cos α = dα Agustín E. González Moles 8

83 μ tg α emplendo en () ls identiddes tigonométics cos α, tg α despejndo μ: sen α tg α tg α y μ P F F 6 6 esp.: μ =.75. El co de ms M = kg desliz sobe el cil C ( =.5). Del co cuelgn tes poles de peso despecible tés de ls que lboe un cued idel. Si M = kg, M = kg, clcul: ) L fuez que es necesio plic l co p mntene l elocidd constnte de m/s; b) el tiempo que td M en ecoe un longitud eticl de m si pte del eposo. (g = m/s ). ) Como l elocidd es constnte, l celeción de M es nul. C M En l ms M : M M En cd pole A: En l pole B: F = N T M g = = μn T T = T T = m B B peo l ms de l pole es despecible: En cd ms M: En l ms M : T T = T Mg = M M Mg T T A M g N A T T T T T T T T T T T T B M g M Mg F S (+) M T M g = M Y teniendo en cuent que celeción y l fuez F: M, con ls ecuciones nteioes podemos clcul l M M 8MM g M M F μg M M M Intoduciendo dtos: esp.: F = 86.6 N b) Agustín E. González Moles 8

84 h = ½ t t h esp.: t =. s 4. En el sistem de l figu m = kg, m = kg, l constnte del esote es k = 5 N/m y su longitud ntul L = cm. Detemin l longitud L del esote cundo el sistem se pone en moimiento. L pole es de ms despecible y ls cueds son ideles: T m g = m T m g = m ( ) m m Ls ecuciones nteioes pemiten clcul T: gmm T m m L tensión T es l que defom el esote según l ley de Hooke: T = k Δy T T Como T 4gmm Δy k k(m m ) T T T T S (+) L L Δy. 5( ) m g m g esp.: L =.566 m 5. Ente dos puntos A y B, en el cento, hy un punto móil inicilmente en eposo. A y B pemnecen fijos. El móil es tído po A y B con un fuez popocionl ls distncis espectis. k A y k B son ls constntes de popocionlidd. Hll l elción k B /k A suponiendo que el móil efectú su inesión del moimiento en B. A AB = L x B ΣF = m : k B L x k A L x d m dt Peo d dt dx d dt dx d dx po tnto: k B L x k A L x m d dx Agustín E. González Moles 8

85 Sepndo ibles e integndo: L k B x k k B L A xdx L x x k A L x x P x = l elocidd es ceo, po tnto cte =. Y p (debido l inesión del moimiento), entonces: k B k A d m cte L x l elocidd tmbién se nul es deci: k esp.: B k A 6. Un b AB homogéne, de longitud L y peso P, se poy en el suelo po su extemo A y tmbién en M sobe un disco de peso P y dio. El B coeficiente de ozmiento del disco con el suelo es. El de l b con el suelo. El de l b con el disco. Clcul: M ) ls ecciones en A, C y M, y b) ls condiciones que deben cumpli,, p que exist equilibio. ) A C En l figu se pesent el digm del sólido libe de l b. Como tods ls piezs están en equilibio, l celeción es nul, po tnto: N B + cos α + N sen α P sen α = () N sen α + N cos α P cos α = () L sum de todos los momentos especto culquie punto es ceo. Tomndo momentos especto l punto A: α A N α M P (+) S N P α α N C Fig. (P cos α) L AM N = Fig. Peo en l fig. M po tnto: = AM tg ½ α esp.: PL α N cos α tg A ) α O C Fig. α T En el disco, figu : N sen α cos α P sen α = () N cos α N + sen α P cos α = (4) L sum de los momentos de ls fuezs especto l punto C debe se ceo (e tmbién fig. ): Agustín E. González Moles 84

86 N CT ( + OT) = Peo CT = sen α y OT = cos α; po tnto: Con N y en (), (), () y (4) clculmos el esto de ls ecciones: esp.: sen α N cosα esp.: = = ; N = N P ; N = P N b) Ls condiciones de equilibio que se deben cumpli son: esp.: μn ; μn ; μn 7. Los goznes A y B de un puet, de.5 m de nchu y 4 kp de peso, distn ente sí metos. El peso es sopotdo en sus ⅔ ptes po el gozne supeio. Clcul ls fuezs que ejecen los goznes sobe l puet. F y A F y F x Como l puet no se muee, se tt de un situción estátic en l que no hy celeciones de ningún tipo. L sum de fuezs en el eje eticl es: F x P.5 (+) S Como F y + F y P = F y = ⅔ P entonces F y = ⅓ P L sum de fuezs en el eje hoizontl es: F x + F x = () Obséese que emplendo exclusimente ls dos ecuciones nteioes no es posible detemin ls componentes hoizontles de ls ecciones. Peo, como l sum de los momentos de tods ls fuezs especto culquie punto debe se ceo, tomndo momentos especto l punto A: de donde deducimos que y con ():.5 F x P F x = ¼ P F x = ¼ P El signo ( ) de F x indic que el sentido de dich fuez es el contio l epesentdo en el digm del sólido libe. Agustín E. González Moles 85

87 Po tnto, ls ecciones son: 4 i j 4 F F 4 i j 4 cuyos módulos son: esp.: F = 7 kp; F = 5 kp 8. Un escle de peso P y longitud L se poy en A sobe el suelo y en B sobe un ped eticl. Un hombe de peso P sube po l escle hst un posición H tl que AH =. Los coeficientes de ozmiento con el suelo y con l ped son y. Hll: ) el lo máximo del ángulo que fom l ped con l escle sin que esble; b) dicho ángulo si el hombe sube hst el extemo B. B H A α N (+) ) Como l escle no se muee,, se tt de un situción estátic en l que no hy celeciones de ningún tipo. P L sum de fuezs en el eje eticl es: P N + N P P = L sum de fuezs hoizontles es: N = El lo máximo de α seá el que pemit que el ozmiento en B y en A se el máximo posible; es deci: = μ N = μ N Como no tenemos todí ecuciones suficientes, tenemos en cuent que el momento de tods ls fuezs con especto l punto A debe se ceo: P sen α + P L sen α N L cos α + L sen α = Con ls cinco ecuciones nteioes podemos detemin el ángulo α tés de su tngente: esp.: Lμ(P P ) tg α (LP P )( μ μ ) Lμ μ (P P ) b) Si = L: esp.: μ(p P ) tg α P ( μ μ )P 9. Engnchmos un ptícul de kg un esote espil (k = Kp/cm) de ms despecible cuy longitud ntul es 48 cm. Hcemos gi l conjunto como un péndulo Agustín E. González Moles 86

88 cónico 6 pm. Clcul: ) El lgmiento del esote; b) el ángulo que fom l ltu del cono con l genetiz. En el digm del sólido libe de l ptícul, l componente T sen θ es l que pooc l celeción centípet: T sen θ = m ω () L ΔL T T θ Además: T cos θ = mg () Diidiendo miembo miembo () y (), y teniendo en cuent que sen θ : L ΔL mg g L ΔL () ω cos θ En el esote, según l ley de Hooke, l defomción poducid es diectmente popocionl l mg fuez T que ctú T = k ΔL, y según () T, po tnto: cos θ cos θ mg kδl Con los dtos: esp.: θ = 6º pox. Po último, sustituyendo en () y despejndo: mω L ΔL k mω de donde se deduce: esp.: cm 4. Un cj pismátic de cm de nchu, l que le flt l bse infeio, contiene dos cilindos igules de 6 cm de dio y.5 kg, que se poyn ente sí y cont ls pedes de l cj. L longitud de l cj es l mism que l de los cilindos. Clcul el peso mínimo de l cj p que no se olted po el peso de los cilindos. P N Q N N O P N h A Ls dos esfes islds l ez L cj isld + S = cm = 6 cm P =.5 kg Supongmos que ls esfes son completmente liss, de mne que ls ecciones en los poyos y en su punto de contcto mutuo sen pependicules ls supeficies. Además, se tt Agustín E. González Moles 87

89 de un poblems estático (sin celeciones). Po tnto, en el digm del sólido libe de ls dos esfes junts, en el eje X: N = N () L sum de los momentos de ls fuezs con especto O debe se ceo: En el digm de l cj de peso Q: P( ) N (h ) = () N h Q N = () De (), () y () deducimos que, p que exist equilibio, el peso mínimo de l cj debe se: Q P Con los dtos: esp.: Q = ⅔ kg 4. En un o cicul hy un nill A que puede esbl sobe él sin ozmiento y de l que pende un peso P. L nill está unid un hilo idel que ps po un eje noml l o en B, de cuyo extemo cuelg oto peso Q. El ángulo AOM es 6º y el MOB es º cundo el sistem está en equilibio. Clcul, en ests condiciones, l zón P/Q. En el digm del sólido libe de l nill, l ección es dil (diigid según l diección OA) poque no hy ozmiento. M B En equilibio no hy celeción y l sum de tods ls componentes de ls fuezs según el eje X debe se ceo: P sen α + T cos (9 γ) = A P O Q Peo en el digm del sólido libe de l ms Q se peci que: Po oto ldo: T = Q X (+) γ T = Q γ B T es deci: α + β + γ = 8 9 γ = ½ (α + β) α P α O β Q po tnto: P Q α β cos sen α cos 45 sen 6 esp.: P Q Agustín E. González Moles 88

90 4. Un hilo, de ms despecible, sujeto en O, tiene un nill C que puede esbl lo lgo de l ill AB que fom con l hoizontl un ángulo = 6º. Del extemo del hilo cuelg un peso P. L distnci OA es meto. Clcul AC de mne que l nill esté en equilibio. En l figu infeio está dibujdo el digm del sólido libe de l nill C. L sum de fuezs según l diección de l b AB debe se ceo poque el sistem está en equilibio: P sen α + P cos γ = () C α A O En el tiángulo ACO se cumple que: α = γ + θ B po tnto: AC AO sen θ sen γ (+) C α γ A P θ O sen(α γ) AC AO sen γ peo, en () sen α = cos γ; es deci: B α P γ = 9 α y α γ = α (9 α) = α 9 po tnto sen(α 9) sen( 9) AC AO cos α cos 6 esp.: AC = m 4. Al extemo de un cued flexible, homogéne, de sección constnte y densidd linel ρ, que se encuent totlmente pild en el suelo, le plicmos un fuez ible cpz de elel con elocidd constnte. Clcul dich fuez en función de l ltu L del extemo sobe el suelo. Dibujmos el digm del sólido libe del tmo L de cued que no está poyd en el suelo, teniendo pesente que en el extemo A l tensión de l cued es despecible. Además, con l densidd linel sbemos que m = ρl; po tnto: dp d(m) d(ρl) F ρ dt dt dt dl dt F (+) L mg F A l ho de dei hemos tenido en cuent que l elocidd es constnte. Po oto ldo, A dl dt y Agustín E. González Moles 89

91 F F mg F ρlg po tnto: F ρlg = ρ es deci: esp.: F = ρ (Lg + ) 44. Detemin l tensión T del cble que se indic en l combinción de poles que sopot el peso P. Suponemos que tnto ls poles como ls cueds son ideles (sin ms). Del digm del sólido libe de peso P se despende que: T T T T 4T T T T Es deci: P = 4T + T + T esp.: P T 7 4T 4T T T T T T T T P P 45. Se lnz eticlmente hci ib un objeto de ms m. L esistenci del ie es constnte, de lo. Demost que, si t b es el tiempo que está bjndo y t s el que está subiendo, se cumple l elción t t b s mg mg de l que se deduce que el tiempo de bjd es myo que el de subid. Subiendo Bjndo s mg mg b S( ) f Subiendo: Bjndo: F m s mg m s g m F m b mg mb s Llmndo k : m b g m Agustín E. González Moles 9

92 s g k g k Aplicndo l ecución b t del MUA: Subiendo: Bjndo: = (g + k)t s f = (g k)t b ts () t b () g k g k Enegéticmente, p lcnz un ltu h o cyendo desde dich ltu: Subiendo: m h mgh Bjndo: mgh h m f de donde deducimos que: es deci: f 4 m h f 4kh Además, plicndo l ecución t t del MUA subiendo: h t o s (g k) t s po tnto: Diidiendo po f 4kots (g k) t, sustituyendo t s de () y extyendo l íz cudd: s f g k () g k Peo, diidiendo () ente (): t t b s f g k g k y sustituyendo () y k, obtenemos: m esp.: t t b s mg mg 46. Un utomóil de 45 kg pte del eposo sobe un pist hoizontl. Suponiendo que l esistenci l nce es de 5 kp, clcul: ) l celeción necesi p lcnz km/h en 8 m. En el instnte en el que se lcnz es elocidd se desconect el moto de Agustín E. González Moles 9

93 l tnsmisión, b) detemin l distnci ecoid ntes de pse, y c) el tiempo que td en hcelo. ) Como pte del eposo, = s, po tnto: 6 s 8 esp.: =.694 m/s b) ' F m 5 kp 45 kg N. 45 kg con est celeción ecoeá hst detenese un distnci: c) 6 s. esp.: m L distnci nteio se ecoe en un tiempo: 6 t. esp:.6 s 47. Un punto móil de ms m es tído po oto fijo de ms M con un fuez popocionl m y M e inesmente popocionl l cubo de l distnci que los sep, con un constnte de tcción de lo k. Detemin el tiempo que iniete m en lleg hst M si, ptiendo del eposo, L es l sepción inicil. Cundo m se encuent en l posición indicd, el módulo de l fuez de tcción es: mm F k x x (+) m m M F L Aplicndo l ms m l ª ley de Newton F = m, teniendo en cuent el sistem de efeenci indicdo en l figu: deducimos que: peo mm k x d dt k d m dt M x Agustín E. González Moles 9

94 d dt dx d dt dx de mne que, odenndo téminos e integndo: x d L d dx M k dx x L x km L x P detemin l elocidd elegimos l solución negti pues, según el S, ese es el signo popido. dx dt km L x Lx eodenndo e integndo: km t dt d Lx L x dx de donde esult : esp.: t L km Agustín E. González Moles 9

95 TEMA IV DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PATÍCULAS Intoducción los sistems de ptículs Sistem de ptículs. Sistems discetos y continuos Fuezs intens y extens Conseción de l cntidd de moimiento en sistems isldos Intección ente sistems Cento de mss. Cento de gedd Popieddes del cento de mss Cento de gedd Sistem de efeenci situdo en el cdm Momento ngul de un ptícul Teoem del momento ngul de un ptícul Conseción del momento ngul de un ptícul Fuezs centles Teoem de ls áes Impulso ngul Momento ngul de un sistem de ptículs Conseción del momento ngul de un sistem de ptículs Momento ngul especto l cdm Agustín E. González Moles 94

96 . Un poyectil de ms m, lnzdo con un elocidd 4i k, cundo se encuent en el punto más lto de su tyectoi, hce explosión y se pte en dos pedzos, uno de ellos de ms m. Si el tozo myo lle un elocidd 8 i inmeditmente después de l explosión, cuál es l elocidd del meno? En el punto más lto de l tyectoi sólo tiene l componente hoizontl de l elocidd. Aplicndo el pincipio de conseción de l cntidd de moimiento inmeditmente ntes y después de l explosión: m 4i m 8i m esp: ( 4,,). Se disp un gnd 6 m/s con 45º de eleción especto l plno hoizontl. Al lleg l punto más lto explot en dos fgmentos de igul ms, uno ce eticlmente l suelo con elocidd inicil nul, si el lo de g es m/s, qué distnci del punto de lnzmiento ce el oto? El cdm se desplz siguiendo l tyectoi peist unque se poduzc l explosión, y que ls fuezs intens no l petubn. Po lo tnto el lcnce es: x cdm 6 sen α g sen 9 6 Si l ms de l gnd es m, l de cd tozo es ½ m. Además, l coodend x del tozo que ce eticlmente es ½ x cdm. Como: x cdm mx mx m ; 6 m 6 m m x Despejndo x : esp: 54 m. Sobe ls gus tnquils de un lgo flot un tbl de kg y meto de longitud. En uno de sus extemos hy un gto de 5 kg que se muee hst el oto extemo. Cuánto nz el niml especto l gu? S Al comienzo L Al finl x Se m l ms del gto y M l de l tbl de longitud L. L coodend x G del cdm del conjunto fomdo po el gto y l tbl es: x G mxg Mx t m M De mne que l comienzo, con el gto en el extemo izquiedo: x G Cundo el gto se muee hci l deech, l tbl lo hce hci l izquied, sí l finl : Agustín E. González Moles 95

97 x Gf 5 x (x.5) 5 Teniendo en cuent que l esultnte de tods ls fuezs extens pooc l ición de l cntidd de moimiento del cdm: dp Fext dt Peo, en este cso sólo ctún fuezs intens, po lo tnto p G es constnte. Como l elocidd inicil del cdm es ceo y l ms no í, l elocidd del cdm debe se ceo en todo instnte. Como G Entonces x t x x t G Gf G G x Gf = x G Igulndo ests expesiones deducimos x: esp.: x = 8 cm 4. Un cuepo de. Kg sigue un tyectoi cuyo ecto de posición es (t, t, ) y oto de ms doble sigue l tyectoi indicd po 8i tj 4t k. Cuál es l elocidd del cdm en el instnte t = s? d d (,6t,) (,,8t) dt dt Y p t = : cdm m m m m.(,6t,).4(,,8t)..4 cuyo módulo es: (,,6) cdm esp: Un ptícul de kg se muee con un elocidd de j m/s en el plno XY lo lgo de l ect x = 5. Hll el momento cinético especto l oigen. 5 y L O 5i yj i x m m x 5 j y k esp: k 6. Un niño de 5 kg está en eposo sobe un tbl hoizontl lis. Lnz un pied de kg con 6º de eleción m/s. Clcul l elocidd con l que etocede el niño. Agustín E. González Moles 96

98 L cntidd de moimiento del sistem debe consese. Como ntes del lnzmiento es ceo: 5 (cos 6 i sen 6 j) De donde deducimos que: (i j) Po tnto, l elocidd del desplzmiento hoizontl del niño es: esp: m/s 7. Un gón de ms M se desliz sin ozmiento po un í hoizontl. Cundo l elocidd del ten es V, un hombe de ms m se pone coe hci l pte tse del gón hst que dquiee un elocidd con especto l gón. En ese peciso momento se ti del ten. A qué elocidd cicul el ten cundo el hombe lo bndon? Inicilmente l elocidd del hombe con especto l gón es ceo; po tnto, l cntidd de moimiento del sistem fomdo po el gón y el hombe es: (M + m) V Cundo el hombe lcnz l pte tse elocidd especto l gón, si l elocidd del gón en ese instnte es V, l elocidd bsolut del hombe es V ; y l cntidd de moimiento del sistem es: MV + m(v ) Como no existen fuezs extens, igulmos mbs expesiones y deducimos: esp: V = m V M m 8. Un peson de 75 kg se encuent en eposo sobe un bote de 5 kg que flot en un lgo en clm. Inicilmente l peson está m de l oill, mients que el cdm del bote está 5 m. A qué distnci de l oill está l peson cundo se hy desplzdo m sobe el bote en busc de l oill? Como no existen fuezs extens l sistem fomdo po el bote y l peson, l posición del cdm pemnece inible: x cdm de donde deducimos: x 5(x 5) x x + 5 esp.:.5 m 9. Un hombe de ms m slt desde un lnch de ms M l oill de un lgo, impulsándose un elocidd. L lnch etocede, peo debe ence un esistenci del gu = kv, donde k es constnte y V es l elocidd ible de l lnch. Clcul: ) l elocidd inicil de l lnch; b) el impulso del hombe; c) l elocidd de l lnch en función del tiempo. (+) V ) L cntidd de moimiento inicil es ceo. Como se conse en el instnte nteio y posteio l slto: m + MV = Agustín E. González Moles 97

99 b) esp.: m V M I = F t = m = m( ) esp.: I = m c) ΣF = m: kv dv = M dt t k V dv dt M V V (+) = kv V esp.: V V k M t. Dos cnos de ms M negn plelmente elociddes igules, l un l encuento de l ot. Cundo se hyn l mism ltu, de un cno se lnz un cg de ms m hci l ot, después de l segund cno se lnz l pime un cg de l mism ms. A continución se lnzn simultánemente ls misms cgs. En qué cso l elocidd de ls cnos seá myo? M+m A B (+) M+m Pime cso: L cno A ecibe l ms m con elocidd ( ). L cntidd de moimiento del sistem fomdo po es ms m y l cno A, ntes de que m cig en A, es: (M + m) m. Cundo m ce en A, l cntidd de moimiento del conjunto es A y m es: (M + m). Como no hn ctudo fuezs extens: (M + m) m = (M + m) de donde dedicimos: M ' () M m Desde l cno B, que tení un cntidd de moimiento (M + m), se h lnzdo m elocidd m. L cno B se qued sin m elocidd : (M + m) = M m = () Aho, B ecibe un ms m desde A, peo con elocidd, y lcnzá l elocidd B : m M = (m + M) B Sustituyendo () y (): B M M m Po último, A lnzó m l elocidd : (M + m) = M A + m Agustín E. González Moles 98

100 de donde deducimos que: A = B Segundo cso: Lnzmiento desde A: (M + m) = M + m Lnzmiento desde B: Con ests dos expesiones obtenemos: Llegd de m de B hst A: Y nálogmente deducimos que: (M + m) = M m = = M m = (M + m), A M m M m, A Compndo obsemos que:, B, A, A A Po tno, l elocidd de ls cnos seá myo esp.: Cundo el lnzmiento no es simultáneo. Un ecipiente se tonelds se está moiendo m/s. Está lloiendo y ls gots cen eticlmente en su inteio. Un ez que h ecogido tonelds de gu, cuál es l elocidd del ecipiente? Debe consese l cntidd de moimiento hoizontl del sistem fomdo po el ecipiente y ls gots: = ( + ) esp.: = m/s. Un hombe de 8 kg está montdo en un cillo de 4 kg que se muee sobe el suelo hoizontl m/s. Slt fue del cillo de modo que su elocidd con especto l suelo es de m/s en sentido opuesto l moimiento del cillo. Clcul: ) l elocidd del cdm del sistem ntes y después de que slte; b) l elocidd del cillo después de slt; c) l elocidd del cdm después de que el hombe llegue l suelo y quede en eposo; d) l fuez esponsble de l ición de l elocidd del cdm, si td un décim de segundo en slt. ) L elocidd del cdm justo ntes y después del slto es l mism: Agustín E. González Moles 99

