Velocidad ÁREA. Tiempo. m =

Transcripción

1 1.1. Reisión de mru y mru. El moimiento rectilíneo uniforme (mru) es un moimiento que se reliz con elocidd constnte, y l ecución que permite representr ese moimiento es x t (1) L ecución nterior puede ser expresd tmbién como función de ls posiciones inicil y finl x x x + t () Los gráficos posición ersus tiempo y elocidd ersus tiempo son muy útiles l hor de determinr ciertos dtos. Posición Velocidd Tiempo Figur 1 Tiempo Figur En el gráfico elocidd ersus tiempo podemos clculr el desplzmiento prtir del cálculo del áre debjo de dich cur. Velocidd ÁREA Tiempo Figur Pr el gráfico posición ersus tiempo, l representción es un rect que puede estr inclind hci l derech (como en el cso de l figur ), puede estr inclind hci l izquierd, o puede estr en form horizontl. Pr el cso expuesto en l figur, l prtícul se está moiendo for del sistem de referenci, porque está umentndo l posición en los lores positios, por lo tnto su elocidd tendrá tmbién l mism dirección, esto es, en l dirección positi. Pr el cso en que l rect esté inclind hci l izquierd, l elocidd será negti porque está disminuyendo l posición, y finlmente pr el cso en que l rect se horizontl l elocidd será cero porque no h cmbido l posición, y por lo tnto el desplzmiento será cero y consecuentemente, l elocidd será cero. Mtemáticmente, l inclinción de l rect se denomin pendiente, y se l determin medinte l ecución m y x y y 1 1 donde y represent el lor finl de l cntidd físic que está en el eje y, en este cso l posición finl, y 1 represent el lor inicil de l cntidd físic que está en el eje y, en este cso l posición inicil, de igul mner x y x 1 representn los lores inicil y finl de l cntidd físic que existe en el eje x, en este cso el tiempo. El moimiento rectilíneo uniformemente rido es un moimiento en el que l celerción permnece constnte, de mner que l rpidez cmbi de form constnte. Eso expresdo mtemáticmente es 1.1. Reisión de MRU y MRUV Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor

2 t t t + t ( 1) Si hcemos uso del criterio nterior, el áre debjo de l cur elocidd ersus tiempo d como resultdo el desplzmiento podemos deducir ls ecuciones que yudn nlizr este moimiento. Además, se sbe que el áre de un trpecio (en este cso trpezoide) es el producto de l semisum de ls bses por l ltur del mismo. (m/s) A Desplzmiento t t(s) Figur 4 B + b A h + x t ( ) Si reemplzmos l ecución (1) en l ecución () tendremos + x + t ( + t) ( ) ( 1) + x + t x t 1 x t + t t t t + t ( ) Si hor reemplzmos l ecución (1) en l ecución (), pero con el tiempo despejdo tendremos Reisión de MRU y MRUV Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor

3 1.1. Reisión de MRU y MRUV Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor 5 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4 1 x x x t x t t t Recuerde que en este cso x x x Ests cutro ecuciones nos yudrán resoler los ejercicios que se presenten pr estos moimientos. Además, se define l elocidd medi como l rzón de cmbio del desplzmiento, que expresdo en ecuciones es t r med En cmbio, l rpidez medi es l rzón de cmbio de l distnci t d Rp med Pr un prtícul que se encuentr cyendo (o subiendo), el moimiento es mru, sólo que quí el lor de l celerción es g 9.8 m/s, y dependiendo del sistem de referenci puede ser positio o negtio. El moimiento prbólico es quel en el que se combinn los moimientos mru en el eje de ls x y mru en e el eje de ls y.

4 Ejercicios resueltos 1. Encuentre l elocidd medi y l rpidez medi de l pelot que está mrrd l cuerd, y que sle del punto P y lleg l punto Q, si demor.6 s en el recorrido. 85 cm P 6 cm Q Figur 5 L elocidd medi es l rzón entre el desplzmiento y el tiempo. En l figur 6 se muestr con l flech PQ el desplzmiento, y con líne cur PQ l distnci recorrid por l prtícul. 85 cm P 6 cm Q El desplzmiento de l prtícul es r ( i.6 j) m (.6ˆ i.6 ˆj ) m Vm ( iˆ ˆj ) m / s Vm.6s Figur 6.6ˆ ˆ, por tnto l elocidd medi será, y l mgnitud de l elocidd medi es, por tnto Vm m / s Vm 1.41 m / s L distnci recorrid por l prtícul está compuest de dos tryectoris circulres, l un es l curt prte de l longitud de l circunferenci que tiene por rdio r 1.85 cm, y l otr prte de l tryectori curilíne son ls tres curts prtes de un circunferenci de rdio r.5 cm. d d d d TOTAL TOTAL TOTAL TOTAL d + d 1 π r1 + 4 π 4.51m ( π r ) 4 (.85m) ( π (.5m) ) Reisión de MRU y MRUV Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor

