FICHA DE TRABAJO Nº 18

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1 FICHA DE TRABAJO Nº 18 Nombre Nº orden Bimestre IV 3ºgrado - sección A B C D Ciclo III Fecha: Área Matemática Tema TRIÁNGULOS II: Líneas y Puntos Notables LINEAS y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIANGULO ALTURA. Es el segmento de recta que va desde un vértice de un triángulo hasta el lado opuesto o su prolongación y es perpendicular a éste. En un triángulo se pueden trazar tres alturas, una por cada vértice del triángulo, cuyos segmentos o sus prolongaciones se cortan en un punto denominado ORTOCENTRO TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO ORTOCENTRO. ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO. ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO. SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL VÉRTICE DEL ÁNGULO RECTO. MEDIANA. Es el segmento de recta que une el punto medio de un lado de un triángulo con el vértice opuesto. En un triángulo se pueden trazar tres medianas, una por cada vértice del triángulo, las cuales se cortan en un punto denominado BARICENTRO O GRAVICENTRO El baricentro es el centroide o centro de gravedad del triángulo TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO BARICENTRO. DIVIDE A CADA MEDIANA EN LA RELACIÓN DE 1 A 2. EL BARICENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR. ES LLAMADO TAMBIÉN GRAVICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD DE LA REGIÓN TRIANGULAR. Profesor: Javier Trigoso Página 1

2 BISECTRIZ. Es la recta, o parte de recta, que divide a un ángulo en otros dos ángulos congruentes entre sí. En un triángulo se pueden trazar tres bisectrices, una por cada ángulo, las cuales se cortan en un punto denominado INCENTRO El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (tangente a los lados del triángulo), por lo tanto, el segmento perpendicular, que une el incentro con uno de los lados del triángulo, es el radio de la circunferencia inscrita. MEDIATRIZ Es la recta, o parte de recta, que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a éste, es decir, que divide a un segmento de recta en otros dos, congruentes entre sí. En un triángulo se pueden trazar tres mediatrices, una por cada lado del triángulo, las cuales se cortan en un punto denominado CIRCUNCENTRO El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (que pasa por los vértices del triángulo), por lo tanto, el segmento que une el circuncentro con uno de los vértices del triángulo es el radio de la circunferencia circunscrita. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO. EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL TRIÁNGULO. EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR DEL TRIÁNGULO. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO CIRCUNCENTRO. EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO. ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO. ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO. SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE LA HIPOTENUSA. Profesor: Javier Trigoso Página 2

3 PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES 1. Ángulo formado por dos bisectrices interiores 4. Si: 0 es circuncentro x 2α 2. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores Ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior 6. Profesor: Javier Trigoso Página 3

4 7. 3. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores de los ángulos A y B que se intersectan en P, si: m APB = 2m C. Hallar m C 4. Hallar x en la figura PARA LA CLASE 5. Hallar el valor de x en 1. En la figura, hallar x 2. En un triángulo ABC, las bisectrices de los ángulos A y C se cortan en H. Si m AHC = 5m ABC, hallar m ABC 6. En un triángulo PQR las bisectrices exteriores de P y R se intersectan en el punto A, tal que m Q = 2m PAR. Calcular la m Q Profesor: Javier Trigoso Página 4

5 7. En un triángulo ABC las bisectrices exteriores de B y C se intersecan en un punto E, tal que BE = BC. Si la m ABC = 80. Calcular m A 11. En la figura hallar x 8. Se tiene un triángulo MNP tal que las bisectrices exteriores de M y P se intersectan en el punto E. Calcular m N, si 2m N + m MEP = 117º. 12. En la figura hallar CD si EC = 7 9. En la figura hallar x 10. Hallar x en la figura 13. En un triángulo ABC la bisectriz interior de A y la bisectriz exterior de C forman un ángulo que mide 36, si la: m A - m C = 20º. Calcular m A0B 14. Hallar x en: Profesor: Javier Trigoso Página 5

6 15. En la figura MN / / AC, AM = 4 y NC =7. Calcular: MN 3. Calcular el valor de x en la figura A. 50º B. 60º C. 80º D. 90º E. 110º 4. Hallar x en la figura PARA LA CASA 1. En la figura calcular el valor de x B. 20º C. 40º D. 50º E. 60º 2. Según la figura, z equivale a: A. 30º B. 35º C. 40º D. 45º E. 50º B. 20º C. 30º D. 40º E. 50º 5. Hallar x en la figura A. 50º B. 60º C. 70º D. 80º E. 90º Profesor: Javier Trigoso Página 6