101 cdm m MV 4 8 m M 4 8 esp.: cdm = m/s b) cdm de donde deducimos: esp.: = 8 m/s c), cdm esp.: 8, cdm m/s d) L fuez exten esponsble de l ición de l elocidd del cdm es el ozmiento. Si td. s en slt: Δp Δt cdm, cdm (m M)( Δt cdm 8 (4 8) ). esp.:8 N. Un globo de kg, estcionio, lle colgndo un escl con un joen en ell de 8 kg. El joen empiez subi po l escl 5 m/s especto l globo. Con qué elocidd bj el globo especto l suelo? L cntidd de moimiento inicil es ceo y debe consese. Si l elocidd de bjd del globo es y l considemos negti, l elocidd bsolut de subid del joen es 5 : = + 8 (5 ) esp.: m/s 4. Un gón de 4 kg, cío, con un cpcidd de.5 m, se muee hoizontlmente km/h, sin ozmiento. Su pltfom inteio tiene un supeficie de m y lle descubiet l c supeio. Empiez lloe zón de un mililito po centímeto cuddo, cd segundo. Clcul l ecución de l elocidd en función del tiempo desde que comenzó lloe y l elocidd del gón cundo se hy llendo de gu. Se m = 4 kg, = km/h, Q = ml/cm s el cudl po unidd de supeficie, S = m, l densisdd del gu ρ = g/cm, l ms de gu m y V su olumen. Si el tiempo que está lloiendo es t, entonces: m = ρv=ρqst L cntidd de moimiento hoizontl del sistem gón llui pemnece constnte. Antes de lloe es m, y mients lluee es (m+m ) : Sustituyendo m y despejndo : m = (m + m ) m ' m ρqst Agustín E. González Moles

102 Intoduciendo los dtos en el Sistem Intencionl: Cundo el gón se h llendo, l ms de gu es: ρqst = ρ.5 m =.5 kg = 5 kg esp.: 68 ' 4 t 68 ' 4 5 esp.:.4 km/h 5. Un choo de bolits de.5 gmos sle de un tubo hoizontl zón de bolits po segundo, y choc cont uno de los pltillos de un blnz. Ls bolits cen desde un ltu de.5 m especto l pltillo y ebotn hst l mism ltu. Clcul el lo de l ms que debe colocse en el oto pltillo de l blnz p que el fiel pemnezc en el ceo. m Se α = l ms de ls bolits que cen en l unidd Δt de tiempo. Como cen bolits de.5 gmos en un segundo: F b α m Δt.5.5 kg/s L fuez F b ejecid po l bolits es igul l ición en el tiempo de su cntidd de moimiento: F b Δp Δm αδ Δt Δt Como l elocidd de cid es ( ) y l de ebote es, el módulo de l l icón de l elocidd es: Mg y el módulo de F b es: = ( ) = F b = α siendo l elocidd de cid desde un ltu de.5 m; es deci: = gh. 5m/s P que l blnz pemnezc en el ceo tiene que ocui que: F b = Mg α = Mg M α.5.5 g 9.8 esp.: 9.4 gmos Agustín E. González Moles

103 6. Dos cuñs liss de mss m y M y nchus y b descnsn sobe un bse sin ozmiento, como se muest en l figu. Detemin el etoceso de l cuñ infeio hst el instnte en que l c eticl de l supeio lleg l punto A. Ls distncis señlds en ls figus tienen en cuent ls popieddes del bicento de un tiángulo. Como hoizontlmente no ctún fuezs exteioes, se conse l cntidd de moimiento del sistem fomdo po mbs cuñs: (m + M) x cdm = ⅔ m + ⅓ b M m M b A Y cundo m lleg A: b (m + M) x cdm = (b x ⅓ ) m + (⅓ b x) M Igulndo y despejndo x: e sp.: x m (b ) m M b x 7. Clcul el cdm de un sistem fomdo po tes ptículs de kg, kg y kg, situds espectimente en los puntos (,, ), (,, 5 ) y (4,, ). x cdm 4 y cdm z cdm.5 esp: ½ (6,, ) 8. Clcul el cdm de un sistem de dos ptículs de kg y kg situds espectimente en (,, ) y (,, ). Si sobe cd ptícul ctún ls fuezs (,, t) y (, t, t); clcul l posición del cdm l cbo de segundos. cdm cdm Fext m m (,, ) (,,) (,, t) (, t,t) (, t,t) esp.: cdm (,, ) cdm cdm dt t, t t, t k Como en el instnte inicil l elocidd es ceo, entonces k =. cdm cdm t t t t dt,, k 6 Agustín E. González Moles

104 siendo. Y sustituyendo t = : k cdm esp.: cdm () 6 5,, 9 9. Un ill delgd de longitud L tiene un densidd ible que ument de fom popocionl l distnci pti de un extemo, de cuedo con l elción = o ( + x/l). Clcul l posición del cdm. x cdm L L xdm xρdx xρ L L L dm ρdx ρ L ( x / L)dx ( x / L)dx dx L 5 esp.: x cdm L 9. Hll el cdm de un esfe homogéne de 4 cm de dio con un hueco esféico de cm de dio cuyo cento dist del oto cm. x 4 En l figu se peci que po simetí l coodend eticl del cdm es ceo. P clcul l coodend hoizontl bst supone que el hueco se compot como un ms negti. Si el dio de l esfe es = 4 y el del hueco es = : x cdm 4 π 4 π( 4 π ) esp.: 6 cm. Clcúlense ls coodends (x, y) del cdm de un disco homogéneo de dio, centdo en (, ), que tiene un oificio de dio ½ tngente l diámeto OY. Y Y Y X = -, Como se peci en l figu, podemos supone que el cdm del disco con el oificio es el mismo que el que tiene el disco completo si estmos l pte del oificio. L densidd supeficil del disco completo de ms M, sin oificio, es l mism que l que tiene el oificio con ms m negti: Agustín E. González Moles

105 M m Dd l simetí de l figu, l coodend eticl del cdm es y =. Clculemos l coodend hoizontl: x cdm mix m i M m M m 6 esp: 6,. En un máquin de Atwood (fomd po un pole y un cued idel) cuelgn dos mss de 5 y kg l mism ltu. Al cbo de un segundo, cuánto hbá descendido el cdm del sistem con g = m/s? mg T = m ( ) T mg T Mg (+) Mg T = M De donde deducimos que: m M g m M Deindo dos eces l expesión del ecto de posición de cdm deducimos que l celeción del cdm es: cdm mm M m M M m( ) M M m m M M m y sustituyendo : cdm M m M m g Como S = ½ cdm t P t = esult: esp: 9 5 m. En el dispositio de l figu, l pole y ls cueds no tienen ms y ls mss M y M están inicilmente en eposo. Detemin l celeción de ls mss; l tensión de l cued y l celeción del cdm del sistem. T T Mg = M T Mg = M T T De donde deducimos que: (+) M M Mg Mg Agustín E. González Moles 4

106 Vmos emple dos métodos p clcul cdm : Pime método: esp.: T 4 Mg; g cdm MM M M M M M M( ) M M y sustituyendo : esp.: cdm g 9 Segundo método: T Aislmos el conjunto como se peci en l figu y plicmos l ª ley de Newton l sistem como un todo: (+) cdm Fext T Mg Mg M M M M Mg Mg Y sustituyendo T: esp.: cdm g 9 4. El ecto de posición de un ptícul especto un sistem de efeenci inecil es (t, t, t). El ecto de posición del cdm del sistem de ptículs l que petenece es (t, 4t, 4t). Clcul el módulo de l elocidd de l ptícul especto l cdm del sistem. O A cdm A/cdm cdm y deindo A / cdm A A (t,t, t); A / cdm cdm cdm A (t,4t,4t) cdm (,4,4) (,,) (,,) cuyo módulo es: 5. De un cudenl de kg cuelgn dos mss de 6 y 8 kg unids po un cbo de ms despecible que lboe po él. El cudenl se iz medinte un fuez de N. Clcul l celeción del cdm del sistem. Fext mtotl cdm esp: 7 F P F (P + P + P ) = (m + m +m ) cdm ( )9.8 = ( ) cdm esp.: m/s P P 6. Dos pesons de 76 y 6 kg están colocds en los extemos de un b de 4 kg y 4 m de longitud. Clcul l distnci del cdm del sistem l cdm de l b. Agustín E. González Moles 5

107 Considendo el oigen sobe l ms de 76 kg, l coodend del cdm es: 76 x 6 x cdm m Po tnto: x =.94 esp.: 6 cm 7. Clcul ls coodends del cdm de l supeficie limitd po l cu y = 4x, el eje OX y ls ects x = y x =. x y cdm cdm xda xydx x xdx A ydx xdx x y y da ydx xdx x A ydx xdx y = 4x da y x esp.: (.86597,.4988) 8. Se tiene un ms distibuid sobe un semicículo de dio. A qué ltu sobe el diámeto se encuent el cdm? ) dθ ) O Clculemos el cdm: θ A y dθ B El áe infinitesiml ds de l supeficie ABO es: ds = (dθ) = dθ L coodend y del cdm está situd ⅔ del étice O, de mne que: y sen θ y cdm θπ π yds sen θ dθ θ π π 9. Hll el cdm de un co de cicunfeenci de dio y mplitud. esp.: 4 φ dl dφ Si l densidd linel es λ, entonces l ms totl M del co de cicunfeenci α es: α dφ y M = ρl = ρ α L ms del elemento difeencil dφ es: Agustín E. González Moles 6

108 dm = ρdl = ρdφ como y = cos φ entonces: y cdm φα ydm α M φ α cos φ ρdφ α ρα esp.: y cdm sen α α. Un stélite de l Tie de ms m descibe un óbit elíptic. Ls distncis máxim y mínim l supeficie de l Tie son 6 y 5 km espectimente. Si l elocidd máxim del stélite es 6 km/h, hll su elocidd en los puntos de mínimo cecmiento, sbiendo que el dio de l Tie es de 64 km. A A A T B B B El momento ngul del stélite especto T es constnte en tod l tyyectoi; po tnto: L A L ; B A x m A B x m B de donde se deduce que A A = B B : 6 (64 + 5) = B (64 + 6) esp.: B = 95 km/h. Un objeto pequeño está unido un cued que ps po el inteio de un tubo, como indic l figu. El objeto descibe un moimiento cicul de.5 m de dio en el plno hoizontl, con elocidd ngul de pm. Al ti de l cued hci bjo se educe el dio de l tyectoi. Clcul l elocidd ngul cundo el tubo dio mide.5 m. cued L fuez con l que se ti de l cued es centl; po tnto, se conse el momento ngul del objeto especto l cento del oificio. Como el ecto de posición es pependicul l elocidd del objeto, el módulo del momento ngul es: siendo po tnto Es deci: L = m = ω L = m ω m.5 = m.5 ω esp.: ω = 8 pm Agustín E. González Moles 7

109 TEMA V TABAJO Y ENEGÍA Tbjo Potenci. endimiento Enegí Enegí cinétic. Teoem de l enegí cinétic Fuezs consetis Enegí potencil Enegí potencil gittoi Enegí potencil elástic Enegí mecánic Sin ozmiento Con ozmiento Deteminción de l fuezs conseti medinte l enegí potencil Cmpos escles Gdiente Cmpos ectoiles Ciculción Flujo Diegenci otcionl Choques ente cuepos Choque oblicuo Choque elástico Choque inelástico Choque no pefectmente elástico Choque centl Agustín E. González Moles 8

110 . Se diseñ un column cilíndic con discos igules de m de ltu y 5 kg cd uno, que hn de colocse uno encim del oto. Hll el tbjo necesio p constui un column que teng m. (g = m/s ). El tbjo elizdo po nosotos es igul y de signo contio l que eliz el cmpo gittoio: W = W c = Ep. Suponemos que el pime bloque está y colocdo. El cdm del siguiente hbá que elelo.5 metos, el siguiente.5, y sí sucesimente: W = mg ( ) = esp.: 475 J. Un móil de kg se desplz según l tyectoi x = t, y = t, z = t en el S.I. Hll l potenci desolld en t = s. P = F m = (6t,, ) () = (6,, ) = (6,, ) Po tnto: P() = (6,, ) (6,, ) esp.: 6 W. Un bl de g incide hoizontlmente 4 m/s sobe un bloque en eposo de 9 g, incustándose en él. Clcul l pédid de enegí mecánic, si se despecin los ozmientos. m = (m+m). 4 = (.+.9) = m/s E = ½ m ½ (m+m) = ½. 4 ½ (.+.9) esp.: 78 J 4. Un poyectil de 5 g sle m/s po l boc del cñón de un fusil, cuy ánim mide 75 cm de lgo. Qué fuez impuls l poyectil, supuest constnte? W T = Ec: F d = ½ m F.75 = ½.5 esp.: N 5. Un moto de.5 KW ele un montcgs de 5 kg 5 m de ltu en 5 segundos. Clcúlese el endimiento del moto (g = m/s ). L potenci útil es P u = W/t = mgh/t W = W c = Ep = mgh L potenci suministd es P s P η P u s esp.: 8% Agustín E. González Moles 9

111 6. Un esote de ms despecible y longitud AB cuelg del techo po A. En el extemo B un ms m oscil desde B (posición inicil del esote sin l ms m colgd) hst C. El segmento BC mide h. Clcul l A enegí elástic cundo ps po C. Al ctu sólo fuezs consetis l enegí mecánic pemnece constnte. Aquí es l sum de l enegí potencil elástic Ee y l enegí potencil gittoi Ep: Ee B + Ep B = Ee C + Ep C B C Tomndo como ltu ceo el punto C: Ee B + mgh = Ee C + E = Ee C Ee B = mgh esp.: mgh 7. Un gón de kg pte del eposo y ij m cuest bjo po un pendiente del %. Con l elocidd dquiid sube 6 m po un pendiente del % hst detenese. Clcul l fuez de ozmiento, supuest constnte, que existe dunte todo el ecoido (g = m/s ). A B H A =. s =. = s s HA H B H B =. s =. 6 =. Ep A + Ec A W F = Ep B +Ec B peo Ec A = Ec B = ; de donde W F = Ep A Ep B con W F = mg(h A H B ); demás W F = F (s + s ) Po tnto: F mg(h s A H s B 4 ) (.) 6 esp.: 5 N 8. Un ciclist pes con su biciclet 7 N y sube un pendiente del 5% 6 km/h. Despecindo ozmientos, qué potenci desoll? El ciclist debe ence l fuez mg sen : P = F = mg sen = 7.5 esp.: 5 W mg sen mg 9. Un bloque de ms M compime un esote un longitud x. Se dej en libetd de mne que el bloque se desplz po un supeficie hoizontl sin ozmiento elocidd. El mismo muelle poyect un segundo bloque de ms 4M con un elocidd. Qué distnci se compimió en este segundo cso? L ición de enegí elástic se iniete en i l enegí cinétic: ½ k x = ½ M Agustín E. González Moles

112 ½ k x = ½ 4M () Diidiendo miembo miembo: esp: x = 6x. Un futbolist d un ptd un blón de.5 kg con un fuez de 5 N. El blón sle con un ángulo de 45º y ce un distnci de 4 m. Clcul el tiempo que duó el contcto del pie con el blón. (g = m/s ). Con l expesión del lcnce máximo x mx deteminmos : gx mx 4 m/s sen α F t = m 5 t =.5 esp.:. s. Un cuepo se muee según l tyectoi x = t, y = t t, z = 5. Sobe él ctú un fuez f x = 5, f y = t, f z = t t (tods ls uniddes en el S.I.). Clcul el tbjo efectudo po l fuez desde t = s hst t = s. F = (5, t, t t) d = (dx, dy, dz) = (, t, ) dt W () () F d (5, t, t t) (, t -, ) dt 8 J esp.: 4.5 J. Un bol A de kg nz un elocidd i + 4 j m/s hci ot B de kg que está en eposo. Ts el choque, l B sle i + j m/s. Clcul l elocidd de A. m A A + m B B = m A + m A B B ( i + 4 j ) + = + ( i + j ) A esp.:.5 j. Un fusil disp bls de gmos 4 m/s. L fuez ible de los gses de l combustión de l cg de poyección ejecen sobe el culote del poyectil, iene dd po l expesión x, donde x se expes en metos y mide l distnci desde el ciee hst el poyectil. Clcul l longitud del cñón. L Fdx m L + 5 L = ½. 4 L esolución de l nteio ecución de º gdo popocion dos soluciones p L:. y.8 metos. Seleccionmos l de meno longitud de tubo. esp.:.8 m Agustín E. González Moles

113 4. Un bol de g está suspendid de un hilo de m sin ms. Se desplz de modo que el hilo fom 6º con l eticl. Al soltl, con qué elocidd ps po l posición de equilibio? (g = S.I.). B α h L A Ep A = Ec B Ep A = mgh = mg (L L cos ) Ec B = ½ m Po tnto g L ( cos α) esp.: m/s 5. Un péndulo blístico const de un ms de.5 kg suspendid de un cued de m. Un poyectil de gmos posee un elocidd de 4 m/s y ps tés de l ms de.5 kg. Después del choque el péndulo oscil fomndo un ángulo máximo de 4º. Clcul l elocidd del poyectil y l enegí pedid dunte el choque. Emplemos l mism figu del ejecicio nteio. Se M =.5 kg l ms del péndulo. Su elocidd p en B es: p g L ( cos α) =.7 L ms del poyectil es m. Antes del choque tiene un elocidd, y ts el choque: m = M p + m. 4 = E = ½ m( ) ½ M p esp.: = 4.74 m/s esp.: 589. J 6. En el cmpo ddo po f(x,y,z) = xy + xyz z, clcul el módulo del gdiente en el punto (,, ). f f f f i j k x y z f y x f f yz(,,) ; xy xz(,,) ; xy z(,,) y z El módulo del gdiente en (,, ) es: f esp.: 7. Un ms de kg se muee.5 m/s y choc con ot de 5 kg que está en eposo. Ts el choque, l segund se muee. m/s en el mismo sentido que lleb l pime. Clcul el coeficiente de estitución. Se tt de un choque centl m m md md.5 + = d + 5. d =.5 Agustín E. González Moles

114 d k d.5..5 esp.: Clcul el tbjo desolldo po l fuez F xi yj zk cundo su punto de plicción se tsld desde A (,, ) hst B (,, ). W A B F d (xi yj zk) (dxi dyj dzk) (,,) (,,) xdx ydy zdz esp.: 7 9. Señl cuál de los siguientes cmpos de fuezs es consetio: ) V = (xy z, x y, y x z); b) V b = (e x, sen y, x ); c) V c = (xy, y, ); d) V d = (xy, x, ). Clcul el otcionl y l diegenci de cd cmpo. Aplicndo l definición de otcionl: Po tnto, el cmpo ot ot ot ot V = (y, xy + xz, xyx) V b = (, x, ) V c = (,, x) V d = (,, ) V d es iotcionl y, en consecuenci, consetio. Aplicndo ho l definición de diegenci: di di di di V = x + y z V b = 6 e x cos y V c = y V d = y. Dos bols de bill de mss y kg, que se desplzn hci l deech po l mism líne ect y m/s espectimente, chocn de mne que l bol de kg golpe l de kg. Suponiendo que el choque es elástico, clcul ls elociddes ts el choque. m m m m d d m m m m m m m m m m d d esp.: m/s; d 5 m/s d Agustín E. González Moles

115 . Un bol de bill (), que nz po el eje X 5 m/s, choc con ot de igul ms () que está en eposo en el oigen de coodends. Ts l colisión ls bols slen desids 6º 5.6 y 5º espectimente. Clcul l elocidd de cd bol. Demost que se tt de un choque elástico. m m md md 5i d d d d m = m = m (cos i sen j) (cos i sen j) Intoduciendo estos dtos en l ecución ectoil: 5mi md (cos i sen j) md (cos i sen j) Simplificndo y sepndo componentes: es deci: 5 cos cos d d sen sen d d d d Y d d α β X esoliendo el sistem:.6.8 d d esp.: d 4 m/s; d m/s L enegí cinétic ntes del choque es: Ec m L enegí cinétic después del choque es: Es deci: Ec d m d m d m 5 m 4 Ec Ec d 5 m m 5 m. Un bloque de kg, que se muee sobe un supeficie hoizontl sin ozmiento, impct 6 km/h cont oto en eposo de gmos. Suponiendo el choque elástico, clcul l elocidd del segundo. De ls ecuciones del choque clculds en el poblem deducimos que: (m m ) m ' m/s m m. esp.: m/s Agustín E. González Moles 4

116 . Dos bols B y B de mss m y m están suspendids de dos hilos inextensibles de longitud L. Ls bols se tocn cundo los hilos están eticles. Sepmos B de su posición de equilibio un ángulo α, mnteniendo el hilo extendido y en el mismo plno eticl que el oto hilo. Al solt B choc con B que estb inmóil. Clcul: ) l elocidd de B cundo choc con B ; b) ls elociddes de mbs bols después del choque supuesto pefectmente elástico; c) ls ltus ls que scienden después del choque. ) Como clculmos en el poblem 4: b) De ls ecuciones del choque elástico: esp.: g L ( cos α) α L con = obtenemos: (m m ) m ' m m (m m) m ' m m m m esp.: ' m m ' m m m c) En = espectimente. gh bst plic los loes ' y ' clculdos en b) p clcul h y h 4. Un pelot muy elástic de gmos puede ebot hst el 9% de su ltu oiginl. ) Clcul l enegí que se piede en el pime ebote cundo ce desde metos; b) Si ce desde un ltu h inicil y eliz n botes, clcul l ltu del bote enésimo; c) Cuántos botes se necesitn p que l ltu se el % de l oiginl? ) Enegí pedid = % mgh =. 9.8 b) esp.:.88j c) h =.9 h; h = (.9) h; ; h n =.9 n h esp.:.9 n h h n = % h =. h.h =.9 n h tomndo logitmos y despejndo obtenemos n = 4.7. Po tnto: esp.: 44 botes Agustín E. González Moles 5

117 5. El cble del que cuelg un scenso de 8 kg mide m y su peso í unifomemnte desde 5 kg/m meto en el extemo supeio kg/m en el infeio. Clcul el tbjo que se eliz p subi el scenso, suponiendo que todo el cble se oll sobe un tono. Ms po unidd de longitud del cble: x + b. P x = : b = 5 P x = L = : = 4 dx x x Po tnto, l ms de un cble de longitud x seá: m = x 5 4 W x (8 m)g dx 8 x5 9.8 dx = 764 J 4 L esp.: 764 J 6. Sobe un plno inclindo º con l hoizontl se lnz hci ib un cuepo de gmos, po l líne de máxim pendiente, m/s. El coeficiente de ozmiento es.. Clcul: ) el espcio que ecoe el cuepo hst detenese; b) el incemento máximo de enegí potencil; c) el clo despendido po efecto del ozmiento; d) Si l lcnz l máxim ltu, el cuepo desciende, cuál es su elocidd l ps po l posición incil? h L α ( ) ½ m = mgh + W ½ m = mg L sen + mg cos L L = m g(sen cos ) esp.: m b) Ep = mgh = mg L sen =.76 J esp.:.76 J c) W = mg cos L (en J) = mg cos L.4 (en cl) =.87 cl esp.:.87 J d) ½ m f = ½ m W f = L cos = m/s esp.: 6.97 m/s Agustín E. González Moles 6