5 Por tnto l rpidez medi será.51 Rpm m / s.6 Rpm 4.18m / s. Dos prtículs se encuentrn seprds 1 m, y se dirigen l un hci l otr con elociddes constntes de 5 m/s y m/s. Encuentre l distnci, prtir de l ubicción de l prtícul que se muee 5 m/s, en que ocurre el encuentro. L figur 7 muestr l situción presentd en el enuncido del problem nterior. En este cso estmos considerndo nuestro sistem de referenci como positio hci l derech. Recuerde 5 m/s m/s 1 m Figur 7 que el signo en l elocidd solmente indic l dirección del moimiento, por lo tnto l prtícul que se muee en l dirección positi (hci l derech) es l prtícul que tiene elocidd + 5 m/s, y l prtícul que se muee hci en l dirección negti (hci l izquierd) es l que tiene l elocidd m/s. En l figur 8 mostrmos el desplzmiento relizdo por cd prtícul. 5 m/s m/s 1 m m/s 5 m/s x 1 x Figur 8 Note que el desplzmiento de l prtícul 1 es positio, mientrs que el desplzmiento de l prtícul es negtio. Además, recuerde que si un prtícul no cmbi l dirección del moimiento, l distnci recorrid es igul l mgnitud del desplzmiento, o se, l distnci recorrid por l prtícul 1 es igul l mgnitud del desplzmiento 1, y l distnci recorrid por l prtícul es igul l mgnitud del desplzmiento. Fíjese tmbién que de l figur 4 se puede concluir que l distnci recorrid por l prtícul 1 más l distnci recorrid por l prtícul es igul 1 m, en ecuciones esto es, d 1 + d 1 m pero recuerde que l distnci 1 es l mgnitud del desplzmiento 1, y l distnci es l mgnitud del desplzmiento, o se, x 1 + x 1 m pero recordemos que en el moimiento rectilíneo uniforme (con elocidd constnte) el desplzmiento es igul l producto de l elocidd por el tiempo trnscurrido. 1t + t 1 m (5 m/s)t + (- m/s)t 1 m (5 m/s)t + ( m/s)t 1 m (8 m/s)t 1 m t 1.5 s 1.1. Reisión de MRU y MRUV Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor 7

6 Este tiempo es el tiempo en el que se encuentrn ls dos prtículs, luego, l distnci prtir de l ubicción de l prtícul que se muee + 5 m/s es d 1 x 1 1t (5 m/s)(1.5 m/s) d m. Dos ehículos A y B se encuentrn en l mism posición l tiempo t. Ambos se mueen en líne rect, A se muee con elocidd constnte de m/s, dos segundos después sle B desde el reposo y en l mism dirección. Determine l celerción, en m/s, que deberá imprimir B pr lcnzr l móil A un distnci de m desde el punto de prtid. L figur 9 muestr l situción que se present en el enuncido del ejercicio. t A t B m/s A B m Figur 9 Se puede precir que si ls prtículs slen del mismo punto y llegn l mismo lugr, el desplzmiento es el mismo pr mbs prtículs, o se, x (1) A x B Puesto que l prtícul A se muee con elocidd constnte utilizmos l ecución x t () Donde m/s, y el tiempo de moimiento es t. El tiempo y se lo puede clculr sbiendo que el desplzmiento es m. m ( m/s)t m t m s t 1s Pr l prtícul B el moimiento es uniformemente rido, en el que utilizmos l ecución 1 t x t + () Aquí V y el tiempo es t, puesto que slió dos segundos después que l prtícul A, por lo tnto tiene dos segundos menos moiéndose. Al reemplzr ls ecuciones () y () en l ecución (1), tenemos 1 m + 1 m + m s 6. 5m / s ( 8s) ( 64s ) Reisión de MRU y MRUV Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor

7 4. Desde l terrz de un edificio de 5 m de ltur se lnz erticlmente y hci rrib un objeto con un elocidd de m/s. Al mismo instnte y desde l clle se lnz otro objeto en form erticl con un elocidd de m/s. Encuentre el tiempo en que los objetos se encontrrán. m/s y Punto de encuentro Relizmos un gráfico en el que representemos todos los dtos ddos. De cuerdo los dtos presentdos podemos utilizr l ecución de desplzmiento. Además note que el desplzmiento de l prtícul que prte desde l terrz del edificio es negtio, mientrs que el desplzmiento de l prtícul que prte desde el niel de l clle es positio, de cuerdo l referenci norml del eje y, que es positi hci rrib y negti hci bjo. 5 - y m/s y t + ½ yt y - t t (1) y t + ½ (- 9.8)t () 5 - y t t Figur 1 Si summos ls dos ecuciones tenemos 5 1t t 5s 5. Un cj ce desde el reposo y desde un ltur de m. Justo en el instnte ntes de tocr el suelo, un objeto se lnz desde l cj erticlmente y hci rrib con un elocidd de 5 m/s (con respecto l cj). Determine el tiempo que el objeto trdrá en oler l suelo. Use g 1 m/s. L gráfic djunt muestr l situción inicil y finl de l cj junto con el objeto que en su interior. Mientrs el objeto y dentro de l cj, lle l mism elocidd que ést, por tnto l elocidd con que sle el objeto de l cj es l sum ectoril de ls elociddes. Clculremos primero l elocidd con que ce l cj. objeto 5 m/s m + y y + (-1)(-) - m/s (es negti por tener dirección opuest l referenci positi) L elocidd de l cj respecto de l tierr es cj V CAJA + V OBJETO 5 + ( ) 5 m/s Figur 11 El gráfico siguiente muestr l objeto en cíd libre ( -1 m/s ). Recuerde que pr un objeto en cíd libre, en posiciones igules l mgnitud de l elocidd es l mism, pero de sentido opuesto. + yt t - 1-1t t 1 s 5 m/s - 5 m/s Figur Reisión de MRU y MRUV Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor 9

8 6. Un piedr se dej cer en un pozo y se oye el ruido producido l chocr con el gu. s después. Clcule l profundidd del pozo hst donde comienz el niel del gu. Velocidd del sonido 4 m/s. Los. s es el tiempo totl, desde que l piedr ce y choc con el gu, hst que el sonido lleg hst fuer del pozo. t1 t. t 1 + t El moimiento de l piedr es en cíd libre, mientrs que el del sonido es rectilíneo uniforme. y PIEDRA t + ½ t -y 4.9 t 1 t 1 y y y SONIDO t y 4 t t y/4 Reemplzndo en l primer ecución tenemos Figur 1.. y y h h Hremos un cmbio de rible pr fcilitr l solución de l ecución. Dejremos h eliminmos los denomindores h +.1h.1h + 4h 48.9 y, y h y, y luego h 4 ± h h (.1)(48.9) 4.4 y 1 46 m y 58 m Debido que l profundidd del pozo no puede ser 58 m, l respuest es 46 m. 7. Un globo sciende con elocidd constnte de m/s. A los 5 s de su prtid se lnz desde el globo un objeto horizontlmente con un elocidd de 1 m/s. Encuentre el tiempo que trdrá el objeto en llegr l suelo desde el instnte en que fue lnzdo. h t 5s V m/s V1 m/s Figur 14 Según se e en el gráfico. L prtícul no sle horizontlmente, porque tmbién lle un elocidd erticl, l que es igul l que lle el globo. L prtícul prte desde l ltur h, que es l ltur l que h scendido el globo en moimiento rectilíneo uniforme (elocidd constnte) durnte los 5s. Est ltur l clculmos como sigue y yt y ( m/s)(5s) y 1 m El moimiento del objeto es de cíd libre un ez que sle del globo, debido que sólo se e fectdo por l celerción de l gredd. El tiempo de cíd del objeto lo clculmos medinte l ecución y Yt + ½ Yt - 1 t 4.9t Reisión de MRU y MRUV Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor

9 Al reordenr l ecución, nos qued l ecución cudrátic Por tnto t es igul t t 7.s 4.9t t 1 ( ) ± ( ) 4( 4.9)( 1) ( 4.9) 8. Un proyectil se dispr desde l cumbre de un pendiente, que hce un ángulo de º con l horizontl con un elocidd horizontl inicil de 5 m/s. En cuántos segundos el proyectil toc el suelo de l pendiente? V º Figur 15 V En el gráfico que se muestr, podemos er que l distnci d que recorre l prtícul sobre l pendiente es posible relcionrl con los desplzmientos en los ejes X y Y, por medio de ls funciones trigonométrics. y d x Figur 16 x dcos y dsen Podemos hor plicr ls ecuciones de moimiento de cd eje. x xt y Yt + ½ Yt dcos t -dsen - 4.9t t d cos (1) dsen 4.9t () Reemplzmos l ecución (1) en l ecución () t cos ( sen ) Tn t 4.9t ( 5m / s) tn t 4.9m / s t 4.9 s 4.9t 1.1. Reisión de MRU y MRUV Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor 11