7 6. El ángulo que forma la altura y la mediana de un triángulo rectángulo mide 18. El mayor ángulo agudo del triángulo mide: A. 37 B. 54 C. 68 D. 75 E La distancia del ortocentro al baricentro de un triángulo rectángulo es igual a 50 m. Calcular el diámetro de la circunferencia circunscrita. A. 100 m B. 150 m C. 75 m D. 200 m E. 250 m 8. En un triángulo ABC, se traza la altura AH y la mediana BM. Si AC es igual a 32 m, hallar HM A. 32 m B. 16 m C. 12 m D. 9 m E. 5 m 9. En la figura, hallar x B. 20º C. 40º D. 50º E. 60º 10. En un triángulo ABC: I es incentro, si la m AIC = 3m B. calcular m B. A. 24º B. 36º C. 54º D. 45º E. 30º 11. En un triángulo MNO las medianas MQ y NP se cortan perpendicularmente, si MN = 10, hallar la longitud de la mediana que parte del vértice 0. A. 10 B. 15 C. 18 D. 21 E En un triángulo ABC las medianas BM y CM se cortan perpendicularmente en 0. Si AO = 6, hallar BC. A. 12 cm B. 9 cm C. 6 cm D. 3 cm E. 1 cm 13. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD, tal que m BDA = 72º y m BDC = 35º. Calcular la m BAD. A. 77º B. 71º C. 70º D. 60º E.56º 14. En un triángulo ABC, m<a = 2m<C. Se traza la bisectriz interior BD. Calcular AD, si AB = 6 y BC = 10. A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E ABC es un triángulo cuyos ángulos A y C miden 80º y 20º respectivamente. Si la bisectriz del ángulo B intersecta al lado AC en D, hallar la medida del ángulo ABD. A. 80º B. 53º C. 40º D. 37º E. 20º Profesor: Javier Trigoso Página 7

8 16. En un ABC la bisectriz interior de A, forma con la exterior de B un ángulo de 18º, calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices exteriores de A y C si: m BAC = m BCA + 4º A. 36º B. 37º C. 38º D. 39º E. 40º 17. Hallar x en: A. 1º B. 1,5º C. 2º D. 2,5º E. 3º 18. En la figura calcular A. 20º B. 40º C. 70º D. 80º E. 90º 19. Por el vértice B de un triángulo ABC, cuyo perímetro es 16, se trazan paralelas a las bisectrices interiores de A y C las que intersecan a AC en P y Q. Calcular PQ. A. 8 B. 16 C. 18 D. 24 E En un triángulo PQR, las bisectrices de los ángulos P y R se cortan en S, si m PSC = 8(m PQR), hallar m PQR B. 12º C. 14º D. 16º E. 18º 21. En la figura hallar x A. 12º B. 24º C. 36º D. 48º E. 60º 22. Hallar x en: A. 16º B. 26º C. 36º D. 46º E. 56º Profesor: Javier Trigoso Página 8

9 23. Calcular x A. 20º B. 25º C. 35º D. 40º E. 50º 26. Según la figura: A + B = 200º Hallar x A. 11º B. 12º C. 13º D. 14º E. 15º 24. Calcular x B. 50º C. 60º D. 70º E. 80º 27. Hallar x, si BM es bisectriz y además = 20º A. 5º B. 10º C. 15º D. 20º E. 25º 25. Hallar x B. 20º C. 30º D. 40º E. 50º 28. En el gráfico BF es bisectriz interior del triángulo BED. Calcular x A. 20º B. 25º C. 28º D. 30º E. 32º Profesor: Javier Trigoso Página 9

10 29. El ángulo obtuso B de un triángulo obtusángulo ABC es el triple del ángulo A. La mediatriz del lado AB corta al lado AC en P. Calcular el ángulo formado por BP y la bisectriz del ángulo C. A. 60 B. 75 C. 90 D. 100 E El ángulo A de un triángulo ABC mide 30. Se traza la bisectriz interior BP (P está en AC ), luego se traza la mediatriz de BP, la cual corta a la prolongación de AC en Q, calcular la medida del ángulo QBC. A. 25 B. 30 C. 50 D. 45 E. 60 Profesor: Javier Trigoso Página 10