118 7. Un bloque de kg se desliz sin ozmiento desde A hst B siguiendo l tyectoi de l figu. Dunte el moimiento está solicitdo po l fuez F = (x, y, z ) N. Sbiendo que l elocidd en A es m/s, clcul l elocidd en B. (g = m/s ). W B F d (x,y, z ) (dx, dy, dz) A de donde (,6,5) (,,) W = Ec = ½ m ( B A ) B A W m =. m/s 69 A B 5 6 esp.:. m/s 8. Sobe unos ciles, sin ozmiento, inicilmente hoizontles (zon A de l figu), cicul un gón. En l zon B se conieten en un bucle cicul de.7 metos de dio. Finlizn en C, de nueo hoizontlmente. Con qué elocidd hbá que lnz el gón desde A p que llegue C izndo el izo en B? Con qué elocidd llegá en este cso C? En B el móil está nimdo de celeción B centípet en el eje eticl. Po tnto: A m C.5 m F m B : mg = m B Como l enegí mecánic E se conse: B = g. E A = E B : ½ m A = mgh B + ½ m B A (h B )g esp.: A = 5.49 m/s E A = E C : ½ m A = mgh C + ½ m C C A gh C esp.: C = 4.87 m/s 9. Sobe un ptícul ctú un fuez F = (4y, 5) (uniddes en el S.I.). Demost que no es conseti clculndo el tbjo elizdo p desplzse desde el oigen l punto (,) lo lgo de dos tyectois: un según el eje X, hst el punto (,) y después continú plelmente l eje Y; y l ot que discue pimeo po el eje Y, hst el punto (, ) y después continú plelmente l eje X. W = F d 4ydx 5dy En AB: y =, dy = W AB = 4 dx 5 En BC: x =, dx = ; W BC = 4y 5dy En AD: x =, dx = ; W AD = 4y 5dy D(,) C(,) A B(,) esp.: W AB + W BC = Agustín E. González Moles 7

119 En DC: y =, dy = ; W DC = 4 dx 5 6 esp.: W AD + W DC = 6 Not: El otcionl de F es 4 j. Po tnto, l integl depende del cmino elegido.. Un ptícul de ms m gi en un tyectoi cicul de dio, con un celeción noml que í con el tiempo según n = kt, donde k es constnte. Hll el lo medio de l potenci dunte los pimeos T segundos. P = F = m t = m (d/dt) n = kt = / = k t ; d/dt = P = mkt k T Pm mkt dt ½ mkt T esp.: ½ mkt. Se lnz un pelot de 5 gmos medinte un pistol que posee un muelle cuy constnte es 6 N/m y que puede compimise hst 5 cm. Clcul: ) l ltu que puede lcnz l pelot si se disp eticlmente; b) l distnci hoizontl máxim que puede ecoe si se disp con el ángulo decudo. ) ½ k x = mgh; ½ 6.5 = h esp.: h = 5. m b) ½ k x = ½ m ; y con 45º, x mx g kx mg 6.5 h esp.: x mx =.4 m. Un esquido de 7 kg inici el descenso desde l pte supeio de un colin cicul con un elocidd inicil pequeñ. Despecindo el ozmiento, clcul: ) l elocidd en función de ; b) el ángulo en el que piede el contcto con l pendiente. ) Niel de ef. En Fig. : ½ m = mg ( cos ) α α α esp.: g( cos α) Fig. Fig. mg b) En Fig., l componente del peso mg cos es l únic fuez que ctú en diección dil. Po tnto, debe se igul l poducto de l ms po l celeción centípet: mg cos = m /. Agustín E. González Moles 8

120 Si intoducimos el lo de clculdo en ), obtenemos cos = ⅔. esp: 48º. Desde l supeficie de l Tie se empiez lent un cuepo de ms m plicándole un fuez que í con l ltu h según l ley F = (k h ) m g, donde k es un constnte positi. Detemin el incemento de l enegí potencil en l pime mitd del cmino de scenso y el tbjo de est fuez. El tbjo que eliz l fuez F debe incement l enegí potencil en l cntidd mgh cundo el cuepo lcnce l ltu H. Po tnto: W = H F d mg H (kh )dh = mgh Hy que tene pesente que, si dh es positio, el ecto g seá negtio, de hí el signo menos que colocmos en l segund integl. Si esolemos l integl y despejmos k deducimos: k = /H. El tbjo en l pime mitd del ecoido se clcul con l mism integl nteio sustituyendo el lo de k y poniendo H/ como límite supeio de integción, obteniendo: esp.: L ición de enegí potencil es ½ mgh y W = ¾ mgh 4. Un bloque de 5 kg se sujet cont un muelle, cuy constnte es N/cm, compimiéndolo cm. Se dej en libetd y el muelle se lg empujándolo po un supeficie hoizontl ugos con un coeficiente de ozmiento.. ) Detemin el tbjo ejecido po el muelle cundo se lg desde l posición compimid hst l de equilibio; b) clcul el tbjo ejecido po l ficción sobe el bloque ente ls misms posiciones; c) detemin l elocidd del bloque cundo el muelle está en l posición de equilibio; d) si el bloque no estuie unido l muelle, qué distnci ecoeí sobe l supeficie ugos? ) b) c) W e = ½ k x = ½. W = F x = W T = Ec; W e +W = ½ m esp.: W e =.9 J esp.: W =.94 J.9.94 = ½ 5 esp.: =.49 m/s d) W T = Ec F x = ½ m x = ½ 5.49 esp.: x = 6.84 cm 5. Un moto eléctico, cuyo endimiento es del 85%, ccion un montcgs que pes cío 47 kg y que puede cgse con 57 kg más. H de elese hst 4.6 metos Agustín E. González Moles 9

121 en 5 segundos. ) clcul l potenci medi del moto; b) si el nque (tiempo que td en dquii l elocidd de scensión) lo eliz en. segundos, detemin l potenci del moto en ese intelo; c) clcul l potenci necei p subi el montcgs cío l mism elocidd. ) L potenci útil P u es el tbjo que eliz en l unidd de tiempo en subi plen cg: P u = W/t = peso h/t = ( ) /5 = W P clcul l potenci medi P m hy que tene en cuent el endimiento = P u /P m : P m = 596.9/.85 esp: kw b) Suponemos que dunte el nque (t =.s) se poduce un m..u.. que pte del eposo, y que el esto (t =.9 s) se eliz según un m..u. El cmino ecoido seán los 4.6 metos. Po tnto: s = ½ t + t como = t s = ½ t + t ; 4.6 = ½. +.9 =.746 m/s L ltu lcnzd dunte el nque es h = ½ t =.76 m. El tbjo útil necesio p eliz l opeción de nque seá W u = mgh + ½ m = 56.5 J. L potenci útil es W u /t = W. L potenci medi dunte el nque seá /.85 esp.: 8.56 kw c) En cío l potenci medi necesi seá: mg/ = /.85 esp.:.65 kw 6. Se dispone de un cued elástic de longitud ntul L y constnte k. Cundo se cuelg de ell eticlmente un objeto de ms m, se lg hst un longitud L. Uno de los extemos de l cued se t l pte supeio de un plno inclindo sin ozmiento que fom º con l hoizontl. Un ez que l cued descns sobe el plno, se t ell el objeto de ms m, que se libe desde un posición en que l cued posee su longitud oiginl. Clcul l distnci ecoid po el objeto lo lgo del plno ntes de lcnz el pime x punto de eposo. h Si se cuelg el objeto eticlmente, en l posición de equilibio su peso es igul l fuez ecupedo: α mg = k(l L) Agustín E. González Moles

122 Así clculmos k. En l figu, l enegí potencil mgh (con h = x sen α) se coniete en elástic ½ k x. Po tnto: mg mgx sen α = ½ x L' L x = (L L) sen α. Con α = º esult: esp.: x = L L 7. Se lnz un pelot 9.6 m/s fomndo 5º con l hoizontl y ebot en un ped sin ozmiento situd 4.9 m, de mne que uele l punto de lnzmiento. Clcul el coeficiente de estitución. L elocidd de slid es: o = 9.6 m/s; α = 5º; d = 4.9 m o = o (cos α i + sen α j ) Al cbo de t segundos ecoe: d = o t cos α, po tnto t = d/( o cos α). Además, l elocidd hoizontl se mntiene hst t, peo l eticl se educe debido l gedd. Po tnto, l elocidd ntes de impcto es: = o cos α i + ( o sen α gt ) j L ltu h l que impct es o t sen α ½gt. Sustituyendo t obtenemos: h = d tg α o gd cos Desde es posición, con un elocidd = x i + y j, ebot hst lcnz de nueo l posición de ptid l cbo de t segundos más. Po tnto: () d = x t () = h + y t ½gt Al no existi ozmiento, no se poduce pédid de elocidd en el eje eticl dunte el choque. Po tnto: y = y = o sen α gt = o sen α g d cos Sustituyendo est expesión en () obtenemos un ecución de segundo gdo en t, cuy solución (intoduciéndole los dtos) es: t 4cos tg En () plicmos un coeficiente de estitución k, tl que x = k o cos α. Po tnto: De donde obtenemos definitimente: d = k o t cos α Agustín E. González Moles

123 esp.: k = o Ot fom más elegnte: Si t = d/ x ; t = d/k x ; con x = o cos α. Como l pelot eges l punto de ptid (ltu ceo) l cbo de t + t segundos, l gedd está ctundo ese tiempo en sentido contio l elocidd eticl que en todo momento tiene l pelot, de tl mne que: Po tnto: Si sustituimos t y t, podemos despej k: o sen α (t + t ) ½ g (t + t ) = o sen α = ½ g (t + t ) k = gd. sen gd o Intoducidos los dtos, obtenemos el mismo lo de k. 8. Un móil de ms M gi sin ficción en el exteio de un cil cicul de dio y cento O. Se muee bjo l cción de l gedd y de un esote de constnte k, con el extemo unido un punto fijo Q tl que OQ = ½. El esote está sin tensión cundo el móil está en S. ) Si el móil se encuent en T, hll l enegí potencil del móil en función del ángulo que fom OQ con OT; b)detemin l enegí cinétic mínim que debe tene el móil en S p que llegue ecoe tod l cicunfeenci. ) Tomndo S como niel ceo de l enegí potencil gittoi E G, en T dich enegí es: S Q O P T E GT = Mg [ + cos (8 )] = Mg (cos ) L enegí potencil elástic en T es E ET = ½ k x con x = L ½; peo plicndo el teoem del coseno l tiángulo QOT: / Q O L po tnto: de donde L = (½ ) + (½ ) cos x =.5( 5 4cos ) T E ET =.5 k ( 5 4cos ) Así deducimos que l enegí potencil en T, Ep T, es: Ep T = E GT + E ET esp.: Ep T = Mg (cos ) +.5 k ( 5 4cos ) Agustín E. González Moles

124 b) L enegí potencil gittoi en S es ceo: E GS =. L enegí potencil elástic en S es: E ES = k ( 5 4cos ) = y l enegí cinétic en S es Ec S.. Po tnto, l enegí totl en S, E(S), es l sum de ls tes nteioes: L enegí potencil gittoi es P es: L enegí potencil elástic en P es: E(S) = E GS + E ES + Ec S = Ec S E PS = Mg ( ) = Mg E EP =.5 k ( 5 4cos8 ) = ½k y l enegí cinétic mínim en P, Ec Pmin, debe se ceo. Po tnto, l enegí totl mínim en P, E(P min ), es l sum de ls tes nteioes: Como E(S) = E(P min ), deducimos que: E(P min ) = E GP + E EP + Ec Pmin = Mg + ½k esp.: Ec min = Mg + ½k 9. Colocmos un cued flexible de longitud L sobe un mes de tl fom que pte de ell cuelg po un extemo. Se dej ce desde un posición en l que se equilibn el peso del tozo que cuelg y el ozmiento dinámico de coeficiente μ. Clcul l elocidd de l cued cundo el extemo que está sobe l mes lleg l bode de l mism. M ML x M x d = F L-x + L L x x L fuez esultnte que ctú sobe l cued es F = P x F. P x = M x g = dxg; F = M L x g = d(l x)g Sustituyendo d = M/L obtenemos F: x P x Mg L () F x μ(l x) El tbjo de F se emple en incement l enegí cinétic. Si ptimos de un situción inicil sin elocidd ni celeción con x = x o, cundo el extemo de l cued llegue l bode de l mes el lo de x seá L. De donde: () x L o Fdx M P detemin x o bst conside que F es ceo en el instnte inicil (sin celeción): Agustín E. González Moles

125 x o (L x o ) = x o = L/( + ). Intoduciendo x o y () en (), esoliendo l integl y despejndo, obtenemos: esp.: gl 4. Dos ptículs de 4 y 6 kg están situds en los puntos (,) y (4,) del plno OXY y se mueen i y j m/s espectimente. ) clcul el momento ngul totl especto O y especto l sistem de efeenci del cdm; b) detemin l enegí cinétic totl elti O y l sistem de efeenci del cdm; c) supongmos ho que ls ptículs están unids un esote de constnte N/m, incilmente sin esti, cómo fect l posición del cdm?; d) si en un instnte el esote está lgdo 4 cm, hll ls enegís cinétic y potencil del sistem. m = 4; m = 6; j ; 4i ) Clculmos cm x m x m j x 8i 4i x 8j 48 k Lo y cm con ls expesiones: esp.: 48 k (m + m ) cm = m + m Obtenemos: (m + m ) cm = m + m cm =.4 i +. j Ls posiciones eltis l cdm cm cm cm cm =.8 i +.8 j y = cm son: cm =.4 i +.8 j cm =.6 i. j = Y ls elociddes eltis l cdm cm y cm : cm = cm =. i.8 j cm = cm Sustituimos los dtos nteioes en L b) cm =.8 i +. j cm x mcm cm x mcm y obtenemos: esp.: 4.4k L cm Ec o = ½ m + ½ m = ½ ½ 6 9 esp.: Ec o = 5 J Ec cm = ½ (m + m ) cm= ½ (4 + 6) ( ) Agustín E. González Moles 4

126 de donde deducimos tmbién que Ec cm + Ec cm = Ec o Ec cm = = 5.6 J c) esp.: Ec cm = 9.4 J El esote no fect l moimiento del cdm ni su posición poque intoduce fuezs intens l sistem. d) L enegí inten del sistem U, constituid po l sum de ls enegís cinétics de cd ptícul efeid l cdm y l enegí potencil elástic que teng cumuld, debe pemnece constnte. Si inicilmente el esote no estb lgdo, el lo de U seá sólo el de l enegí cinétic de ls dos ptículs (efeid l cdm): 5.6 J. Cundo, expenss de U, el esote se lgue.4 m, se cumulá en el sistem un enegí potencil elástic: ½ k x = ½.4 =.6 J quedndo un enegí cinétic esidul en ls ptículs de = 4 J. Po tnto: esp.: Enegí potencil elástic:.6 J Enegí cinétic: 4 J 4. Un ptícul se muee en un dimensión bjo un cmpo de fuezs consetio. Su senx enegí potencil iene dd po l expesión U(x) (con x en m y U en J). Detemin: ) l fuez f(x) que ctú sobe dich ptícul; b) el tbjo que eliz el cmpo cundo l ptícul se desplz desde el punto x = π/6 hst x = π/. ) x b) du f(x) = (x) dx d sen x x dx x cos x x sen x esp.: f (x) sen x - x cos x x W = U = U(x ) U(x ) = sen sen 6 6 esp.: W =.796 J 4. L fuez de esistenci ejecid po el gu sobe el csco de un detemindo buque de 6 kg, p elociddes de km/h, es un función de l elocidd del tipo F = k. ) Clcul k sbiendo que, cundo el moto suminist un potenci de 4 MW, l elocidd límite es 8 km/h; b) detemin l distnci ecoid po el buque lnzdo y con el moto pdo mients su elocidd disminuye de 6 km/h, cuál es l dución de este dececimiento? ) P ence el ozmiento, l potenci suministd debe se igul l lo bsoluto de F multiplicdo po l elocidd : P = F = k 4 Cundo el moto suminist 4 MW = 4 6 W estmos en pesenci de l elocidd límite de 8 km/h = 5 m/s, es deci, se consume tod l potenci suminitd po el moto: Agustín E. González Moles 5

127 4 6 = k 5 4 Po tnto: b) esp.: k = 64 Si el buque está lnzdo con el moto pdo l únic fuez que está ctundo es el ozmiento con el gu. Aplicndo l segund ley de Newton: Sepndo ibles: k d = m dt d Integndo el pime miembo ente y y el segundo miembo ente y t, obtenemos: k m dt () de donde: dx dt dx dt kt m kt m Integndo el pime miembo ente y x y el segundo ente y t. Obtenemos: () m x k kt m m k Con = 6 y = m/s en () obtenemos el lo de t:.6. 6 esp: t = 4.4 s y en () clculmos l distnci ecoid: esp: x = 97.4 m 4. Un codón flexible, que ps po un pole muy pequeñ, lle en sus extemos dos mss de P y Q kg. El segundo esbl lo lgo de un b pefectmente pulid. Hll l elocidd de Q en función del cmino ecoido, suponiendo que en el instnte inicil se encuent en eposo l ltu de l pole. Mients Q bj l distnci x, P sube y = (x + ) ½. Llmndo f = x +, tenemos: P Q y = f El incemento de enegí potencil U que expeiment el sistem P y Q es: U = U P + U Q Agustín E. González Moles 6

128 con U P = Pg ( f ) y U Q = QgH Qg (H x) = Qgx Po tnto: U = Qgx Pg ( f ) L elocidd de P es: P = dy/dt = x f -½ dx/dt = x f -½ Q. Como U = Ec: H Q P y Niel de ef. x Qgx Pg ( f ) = ½ Q Q + ½ Px f - Q Deducimos que: esp: Q Qx P( f ) gf Px Qf 44. L cntidd de enegí que un cieto sistem piede po unidd de tiempo en un instnte detemindo es diectmente popocionl l enegí totl del sistem en ese instnte. ) Detemin un ecución difeencil que elcione l enegí E con su ición po unidd de tiempo según l hipótesis del enuncido; b) esole l ecución difeencil p obtene un ecución genel coespondiente l enegí del sistem en función del tiempo; c) hll l constnte de integción sbiendo que se piede el % de enegí en segundos; d) en ests condiciones, cuánto tiempo necesitá el sistem p pede l mitd de su enegí? ) de C E dt esp.: de C E dt b) Sepndo ibles: de C dt E Integndo ente E o y E y ente y t: ln (E/E ) = C t. Po tnto: esp.: E = E exp ( C t) c).9 E = E exp ( C ) Po tnto: esp.: C =.5 s - d) Agustín E. González Moles 7

129 .5 E = E exp (.5 t) Po tnto: esp.: t = s 45. Dos ills homogénes de mss M y m y longitudes A y B, que pueden gi independientemente lededo de l mism ticulción, cen desde su posiciones iniciles de eposo y. Detemin l elción que debe existi ente estos ángulos p que mbs lleguen l posición infeio con l mism enegí cinétic. Situmos en ½A y ½B los cdm de cd ill. Ls ltus h A y h B de M y N son: h A = ½A ½A cos = A sen ½ h B = B sen ½ A/ h B B/ m Como M h A Mgh A = ½ M A mgh B = ½ m B peo ls enegís cinétics, según el enuncido, hn de se igules. Po tnto: Mgh A = mgh B Mh A = mh B de donde deducimos que l elción que debe existi ente los ángulos es: esp.: sen sen mb ma 46. Un móil de kg sigue un tyectoi hoizontl meced un fuez hoizontl diigid siempe en l diección de l elocidd, con un potenci constnte de W. Clcul: ) l ecución del moimiento si el móil inici el moimiento en t = ; b) l elocidd, l celeción y el tiempo inetido los 44 m de ecoido. ) d P = F = m. dt Sepndo ibles, integndo ente y y ente y t, y despejndo : t P Pt d dt k t con k = m m P m Como dx = dt. Aho integmos ente y x y ente y t y despejmos x: Agustín E. González Moles 8

130 kt esp.: x t b) Con P = W, m = kg y x =44 m deteminmos el tiempo: Como = k t obtenemos los 6 segundos: esp.: t = 6 s esp.: (6) = 6 m/s P clcul l celeción deimos especto l tiempo y sustituimos t = 6: esp.: (6)= m/s 47. Un pelot de peso P td un cued se pone en otción en un cicunfeenci eticl, mnteniendo constnte su enegí mecánic. Si A es l tensión de l cued en el punto más lto y B en el más bjo, demost que B = A + 6P. B B mg m A A mg m estndo miembo miembo: B A mg m B A A mg B mg L iguldd de l enegí mecánic implic que, tomndo como niel de efeenci el punto más bjo: de donde se deduce que m A mg() m B B A 4g es deci B A mg m(4g) de donde como queímos demost. B A 6mg Agustín E. González Moles 9

131 TEMA VI DINÁMICA DE OTACIÓN DEL SÓLIDO ÍGIDO Sólido ígido Moimiento lededo de un eje fijo Momento de Ineci Enegí cinétic de otción Teoem de ls figus plns Momentos de ineci de cuepos compuestos Teoem de Steine o de los ejes plelos Algunos momentos de ineci dio de gio Momento ngul totl. Momento ngul especto un eje Momento de un fuez especto un punto y especto un eje Ecución fundmentl de l Dinámic de otción oddu y deslizmiento Tbjo de otción. Potenci Anlogís ente l tslción y l otción Ejecicios Agustín E. González Moles

132 . Si el momento cinético especto un punto es 5t k (S.I.), cuál es el momento esultnte de ls fuezs que ctún especto l mismo punto en el instnte t =? dl M(t) t k ; p t = dt esp.: M() k. Un cilindo y un esfe de mss igules y del mismo dio uedn sin desliz con elociddes igules, clcul l elción ente l enegí cinétic del cilindo E y l de l esfe E. Ec = ½ m + ½ Iω = ½ m + ½ I(/) = ½ (m + I/ ) E = ½ (m + ½ m); E = ½ (m + m). 5 Po tnto: esp.: E 4 E 5. ued sin desliz un bol mciz de kg po un plno inclindo º. El coeficiente de ozmiento estático es.4. Clcul l fuez de ozmiento. Tnto en el cso de un ued como en el de un cilindo y un esfe que ueden sin desliz, su supeficie y l del plno de contcto están instntánemente en eposo un con especto l ot; po tnto, el ozmiento es de tipo estático y, p que no hy deslizmiento, h de se meno o igul que su lo límite máximo μ e N. x y + N O F Po tnto = ls fuezs: F x = m x mg sen F = m M o = Iα F = m 5 5F, que sustituimos en l ecución de m φ φ mg F = 7 mg sen α esp.:.4 N 4. En lo lto de un plno inclindo º de 5 m se coloc un cilindo que bj odndo sin desliz. Clcul l elocidd de llegd l suelo con g = m/s. mgh = ½ m + ½ Iω de donde: mgl sen φ = ½ m + ½ ½ m (/) = 4 gl sen h L φ esp.: m/s 5. Un cuepo tiene los tes momentos pinciples de ineci igules de lo I, cuánto le el momento de ineci especto un eje que, psndo po el cdm, fom ángulos α, β y γ con los ejes pinciples? Agustín E. González Moles