10 9. Un objeto se lnz horizontlmente con un elocidd de m/s desde un ltur de 1 m, como se indic en l figur 17, qué celerción deberí imprimir el crrito pr que el objeto cig en él?, sumiendo que prten l mismo tiempo. m/s 1 m Debido que tnto el crrito como el objeto slen l mismo tiempo, el tiempo del moimiento es el mismo pr mbs prtículs. Además, si el objeto ce en el crrito, l distnci que recorre el crrito es l mism que recorre el objeto horizontlmente. Con este nálisis plntemos ls ecuciones necesris. ANÁLISIS PARA EL OBJETO y Yt + ½ Yt x Xt t x (1.4) t 1.4 s x 8.6 ANÁLISIS PARA EL CARRITO x Xt + ½ Xt 8.6 ½ X(1.4) X 8 m/s Figur Se lnzn tres piedrs A, B y C, desde el filo de un terrz con l mism rpidez inicil, como se muestr en l figur 18. L rpidez con l que cd piedr lleg l suelo está relciond por: ) V A V B V C b) V A < V B < V C A c) V A > V B > V C B d) V A V C > V B C e) V A V C < V B h V θ Figur 18 Ls tres prten desde el mismo punto por tnto l ltur desde l que cen es l mism, por tnto l elocidd con l que llegrán l piso es l mism. L demostrción mtemátic se d continución. h Vy Vy V y gy V Sen θ gy Vx V Cosθ V x V Cos θ V Aquí y - h por l ubicción del sistem de referenci. L elocidd finl totl de ls tres prtículs está dd por h h V φ V + V X V Y V V Cos θ + V Sen θ gh + Podemos fctorizr l últim expresión, y luego utilizr l identidd trigonométric Sen θ + Cos θ 1 V V ( Cos θ + Sen θ ) + gh V V + gh 1 Figur 19 Resultdo que no depende más que de l rpidez con que fue lnzdo el objeto y de l ltur de donde fue lnzdo Reisión de MRU y MRUV Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor

11 1.1.. Ejercicios propuestos 1. Un crro cubre l primer mitd de l distnci recorrid entre dos puntos con un rpidez de 1 m/s. Durnte l segund mitd, su rpidez es 4 m/s. Cuál es l elocidd medi del crro durnte todo el recorrido? (Deber 1, I término 5 6). Respuest: 16 m/s.. Un coche lle un elocidd de 7 km/h y los frenos que posee son cpces de producirle un descelerción máxim de 6 m/s. El conductor trd.8 s en reccionr desde que e un obstáculo hst que logr frenr. A qué distnci h de estr el obstáculo pr que el conductor pued eitr el choque? (Deber 1, I término 4 5). Respuest: 49 m.. Un pelot rued por un pendiente desde el reposo, y con celerción constnte, recorriendo 15 m en 5 s. Qué distnci recorrió durnte el quinto segundo de su moimiento? (Deber 1, I término 4 5). Respuest: 54 m. 4. Un tren subterráneo celer 1. m/s desde el reposo entre dos estciones que están seprds 11 m. Cundo lleg l mitd de est seprción desceler 1. m/s hst llegr l finl. Encuentre el tiempo que se muee entre ls estciones y l máxim rpidez lcnzd por el tren. (Deber, I término 1). Respuest: 6.6 s, 6. m/s. 5. Un objeto ce l cío desde l zote de un edificio y recorre un distnci h hst llegr l cer. En el último segundo de su cíd recorre un distnci de h/4. Encuentre l ltur del edificio. (Deber 1, I término 4 5). Respuest: 7 m. 6. Un globo sciende con un rpidez de 1 m/s un ltur de 8 m sobre el suelo cundo suelt un pquete. Qué tiempo trd el pquete en llegr l suelo? (Deber, I término 1). Respuest: 5.4 s. 7. Un helicóptero desciende erticlmente con un rpidez constnte de 1 m/s, l llegr un ltur de 15 m sobre el terreno se dej cer un pquete desde un de sus entns. ) Cuánto tiempo trd el pquete en llegr l suelo? b) Con qué elocidd lleg el pquete l suelo? (Exmen finl de Físic A, de septiembre de 5). Respuest: ) 18.5 s; b) m/s 8. Un prtícul que se muee en el plno XY con celerción constnte ( ) 4iˆ + ˆj m s. En el instnte iˆ 9 ˆj m. inicil se encuentr en el punto de coordends (4,) y su elocidd en dicho instnte es ( ) s Encuentre: ) L posición de l prtícul los 4 s. b) L elocidd de l prtícul los 4 s. (Exmen prcil de Físic A, I término 5). Respuest: ) x ( 44iˆ 9 ˆj )m 18 iˆ + ˆj m ; b) ( ) s 9. Se dej cer un piedr desde un ltur de 1 m. Qué distnci recorre en el último segundo ntes de tocr el suelo? (Exmen prcil de Físic I, Inierno 5). Respuest: 4.6 m 1. L rpidez totl de un proyectil en su ltur máxim es 1 y es igul 6 7 de l rpidez totl, cundo está l mitd de l ltur máxim. Demuestre que el ángulo de eleción del proyectil es º. (Deber 1, II término, ). 11. Un mujer lnz un globo lleno de gu 5º sobre l horizontl con un rpidez de 1 m/s. L componente horizontl de l elocidd se dirige hci un uto que nz hci l mujer 8 m/s. Pr que el globo golpee l uto, qué distnci máxim de l chic puede estr éste en el instnte del lnzmiento? Ignore l resistenci del ire. (Deber 1, I término, 5 6). Respuest: 9.5 m 1.1. Reisión de MRU y MRUV Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor 1