133 Consideemos el momento de ineci I M de un cuepo ígido especto un ect M culquie (e figu) que pse po el oigen de coodends. Si los cosenos diectoes de M son: α = cos α, β = cos β, γ = cos γ (es un mne de economiz su escitu), y el ecto unitio u diigido los lgo de M es: u = α i + β j + γ k. El momento de ineci especto M es: M I M = h dm = ( x u) ( x u)dm Z u h donde el módulo de x u es pecismente h, de mne que elizndo el poducto escl del integndo, esult: X O dm Y h = (y + z ) α + (x + z ) β + (x + y ) γ xyαβ xzαγ yzβγ Si ho integmos mbos miembos: I M = I X α + I Y β + I Z γ I XY αβ I XZ αγ I YZ βγ donde pecen los momentos de ineci I X, I Y e I Z especto los ejes XYZ; y los llmdos poductos de ineci I XY, I XZ e I YZ (con I XY = xydm, nálogmente I XZ e I YZ ). Cundo los ejes XYZ son los pinciples de ineci, los poductos de ineci se nuln y el lo del momento de ineci especto l eje M es: I M = I X α + I Y β + I Z γ Como en nuesto cso I X = I Y = I Z = I, entonces I M = I (α + β + γ ). Peo α + β + γ =. Po tnto: esp.: I M = I 6. Un disco de dio y ms m ued sin desliz sobe un plno hoizontl con elocidd V ; ) clcul, el ecto de posición del punto P de l figu especto l punto de contcto O; b) clcul P, el ecto elocidd de P; c) demost que el ángulo fomdo po y V P es 9º; d) demost que si es el módulo de l elocidd ngul del disco, tmbién esult se P, donde P es el módulo de l elocidd de P y el del ecto de posición de P; e) los cálculos nteioes demuestn que en el cso de od sin desliz, el moimiento es el mismo que si el disco estuiese gindo instntánemente lededo del V punto de contcto O con elocidd ngul. Clcul l enegí cinétic del disco suponiendo que el gio instntáneo se eliz en tono O; f) clcul l enegí cinétic del disco sumndo l enegí cinétic de tslción del cdm y l de otción lededo del cdm y comp el esultdo con el del ptdo nteio. ) Y b) esp.: = (x, y) = ( cos, + sen ) dx d Px = V + = V + ( sen ), pues es dt dt constnte. dy d Py = = cos dt dt ' P X V O Agustín E. González Moles

134 peo d V dt po tnto: V V esp.: P (V ' sen, ' cos ) c) Efectundo el poducto escl del ecto elocidd de P po el ecto de posición: P. esp.: P d) Clculmos el módulo de l elocidd de P: P = Px Py V ' ' sen Asimismo clculmos el módulo del ecto de posición de P: = ' ' sen Y si tenemos en cuent que ω = V, hemos demostdo que: e) esp.: ω = P Ec = ½ I o ω Aplicmos el teoem de Steine: f) Ec = ½ (½ m + m ) V esp.: ¾ mv Ec = ½ m ( cdm ) + ½ I cdm ω = ½ mv + ½ (½ m ) V esp.: ¾ mv El mismo esultdo que en e), como cbí espe, según lo demostdo en d). 7. Un disco homogéneo de cm de dio y kg está odndo sin desliz sobe un supeficie hoizontl con un elocidd del cdm de m/s. Clcul el tbjo necesio p detenelo. W = Ec = ½ m + ½ Iω = ½ m + ½ ½ m (/) = ¾ m = ¾ esp.: W = 9 J Agustín E. González Moles

135 8. Un pegote de ms m y elocidd choc inelástic y pependiculmente con el extemo de un b de ms 6m y longitud L, colgd eticlmente po el oto extemo lededo del cul puede gi. Después del choque el pegote se dhiee l b. Hll l elocidd ngul del conjunto b-pegote ts el choque. Considendo los momentos de ineci con especto O: O Iω (ntes) = I ω (después) de donde se deduce: ml (/L) = (⅓ 6mL + ml ) ω m esp.: ω = L 9. Sobe un pltfom hoizontl, que gi ω d/s lededo de su eje eticl, se coloc un objeto cuyo coeficiente estático de ozmiento es. Clcul l máxim distnci l eje l que se debe situ p que gie sin se lnzdo hci el exteio. con F = m : F = mg F = m c c = m ω x F de donde: X esp.: x = g/ω. Un pole de momento de ineci I y dio, está colgd del techo y gi lededo de su eje. Tiene enolld un cued sin ms de l que cuelg un cuepo de ms m. Hll l celeción con l que desciende el cuepo l desenollse l cued. F = m M o = Iα mg T = m T = I (/) m esp : g I m O + mg T T. Dos pess de y kg cuelgn de los extemos de un hilo que lboe tés de un pole cilíndic de kg que cuelg del techo. Hll l celeción de ls pess. m = kg; m = kg; m pole = m = kg F = m O T P l ms m : m g T = m P l ms m : m g T = m T T + m g m g T M o = I P l pole: T T = ½ m / e sp.: g 7. ) Un cilindo, un esfe y un o de l mism ms y dio pten del eposo y desde l mism ltu sobe un plno inclindo odndo sin desliz, cuál lleg l pie del plno en último lug?; b) ho se lnzn desde el extemo infeio del plno con l mism Agustín E. González Moles 4

136 elocidd de sus cdm, cuál lleg más lto?; c) po último, se lnzn desde el pie del plno con l mism enegí cinétic, cuál lleg más lto? mgh = ½ m + ½ Iω mgh = ½ m + ½ Am (/) donde A es.5 en el cilindo,.4 en l esfe y en el o. ) gh A Como el lo de A es el myo en el o, l elocidd de su cdm es l meno. Po tnto: esp.: el o lleg el último b) ( A) h g Como el lo de A es el myo en el o, p l mism : esp.: el o lleg más lto c) m( A) h mg Como el numedo es el mismo p los tes: esp.: lcnzn l mism ltu. Un disco mcizo de kg y. m de dio gi zón de.p.s. Medinte un zpt de fendo le plicmos un fuez de π N. El coeficiente de ozmiento ente l zpt y el disco es.5. Cuánts uelts d el disco hst pse? M = I Peo, Con l nteio, pemite clcul. Sustituyendo : F = ½ m F = F ω = ω o + : con ω =, = ω o /. F F o m ( ). = 4π d 4F 4.5 esp.: uelts 4. Un disco metálico de M = gmos gi lededo de su eje 6 pm. Le dosmos en un punto de su peifei un imán, considedo puntul, y el conjunto ps gi ps. Cuál es l ms m del imán? Iω (ntes) = I ω (después) Agustín E. González Moles 5

137 ½ M ω = (½ M + m )ω ' m = M = ' 6 6 esp.: gmos 5. Un peson de m = 75 kg se encuent en el bode de un disco cicul de M = kg y m de dio que gi lededo de un eje pependicul que ps po su cento 4 pm. Se pone cmin hci el cento y se detiene. Cuál es l nue elocidd de l pltfom? Iω (ntes) = I ω (después) (½ M + m ) ω = ½ M ω M m 75 ' 4 M esp.: 7 pm 6. Suponiendo que l contcción que expeiment l Tie (supuest esféic) cus de un enfimiento globl, pooc un cotmiento de un dio en un lo n, tl que >n>. Clcul l nue elocidd ngul de otción. Iω = I ω I = 5 m I = 5 m( n) esp.: ω = ω ( n) ω ( + n) Supongmos que el dio se cot un po mil, entonces n =. y ω =.4 ω. Lo que supondí que un dí duse 4 hos minutos 5 segundos. 7. Un tioio de m de dio está gindo sin ozmientos π d/s. Un muchcho de m = 6 kg d un slto dil y se sitú en su bode, con lo que el tioio educe su elocidd π/ d/s. Detemin el momento de ineci. Se I el momento de ineci del tioio: Iω (ntes) = I ω (después) Iω = (I + m )ω I m ' 6 ' esp.: I = 48 kg m 8. Un ued de ms M y dio gi lededo de un eje de dio, sin ms, que ps po su cento. En el eje se oll un hilo del que pende un ms m que en su descenso hce gi l sistem. Suponiendo que l ms de l ued está concentd en su peifei. Cuál es el espcio ecoido po m l cbo de t segundos de inicise el moimiento? F = m M = I mg T = m T = M (/) = mg /(m + M ) Como el cmino ecoido es s = ½ t, entonces: O + mg T T Agustín E. González Moles 6

138 mg esp.: s t m M 9. Un tiángulo equiláteo de ldo L está fomdo po tes ills de densidd linel λ. Tiene un momento de ineci, especto un eje pependicul l plno del tiángulo que ps po un étice, cuyo lo es kλl. Clcul k. I = I() + I(b) + I(c) c O b Aplicndo el teoem de Steine clculmos I() = I o + mh, con h = ¾ L y I o = ml, siendo m = λl. Además, I(b) = I (c) = ⅓ ml Po tnto: I = ( + ¾ + ⅓) ml =.5 λl esp.: k =.5. L hoj de un bisg de medids y b y espeso despecible gi lededo del gozne. Clcul su dio de gio. b I = x dm dx L densidd supeficil es m dm = x b dx po tnto: b de donde I = b x dm = b m dx m dx mb b ; b k b esp.: k =. Un ill de metos de longitud y ms despecible lle soldds en sus extemos dos esfes de kg y ot de 4 kg en el cento, tods puntules. Clcul el dio de gio especto l eje pependicul l ill que ps po uno de sus extemos. L L L bol de l izquied no contibuye l lo de I: m M m I = ML + m(l) = (M + 4m)L = (M + m)k esp.: k =. Un ill de ms m y longitud L cuelg eticlmente, suspendid po un extemo, de un eje hoizontl sobe el que puede gi libemente. ) Clcul l elocidd con l que se debe impuls el extemo infeio p que l ill lcnce l posición hoizontl; b) si ho se dej ce libemente ptiendo de l posición hoizontl, detemin l elocidd ngul cundo ps po l eticl. ) ½ Iω = mgh h = L/ ½ ⅓ ml (V/L) = mg ½ L esp.: V = gl Agustín E. González Moles 7

139 b) mgh = ½ Iω mg ½ L = ½ ⅓ ml ω esp.: ω = g L. ) Detemin el momento de ineci de un disco especto un eje que pse po su cento y se pependicul su plno. b) Clcul el de un cilindo que gi en tono su eje. ) dm d Cd elemento difeencil de ms es un nillo cuyo momento de ineci es dm, peo dm = da, siendo l densidd supeficil. Como el nillo es homogéneo = M/A, siendo M l ms totl y A el áe totl de lo π. Además, da = πd. Po tnto: I = dm = M d esp.: I = ½ M b) Podemos conside l cilindo fomdo po un seie de discos homogéneos de ms m i. El momento de ineci de cd uno de estos discos es ½ m i Si M = m i, el momento de ineci del cilindo completo es: m i M I = ½m i = ½ m i esp.: I = ½ M 4. Clcul momento de ineci de un esfe especto un eje dimetl. dx X x Pime método: considemos l esfe fomd po un seie de discos de espeso dx y dio x, situdos un ltu x. L ms de un disco es: dm = (m/v) π dx, donde m es l ms totl de l esfe y V su olumen. El momento de ineci de este disco es: di = ½ dm = ½ (m/v)π( x ) dx Si integmos ente y y sustituimos V = 4/ π obtenemos el momento de ineci de l esfe: Z esp.: I = 5 m X dm d Y Segundo método: empleemos el momento de ineci especto un punto (o momento pol de ineci). Si el momento de ineci especto l eje X de culquie sólido es I X = (y + z )dm, especto l eje Y es I Y = (x + z )dm y especto l eje Z es I Z = (x + y ) dm, y los summos: Agustín E. González Moles 8

140 I X + I Y + I Z = (x + y + z ) dm peo x + y + z =, es deci el cuddo de l distnci l oigen de coodends del elemento infinitesiml dm. Si definimos I o como el momento de ineci especto l oigen: I o = dm, esult: I o = I X + I Y + I Z Apliquémoslo l esfe. Tommos un olumen elementl esféico de espeso d, situdo un distnci del cento: dv = 4π d; y dm = (m/v) 4π d: I o = m dm 4 V 4 d Sustituyendo V = 4/ π, obtenemos I o = /5 m. Como en l esfe I X = I Y = I Z, entonces I o = I X, de donde: esp.: I = 5 m 5. Clcul el momento de ineci de un lámin de espeso despecible en fom de secto cicul de 9º, con especto uno de los ldos ectos. Clculmos el momento especto l eje pependicul l plno XY que ps po O: I Z = m densidd supeficil, de lo 4 dm, donde dm = ½π d, siendo l. Si integmos, obtenemos: I Z = ½ m. Peo, según el teoem de ls figus plns I Z = I X + I Y, siendo I X = I Y, debido l simetí de l figu. Po tnto: esp.: I X = I Y = ¼ m 6. Tes mss de 4 kg están colocds en los étices de un tiángulo equiláteo de meto de ldo. Clcul el momento de ineci del sistem especto un eje pependicul l plno del tiángulo, que pse po el punto medio de un ldo. Y O d X m L h m m L L I = m + m + m h peo h = ¾ L y ls tes mss son igules m: 5 I = ml esp.: 5 kg m 7. Un ob de te de kg está hech con un plnch metálic que tiene un pefil letoio slo dos bodes ectos AB y CD, plelos, sepdos L = m. Tmbién está pefod po muchos oificios de foms bitis. Se dese colg de un ped, de mne que los bodes plelos queden eticles. Si los momentos de ineci especto AB y CD son espectimente 6 y kg m. A qué distnci del bode AB debemos colgl? Debe colgse de culquie punto situdo en l eticl del cdm. Agustín E. González Moles 9

141 Supongmos que l ect que, ps po l eticl del cdm, se encuent un distnci x del cnto AB (l cul es plelo). Aplicmos el teoem de Steine los ejes AB y CD: A C I AB = I cdm + mx 6 = I cdm + x D I CD = I cdm + m(l x) = = I cdm + ( x) B x m esp.: x = 5 cm 8. El momento de ineci de un ill delgd unifome de ms m y longitud L especto un eje pependicul ell es I = m (⅓L). Detemin l posición del eje. x L Aplicmos el teoem de Steine: I = I cdm + m(½l x) m (⅓L) = ml + m(½l x) Se obtiene: 9x 9Lx + 4L =, cuys soluciones son: esp.: x = ⅓L x = ⅔L 9. Clcul el momento de ineci de un cilindo de ms m y dio con especto un eje pependicul su eje geomético que pse po el cento de su ltu h. dx En un disco homogéneo, como el de l figu, el momento de ineci dimetl I = I X = I Y, se puede clcul expenss de I Z = ½ m plicndo el teoem de ls figus plns: I Z = I X + I Y : h x ½ m = I e Po tnto: I = ¼ m teoem de Steine: El momento de ineci de un disco de espeso dx y densidd, especto l eje e, se clcul plicndo el di e(disco) = I + x dm con dm = π dx di e(disco) = ¼ π 4 dx + π x dx P clcul el momento de ineci del cilindo completo especto l eje e, integmos l expesión nteio ente ½ h y ½ h y sustituimos m = π h: esp.: I e = ¼ m ( + ⅓ h ). Un moto de.5 CV se copl dunte segundos un ued cuyo momento de ineci es 47 kg m. Clcul l elocidd ngul de l ued. Agustín E. González Moles 4

142 po tnto W = P t ; W = ΔEc = ½ Iω P t = ½ Iω.5 75 = ½ 47 ω esp.: ω = d/s. Con seis ills delgds y homogénes de ms m y longitud L se constuye un hexágono egul. Clcul su momento de ineci especto un eje pependicul su plno y que pse po el cento. L distnci del cento del hexágono l cdm de cd ill es l ltu h de un tiángulo equiláteo de ldo L, tl que h = ¾L. Aplicndo el teoem de Steine un ill: I = I cdm + mh = ml + m ¾L 5 = ml 6 El momento de ineci del hexágono es I = 6I. esp.: I = 5mL. En un cuepo de ms m y fom biti se conoce el momento de ineci I especto l eje, que dist d metos del cdm y está situdo su izquied. Clcul el momento de ineci I especto un eje plelo l nteio, situdo l deech del cdm y que dist d del eje. d Aplicndo el teoem de Steine los ejes y : d I = I cdm + md I = I cdm + m(d d ) cdm de donde: esp.: I = I + m(d d d ). ) Hll el momento de ineci de un ill homogéne de longitud L y ms m, especto un eje que fom un ángulo con ell y que ps po uno de sus extemos. b) Clcul el momento de ineci especto un eje plelo l nteio que pse po su cdm. ) I = dm AB dm B A peo dx de donde dm m dx L φ x dm = m dx L demás, AB = x sen ; po tnto L I = m ( x sen ) dx L esp.: I = ⅓ m L sen Y plicndo el teoem de Steine: I = I cdm + m ( ½ L sen ) ; de donde obtenemos: Agustín E. González Moles 4

143 4. Clcul el momento de ineci de un cono especto su eje de simetí. esp.: I cdm = m L sen Considemos el cilindo de espeso infinitesiml dx, cuyo momento de ineci es di = ½ dm. L densidd olumétic del cono es: =dm/dv = m/v con V = ⅓ π h, dv = π dx. Además, /x = /h, po tnto, = x/h h x dx de donde deducimos que: 4 di = m x dx 5 h E integndo ente y h esult : esp.: I = m 5. Clcul el lo mínimo del coeficiente de ozmiento ente un plno inclindo º y un cilindo p que uede sin desliz. F = m M = I De donde deducimos que mg sen φ F = m F = ½ m / F mg sen φ y + x N O F P que uede sin desliz: Es deci F e N φ φ mg sen φ e mg cos mg Po tnto esp.: e 6. Un bol homogéne de ms m y dio ued sin desliz po un plno inclindo gdos con l hoizontl. Hll ) los loes del coeficiente de ozmiento que pemiten que no hy deslizmiento; b) l enegí cinétic después de t segundos. L figu es nálog l del ejecicio nteio: F = m mg sen F = m M = I F = 5 m / F = 7 mg sen ; = 7 5 g sen Agustín E. González Moles 4

144 ) mg sen e mg cos 7 po tnto: esp.: e 7 tg b) Ec = ½ m( + ½ I ω ) = ½ m ( t + ½ ½ m t / ) esp.: Ec = 4 5 m(gt sen) 7. Un cilindo de ms m = kg y dio = 6 cm pte del eposo sobe un plno hoizontl (coeficiente de ozmiento.) ts plicle en su cdm y hoizontlmente un fuez ible con el tiempo F = ⅓ gt. Clcul ) el tiempo l cbo del cul empiez desliz; b) l celeción del cdm cundo empiez desliz; c) l celeción del cdm y l celeción ngul l cbo de 4 segundos. F F Al plicle un fuez ceciente, l pincipio empiez od sin desliz: F = m ⅓ gt F = m Ec. 9 F = gt Ec. M = I F = ½ m / F = ½ m Ec. ) Cundo empiez desliz F es máxim: F = mg. Po tnto: t = 9m esp.: t = 9 s b) En F = ½ m sustituimos F = mg. Po tnto, = g esp.: = 5.88 m/s c) Según ), los 4 segundos el cilindo todí gi sin desliz. Po tnto, sustituimos el lo de F de l Ec. en l Ec.. Obtenemos: esp.: =.65 m/s = / =.958 d/s 8. Un sistem está constituido po: un pole doble P, cuyo diámeto myo mide y el meno, de momento de ineci especto su eje de gio I; un pole P de diámeto y momento de ineci I ; un coe de tnsmisión de ms m que une mbs poles, montd sobe el diámeto myo de P; un cble sin ms, que se enoll un númeo suficiente de eces sobe el diámeto meno de P, del que cuelg un ms M. Clcul ) l enegí cinétic del sistem cundo l elocidd de descenso de l ms M es ; b) l celeción de descenso de M; c) l tensión del cble; d) l potenci que ecibe P cundo l elocidd de descenso es. ) Ec = ½ M + ½ Iω + ½ m c + ½ I ω Cundo l elocidd de M se, l elocidd ngul de P seá P P T T Mg Agustín E. González Moles 4

145 ω = / l elocidd linel de l coe seá c = (/) y l elocidd ngul de P seá Po tnto: b) ω = (/) (/ ) esp.: Ec = ½ N ; con N = M I m I' ' L ición de enegí potencil de M se iniete en i l enegí cinétic del sistem: Ep = Ec Si el sistem pte del eposo: Ec = Ec po tnto Mgh = ½ N peo, si es l celeción de M = h de donde esult: esp : = Mg/N c) Mg T = M esp : T = M(g ) d) P = I ω ; con = (/)(/ ) esp.: P = I' Mg N ' 9. En un cilindo mcizo homogéneo de ms m y dio se enolln unos hilos finos. Los extemos libes de los hilos se fijn l techo de un scenso que empiez scende con un celeción, l mismo tiempo que los hilos se desenolln. Hll ) l celeción del cilindo con especto l scenso; b) l fuez que ejece el cilindo sobe el techo tés de los hilos. T T L celeción bsolut de descenso del cilindo es c =. Peo l esponsble del gio es, tl que =. + mg F = m mg T = m c () M = I T = ½ m / () Agustín E. González Moles 44

146 Con () y (): ) esp : = ⅔ (g + ) b) esp.: T = ⅓ m (g + ) 4. Clcul el momento de ineci, especto l eje que ps po ls bisgs, de un puet pismátic de m = 5 kg, cuys medids son: =.75 m, b =.95 m y c =.5 m. El ms de l puet es m = bc, siendo l densidd. Z El difeencil de ms de espeso dz es: dm = bdz. El momento de ineci especto l plno XOY es: dz I XOY = z dm = bz dz, que integmos ente ½ c y ½ c: c O z Y Análogmente: I XOY = mc I YOZ = m X b Peo, el momento pol es: I Z = I O = I XOY + I YOZ = m( + b ). Aplicndo el teoem de Steine: I = I O + m(½ ) = m(4 + b ) esp.: I = 5. kg m 4. Un ms m = Kg cuelg del extemo de un cued sin ms, que ps po un pole sin ozmiento, después se enol en un cilindo de ms M = 8 kg y dio = cm, que ued sobe un plno hoizontl. Clcul ) l celeción de m; b) l tensión de l cued; c) l celeción ngul del cilindo L celeción de l cued es l que tiene el punto P del cilindo. Peo en P se conjugn dos celeciones: l del cdm del cilindo o y l coespondiente l gio de P en tono O; es deci: peo = o +, F P O + T T T T mg o = po tnto = Agustín E. González Moles 45

147 A l mism conclusión hubiésemos llegdo plicndo el concepto de cento instntáneo del ejecicio nº 6. P l ms m: P el cilindo: Con (), (), () y (4) clculmos, T y : F = m mg T = m () = () F = m T F = M() () M = I T + F = ½ m (4) esp.: =.45 m/s ; T = 7.5 N; =.5 d/s 4. Dos discos inicilmente en eposo, cuys peifeis ugoss son tngentes ente sí, gin odndo uno sobe oto sin deslizmiento. Sus mss son m = kg y M = kg, y sus dios son = m y = m. Después de hbe bsobido un tbjo W = 5 J, clcul ls eoluciones de cd disco. W = Ec = ½ I ω + ½ I ω I = ½ m, I = ½ M, ω = n /, ω = n /, siendo n y n ls PM de cd disco que, l est odndo sin desliz uno sobe oto, cumplen l elción n = n. Sustituyendo ests expesiones en l ecución del tbjo y despejndo, obtenemos: esp.: n = ½ n = PM 4. Un yo-yo tiene dos discos de diámeto = 6 cm y nchu h = mm, unidos po oto de diámeto = cm y de l mism nchu. Los tes son coxiles, homogéneos y de l mism mtei. L ms del conjunto es m = 7 gmos. Se enoll en el meno un hilo idel que se fij po un extemo un punto inmóil. Clcul ) l elocidd linel cundo el yo-yo h descendido 6 cm ptiendo del eposo; b) l tensión que tiene entonces el hilo. T m m m + m = 7 m = h m = h m m 7 ; m = 6; m = (gmos) 8.5 mg ) I = ½ m + ½ m b) mgl = ½ m + ½ Iω = ½ (m + I/ ) = L esp.: =.79 m/s F = m mg T = m esp.: T =.677 N Agustín E. González Moles 46

148 44. Un cilindo homogéneo de dio y ms m gi lededo de su eje hst lcnz un elocidd ngul ω. Después de coloc dento de un ángulo ecto. El coeficiente de ozmiento con ls pedes es. Cuánts uelts d el cilindo ntes de detenese? L fuez de ozmiento en cd ped es N, siendo N l noml en cd cso. Así, en l ped eticl l noml le mg F, mients que en l hoizontl es F. Po tnto: F mg F = (mg F ) F = F Clculdos F y F, con (F + F ) = I, e I = ½ m, deteminmos. Con ω =, y = n, siendo n el númeo de uelts, obtenemos: esp.: F ( ) n 8g( ) 45. Un cilindo mcizo homogéneo de dio y ms M puede gi lededo de un eje hoizontl fijo O. Se le enoll un codón fino de longitud L y ms m. Detemin l celeción ngul del cilindo en función de l longitud x de l pte del codón que cuelg, considendo que el cdm de l pte enolld se encuent en el eje del cilindo. O + xg T T L densidd linel de l cued es = m/l. L ms de cued que cuelg es x; y l enolld en el cilindo (L x). F = m M = I xg T = x T = [½ M + (L x) ] esp.: = mgx L(M m) 46. Un disco homogéneo de ms m = kg y dio = cm, lle enolld un cued que cuelg del techo po un extemo. Si el sistem pte del eposo, clcul ) l celeción del cdm del disco; b) l tensión de l cued; c) l elocidd ngul cundo se hyn desenolldo L = metos de cued. ) F = m mg T = m M = I T = ½ m esp.: = ⅔ g = 6.5 m/s T T b) c) esp.: T = ⅓ mg = 6.5 N mg = = L ω = esp.: ω = 5. d/s Agustín E. González Moles 47

149 47. Un b homogéne de longitud L, está poyd en su extemo A y ticuld en un punto O especto l que puede gi sin ozmiento. En un cieto instnte se supime el poyo A. Clcul ) l posición de O, de mne que l ección en O l inici el gio se l mism que l que existí en dicho punto ntes de despece el poyo A; b) l elocidd lcnzd po el extemo que estb poydo en A, cundo l b pse po l eticl. x O mg mg - A ) Antes de eti el poyo tommos momentos con especto O: mg (½ L x) (mg )(L x) = Así obtenemos en función de x: L = ½ mg L x () Al quit el poyo A despece l ección (mg ): F = m: mg = m () M = I: mg(½ L x) = [I cdm + m(½ L x) ] L x () Donde hemos plicdo el teoem de Steine con I cdm = ml. De ls ecuciones y deducimos ot expesión de en función de x: mgl (4) L L x Igulndo () (4) obtenemos: 6x 5Lx + L =, cuys soluciones son ½ L y ⅓ L. L pime se desct poque el poyo O estí en el cdm. Po tnto: esp.: x = ⅓ L b) con h = ½ L x = ½ L ⅓ L de donde deducimos que ω = g/l. Peo mgh = ½ Iω I = ml + m(½ L x) = ml + m(½ L ⅓ L) A = ω (⅔ L): esp.: A = gl Agustín E. González Moles 48

150 TEMA VII TEMODINÁMICA Sistems temodinámicos. Pedes Vibles o coodends temodinámics Pesión Volumen Tempetu Ecución de estdo. Equilibio. Pocesos eesibles Gses ideles. Leyes y ecución de estdo de los gses ideles Clo. Clo específico. Clo ltente Tbjo temodinámico. Digms p V Pime pincipio de l Temodinámic. Aplicciones Pocesos cíclicos Poceso isócoo Poceso isóbo. Entlpí Poceso dibático Pocesos en gses ideles Enegí inten de un gs idel Pocesos isóbos en gses ideles. Fómul de Meye Pocesos dibáticos en gses ideles. Ecuciones de Poisson Segundo pincipio de l Temodinámic. Máquin témic. Entopí Necesidd del segundo pincipio de l temodinámic Conesión de clo en tbjo Enuncido del segundo pincipio de l temodinámic Máquin témic endimiento Entopí S Cálculo de ls iciones de entopí en pocesos eesibles Poceso eesible y dibático Poceso eesible e isotemo Poceso eesible no isotemo Cálculo de ls iciones de entopí en pocesos ieesibles Cálculo de ls iciones de entopí en los cmbios de fse. Medid del desoden Entopí de fusión Entopí de poizción L entopí como medid del desoden Ciclo de Cnot endimiento del ciclo de Cnot Máquins figoífics y bombs témics Eficienci de un máquin figoífic Eficienci de un bomb témic Agustín E. González Moles 49

151 . Un cloímeto de ltón (clo específico.9 cl/ºc/g) de 5 gmos contiene 5 gmos de hielo (clo específico.5 cl/ºc/g) 5 ºC. Clcul l cntidd de po de gu, ºC y l pesión noml, que es necesi p que todo el sistem llegue l tempetu de 5 ºC. Q = m c T Q = m L (en los cmbios de fse) Se entiende que el cloímeto está l mism tempetu que el hielo que contiene. Po tnto, el ltón debe ps de 5 ºC 5 ºC: Q (ltón) = 5.9. El hielo debe ps de hielo 5 ºC hielo ºC, de hielo ºC gu ºC, y de gu ºC gu 5 ºC : Q (hielo) = Un cntidd x de po debe pimeo licuse psndo de po gu ºC. Después debe ps de gu ºC gu 5ºC: Q (po) = x 54 + x 85 Q (ltón) + Q (hielo) = Q (po) = x 54 + x 85 esp.: 4.54 gmos. Un mol de un gs idel sufe un clentmiento isobáico de 7 ºK comunicándole.6 KJ de clo. Detemin: ) el tbjo elizdo po el gs; b) el incemento de su enegí inten y c) l mgnitud. ) Al se un clentmiento isobáico p es constnte, po tnto: W = p V = n T: W = esp.: J b) U = Q W = esp.:. J c) Al se un gs idel U = n C T. Como Q = n C p T: = C C p Q U 6. esp: Cuánts cloís se necesitn o se despenden l compimi isotémicmente litos de un gs idel 7 ºC y tm hst educi su olumen l décim pte? Al se T =, po ttse de un gs idel, entonces U =. De donde: Agustín E. González Moles 5

152 V dv Q = W = pdv nt = nt ln (V /V ) = p V ln (V /V ) V V V V Q = 5 ln (/) =.9 J = cl. esp: Se despenden cl 4. Un mol de un gs idel monotómico se encuent 7 ºK y tm. Clcul l ición de enegí inten y el tbjo elizdo cundo bsobe 5 J ) pesión constnte y b) olumen constnte. Gs monotómico: C p = ) 5, C = 5 Q = n C p T 5 = 8.49 (T7) T = 97. ºK U = n C T = 8.49 (97. 7) esp.: U =.87 J W = Q U = 5.89 esp.: W = 98. J b) Q = U, poque W = esp.: U = 5 J esp.: W = J 5. Un máquin de po tbj ente l tempetu de l clde 5 ºC y l del condensdo 5 ºC y desoll un potenci de 8 CV. Sbiendo que el endimiento es del % especto l de un máquin idel que tbje ente ls misms tempetus, hll l cntidd de clo que debe pot l clde en l unidd de tiempo. Cnot = W Q T f = = =.8 T h =. Cnot =.47 Q = W/ = 8/.47 = CV = J/s = 45 cl/s esp.: 45 cl/s 6. En un ecipiente de 5 litos, cedo, se encuent hidógeno en condiciones nomles. Se enfí 55 ºK. Hll l ición de enegí inten del gs y l cntidd de clo tnsmitido. Ttndo el hidógeno como gs bitómico idel: U = n C T pv n = T C = 5 Agustín E. González Moles 5

153 U = 5 pv T T = ( 55) 7.5 esp.: U = 55. J Como el poceso se eliz olumen constnte, el tbjo es nulo. Po tnto: esp.: Q = U 7. En un ecinto de m se hn intoducido 4 gmos de hidógeno, 4 gmos de helio, 4 gmos de nitógeno y tmbién 4 gmos de oxígeno. L tempetu es de 7 ºC. Suponiéndolos gses ideles, clcul l pesión de l mezcl. Todos los gses son bitómicos. El númeo de moles de cd uno es: n (H ) = 4/; n (He) = 4/4; n (N ) = 4/8; n (O ) = 4/ El númeo totl de moles es l sum: n = = 8. p = n T/V = 8.8 ( )/ esp.: 4.54 tm 8. Un ecipiente de m contiene kg de oxígeno ºC. Oto igul tiene kg de hidógeno l mism tempetu. Estndo el conjunto isldo del exteio, se comunicn ente sí los dos ecipientes de modo que mbos gses se mezcln po completo. Luego se intoduce en el inteio un mezcl de 4 kg de gu y gmos de hielo fundente, oliendo isl el conjunto. Sbiendo que el clo específico mol olumen constnte de l mezcl de oxígeno e hidógeno es 5 cl/mol, cuál es l tempetu de equilibio? El númeo de moles de oxígeno es /. El de hidógeno /. El poceso se eliz olumen constnte. Los gmos de hielo fundente necesitn 8 cl p conetise en gu ºC. Po tnto, un ez fundido el hielo, disponemos de (4 + ) gmos de gu ºC. Q = n C T = 5 (/ + /) ( T) Q c = 8 + (4 + ) (T ) E igulndo los cloes bsobidos y cedidos, y despejndo T: esp.: 6.4 ºC 9. En un cloímeto, cuyo equilente es gu es 5 gmos, hy gmos de gu y gmos de hielo, todo ºC. Si se intoducen gmos de gu 5 ºC, cuál es l tempetu finl? ( + 5) (T ) (T ) = (5 T) esp.: T = 9.89 ºC. Un ms de gu ce desde un ltu de 854 m. Si tod l enegí desolld se initie en clent el gu, hll l tempetu que dquiií si estb ºC. mgh = m c T T = gh c = esp.: ºC. Se colocn en el inteio de un cloímeto, dotdo con un temómeto y un gitdo, 5 gmos de gu que se git hst que dquiee un tempetu estble de 5. ºC. Entonces se intoducen 5 gmos de gu.6 ºC. Se git de nueo hst que se Agustín E. González Moles 5

154 lcnz l tempetu de equilibio de.5 ºC. Ls pédids de clo son despecibles. Detemin el equilente en gu del cloímeto. Los 5 gmos de gu.6 ºC ceden clo los 5 gmos de gu y l ms m e equilente en gu del cloímeto: 5 (.6.5) = (5 + m e ) (.5 5.) esp.: m e = 5 gmos. Un montcgs sube 47 kg un ltu de 6 m.6 m/s. L enegí pedid po esistencis psis en el moto que lo ccion se tnsfom en clo, y su lo es tl que scensiones elen l tempetu de un mezcl de 5 kg de hielo y 5 kg de gu ºC hst ºF. Clcul el endimiento y l potenci en CV del moto. El tbjo en ls scensiones es: L tempetu en ºC es: W = m gh = = J (ºF ) = ºC 8 ( ) = ºC 8 T = 5 ºC El clo pedido en ozmientos es: Q = m L f + (m + m ) c T = (5 + 5) (5 ) Q = 9 cl = 768 J El endimiento es: = W = W Q esp.: = 8% El tiempo inetido po el montcgs en cd scensión es el cociente ente l ltu y l elocidd. El tiempo en ls scensiones es eces más: t = 6/.6 = 6 s. Y l potenci es: P = W Q = t = 8.795/75 CV 6 esp.: 4.7 CV. Qué ición de entopí expeiment gmo de hielo ºC cundo pesión noml se coniete en po de gu ºC? Dunte l fusión: s f = Q m L f. 6 T T 7.5 J/ºK. Dunte el clentmiento de ºC: s c = m c ln (T /T ) = ln(7.5/7.5) =.6 J/ºK Dunte l poizción: s = Q m L T T 7.5 J/ºK s = s f + s c + s esp: s = 8.59 J/ºK Agustín E. González Moles 5

155 4. Cinco moles de nitógeno se compimen desde tm l ez que su tempetu cece de ºC ºC. Clcul l ición de entopí. Considendo l nitógeno como un gs bitómico idel, clculmos l ición de entopí sumndo l de un poceso pesión constnte con l de oto tempetu constnte: A pesión constnte, el clo bsobido es s = s p + s T = ( Q/T) p + ( Q/T) T Q p = n C p dt. A tempetu constnte, l ición de enegí inten es ceo po ttse se un gs idel; po tnto, el clo es igul l tbjo: Difeencindo l ecución de estdo: como T es constnte: Po tnto: Q T = W = p dv d(pv) = d(nt) Vdp + pdv = Q T = Vdp. Sustituyendo V: Q T = nt dp/p. ds = ds p + ds T = nc p dt/t n dp/p Integndo: s = n C p T ln T p ln p 7 5 ln ln esp.: s =.45 J/ºK 5. Un gs idel con loes iniciles p y V se expnde dibátic y cusiestáticmente hst lcnz los loes p y V. Clcul el tbjo y l ición de enegí inten. V V k k W = dv V V V k p p pv pv pdv V V V k k V Sbemos que l se un poceso dibático W = U peo podemos coobolo tés de l últim expesión clculd: W = p V pv nt nt n(t T ) n(t T ) C C nct U Cp Cp C C 6. Un mol de un gs idel cuyo C es cl/mol/ºk, que inicilmente está tm, descibe el siguiente ciclo eesible: ptiendo del estdo inicil, expeiment un compesión Agustín E. González Moles 54

156 dibátic hst duplic su tempetu; continución se client pesión constnte y po último sufe un enfimiento olumen constnte hst lcnz el estdo inicil. Clcul: ) el endimiento y b) l ición de entopí de cd un de ls tnsfomciones. De l elción de Meye: C p C =, con = cl/mol/ºk, deducimos que C p = 5. Po tnto, el coeficiente dibático es: = C p /C = 5/ p En el poceso : peo T V = T V V po tnto Como T = T V = V entonces peo p = p V T = T V V = V de donde deducimos que T = 4 T ) P clcul el endimiento efectumos el cociente: = W Q Q Q Q Q = Q donde emplemos el signo negtio si, como se expes, clculmos el lo bsoluto de Q. El esultdo seí el mismo si pusiésemos un signo positio, peo plicásemos el conenio de signos, pues Q es un clo cedido. Peo nc p Q = n C p (T T ) = (p V p V ), n T p V = p V = 4 p V T Agustín E. González Moles 55

157 po tnto: p V = p V T = p V T Q = C p (4 ) p V Q = nc (T T ) = nc (p V p V ) n Q = C ( 4 ) p V Q = Q = C C p ( 4 ) (4 ) y ecodndo que C p /C = 5/ esp.: =.6 b) En l tnsfomción dibátic no se poduce ición de entopí. esp.: s = En el poceso : En el poceso : e integndo: T s = nc p ln T ds = Q T = 5 ln 4 T T nc dt T T s = nc ln T s = ln 4 T T esp.: s = 7.5 ln esp.: s = 9 ln 7. 8 kg de O tm y 4 ºK se expnsionn isotémicmente hst un estdo B tm. Luego lo enfimos pesión constnte hst un estdo C y, po último se compime dibáticmente hst el estdo inicil A. Detemin: ) el clo que bsobe o cede en cd tnsfomción; b) el tbjo elizdo, y c) el endimiento. n = 8/ = 5 moles V A = n T A /p A = 5.8 4/ = 4 litos p A T B = T A, p B = tm, po tnto V B = n T B /p B = 8 litos C B Considemos un gs idel bitómico: = C P /C = 7/5 =.4 V En p V p V, como p C = p B, clculmos V C = litos. A A C C Agustín E. González Moles 56

158 ) Como el poceso AB es isotemo U =, po tnto: B B dv VB pdv nt ln = ln V V A A A Q AB = W = nt Q BC = nc p (T C T B ) = n 7 pcv n C T B esp.: Q AB = J =.5(p C V C n T B ) =.5(p C V C p B V B ) Q BC =.5 p B (V C V B ) =.5 5( ) esp.: Q BC = 584. J El poceso CA es dibático, po tnto: b) esp.: Q CA = W AB = Q AB esp.: W AB = J W BC = p B (V C V B ) = 5( ) esp.: W BC = J W CA = U CA = n C (T A T C ) = n 5 pcv TA C =.5(nT A p C V C ) n W CA =.5( ) esp.: W CA = J c) El endimiento es: = W Q = W AB W Q BC AB W CA esp.: = 9 % 8. Un cilindo de cm de sección y cm de ltu, tpdo po un émbolo, contiene un gs idel bitómico tm y 7 ºC. Sobe el émbolo poymos un pes de kg que compime el gs ápidmente; luego dejmos el tiempo suficiente p que el gs ecupee l tempetu inicil; entonces se quit l pes y el gs se expnde ápidmente; y dejmos de nueo que el gs ecupee su tempetu inicil. ) epesent los pocesos en el digm p V, clculndo los loes p, V, T de los extemos de cd poceso, y b) hll los cloes bsobidos y cedidos po el gs. ) En los pocesos AB y CD, l compimi/expndi el gs ápidmente, suponemos que no existe intecmbio de clo con el entono; es deci, se poducen dos tnsfomciones dibátics. Los pocesos BC y DA son isóbos. V A = = cm =. litos. p C B p B = tm + mg/s = /. = 995 P. Considemos un gs idel bitómico: = C P /C = 7/5 =.4. D A V Agustín E. González Moles 57

159 En p V p V, clculmos V B =.5 litos A A po tnto: C B B D T B = T pbvb A.5 = 64.6 ºK p V 5. A A p C = p B = 995 P T C = T A =.5 ºK P V C = V AT A P T C C A V C =.67 litos p D = p A = 5 P En p V p V, clculmos V D =.6484 litos C D T D = T pdvd.6484 A.5 = 47.9 ºK p V. Escibiendo l espuest en coodends (p, V, T) (P, litos, ºK): b) A A esp.: A (5,.,.5); B (995,.5, 64.6) C (995,.67,.5); D (5,.6484, 47.8) En los pocesos AB y CD no se bsobe ni se suminist clo. Q BC = n C p T = pav T Análogmente: Q DA = n C p T A A 5. C p T =.5 7 ( ) esp.: Q BC = 5,6 J esp.: Q DA =.47 J 9. Un cilindo cedo con pedes témicmente islntes tiene un émbolo en l pte centl que se puede moe sin ozmiento. A cd ldo del émbolo hy 54 litos de un gs idel tm y ºC, cuyo C p es 4 cl/mol/ºk. Se suminist clo l ldo izquiedo, est poción de gs se expnde y compime l del ldo deecho hst 7.9 tm. Clcul: ) l tempetu finl del gs en mbos ptes; b) el tbjo elizdo sobe el gs de l deech, teniendo en cuent que este gs, po est totlmente isldo, no puede intecmbi clo, y c) clo suministdo l gs de l izquied. p p p p = p V V V V T T T T P que el pistón deje de desplzse: p = p = 7.9 tm. Si C p = 4 cl/mol/ºk, con = cl/mol/ºk, de C p C = deducimos C =. Po tnto: Agustín E. González Moles 58

160 ) Cp = C El poceso es dibático poque ls pedes son témicmente islntes. En V p V, clculmos V = litos p V = V V = 88 litos En pv T pv clculmos T : T esp.: T = 45. ºK En pv T pv clculmos T : T esp.: T = ºK b) Del poblem 5: W D = pv pv 5( ) esp: W D = 9.65 J c) El tbjo nteio lo eliz el gs de l izquied. P este gs el tbjo es positio. L ición de l enegí inten en el gs de l izquied es: U = n C (T T ) = pv T C (T T ) = J Q = W D + U = esp.: Q = J. Clcul l ición de entopí que se poduce cundo se mezcln gmos de gu ºC con 4 gmos de gu ºC. Clculmos l tempetu de equilibio: ( T) = 4 (T ) T = C Tnto el enfimiento como el clentmiento se poducen pesión constnte: s (enfimiento) = m c ln (T/T ) = ln (8.5/.5) =.65 cl/ºk s (clentmiento) = m c ln (T/T ) = 4 ln (8.5/7.5) = 4.8 cl/ºk s = s (enfimiento) + s (clentmiento) esp.: s =.7 cl/ºk. Un bomb témic funcion ente dos focos 5 ºC y 5 ºC. El tbjo potdo l ciclo es Kw h. Detemin: ) el coeficiente de eficci o eficienci de l temobomb Agustín E. González Moles 59