12 1. Un niño lnz un pelot sobre el tejdo plno de un cs de. m de ltur y 7.4 m de ncho, de mner que libr justmente los extremos de mbos ldos, como se muestr en l figur. Si el niño está prdo.1 m de l pred, cuál es l elocidd inicil de l pelot y el ángulo de lnzmiento? Supong que l pelot se lnz desde el niel del suelo. (I término, 1 ). Respuest: 61.7º y 11.7 m/s. Figur 1. Un corredor de 1 metros hizo un tiempo de 1.5 s, pero justmente l cruzr l líne de met fue lcnzdo por el proyectil disprdo l dr l slid los corredores. Encuentre el ángulo con que se efectuó el dispro. Use g 9.81 m/s. (Exmen de mejormiento, I término 4 5). Respuest: 79º θ Figur Un pelot de bsebll se lnz hci un jugdor con un elocidd inicil de m/s y form un ángulo de 45º con l horizontl. En el momento de lnzr l pelot el jugdor está 5 m del lnzdor. A qué elocidd constnte deberá correr el jugdor pr coger l pelot l mism ltur desde donde se lnzó? Use g 1 m/s. (Exmen prcil, I término 4). Respuest:.5 m/s 15. Desde el filo de l terrz de un edificio de 5 m de ltur se lnz un pelot con un elocidd ( iˆ + 5 ˆj ) m s. Después de 1. s prte del pie del edificio un person que corre con celerción constnte durnte s y luego continú con elocidd constnte, hst grrr l pelot justo ntes de que toque el suelo. Cuál fue l celerción de l person? (Exmen prcil, I término 1999 ). Respuest: 1.7 m/s Reisión de MRU y MRUV Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor

13 1.. Uso del cálculo en cinemátic. El cálculo diferencil e integrl es un herrmient poderos l hor de nlizr ejercicios de cinemátic en los que los moimientos se dn con celerción rid. Se define l elocidd como l derid de l posición con respecto l tiempo, esto es, d x Y l celerción como l derid de l elocidd con respecto l tiempo d A continución presentmos l tbl de derids que nos yudrán resoler ejercicios en los que se inolucren ests d( constnte ) Derid de culquier constnte es cero Derid del tiempo es l unidd d t n nt ( ) n ( f + g) d d( fg) d f g df dg + dg df f + g df dg g f g Derid de un potenci es el producto del exponente por l rible disminuid en uno el exponente Derid de un sum es igul l sum de ls derids Derid de un producto es igul l producto de l primer función por l derid de l segund función, más el producto de l segund función por l derid de l primer función. Derid de un cociente es igul producto de l función del denomindor por l derid de l función del numerdor, menos el producto de l función del numerdor por l derid de l función del denomindor, todo lo nterior diidido entre el cudrdo del denomindor. Tmbién será de utilidd un tbl de integrles pr los ejercicios en los que hy que utilizrls. 1. t Integrl de l unidd es igul l rible que se nliz. n+ 1 n t. t + C n + 1 t. ( t) c f ( ) Integrl de un potenci es igul l potenci umentd en l unidd diidido entre el exponente umentdo. cf integrl de un constnte por un función es igul l constnte por 4. ( g) f + 1 t l integrl de l función. f + g Integrl de un sum es igul l sum de ls integrles 5. lnt + C 1.. Uso del cálculo en cinemátic Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor 15