161 funcionndo como máquin cloífic; b) l cntidd de clo comunicdo l foco cliente, y c) el coeficiente de l temobomb funcionndo como máquin figoífic. Consideemos que desoll un ciclo de Cnot en mbos csos: ) = Qc W Qc Q Q c = Th T T h f = 98.5 esp.: = 4.9 b) Q c = W = esp.: Q c = J c) Q W Q Q Q c Tf T T h f 78.5 esp.: =.9. Un máquin figoífic poduce kg de hielo cd minuto y tbj ente ºC y 7 ºC según un ciclo eesible de Cnot. Clcul: ) el fcto de eficienci; b) el tbjo que consume l máquin po cd kilo de hielo, y c) su potenci en CV. Suponiendo que tbj según el ciclo inetido de Cnot: ) Q W Q Q Q c Tf T T h f esp.: = 7.8 b) El clo bsobido Q po cd kg de hielo es: Q = J Po tnto, el tbjo consumido seá: W = Q / esp.: J c) P = W/ t = 457.5/6 = 974./75 CV esp.:.46 CV. Un máquin témic que eliz tbjo p hinch un globo, exte 4 kj de un foco cliente ºC. El olumen del globo ument en 4 litos y el clo se cede un foco fío tempetu T. Si su endimiento es l mitd del de un máquin de Cnot que tbjse ente los dos mismos focos, clcul T. Suponiendo que el globo se infl l pesión tmosféic: Agustín E. González Moles 6

162 T = ½ f T = ½ = Th 9. 5 W Q = p V 5 4 = =.5 4 Q esp.: T =.48 ºK 4. Un máquin de Cnot cuyo endimiento es del 4% está conectd su foco fío 7 ºC. Clcul: ) tempetu del foco cliente, y b) en cuántos gdos debe umentse l tempetu del foco cliente p que el endimiento se del 5%? ) b) = Tf T h.4 = 8.5 T h esp.: T h = ºK.5 = T h esp.: T h = 9.8 ºK 5. Un bñe contiene 5 litos de gu 5º C, cuánto tiempo seá peciso bi el gifo de gu cliente p que l tempetu finl se 4º C? Tempetu del gu cliente 8º C. Cudl del gifo 5 litos/segundo. Q = m c T 5 (4 5) = 5 t (8 4) esp.:.75 s 6. Al compob un temómeto, colocdo en hielo fundente, mc 5º C, y l tempetu de ebullición del gu º C, qué tempetu edde está cundo mc º C? T (,) (,) T T 5 5 T = (T 5) 8? T = ( 5) 8 (-5,) (,) T esp.: T = 5 ºC 7. L ms de un gs que ocup litos º C y tm es 55 g. De qué gs se tt? Nitógeno, po de gu, monico o dióxido de cbono? (N=4, H=, O=6, C=). p V = n T = (m/m) T, po tnto el peso molecul es: M = mt = 44 pv que se coesponde con el del CO. esp.: CO 8. Un bol de ceo cuyo clo específico es. cl/g ºC se dej ce desde un ltu de m sobe un plno hoizontl que ni se muee ni se client, l bol ebot y se ele.5 m. Cuál es el incemento de tempetu expeimentdo po l bol? siendo mgh = Q + mgh Q = m c T Agustín E. González Moles 6

163 con m en kg y c en cl/g/ºk. Po tnto: T = g(h h' ) 9.8(.5) c esp.: T =.64 ºC 9. Un máquin figoífic eliz un ciclo de Cnot inetido ente dos fuentes 7º C y º C. Exte J de l fuente fí, qué tbjo es necesio comunicle? = Tf T T h f = Q W W esp.: W = 9. J. En un tubo de idio eticl de sección unifome, cedo po su extemo infeio hy ie encedo bjo un got de mecuio. A º C el ie lcnz en el tubo 5 cm de ltu. Qué ltu lcnzá 8º C? L pesión se mntiene constnte. L sección del tubo es S y l ltu h. Po tnto, el olumen de ie es V = Sh. Sustituyendo en l ecución de estdo: pv = nt pv = nt psh = nt psh = nt y diidiendo miembo miembo h h' T T' h' esp.:. cm. El sol mnd l lt tmósfe un potenci de.4 KW/m. A l supeficie de l Tie lleg poximdmente KW/m. L centl sol de Almeí tiene instldos 98 m de colectoes y poduce. MW de potenci eléctic. Qué eficienci de conesión tiene? Poduce. MW = KW Peo, ecibe KW/m 98 m = 98 KW Po tnto = W Q = 98 esp.: = % Agustín E. González Moles 6

164 . L figu muest un máquin eesible que ope cíclicmente bsobiendo 5 KJ de l fuente témic 6º C y elizndo un tbjo de KJ. Supóngse que todos los focos mntienen su tempetu constnte. Se desconoce el sentido de los flujos de clo Q y Q. Detemine: ) l mgnitud y el sentido de ls intecciones enegétics con ls ots dos fuentes; b) ls iciones de entopí oiginds, y c) el umento de entopí que tiene lug en el ciclo. W = KJ Q =? Q = 5 KJ Foco K Foco 8 K Q =? Foco - 6 C El foco es un foco cliente.5 ºK, pues de él se exte clo. ) Hipótesis nº : Supongmos que los focos y son fíos. Como l máquin ope cíclicmente, en cd ciclo completo l ición de enegí inten es ceo. Po tnto Q W =. Es deci: Q = W Po tnto Q = Q Q Q = 5 Q Q W = W = Q + Q = 7 () Al se l máquin eesible, su endimiento es el de Cnot p cd pej de focos. Se W el tbjo desolldo ente el foco y el. Análogmente, se W el que se eliz ente el foco y el : (foco, foco ): T T f h W W Q 8 W ().5 W Q (foco, foco ): T T f h W W Q W ().5 W Q Peo: W = W + W = W + W (4) Agustín E. González Moles 6

165 Ls expesiones (), (), () y (4) constituyen un sistem de 4 ecuciones con 4 incógnits, cuy solución es: Q =.45 KJ; Q = 6.54 KJ; W =.7 KJ; W = KJ Tods los loes son positios. Hipótesis nº : Supongmos que los focos y son clientes y el único foco fío es el. El endimiento de Cnot ente los focos y es: (foco, foco ): Tf W T Q h peo, con ese lo de W : W W = 585 KJ.5 5 W = W W = 585 <. Al se W negtio, l hipótesis nº es incoect. Po tnto: esp.: Los focos y son fíos. Q =.45 KJ; W =.7 KJ Q = 6.54 KJ; W = KJ b) L ición de entopí en el foco cliente es Q /T h y en cd foco fío Q c /T f. Po tnto, como el foco es el cliente y los y son fíos, ls iciones de entopí de cd foco son: s = Q /T = 5/.5; s = Q /T =.45/8; s = Q /T = 6.54/ c) esp.: s = +7.7 KJ/ºK; s = 6.74 KJ/ºK; s =.97 KJ/ºK Po ttse de un máquin eesible, el umento de entopí del ciclo es: s = s + s + s = esp.: s = Agustín E. González Moles 64

166 TEMA VIII CAMPO GAVITATOIO Y ELECTOSTÁTICO Concepto de cmpo gittoio y eléctico Intensidd del cmpo gittoio y eléctico Intensidd del cmpo gittoio: g Intensidd del cmpo eléctico: E epesentciones gáfics Leyes de Keple Ley de gitción uniesl Ley de Coulomb Cmpos cedos po un o is mss o cgs puntules Potencil y enegí potencil gittoi Velocidd de escpe. Óbits Velocidd de escpe Óbits Óbit cicul Óbit elíptic Óbit pbólic Óbit hipebólic Potencil y enegí potenci eléctic Teoem de Guss Teoem de Guss p el cmpo gittoio Teoem de Guss p el cmpo eléctico Dielécticos y conductoes Dielécticos Conductoes Inducción electostátic Conducto cgdo en equilibio electostático con un cidd inteio Conducto descgdo con un cg situd dento de un cidd inteio Agustín E. González Moles 65

167 . Clcul el cmpo debido un ms cilíndic muy lg y homogéne de densidd y dio en el inteio, en el exteio y en l supeficie. g Exteio: d S Inteio: Aplicmos el teoem de Guss utilizndo como supeficie de integción un cilindo de dio meno que. Como el lo de g es el mismo p tod l supeficie de integción y en ls bses del cilindo el ecto g es pependicul l ecto supeficie: g ds 4GM M = densidd olumen gs = 4GM g h = 4G h esp.: g = G Aplicmos el teoem de Guss utilizndo como supeficie de integción un cilindo de dio myo que : g ds 4GM gs = 4GM g h = 4G h esp.: g = πρg En l supeficie: Podemos emple culquie de ls dos expesiones clculds y sustitui po. esp.: g = G Obséese que el cmpo es ceo en el cento del cilindo, cece linelmente hst l supeficie donde es máximo, y decece desde l supeficie hst el infinito donde uele nulse.. Clcul el cmpo gittoio en el inteio, en el exteio y en l supeficie de l Tie supuest esféic, homogéne, de densidd constnte y el único sto del Unieso. Inteio: Aplicmos el teoem de Guss utilizndo como supeficie de integción un esfe de dio meno que el dio de l Tie. Como el lo de g es el mismo p tod l supeficie de integción: g ds 4GM gs = 4GM Exteio: M = densidd olumen g 4 = 4G 4 esp.: g = 4 G Aplicmos el teoem de Guss utilizndo como supeficie de integción un esfe de dio myo que. Como el lo de g es el mismo p tod l supeficie de integción: g ds 4GM g 4 = 4GM gs = 4GM El mismo lo que el obtenido supuest l Tie un ms puntul! M esp.: g = G Agustín E. González Moles 66

168 En l supeficie: g M G Podemos emple culquie de ls dos expesiones clculds y sustitui po. M esp.: g = G Obséese que el cmpo es ceo en el cento de l tie, cece linelmente hst l supeficie donde es máximo, y decece desde l supeficie hst el infinito donde uele nulse.. En el espcio, fue de l influenci de los cuepos celestes, tes mss puntules de, 4 y Kg se encuentn en los étices de un cuddo de m de ldo, cuál es l fuez que ejecen sobe un ptícul de gmo colocd en el cuto étice? Kg 4 Kg Los módulos de F y F son igules: F = F = G F G i F G j = G N F F F Kg El módulo de F es F = G 4 = G N El ecto unitio según l diección y el sentido de F (,) es F G (i j). Po tnto: L fuez esultnte es l sum ectoil de ls tes: esp.: F ( F. )G N (i j)n 4. Tes cuepos de l mism ms se encuentn en los étices de un tiángulo equiláteo de ldo L. Clcul: ) l intensidd del cmpo cedo en el cento del tiángulo; b) l fuez que ejecen dos mss sobe l tece, y c) l elocidd l que debeí gi el sistem lededo de su cento p que ls distncis pemnezcn fijs. ) C El punto P se encuent en el cdm de l figu. Dd l simetí del poblem, el cmpo cedo po C es igul y de signo contio l cedo po A y B. Po tnto: esp.: g P P b) A B Clculemos l fuez ejecid sobe C. El módulo de l ejecid po A es el mismo que el de l ejecid po B: m m F = F A = F B = G L Peo ls componentes hoizontles se cnceln ente sí, mients que ls componentes eticles se sumn lgebicmente. L esultnte es eticl de módulo: Fcos : c) esp.: F = G m L Agustín E. González Moles 67

169 P que ls distncis pemnezcn constntes, l fuez del ptdo b) debe pooc l celeción centípet con l que esté dotd l ms de C, cuy distnci P es ⅔ de l ltu, es deci L. Análogmente con A y B: F = m c : m G L m esp.: = L Gm L 5. Un stélite de 5 kg obit 5 km de ltu sobe l Tie ( = 67 Km, g = 9.8 m/s en l supeficie). Clcul: ) l elocidd que posee; b) su enegí cinétic; c) l enegí que hubo que comunicle p situlo es ltu, y d) l enegí totl comunicd l stélite. ) o = GM h peo GM = g po tnto o = g h esp.: m/s b) Ec = G Mm h g m h esp.: J c) Mm El stélite tiene un enegí potencil en l supeficie de l Tie U() = G y necesit Mm tene un enegí potencil myo, de lo: U( + H) = G, po tnto, hbemos de h potle l difeenci ente ess dos enegís: E = U( + H) U() = G Mm H E = mg H esp.:.77 8 J d) E T = Ec + E esp.: J 6. Un stélite de ms m descibe óbits cicules de dio en tono un plnet isldo de dio. Con un enegí igul l utilizd p ponelo en óbit ptiendo de l Agustín E. González Moles 68

170 supeficie del plnet, se petende ele oto stélite de ms m, qué distnci del cento del plnet obitá? L enegí mecánic (cinétic + potencil) que tiene el stélite de ms m un distnci del cento del plnet es: E = G Mm Peo en l supeficie del plnet tiene un enegí potencil Mm U = G Po tnto, l enegí que hubo que potle p ponelo en óbit del cento del plnet es: E = E U = G Mm G Mm G 4 Mm L enegí mecánic (cinétic + potencil) que tiene el stélite de ms m un distnci del cento del plnet es: E = G Mm Peo en l supeficie del plnet tiene un enegí potencil Mm U = G Po tnto, l enegí que hy que potle p ponelo en óbit del cento del plnet es: E U = que, según el enuncido, debe se igul E : G Mm G Mm G Mm G Mm G 4 Mm 4 esp.: = 5 No puede ponese en óbit! 7. Desde l supeficie de l Tie, cuy ms es 6 4 Kg, se lnz un cuepo eticlmente hci ib; ) si se le comunic un elocidd de 8 Km/s, qué distnci l cento de l Tie lcnzí si no existiese tmósfe?; b) qué elocidd necesit p lcnz, en usenci de tmósfe, un ltu igul l dio de l Tie = 67 km? ) Lleg, sin elocidd, un distnci del cento de l Tie, ptiendo de su supeficie con un elocidd : Ec + U() = + U() m G Mm G Mm Agustín E. González Moles 69

171 b) = GM GM esp.:.97 6 m m' G = Mm G GM Mm esp.: m/s 8. Se lnz un cohete desde l Tie (ms 6 4 Kg, dio 67 Km, G = 6.67 SI), supuest isld en el unieso, en diección dil. Queemos que se leje infinitmente, cuál seí l elocidd que tendí que lle km sobe l supeficie de l Tie? En el infinito l enegí potencil es ceo y suponemos que el cohete lleg sin elocidd. Po tnto, su enegí mecánic es ceo; enegí mecánic que tiene que consese en culquie punto de l tyectoi. Luego, si un distnci + h del cento de l Tie tiene un elocidd, se cumple: Mm m G h = GM h esp.: m/s 9. El stélite myo de Stuno, Titán, descibe un óbit de dio medio =. 6 Km y su peiodo es de T = dís. Detemin l ms de Stuno y su densidd si su dio medio es de Km (G = 6.67 SI). Mm F = m c : G m m T 4 M GT esp.: kg = M V M 4 GT esp.: kg/m. Clcul l elocidd que hy que comunic un cuepo en l supeficie de l Tie en diección hoizontl p que se mue en tono l Tie descibiendo un tyectoi cicul. ( = 67 km; g = 9.8 m/s) F = m c mg = m = g esp.: 79 m/s = km/h Agustín E. González Moles 7

172 . Suponiendo l Tie esféic y homogéne ( = 67 Km), clcul l pofundidd de un pozo sbiendo que un péndulo que bte segundos en l boc, se ets segundos po dí en el fondo. El peiodo de oscilción de un péndulo es T L g donde L es su longitud. Po tnto: T T' g' g Aplicmos el teoem de Guss, tomndo como supeficie de integción un esfe situd l pofundidd del pozo y ot en l supeficie: 4GM gs ' 4GM' g's' con 4 4 M = M = ' S = 4 S = 4 de donde deducimos que: g g' h T h T 864 ; h = 67 T' T' 864 esp.: 44. m 6. Se define un cmpo de fuezs A en uniddes del SI. Clcul l difeenci de potencil ente dos puntos P y Q situdos m y m del punto centl del cmpo. Q P A d dv 6 dv d esp.: V Q V P =.4 J. Clcul el potencil poducido po un nillo de ms M y dio en los puntos situdos lo lgo del eje pependicul l nillo que ps po su cento. Clcul ) el potencil en el punto P y en el cento del nillo, y b) el cmpo. dm x s P ) Obséese que cd elemento difeencil de ms dm se encuent l mism distnci s del punto P. Cd uno de estos elementos contibuye ce un potencil dv en el punto P cuyo lo es: dm dv G s El potencil cedo po l totlidd del nillo seá l sum de todos los potenciles infinitesimles nteioes: M V G s Agustín E. González Moles 7

173 Peo s x po tnto: esp.: V(x) G M x P clcul el potencil en el cento del nillo bst hce x = : esp.: V() G M b) P clcul el cmpo podemos dei el potencil con especto x: dv d( x ) E(x) GM dx dx G ( Mx x ) O clcullo diectmente. El módulo del cmpo cedo po el elemento dm es: dm de G s Peo l simetí de l figu estblece que el cmpo totl en P se hoizontl, pependicul l nillo, pues ls contibuciones eticles se cnceln ente sí. L componente hoizontl de de se clcul poyectndo sobe el eje x: de x dm G s x s xdm G ( x ) El cmpo totl seá el poocdo po l sum de todos los elementos dm: esp.: E(x) G ( Mx x 4. Clcul el cmpo y el potencil gittoio cedo po un b homogéne de ms m y longitud L un distnci d de su cento y en su polongción. ) x dx d dg = dm = dx = dm G (d x) m dx L m dx G L (d x) L g = G L m L dx (d x) esp.: g = G d m L Agustín E. González Moles 7

174 dv = dm m dx G G d x L d x L V = G L m L dx d x L d m esp.: V = G ln L L d Si efectumos l deid del potencil especto d, cmbiándol de signo obtenemos el lo del cmpo g. 5. Un cg positi Q está distibuid unifomemente en un olumen esféico de dio, con un densidd olumétic. Clcul el cmpo y en potencil: ) en el inteio; b) en l supeficie de l esfe, y c) en el exteio. Cmpo: Inteio: Aplicmos el teoem de Guss utilizndo como supeficie de integción un esfe de dio meno que. Como el lo de E es el mismo p tod l supeficie de integción: e E ds 4kQ ES = 4kQ Q = densidd olumen E 4 = 4k 4 esp.: E = 4 k Exteio: Aplicmos el teoem de Guss utilizndo como supeficie de integción un esfe de dio myo que. Como el lo de E es el mismo p tod l supeficie de integción: e E ds 4kQ ES = 4kQ E 4 = 4kQ El mismo lo que el obtenido supuest l cg puntul! Q esp.: E = k En l supeficie: E Q k Podemos emple culquie de ls dos expesiones clculds y sustitui po. Q esp.: E = k Obséese que el cmpo es ceo en el cento de l esfe, cece linelmente hst l supeficie donde es máximo, y decece desde l supeficie hst el infinito donde uele nulse. Agustín E. González Moles 7

175 Potencil: En el infinito el potencil es ceo: V e ( ) =. Además E d dve. Clculemos pimeo el potencil en el exteio y en l supeficie, p después, con esos dtos, clcullo en el inteio: Exteio: Supeficie: Ve () dv e Q k d esp.: V e () = k Q Bst sustitui po en l expesión nteio. Q esp.:v e () = k Inteio: V () e V () e dv e 4 kd esp.: V e () = Q k ( ) 6. Un esfe conducto de 8 cm de dio posee un cg de. C. Clcul: ) l densidd de cg; b) el cmpo y el potencil en su supeficie; c) el cmpo y el potencil en un punto cm del cento, y d) ídem, 4 cm del cento. ) Como se tt de un esfe conducto, tod l cg se encuent en su supeficie. Po tnto su densidd supeficil de cg es: Q esp.:.7 6 C/m b) P clcul el cmpo en l supeficie plicmos el teoem de Guss, emplendo como supeficie de integción l de l popi esfe. Obtenemos el mismo esultdo que el del ejecicio nteio. Po tnto: Q E k esp.: E(.8) = 4875 N/C V e () = 6 Q 9. k 9.8 esp.: V e (.8) = 75 V Agustín E. González Moles 74

176 c) P clcul el cmpo un distnci myo que plicmos el teoem de Guss. Obtenemos el mismo esultdo que el del ejecicio nteio. Po tnto: Q E k esp.: E(.) = 675 N/C V e () = 6 Q 9. k 9. esp.: V e (.) = 5 V d) El cmpo en el inteio es nulo. El potencil es el mismo que en l supeficie. esp.: E (.4) = esp.: V(.4) = 75 V 7. Hll el cmpo en los puntos inteioes y exteioes de un esfe de dio cuy cg está distibuid con un densidd dil = o /, con o constnte. Pimeo clculmos l cg que existe en un esfe de dio. Inteio: dq = d = q() o 4 o d 4 d 4 d dq 4 d q() = 4 o o o Aplicmos el teoem de Guss utilizndo como supeficie de integción un esfe de dio meno que. Como el lo de E es el mismo p tod l supeficie de integción: E ds 4kq() e ES = 4k4 o Exteio: E 4 = 4k4 o esp.: E = 4 o k Aplicmos el teoem de Guss utilizndo como supeficie de integción un esfe de dio myo que. Como el lo de E es el mismo p tod l supeficie de integción: E ds 4kq() e ES = 4k4 o E 4 = 4k4 o esp.: 4ko E 8. Un cg Q = + C está eptid unifomemente en un esfe dieléctic ( = 8, = cm). Clcul el cmpo dento y fue de l esfe en función de l distnci l cento. Aplicmos los esultdos obtenidos en el ejecicio 4, con k = 4 o Agustín E. González Moles 75

177 Inteio: 4 4 q E k 4 k q peo q 4 Q 4 po tnto Q E k Exteio: 9 E 8 9. esp.: E = 5 N/C 6 En el exteio plicmos el lo de k p el cío: E k o Q 9 9 esp.: E = 9 N/C 9. En un esfe conducto mciz, descgd de dio, se hce un hueco esféico en su cento de dio, y se coloc en el cento del hueco un cg puntul + q. Detemin: ) ls densiddes de cg en ls supeficies inten y exten; b) cómo se eá influid l densidd de cg en l supeficie inteio si l cg se desplz del cento del hueco?; c) el cmpo en tods ls egiones, y d) el potencil en tods ls egiones. ) L inducción electostátic pooc que se induzc un cg q en l supeficie del hueco y ot cg +q en l supeficie exteio del conducto. Po tnto ls densiddes supeficiles son: q esp.: En l supeficie inten: 4 q En l supeficie exten: 4 b) No se e influid. c) Cálculo del cmpo En el exteio: Aplicmos el teoem de Guss p un supeficie de integción esféic de dio, teniendo en cuent que l cg net que existe dento de l supeficie de Guss es q: Agustín E. González Moles 76

178 En el conducto: q esp.: E() = k ; p esp.: El cmpo es nulo en el conducto. En el inteio del hueco: Aplicmos el teoem de Guss p un supeficie de integción esféic de dio < : d) Cálculo del potencil: E d dv, En el exteio: con V( ) = q esp.: E() = k ; p < En el conducto: V() dv k q d q esp.: V() k ; p Bst plic l expesión nteio p =. Además, el potencil es el mismo p todos los puntos del conducto. En el inteio del hueco: con V() V() dv k V() = k q q d esp.: V() = k q ; p esp.: V() kq ; p <. Un esfe mciz islnte de dio está situd concéntic en el inteio de ot esfe conducto, huec de dios inteio y exteio b y c. L esfe islnte tiene un densidd unifome de cg positi, y l esfe huec no tiene cg net. L constnte dieléctic elti del islnte es. Clcul: ) l densidd de cg supeficil inducid en l supeficie inteio de l esfe huec; b) Ídem en l supeficie exteio; c) l intensidd del cmpo un distnci > c; d) Ídem p c > > b; e) Ídem p b > > ; f) Ídem p < ; g) el potencil un distnci > c, y h) el potencil p c > > b. L cg que posee l esfe islnte es q = 4. k El lo de k es k = o ; con o 9 k 9 en el SI. 4 ) L densidd supeficil en l supeficie inteio es: o c b +q -q +q Agustín E. González Moles 77

179 b) L densidd supeficil en l supeficie exteio es: c) esp.: esp.: b c q 4b q 4c El cmpo p > c (en el cío) es: d) El cmpo p c > > b es: q esp.: E() k o ; p > c esp.: E() = ; p c > > b e) El cmpo p b > > (en el cío) es: f) El cmpo p < (en el islnte) es: g) El potencil p > c (en el cío) es: h) El potencil p c > > b es constnte de lo: q esp.: E() k o ; p b > > q esp.: E() k ; p < q esp.: Ve () ko ; p > c q esp.: Ve () ko ; p c > > b c. Un cotez esféic no conducto, de dio inteio y exteio, posee un densidd olumétic de cg unifome. Clcul: ) l cg totl; b) el cmpo un distnci del cento z > ; p < z < ; p z >, y c) el potencil p z > y p < z <. ) 4 Q = = ( ) 4 esp.: Q = ( ) b) P un dio z meno que el cmpo es nulo, pues si plicmos el teoem de Guss, l esfe de integción no contiene cg en su inteio. esp.: E = ; p > z Si < z < : Agustín E. González Moles 78

180 Si z > : c) 4 (z ) Q(z) E(z) k k z z Q E(z) k z E d dv 4(z ) esp.: E(z) k ; p < z < z Q esp.: E(z) k ; p z > z con V( ) = En el exteio: V(z) dv z k Q dz z Q esp.: V(z) k ; p z > z Ente < z < : V(z) V() dv z 4(z k z ) dz con V() k Q ( z z ) esp.: V(z) k ; p < z < z. Un cotez esféic de dio posee un cg q unifomemente distibuid en su supeficie. Un segund cotez esféic, myo, de dio, concéntic con l nteio posee un cg Q tmbién unifomemente Q distibuid. Clcul: ) el cmpo ls distncis z < ; < z <, y z > ; b) el cociente q/q y su signo eltio q p que el cmpo se ceo en el exteio de l cotez myo, y c) el potencil ls distncis z < ; < z <, y z >. ) Aplicmos el teoem de Guss supeficies esféics concéntics de distintos dios. Obtenemos: q Q esp.: E(z) = k ; p z > z Agustín E. González Moles 79

181 q E(z) = k z ; p < z < E(z) = ; p z < b) Si q + Q = el cmpo E(z) = p z >. Po tnto: c) E d dv esp.: q/q = con V( ) = En el exteio: V(z) dv z q Q k dz z q Q esp.: V(z) k ; p z > z Ente < z < : V(z) V() dv z k q dz z con q Q V() k Q q esp.: V(z) k ; p < z < z P z < : V(z) V() dv V(z) = V() con V() clculdo expenss de l expesión nteio p z =. Q q esp.: V(z) k ; p z <. Un esfe metálic isld se cm de dio se cg 5 V. Clcul: ) su cg en columbios. Se pone en contcto con ot descgd y isld de 8 cm de dio; detemin: b) cg de cd esfe, y c) potencil de mbs. ) V = q k V q k esp.: q = C Agustín E. González Moles 8

182 b) Al ponese en contcto se quedn l mismo potencil: demás: q q k 8 q = q k q + q = q esp.: q =.86 8 C; q = C c) q V k esp.: V =.77 4 V 4. Un esfe de cm de dio estd cgd V. Ot esfe de 4 cm está inicilmente descgd. Se ponen en contcto y después se sepn. Se descg l esfe de 4 cm. Se epite el poceso 7 eces en totl, cuál es el oltje finl de l esfe de cm? Se Q i y q i l cg que tienen ls esfes en cd poceso. El oltje inicil de l esfe es siendo Q su cg inicil. V = Q k Al ponese en contcto con l esfe pequeñ se quedn l mismo potencil: demás Q q k Q = q k Q + q = Q de donde Q Q Al descg l esfe pequeñ y epeti el poceso obtendímos: Y sí sucesimente, de mne que: Q Q Q 7 Q 7 El oltje seá: Agustín E. González Moles 8

183 Q7 V7 k V esp.: 79.8 V 5. Un esfe conducto tiene un densidd supeficil de cg de C/m. Clcul su dio sbiendo que el cmpo cedo po ell, en un punto situdo exteiomente m de su supeficie, es 6 N/C. Q E k ( ) 4 k ( ) esp.: = m 6. Dos esfes metálics de dios = 6 y = 9 cm de dio se cgn con C cd un. Luego se unen con un hilo conducto. Clcul: ) el potencil de cd esfe isld; b) el potencil después de l unión y l cg de cd esfe después de l unión, y c) l cg que ciculó. ) q V k 6 9 V V nálogmente V. esp.: V = 5 V; V = V b) V f q q k k q = q demás q + q = q de donde obtenemos: esp.: V f = V; q =.8 C; q =. C c) Ciculon C.8 C esp.:. C 7. El potencil cm de un esfe conducto cgd de cm de dio es 8 V. Clcul: ) el potencil de l esfe, y b) el númeo de electones que se hn extído del mteil. ) q V k V q k Agustín E. González Moles 8

184 V() k q V 8 esp.: 6 V b) n q e V e k esp.: 9 8. Un conducto ectilíneo indefinido, cgdo unifomemente ce un potencil de V en los puntos situdos m de él, y de V en los situdos 4 m. Clcul su densidd linel de cg. Aplicmos el teoem de Guss un supeficie cilíndic de integción que odee l conducto: Como con e E ds 4kQ E L = 4kL E d dv ES = 4kQ k E V () = V(4) = 4 dv k dz z esp.: ln C/m 9. Un cilindo infinitmente lgo de dio tiene un densidd olumétic de cg unifome. Clcul el cmpo en el inteio y en el exteio. Aplicmos el teoem de Guss un supeficie cilíndic de integción de dio : e E ds 4kQ ES = 4kQ P < : E L = 4k L esp.: E k P > : E L = 4k L esp.: k E. Un cotez cilíndic de gn longitud, de dios y, tnspot un densidd de cg unifome. Clcul el cmpo uns distncis z < ; < z <, y z >. Agustín E. González Moles 8

185 Aplicmos el teoem de Guss un supeficie cilíndic de integción de dio z: e E ds 4kQ ES = 4kQ P z < : Al no existi cg en el inteio, el cmpo es ceo: esp: E = ; p z < P < z < : E zl = 4k (z ) L k(z ) esp.: E(z) ; p < z < z P z > : E zl = 4k ( ) L k( ) esp.: E(z) ; p z > z. Dos cotezs cilíndics concéntics, infinitmente lgs, tienen dios y y poseen densiddes supeficiles unifomes de cg m y n. Clcul: ) el cmpo p z < ; < z <, y z > ; b) cuál debe se el cociente m/n y el signo eltio de mbs p que el cmpo se nulo en el exteio? ) Aplicmos el teoem de Guss un supeficie cilíndic de integción de dio z: e E ds 4kQ ES = 4kQ P z < : Al no existi cg en el inteio, el cmpo es ceo: esp: E = ; p z < P < z < : E zl = 4k Lm 4km esp.: E(z) ; p < z < z P z > : E zl = 4k ( Lm Ln) 4k(m n) esp.: E(z) ; p z > z b) Si Agustín E. González Moles 84

186 m + n = el cmpo en el exteio es nulo. Po tnto: esp.: m n. Dos conductoes en fom de cotez cilíndic, coxiles, de longitud L poseen cgs igules y opuests. En l cotez inteio de dio hy un cg +q, y en l exteio de dio, de q. Hll l difeenci de potencil ente ls cotezs. El cmpo ente cotezs seí el clculdo en el ptdo ) del ejecicio nteio, p < z <, q q con m ; es deci: E(z) k. Como E d dv, integmos ente z = y z = : L L z V() V() dv q k dz L z esp.: V() V() q k ln L. ) Clcul el cmpo eléctico cedo po un supeficie pln infinit, cgd unifomemente con un densidd supeficil. b) Colocmos est supeficie eticlmente y colgmos de un hilo, de peso despecible y sin cg, un esfe puntul cgd con 9 C de gmo. El ángulo que fom el hilo con l eticl es de º, cuál es l densidd supeficil de cg de l supeficie pln? E E q q P E E E ) Tommos como supeficie de integción el cilindo epesentdo en l figu de l izquied. El cmpo esultnte es el epesentdo en l figu de l deech; po tnto, sólo existe flujo tés de ls dos bses del cilindo y que el ecto supeficie es pependicul l ecto cmpo en el esto de l supeficie del cilindo. Aplicmos el teoem de Guss: e E ds 4kQ ES = 4k S esp.: E = k b) F = Eq = k q F cos = mg sen mg tg kq F mg esp.: C/m 4. Dos plnos infinitos plelos están sepdos un distnci d. Hll el cmpo en tods ls egiones si mbos están unifomemente cgdos ) con l mism densidd de cg Agustín E. González Moles 85

187 positi, y b) con l mism densidd de cg, peo de signo contio. Clcul el potencil en tods ls egiones y l difeenci de potencil ente los plnos en mbos csos. Cmpo Del ejecicio nteio: el módulo del cmpo cedo po cd pln es E i = k. E E A E B ) Si ls dos densiddes de cg son positis, los cmpos cedos po ls plcs A y B son los epesentdos en l figu. x < : po tnto: E A E B ki A B E A E A E A E E E B E B E B d X esp.: E 4ki; p x < < x < d: x > d: b ) E A E A E B E B ki esp.: E ; p < x < d esp.: E 4ki; p x > d Se l densidd de cg del plno B negti, los cmpos cedos po ls plcs A y B son los epesentdos en l figu. x < : < x < d: x > d: Difeenci de potencil E A E A E B E B esp.: E ; p x < ki esp.: E 4ki; p < x < d E A E B A esp.: E ; B E A E A E A E B E B E B E d X p x > d Si E d dv Agustín E. González Moles 86

188 entonces ) Edx dv x < : < x < d: x > d: 4 k x x dx dx V(x) V(x) V A dv V A dv esp.: V(x ) = V A + 4kx; p x < esp.: V(x ) = V A ; p < x < d 4 k x d dx V(x) V D dv esp.:v(x ) = V D 4k(x d); p x > d P clcul l ddp ente ls plcs V A V D emplemos el lo del cmpo ente plcs. Como en este cso es ceo, entonces: esp.: V A V D = b) x < : < x < d: x dx V(x) V A dv esp.: V(x ) = V A ; p x < x > d: 4 k x dx V(x) V A dv esp.: V(x ) = V A 4kx; p < x < d x d dx V(x) V D dv esp.:v(x ) = V D ; p x > d P clcul l ddp ente ls plcs V A V D emplemos l ecución del potencil p < x < d, dándole x el lo d: esp.: V A V D = 4kd = Ed Donde hemos plicdo el lo de E en l mism zon. De est mne hemos encontdo l elción que existe ente el cmpo y l ddp en un condensdo fomdo po plcs plns y plels: Agustín E. González Moles 87

189 V = Ed (condensdo plno) Un condensdo es un dispositio que pemite lmcen cg ente sus plcs (tmbién llmds mdus). El cmpo eléctico genedo ente ls mdus de un condensdo plno es pácticmente unifome y constnte. L cpcidd C de un condensdo es l cg q que dquiee po unidd de potencil. Es deci: L unidd de cpcidd en el S. I. es el Fdio (F), el cociente ente un columbio (C) y un oltio (V). Se puede demost que l cpcidd de culquie condensdo depende sólo de su geometí y del dieléctico que exist ente sus mdus. Concetmente, en un condensdo plno es: donde S es l supeficie de cd plc. q C V S C d L enegí eléctic E e, lmcend en un condensdo culquie, se mide medinte el tbjo que hy que eliz p lle de un ot mdu l cg necesi p consegui que en un plc hy un cg +q y en l ot q. Como V es el tbjo po unidd de cg, E e es: E e q q V dq q C dq C q q dq q C q V C V Si clculmos dich enegí p el condensdo plno, sustituimos los loes de C y V: E e S (Ed) d E (S d) El poducto S d es el olumen del condensdo en cuyo inteio está confindo el cmpo eléctico. Podemos deci, po tnto, que en dich zon del espcio existe un densidd de enegí eléctic (enegí po unidd de olumen) E e e S d e E P clcul l densidd de enegí eléctic se h empledo el cso pticul de un condensdo plno; peo, puede demostse que l expesión obtenid es álid p culquie cmpo eléctico que exist en un egión del espcio. 5. Un electón (m = 9. Kg; e =.6 9 C) se disp 6 m/s cont un plc cgd con un densidd supeficil de cg de 9 C/m. Clcul l distnci máxim desde l que puede dispse p que llegue l plc. L fuez de epulsión de l plc pooc l celeción de fendo del electón. El lo bsoluto del cmpo cedo po l plc es, según el ejecicio nº, E = k. Agustín E. González Moles 88

190 F = m E e m E e m e k m L distnci máxim d seá quell que deteng l electón justo l ldo de l plc: d m d 4k e esp.: d = 6.7 cm 6. En un tubo de yos ctódicos (TC) un electón (de ms m y cg q) se disp elocidd po el cento del cmpo eléctico unifome E cedo po un condensdo plno de longitud L, cuys mdus están sepds un distnci s. El cmpo está diigido eticlmente hci bjo y es nulo excepto en el espcio compendido ente ls mdus. El electón sle del condensdo csi ozndo el bode de l mdu supeio. Clcul: ) el lo del cmpo; b) l diección de slid del cmpo, y c) qué distnci eticl impct en un pntll situd un distnci d del bode de slid? Se despecin los efectos gittoios. Y ) Se tt de un dispo sometido l efecto poducido po el cmpo eléctico E. L fuez eléctic F = Eq gene en el eje Y un celeción, hci ib, que impuls l electón en sentido contio l cmpo, de mne que: po tnto De donde deducimos que: F = m Eq = m q m El electón eliz dento del condensdo un moimiento ectilíneo y unifome en el eje X y oto ectilíneo y unifomemente celedo según el eje Y. Ls ecuciones son: p x = L esult demás E x t L t s E L d y X Agustín E. González Moles 89

191 y t q m Et p x = L, según el enuncido: s y con lo que: b) esp.: m E s q L L componente según el eje X de l elocidd con l que sle el electón del condensdo es. q L s L componente según el eje Y es y t E. El ángulo con el que sle del m L condensdo, medido especto l hoizontl es el co cuy tngente es el cociente ente y y : s esp.: ctg L c) Cundo el electón sle del condensdo mntiene constntes sus elociddes según mbos ejes. d P ecoe un distnci d hst lleg l pntll iniete un tiempo t. L distnci s eticl que ecoe es y = y t, siendo y. Po tnto: L s esp.: y d L 7. Un ptícul lf (q =. 9 C) se cele medinte un ddp de V, qué enegí cinétic dquiee? El tbjo desolldo po l fuez eléctic se iniete en ument l enegí cinétic de l ptícul: Ec qv. 9 esp.:. 4 J 8. Un péndulo eléctico está constituido po un esfeit metálic de gmo, colgd de un hilo despecible de 5 cm, cgd con. 8 C. Se le hce oscil en un egión donde existe un cmpo eléctico eticl. Cundo el cmpo es eticl, de bjo ib, l esfeit efectú oscilciones en 6 segundos, y si el cmpo se oient de ib bjo, td 8 segundos en eliz ls oscilciones. Clcul: ) el cmpo eléctico, y b) el lo de l intensidd de l gedd. Se tt de un péndulo simple en el que l gedd se e minod en pime lug po el cmpo eléctico cundo efectú oscilciones en 6 segundos; después se incement l eliz ls misms oscilciones 8 segundos. T L g E q m T' L g E q m con Agustín E. González Moles 9

192 6 T.6 4 ml mg qe T 8 T'.8 4 ml mg qe T' g L T T' esp.: g = 9.8 m/s m E L q T' T esp.: E =.98 5 N/C 9. Un esfe puntul de. gmos está cgd con 9 C y td un hilo despecible de 5 cm. El oto extemo del hilo está unido l supeficie de un conducto eticl, plno e indefinido, cgdo con 5 7 C/m. Hll el ángulo que fom el hilo con l eticl. Eq mg Al ttse de un conducto plno indefinido, su densidd supeficil de cg se concent en ls dos supeficies del conducto. L supeficie que ctú sobe l cg es sólo l de un c. El lo del cmpo clculdo en el ejecicio es k; peo llí considemos ls dos bses del cilindo de integción. Aquí debemos contbiliz sólo un. Po tnto, el cmpo es E = 4k: tg Eq mg kq mg. 9.8 esp.: 4º Un cg puntul de + 9 C está situd en el oigen de coodends. Ot de 8 C está sobe el eje Y m del oigen. Detemin: ) el cmpo en el punto (,), y b) el tbjo que es necesio eliz p tsld C desde (,) hst (4,) (,) + -9 A (,) B (4,) ) con E E 9 q 9 k u 9 u.5u 4 8 q 9 k u 9 u 6u 5 u (,) i ; u 5 N/C N/C b) esp.: E E E.5 7 i 5 6 j 5 Los potenciles en A y en B son: V A q k q k Agustín E. González Moles 9

193 V B q k ' q k ' W A B q(v A V ) (V B A V B ) esp.:.6 J El signo menos indic que el tbjo se debe eliz cont el cmpo. 4. ) Clcul el cmpo eléctico necesio p equilib l fuez gittoi ejecid sobe un electón (m = 9. Kg; q =.6 9 C). b) Si el cmpo eléctico fuese poducido po oto electón, cuál debeí se l distnci ente mbos? ) F = m Eq = mg b) E g m q esp.: E = 5.58 N/C El cmpo cedo po oto electón es q E k Eq = mg q k mg esp.: = 5.8 m 4. Sobe un hilo de longitud L se distibuye unifomemente un cg q. Clcul l fuez ejecid sobe un cg puntul Q situd en su polongción un distnci z del extemo. x dx L - x z L dq Q Qdq df k (L x z) peo dq dx con po tnto q L q dq dx L Agustín E. González Moles 9

194 Qq dx df k L (L x z) F x L x k Qq dx L (L x z) esp.: Qq F k z(z L) 4. Se tienen dos esfes puntules cgds positimente. L sum de sus cgs es 5 5 C. Si l fuez de epulsión es de N cundo están sepds m, cómo está distibuid l cg ente ells? Qq F k d Fd Qq k 4 Qq 9 9 y con Q + q = 5 5 obtenemos: esp.: y.56 5 C 44. Ciento einticinco gots idéntics de mecuio se cgn simultánemente l mismo potencil de V, cuál es el potencil de l got fomd po l glomeción de quélls? q es l cg de un got y su dio. q V k q k El olumen de ls 5 gots (supuests esféics) es 4 5 que debe se igul l olumen de un sol got esféic de dio : = 5 L cg de ls 5 gots seá 5 eces l cg de un: 5q. El potencil V seá: V = 5q k 5 5 V 5 esp.: 5 V Agustín E. González Moles 9

195 45. Clcul el cmpo eléctico genedo po un cg Q distibuid unifomemente lo lgo de un líne loclizd en el eje Y ente los puntos (, ) y (, ) sobe un punto situdo en l posición (s, ) del eje X. (,) dq dy y s ( α (s,) de K dq cos s y dq (-,) Obséese que l componente eticl del cmpo cedo en el punto (s,) po un elemento infinitesiml de cg dq, situdo en l posición (y,), se cncel con l componente eticl de oto elemento simético dq, situdo en l posición ( y,). Mients que ls componentes hoizontles del cmpo se sumn, de mne que el módulo del cmpo infinitesiml, cedo po los dos elementos infinitesimles dq, es: dq de K s y cos () peo cos s s y y l densidd linel de cg es sustituyendo en de: Q dq Q dq dy dy de kq s El cmpo totl es l integl ente y = e y = de l expesión nteio. No se debe integ ente y poque y se hn considedo los dos elementos infinitesimles dq ó dy l intoduci el fcto en l expesión (). s dy y s E kq kq s s s dy y esp.: E kq s s 46. Dos cgs puntules positis están sepds un distnci. Po el punto medio del segmento que ls une se tz un plno pependicul dicho segmento. El lug Agustín E. González Moles 94

196 geomético de los puntos de ese plno, donde l intensidd del cmpo es máxim, po zón de simetí, es un cicunfeenci. Clcul su dio. Como se peci en l figu, el módulo del cmpo totl es: E T E E T kq E sen α sen α peo cos q α q po tnto: cos de donde E T kq cos sen kq ( sen ) sen kq (sen sen ) deindo especto α e igulndo ceo: det kq kq (cos sen cos ) cos ( sen ) d L identidd nteio tiene dos soluciones: ) cos α = es deci α = 9º o se, en el infinito, que se coesponde con un mínimo. b) sen es deci despejndo : sen esp.: Agustín E. González Moles 95

197 TEMA IX ELECTOMAGNETISMO Electomgnetismo. Imnes y coientes Fuez mgnétic. Ley de Loentz Moimiento de un ptícul cgd dento de un cmpo mgnético unifome Espectógfo de mss. Ciclotón Cmpo mgnético. Ley de Biot y Sbt. Pemebilidd mgnétic Momento mgnético. Glnómeto Cmpo cedo po un coiente ectilíne indefinid Fuezs ente coientes plels. Ampeio Cmpo cedo po un espi cicul unifome, un solenoide bieto y un solenoide cedo Espi cicul Solenoide bieto Solenoide cedo Ciculción del cmpo mgnético. Ley de Ampee. Coiente de desplzmiento de Mxwell Agustín E. González Moles 96

198 EJECICIOS. Demost que: ) el módulo del cmpo mgnético cedo en el cento de un espi cicul de dio, po l que cicul un coiente I, es B I ; y b) el módulo del I cmpo en un punto del eje un distnci d del cento de l espi, es B d ) En l ley de Biot y Sbt plicd l espi cicul de dio, el ángulo φ es de 9º. IdL IdL db sen 4 4 B L IdL I 4 4 I dl 4 I L b) Como peo, en l figu: I dl db u txu 4 P Z es deci OA AP OP d d dl dl u o se po tnto i dk A O dl A X u t Y i dk de donde deducimos: u i dk d en l figu se peci que: efectundo el poducto ectoil u xu t j u t esult: Agustín E. González Moles 97