14 1..1. Ejercicios resueltos. 1. El moimiento de un prtícul se define por l relción x t 9t + 1, donde x se expres en metros y t en segundos. Clculr el tiempo, l posición y celerción cundo. (Tomdo del libro Mecánic ectoril pr ingenieros de Beer Jonhston) L elocidd es l derid de l posición con respecto l tiempo, por lo tnto derimos primero l función de posición con respecto l tiempo y luego determinmos el tiempo en el que se hce cero l elocidd. dx ( t 9t + 1) d d( t ) d( 9t ) d( 1) + L derid de l sum es igul l sum de ls derids. 1 1 t 9t + Derid de un potenci y derid de un constnte. ( ) ( ) 6t 18t 6t 18t Aerigumos en qué tiempo l elocidd es cero. 6t t ( ) 6t t t t Con estos tiempos clculmos ls posiciones donde se encuentr l prtícul x 1m ( ) 9( ) x + 1 L posición pr el tiempo t es x 1 m. ( ) 9( ) x + 1 L posición pr el tiempo t s es x - 15 m. x 15m L celerción es l derid de l elocidd. Primero derimos l expresión de l elocidd y luego elumos en los tiempos encontrdos. d( 6t 18t ) d( 6t ) d( 18t ) t 118t 1 ( ) 18 18m s ( ) ( ) 1t 18 Cundo el tiempo es cero l celerción es 18 m/s. 1 ( ) 18 m s 18 Cundo el tiempo es tres segundos l celerción es 18 m/s Uso del cálculo en cinemátic Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor

15 1. El moimiento de un prtícul se define por l relción x t t + 8t +, donde x se expres en metros y t en segundos. Clculr: ) El instnte en que l elocidd es cero. b) L posición y l distnci recorrid cundo l celerción es cero. (Tomdo del libro Mecánic ectoril pr ingenieros de Beer Jonhston). ) L elocidd es l derid de l función de posición, por lo tnto, primeros derimos y luego elumos pr cundo l elocidd se cero. dx 1 d t d t 6t + 8 Elumos el(los) instnte(s) en que l elocidd es cero t ( t ) d ( 8t) d ( ) + 6t + 8 ( t 4)( t ) t 4 t L elocidd es cero en dos instntes, los dos segundos de comenzr el nálisis del moimiento, y los cutro segundos de inicido el nálisis. Estos tiempos indicn los instntes en los que l prtícul cmbi l dirección del moimiento. b) Clculmos l celerción como l derid de l elocidd con respecto l tiempo d d d t 6 ( t 6t + 8) ( t ) d( 6t) d( 8) De l ecución obtenid encontrmos el tiempo en el que l celerción es cero. t ( t ) t Aerigumos primero en qué posición estb l prtícul los cero segundos, luego los dos segundos, que fue el tiempo en el que relizó el primer cmbio en l dirección del moimiento, y, finlmente los tres segundos pr clculr l distnci totl recorrid. 1 ( ) ( ) + 8( ) x + Posición de l prtícul t s x m 1 ( ) ( ) + 8( ) x + Posición de l prtícul t s x ( 6 )m Uso del cálculo en cinemátic Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor 17

16 1 ( ) ( ) + 8( ) x x 8m + Posición de l prtícul t s L primer distnci recorrid fue 6 m m m L segund distnci recorrid fue 6 8 m m m Por lo tnto, l distnci totl recorrid fue / m, que proximdmente es 7. m, y l posición los tres segundos es 8 m.. L posición de un prtícul lo lrgo de un tryectori rect se define como x( t) ( t 6t 15t + 7)pies, donde t está en segundos. Hlle, prtir de l ecución dd: ) Expresiones pr l elocidd y l celerción en función del tiempo. b) L distnci totl recorrid cundo t 1 s. c) L elocidd medi en ese instnte. (Tomdo del deber # 1 de Físic I, I Término 4). ) L elocidd está dd por l derid de l posición con respecto l tiempo ( t) d ( t 6t 15t + 7) ( t) ( t 1t 15) pies / s Aquí (t) signific que l elocidd está en función del tiempo. L celerción es l derid de l elocidd con respecto l tiempo d ( t 1t 15) ( 6t 1) pies / s b) Pr clculr distnci recorrid debemos de erigur los tiempos en los que ocurren los cmbios en l dirección del moimiento; y esto ocurre cundo l elocidd es cero. t t 1t 15 4t 5 ( t 5)( t + 1) t 5 t 1 Puesto que no existe l posibilidd de tener tiempos negtios, l prtícul cmbi l dirección del moimiento solo un ez, y esto ocurre los cinco segundos. A prtir de esto clculmos ls posiciones t, t 5 s y t 1 s. ( + 7) x( ) ( ) 6( ) 15( ) x( ) 7 pies pies Posición de l prtícul t ( + 7) x( 5) ( 5) 6( 5) 15( 5) x( ) 9pies pies Posición de l prtícul t 5 s ( + 7) x( 1) ( 1) 6( 1) 15( 1) x( 1) 57 pies pies Posición de l prtícul t 1 s 18 L primer distnci recorrid fue 9 7 1pies L segund distnci recorrid fue 57 ( 9) 5pies 1.. Uso del cálculo en cinemátic Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor

17 Por lo tnto l distnci totl recorrid fue 45 pies c) L elocidd medi es el desplzmiento relizdo en ese tiempo x m t 57 pies 7 pies m 1s 5pies / s m 4 4. Un punto se muee según ls ecuciones de moimiento x ( t) 5t + t, y( t) 5t t y z( t) 5t t donde x, y, z están expresds en centímetros y t en segundos. Encuentre: ) Ls componentes de l elocidd y de l celerción en el tiempo t s. b) L distnci entre el punto y el origen cundo t s. (Tomdo del deber # 1 de Físic A, I Término 5 6). ) L elocidd es l derid de l posición en cd uno de los ejes. ( t) ( t) [ x( t) ] d[ y( t) ] d[ z( t) ] d î + d 4 ( 5t + t ) d( 5t t ) d( 5t t ) î + ĵ + [ kˆ ] cm / s ( t) ( 1t + 6t ) î + ( 1t 4t ) ĵ + ( 5 t ) Ahor clculmos el lor de l elocidd pr t s, 1.. Uso del cálculo en cinemátic Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor 19 kˆ ĵ + ( ) {[ 1( ) + 6( ) ] î + [ 1( ) 4( ) ] ĵ + [ 5 ( ) ] kˆ } ( ) ( 44î 1 ĵ + 1kˆ ) cm / s L celerción es l derid de l elocidd con respecto l tiempo. ( t) ( t) [ ( t) ] d y ( t) d x d î + [ ] d ( t) [ ] ( 1t + 6t ) d( 1t 4t ) d( 5 t ) î + ĵ + ĵ + [ kˆ ] cm / s ( t) ( 1 + 1t) î + ( 1 1t ) ĵ ( 6t) De l ecución obtenid encontrmos l celerción t s. ( ) [ 1 + 1( ) ] î + [ 1 1( ) ] ĵ 6( ) ( ) ( 4î 8 ĵ 1kˆ ) cm / s z kˆ [ ] b) L distnci solicitd es l mgnitud del ector posición en ese instnte. kˆ kˆ cm / s 4 x( ) 5( ) + ( ) y( ) 5( ) ( ) z( ) 5( ) ( ) x( ) 6cm y( ) 4cm z( ) 4cm El ector posición está ddo por L mgnitud de este ector es ( t) ( 6 î + 4 ĵ + kˆ )cm r 4 r r ( t) ( t) cm + 4 kˆ

18 5. L celerción de un prtícul se define como 18 6t. L prtícul prte de x 1 m en t con. Determinr: ) El tiempo en el cul l elocidd de nueo es cero. b) L posición y elocidd cundo t 4 s. c) L distnci recorrid t 4 s. (Tomdo del libro Mecánic ectoril pr ingenieros de Beer Jonhston). ) Pr clculr l elocidd prtir de l función de celerción, utilizmos l definición d Lo que se conoce de l ecución nterior es l función de l celerción, por tnto de quí despejmos l elocidd. d d Pr eliminr el diferencil de tiempo y el diferencil de elocidd d, integrmos ( 18 6t ) d ( 18 6t ) 18 6t + 1 6t 18t t t En est últim ecución reemplzmos los lores (tmbién llmdos condiciones) iniciles que d el enuncido del ejercicio + 18t t + 18 d d ( ) ( ) Este último resultdo sire pr dejr l ecución de elocidd expresd de mner complet 18t t Aquí podemos y resolerl pr cundo, y poder clculr el tiempo en el que nuemente será cero 18t t t t ( 9 t ) ( t)( + t) t t t De lo último podemos concluir que l elocidd será nuemente cero t s. b) Pr determinr el lor de l posición de l prtícul usmos l definición de elocidd dx Igul que en l ecución de celerción, despejmos l posición psndo el diferencil de tiempo l miembro izquierdo de l ecución y luego se integr. 1.. Uso del cálculo en cinemátic Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor

19 dx ( 18t t ) dx ( 18t t ) ( 18t ) ( t ) t t x x x x + 9t. 5t dx En est últim ecución reemplzmos ls condiciones iniciles del enuncido x x 1 x x + 9t t Por lo tnto, l ecución de posición qued definid como 4 dx ( ). 5( ) 4 x t. 5t L posición de l prtícul los cutro segundos es, entonces x( 4) 1 + 9( 4). 5( 4) x( 4) 116m L elocidd t 4 s l clculmos con l ecución deducid en el literl nterior 18t t ( 4) 18( 4) ( 4) ( 4) 56m / s c) L distnci recorrid l clculmos con l posición t, t s (donde cmbi l dirección del moimiento) y t 4 s. 4 Distnci recorrid m Distnci recorrid m Distnci totl recorrid 65 m x t. 5t 4 x( ) ( ). 5( ) 4 x( ) 1 + 9( ). 5( ) x( 4) 116m 1m 14. 5m 1.. Uso del cálculo en cinemátic Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor 1