199 u xu t di k d Como d, entonces, l contibución del elemento difeencil dl situdo en A es: I db 4 dl d di k Peo, pocediendo de mne nálog, podemos compob que l contibución del elemento difeencil dl situdo en A gene un ecto db ' : I db' 4 dl d di k Es deci, ls componentes del cmpo según el eje X se cnceln. Po tnto, el módulo de B es: I B 4 dl d 4 d L 4 d d L I dl I. L figu epesent cuto conductoes ectilíneos, muy lgos y plelos, po los que ciculn 5 A (en y b l coiente sle del ppel, y en c y d ent). Clcul el ecto inducción mgnétic en el cento del cuddo de ldo cm. I c d B + B d B B b B c B d 7 I T El cmpo esultnte seá plelo los ldos b y cd y diigido hci l izquied en l figu. Su módulo seá: B b + B c b B 5 (B B ) (B B ) cos 45 4 d b c T esp: B = 4 5 T. L espi de l figu puede gi lededo del eje Z. Ciculn A en el sentido señldo. L y L miden.8 m; L y L 4.6 m. Clcul: ) l fuez sobe cd ldo y el momento p mntene l espi en l posición indicd, si está sometid un cmpo de. T plelo l eje Y; b) Ídem si el cmpo es plelo l eje X. ) F I(L x B) M I(S x B) i i I = A F (.8k x.j) esp.: F =.6 i N F.6( cos j sen i) x. j esp.: F =.6 k N X I L Z L L ) º 4 L Y Agustín E. González Moles 98

200 F (.8k x.j) esp.: F =.6 i N F 4.6(cos j sen i) x. j esp.: F 4 =.6 k N El momento poocdo po el cmpo es: I(S x B) I(L x L ) x B =.48 k Nm M 4 po tnto el que debemos hce nosotos es: esp.:.48 k Nm b) F (.8k x.i) esp.: F =.6 j N F.6( cos j sen i) x. i esp.: F =.6 k N F (.8k x.i) esp.: F =.6 j N F 4.6(cos j sen i) x. i esp.: F 4 =.6 k N El momento poocdo po el cmpo es: I(S x B) I(L x L ) x B =.48 k Nm M 4 po tnto el que debemos hce nosotos es: esp.:.48 k Nm 4. Un lmbe de cobe, de A =.5 mm de sección y de densidd ρ = 8.9 g/cm, dobldo en fom de, con los tes ldos igules, puede gi lededo de OO. Está en un cmpo mgnético diigido eticlmente. Clcul el cmpo si l cicul I = 6 A el ángulo que fom con l eticl O es φ = º. Tomndo momentos especto l eje que ps po los puntos de poyo OO, el momento mecánico es: M mec = LAρg L sen φ + LAρgL sen φ El módulo del momento mgnético es: M mg = ISB sen (9 φ) siendo S = L Igulndo mbos momentos y despejndo B: M mg = IL cos φ O ) φ B mg 9-φ ) B S I mg mg Ag B tg tg I 6 6 esp.: 9.9 T 5. Clcul l distnci d necesi p que el conducto PQ de cm y.8 gmos se mnteng en equilibio si po el cicuito ciculn A. P F mg d I = A Q I mg BIL IL d 7 I L 4. d mg Agustín E. González Moles 99

201 esp.: 5 cm 6. Dos conductoes ectilíneos, muy lgos y plelos de λ = gmos po meto de longitud, po los que cicul l mism coiente I, peo en sentido contio, están suspendidos de un eje común medinte dos cueds inextensibles y sin peso de = 5 cm de longitud, que fomn con l eticl un ángulo de º. Detemin el lo de I. T sen φ = F T cos φ = mg m = λ L po tnto φ ) con F de donde II L d F = λ L g tg φ I I L (sen ) sen L F. mg T I g sen tg sen tg esp.: 68. A 7. Tes conductoes ectilíneos, muy lgos y plelos, b y c están sepdos ente sí cm sobe el mismo plno. Po y b ciculn A en el mismo sentido, y po c ciculn A en sentido contio. Detemin el lug geomético del plno en el que el cmpo mgnético se nul. I Clculemos el cmpo en los tes puntos posibles x, y, z situdos en l figu. x y. z I I I x (x.) (x.) I Análogmente: I de donde: x x. x. x cm. y y. y de donde: y y cm. z. z z de donde Agustín E. González Moles

202 z 4 Si compmos ls soluciones, emos que en elidd ls tes se coesponden con l mism ect. esp.: y cm 8. Tes conductoes ectilíneos, muy lgos y plelos psn po tes étices de un cuddo. Clcul el cmpo mgnético en el étice no ocupdo si el sentido de tods ls coientes es clándose en el ppel. I B (u d u t u t u t t x u ) k u i;u (i j);u j cm Y I L I B (u L t x u t x u t x u I ) L (u I ) (u L ) I I X 4L esp.: I I i I I 9. L bobin de un glnómeto tiene 5 uelts y un supeficie de 6 4 m. El cmpo mgnético es de. T y l constnte de ecupeción de l esote es 8 N.m/gdo. Detemin l desición de l bobin p un coiente de A. M = nbis = = 7 N m j M = kθ; po tnto M k 7 8 esp.: º. L bobin de un glnómeto tiene 4 espis y un supeficie de 6 cm. Se suspende de un hilo en un cmpo de guss. Po l bobin cicul un coiente de 7 A. Hll el momento de otción si el plno de l bobin fom 6º con el cmpo mgnético. M = nbis sen α siendo α el ángulo que fom el cmpo con l noml l bobin. En este cso es de º. M = esp.:. 9 N.m. Po un bobin cicul gnde de 6 uelts y cm de longitud, cicul un coiente de A. En el cento de ell hy ot pequeñ, de uelts y.5 cm de dio, po l que cicul un coiente de.5 A. Los plnos de ls dos bobins son pependicules ente sí; qué momento ejece l bobin gnde sobe l pequeñ, dmitiéndose que no hy lteción en el cmpo mgnético poducido po l bobin gnde? El módulo del cmpo cedo po l bobin gnde es: Agustín E. González Moles

203 n B I 4 s T Y el lo del momento es: M I'SxB donde I es l coiente que cicul po l bobin pequeñ. El módulo del momento es: M = I SB pues l supeficie de l bobin pequeñ es pependicul l cmpo cedo po l gnde. M =.5 π (.5 ).5796 esp.:.78 5 N.m. Un solenoide de.5 m de diámeto y. m de longitud está fomdo po dos cps; l inten tiene uelts y l exten 5. Po mbs ciculn A en el mismo sentido. Clcul: ) el cmpo en el inteio, y b) el flujo mgnético que lo ties. ) b) ni B 4 s ( 5). 7 esp.: 6.9 T m BS B esp.:.9 4 Wb. Dos cgs fijs de q = μc y q = 7 μc están sepds m. En un cieto instnte, en el punto medio ente ls dos, se muee un cg +q con un elocidd diigid hci q. El conjunto está sometido un cmpo mgnético de T pependicul l plno de l figu y hci fue. L fuez esultnte F tiene l diección y el sentido epesentdos. Clcul l elocidd en ese instnte. F F m ) 45 q q F e q L cg q está sometid un cmpo eléctico y un cmpo mgnético. El cmpo eléctico es: q E k d q d F m 9 i F Eq 9 qi N e q( x B) q 6 ( i)xk qj 4 9 i Como los módulos de mbs fuezs deben se igules: 9 4 q = q esp.: = m/s 4. Un potón (m =.67 7 Kg; q =.6 9 C) se muee con un elocidd de 7 m/s que fom º con un cmpo de.5 T. Clcul: ) el dio de l hélice descit; b) l distnci que nz po eolución, y c) l fecuenci de otción. Agustín E. González Moles

204 ) (sen i cos j) B Bj F q( x B) (sen i cos j)x B j qb sen k Y B El módulo de est fuez debe se igul l poducto de l ms po l celeción centípet que poduce: ( sen ) qb sen m Z cos F α sen X de donde m sen qb esp.:.4854 m b) El potón gi descibiendo un cicunfeenci un elocidd sen α. Po tnto, el tiempo que iniete en hcelo es: t. Este mismo tiempo es el que necesit p desplzse según sen el eje Y un elocidd cos α: po tnto t sen y cos c) po tnto: y ctg sen qb f m qb f m esp.: y =.79 m esp.: f =.8 7 Hz 5. Clcul: ) el dio de l tyectoi y el semipeiodo de un electón (m = 9. kg; q =.6 9 C) que se muee 7 m/s pependiculmente un cmpo de. T; b) el númeo de uelts que d en. segundos; c) l ddp necesi p dquii es elocidd, y d) el dio de l óbit descit si está dotdo de un enegí de electónoltios (ev) l desplzse en un plno pependicul un cmpo de guss. Not: Un ev es l enegí que dquiee un electón l est sometido l difeenci de potencil de un oltio. ev=.6 9 Julios. ) m qb esp.: =.847 m Agustín E. González Moles

205 b) T m qb esp.: T 8.94 s n t T esp.: n = uelts c) m qv m V q esp.: V V d) 9 m qv.6 m qb E m m qb E esp.:.67 m 6. Se plic un ddp de V ls mdus de un condensdo de plcs plels hoizontles, sepds cm en el cío. Se lnz hoizontlmente un potón (m =.67 7 kg; q =.6 9 C) ente ls plcs 7 m/s y se plic un cmpo mgnético pependicul est elocidd. Clcul: ) l intensidd del cmpo eléctico ente ls mdus; b) l inducción mgnétic p que el electón no se desíe, y c) l óbit descit po el electón cundo se supime el cmpo eléctico. ) V E d. esp.: N/C E F b) c) qe qb B E 7 esp.: T m qb esp.: 4.56 m 7. Po el conducto de l figu ps un coiente de 5 A. Clcul el cmpo mgnético cedo en el punto P po los cos de cicunfeenci 4 y cm de dio y los segmentos AD y BC, si = 9º. C En el ejecicio nº clculmos el cmpo cedo po un espi cicul. De quel esultdo deducimos que el cmpo cedo po un secto cicul de 9º es l cut pte. Los tmos BC y AD no B Agustín E. González Moles 4 P A D

206 genen cmpo poque están oientdos en l diección de P según el ecto u. Además, el co CD ce un cmpo pependicul el plno del ppel de sentido contio l genedo po el tmo AB y de meno lo poque está más lejdo. Po tnto: B = B AB B CD = I 4 AB I 4 CD I 8 AB CD esp.:.96 5 T 8. Po un conducto ectilíneo, lgo, psn A. Fom un bucle cicul de dio y continú de nueo en líne ect. Clcul el dio del bucle si en su cento el cmpo le.4 T. El cmpo es l sum del cedo po un conducto ectilíneo y un espi cicul: I I B I B esp.:.7 m 9. Po eje X, en el sentido positio, cicul un coiente I. Po el eje Y, tmbién en el sentido positio cicul un coiente.5 I. Detemin el lug geomético de los puntos del plno XY donde el cmpo mgnético se nul..5i x P(x, y) y I Los únicos puntos posibles deben petenece l pime o tece cudnte. Se P(x, y) un punto posible: B I I k y.5i B.5I ( k) x B B I.5I.5 y x esp.: y = x. Un cmpo mgnético unifome de. T penet pependiculmente po l c Su de un espi de.4 m de dio po l que cicul un coiente de.5 A. Clcul l fuez ejecid sobe un cudnte de l espi. I Y θ df y dθ dl θ ) df df x L fuez ejecid sobe un elemento dl de l espi es dil y diigid hci el exteio de l espi. Su componente según el eje X es: ) B X F peo x df x df sen L BIdL sen Agustín E. González Moles 5

207 dl d po tnto F x nálogmente, su componente según el eje Y es: F y BI sen d BI BI cos d BI y l fuez totl ejecid sobe un cudnte de espi es F BI(i j) 4 esp.: F 4 (i j). En l egión limitd po los plnos y =, y = cm existe un cmpo eléctico de j V/m. En l egión compendid ente y = cm y el infinito existe un cmpo mgnético unifome de 4 i T. Se bndon un electón (m = 9. Kg; q =.6 9 C) en el oigen de coodends sin elocidd inicil. Clcul: ) l elocidd del electón en el punto (,,), y b) el peiodo del moimiento que descibe. L tyectoi descit po el electón es l siguiente: sle de O sin elocidd, celedo po E ; lleg P con un elocidd donde el cmpo mgnético (epesentdo po l zon de puntos) le oblig descibi un semicicunfeenci hst P ; entonces E lo fenndo hst que lleg O sin elocidd; peo de nueo E lo empuj hci P. Y sí sucesimente. ) X Z O O e - cm E P P Y F ee m ; ee m l elocidd con l que lleg P es: y ee m p y p esp.: m/s b) El peiodo del moimiento descito po el electón es el coespondiente l sum de los tiempos inetidos en ecoe el segmento OP, continución l semicicunfeenci PP y, po último, el segmento P O. OP t op ; t op OP demás los tiempos inetidos en los tmo OP y P O son igules. Agustín E. González Moles 6

208 El dio de l semicicunfeenci es: y el electón l ecoe elocidd ; po tnto: m eb t pp' T t op t pp' esp.: 4.6 s. Un tooide de cm de dio medio está constituido po un núcleo de mteil feomgnético cuy pemebilidd elti es 8, y tiene ollds 5 uelts de un conducto po el que ciculn. A. Clcul el cmpo mgnético en el inteio y en el exteio del tooide. B int ni s ni 4 En el exteio del tooide el cmpo mgnético es nulo esp.:.4 T. Po un tubo conducto ecto, de dios inteio y exteio y b, cicul un coiente I en diección xil distibuid unifomemente po tod su sección ect. Clcul l inducción mgnétic en un punto que dist, cundo ) < < ; b) < < b, y c) > b Aplicmos l ley de Ampèe: B dl I L Pocedemos de mne simil como lo hcímos con el teoem de Guss p el cálculo de cmpos: ) P < < l coiente I = esp.: B = ; p < < b) b P < < b l densidd de coiente J es: I J (b y l coiente I que cicul po el inteio del tubo compendido ente y es: ) Po tnto: I ( ) J I b B dl L I B I b Agustín E. González Moles 7

209 esp.: I B b ; p < < b c) P > b l ley de Ampèe estblece que: esp.: I B ; p > b Obséese que este esultdo es el mismo que el obtenido p un conducto ectilíneo indefinido. 4. Un disco de dio cm está cgdo unifomemente con 5 C. Clcul l inducción mgnétic en el cento del disco si lo hcemos gi n = eoluciones po segundo. +d L densidd de cg es: de donde: q S q dq dq ds d q dq d Y l elocidd es: n q n d dq db 4 4 qn d B 4 qn d qn esp.: 8 T 5. El cmpo mgnético de un ciclotón es de. T. El dio de l últim tyectoi descit po un potón (m =.67 7 kg; q =.6 9 C) ntes de sli del ciclotón es 7 cm. Clcul: ) l enegí cinétic del potón l bndon el ciclotón; b) l ddp necesi p dot un potón que pte del eposo con l mism elocidd; c) el númeo de uelts que d en el ciclotón suponiendo que se inyect en el eje del pto con elocidd nul cundo l ddp ente ls des lcnz su lo máximo de V = V, y d) l dución del ecoido. ) m qb Ec m qb m esp.:.7 J b) Agustín E. González Moles 8

210 Ec qδv c) Ec V q esp.:. 6 V En cd uelt el potón está sometido l ddp de V = V dos eces. Po tnto, dquiee un enegí cinétic E =.6 9 J. Como necesit l enegí clculd en el ptdo ), tendá que d n uelts: d) Ec q B n E 4mV m T Bq esp.: 5 uelts B t nt 4V esp.: 7.7 s 6. El diámeto de un ciclotón es.4 m. L fecuenci del oscildo es f = MHz. Clcul l enegí en meg electón oltios (MeV) de un potón celedo (ms:.67 7 kg; cg:.6 9 C). Not: Un ev es l enegí que dquiee un electón l est sometido l difeenci de potencil de un oltio. ev=.6 9 Julios. Ec m m( ) f T m(f) m( f) Ec.67 (.5).86 J e 9.6 esp.: 8.66 MeV 7. En un espectógfo de mss se sepn dos isótopos. Uno de ellos es el isótopo 6 de O y el oto desconocido. Ambos penetn en l cám, donde hy un cmpo de. Wb/m, con un elocidd de km/s. El desconocido descibe un óbit más cot que el oto. L distnci que sep los puntos de impcto en l plc es de.8 cm. Clcul l ms tómic del ión desconocido (unidd de ms tómic u =.66 7 Kg). m 6u qb m mu 9 qb esp.: m = 5 8. En un espectógfo de mss los cmpos del selecto de elociddes son V/cm y 5 guss, y el cmpo que desí los iones es de 5 guss. Clcul l sepción que se Agustín E. González Moles 9

211 obseá en l plc p los iones C (m =.68 u) y C (m =.76 u) (unidd de ms tómic u =.66 7 Kg). En el selecto de elociddes los cmpos eléctico y mgnético deben se igules (e ptdo b del ejecicio 6): E B' qb' qe 5 4 m qb 4 m/s qb qb m m 4 7 d (m m ).66 (.76.68) 9 4 qb.6 5 esp.: d = mm Agustín E. González Moles

212 TEMA X INDUCCIÓN ELECTOMAGNÉTICA Flujo mgnético tés de un supeficie ced Expeiencis de Fdy Heny Fuezs electomotiz inducid. Ley de Fdy Heny. Coiente inducid. Cg inducid Ley de Lenz Genelizción de l Ley de Fdy Heny Autoinducción Coeficiente de utoinducción L. Inductnci de un bobin de n espis F.e.m. de utoinducción Cí de tensión en un bobin Coientes de ciee y petu Enegí mgnétic lmcend en un bobin. Densidd de enegí de un cmpo electomgnético Inducción mutu Tnsfomdoes Fundmentos de l geneción de l coiente lten Agustín E. González Moles

213 . Un solenoide de. H se conect en seie con un esistenci de y un genedo de V. Clcul: ) l coiente en función del tiempo hst que se lcnz el égimen estcionio l ce el inteupto K; b) l constnte de tiempo del cicuito; c) l coiente en égimen estcionio; d) l enegí de l bobin cundo se lcnz el égimen estcionio; e) el tiempo necesio p que l coiente lcnce l mitd del lo del ptdo c); f) el tiempo necesio p que l coiente difie en un milésim pte del lo finl; g) l coiente en función del tiempo l desconect el genedo. h) epesent en un sol gáfic los ptdos ) y g). ) L K b) I (t) e t L e t. esp.: I(t) e t A c) L. esp.:. s Con d) e) f) g) t l coiente tiende A pues e Em LI. I(t). e t ln t I(t).999 t e.999 ln t esp.: I A esp.: E m =.5 J ln esp.: t. 69 s ln esp.: t. 69s Agustín E. González Moles

214 I(t) e t L e t I(t) e t h) I(t) ε/ =. Clcul: ) l utoinducción de un solenoide de cm de longitud, fomdo po 8 espis de 5 cm de sección; b) l enegí lmcend cundo ciculn A; c) el flujo mgnético que lo ties; d) l inductnci si ls espis están enollds en un núcleo de hieo dulce de pemebilidd elti 5, y e) l f.e.m utoinducid si l coiente ument unifomemente desde A en. s, sin y con el núcleo de hieo. ) t b) c) d) L n S 4 s E m = ½ LI = ½ 4. Φ m = LI = 4. esp.: 4. H esp.:.84 W esp.:.84 Wb L = 5 L = 5 4. esp.:.6 H e) I L 4. t. I ' L'.6 t. esp.: ε =.84 V; ε' = 4. V. Un conducto ectngul de.6x. m y.7. Está situdo en el plno YZ en el seno de un cmpo B (5 y) i T. Se desplz en el sentido positio del eje OY. En el instnte inicil el ldo izquiedo está sobe el eje OZ, clcul l coiente: ) si se desplz con elocidd constnte de.5 m/s, y b) l cbo de s de comenz el moimiento, ptiendo del eposo con un celeción de m/s. d m B ds (5 y)i.6 dyi (5 y).6 dy Z dy Agustín E. González Moles X y y +. B Y

215 m y. (5 y).6 dy.87.8y y ) m y = t =.5 t t.87.7t d m.7 dt.7 I.7 esp.:. A b) y = ½ t =.5 t m t.87.7t d m.54t dt.54t I.7.54 I().7 esp.: 4 A 4. Un lmbe de cm se desplz.5 m/s en un diección que fom 6º con un cmpo de. T. Clcul: ) l f.e.m. inducid en él, e indic qué pte del lmbe está más potencil; b) l potenci disipd en el moimiento si tiene un esistenci de, y c) l fuez necesi p mntenelo en moimiento. X ) j L Li B B(cos j sen k) (L x B) BL sen.5..sen 6 esp.: 8.66 V. El flujo mgnético ument l desplzse l b, po tnto l coiente inducid tiene que cicul en el sentido del ecto L p contest este incemento de flujo, de hí que esp.: l pte myo potencil se l más cecn l eje Y. b) Z ) L α B Y c) P I (8.66 ) esp.: W Agustín E. González Moles 4

216 L potenci disipd del ptdo nteio es un consecuenci de l elocidd conseguid expenss de l fuez que lo empuj: P = F Tmbién podímos hbe hecho: 6 P 7.5 F.5 (LxB) F I(LxB) (LxB) esp.: 5 6 N 5. Detemin el flujo mgnético que ties l sección cudd de un tooide de hieo (pemebilidd elti: ), de dios y 5 cm, cundo lle ollds uelts de un cble po el que cicul A. El flujo que ties l sección del tooide es: ' BdS El módulo del cmpo mgnético confindo en el tooide es B In / s, con s =. L sección ds es: ds = ( ) d. Po tnto: n I ( ' ) ' d I n ( ' )ln ' 4 7 (.5.) ln.5. esp.: Wb Se puede clcul un esultdo poximdo si suponemos que l longitud medi es ' s ( ' ) y l sección es S = ( ). Así, se obtiene el lo 4.8 Wb. 6. Un solenoide de 5 cm y 5 cm de diámeto tiene n = espis. Un bobin de n = espis, de hilo isldo, ode l sección centl del solenoide y se conect un glnómeto, de mne que l esistenci totl de l bobin, el glnómeto y los conductoes es 5. Clcul l coiente que ps po el pto de medid cundo l intensidd que cicul po el solenoide disminuye linelmente de A en.5 s. B In / s d G I n I n' 4 s t m t n BS I s m n' n I n' s t esp.: A 7 7. Un bobin de espis y cm de áe gi PM especto un eje de su plno en el seno de un cmpo mgnético, unifome y pependicul, de.5 T. Hll l f.e.m. inducid y su lo máximo. m (t) nb S nbs cos nbs cos t )α S B Agustín E. González Moles 5