20 6. En el mismo instnte, dos crros A y B prten desde el reposo en un met. El crro A tiene un celerción constnte A 8 m/s, mientrs que el crro B tiene un celerción B ( t / ) m / s, donde t se mide en segundos. Determine l distnci entre los dos crros cundo A lcnz l rpidez A 1 km/h. (Tomdo del libro Mecánic pr ingenieros, R. C. Hibbeler). Pr encontrr l seprción entre los utos debemos de erigur el tiempo en el que el uto A lcnce l rpidez 1 km/h, y en este tiempo erigur l posición de cd uno de los utos. L prtícul A tiene un moimiento rectilíneo uniformemente rido, de mner que es posible clculr el tiempo con ls ecuciones de cinemátic con celerción constnte L posición de l prtícul A está dd por x x + t 1km / h +. m / s t 8m / s t 4. 17s + t + x + + x 69. 4m 1 Pr B primero encontrmos l ecución de l elocidd Elumos l elocidd pr t. t t ( 8m / s ) t ( 1 )( 8m / s )( 4. 17s) / d d / ( t ) / + 1 t / t 5 d Con est ecución encontrmos l ecución de posición pr l prtícul B ( ) d 5 / 1.. Uso del cálculo en cinemátic Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor

21 Elumos pr t y obtenemos l ecución dx dx 4 5 / t dx / t 5 dx 5 / t x x x x x x Con est ecución obtenemos l posición pr el tiempo en que A lcnzó l elocidd de 1 km/h x 5 x. 8m t 7 / ( ) ( 4. 17s) 7 / 8 7 / Por lo tnto l distnci que sepr los dos ehículos es d 69.4m.8 m 5.6 m. 7. Un prtícul se muee lo lrgo de un tryectori rect con un celerción ( ) kt + 4 mm / s, donde t se mide en segundos. Determine l constnte k y clcule l elocidd de l prtícul cundo t s, sbiendo que 1 mm/s, cundo t 1 s y que - 1 mm/s cundo t s. L dirección positi se mide hci l derech. (Tomdo del libro Mecánic pr ingenieros, R. C. Hibbeler). Obtenemos l ecución de l elocidd prtir de l definición de l celerción. ( kt + 4) ( kt + 4) kt 4 4 d + 4t kt + 4 En l ecución dd reemplzmos ls condiciones iniciles presentds en el enuncido del problem. d 4 ( 1) + 4t d 4 k ( ) k( ) ( ) 1.. Uso del cálculo en cinemátic Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor

22 Con este lor encontrmos k k k k k 59. 7mm / s mm / s Utilizmos este resultdo pr encontrr el lor de l elocidd t s t m / s + 4t 4 ( ) + 4( ) 166. mm / s 8. Un prtícul se muee lo lrgo de un tryectori rect con un celerción 5 m / s, donde x se x mide en metros. Determine l elocidd de l prtícul cundo x m si inicilmente se soltó desde el reposo cundo x 1 m. (Tomdo del libro Mecánic pr ingenieros, R. C. Hibbeler). L ecución de celerción está en función de l posición por lo tnto utilizremos ls dos definiciones, l de celerción, y l de elocidd. 4 d dx De ests ecuciones despejmos el diferencil de tiempo y luego igulmos ls ecuciones. d dx d dx d dx 5 d dx x 5 d dx x ( ln x ln x ) + ln x ln x En l ecución que se h obtenido se reemplzn los lores de ls condiciones iniciles del ejercicio. ( ). 1 ln x ln1 ln x Al reemplzr este último resultdo en l ecución nterior tenemos Uso del cálculo en cinemátic Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor

23 ln x ln x + ln x ln x En est últim ecución encontrmos el lor de l elocidd pr cundo x m.. 1 ln 1ln. 6m / s 9. Cundo un cuerpo se lnz grn ltur rrib de l superficie terrestre, debe tomrse en cuent l rición de l celerción de l gredd con respecto l ltur y sobre l superficie. Desprecindo l g R R +, donde g es resistenci del ire, est celerción se determin prtir de l fórmul ( ) [ ] y l celerción de l gredd constnte niel del mr, R es el rdio de l Tierr y l dirección positi se mide hci rrib. Si g 9.81 m/s y R 656 km, determine l mínim elocidd inicil (elocidd de escpe) l cul deberí lnzrse un proyectil erticlmente prtir de l superficie de l Tierr, de tl mner que no cig de nueo sobre ést. Sugerenci: Esto requiere que cundo y. (Tomdo del libro Mecánic pr ingenieros, R. C. Hibbeler). Usmos el mismo criterio que en el ejercicio nterior, esto es, despejmos el diferencil de tiempo de ls definiciones de celerción y de elocidd y luego ls igulmos. d dy d dy d g R ( R + y) dy dy g R y ( R + ) Podemos hcer un cmbio de rible pr resoler l integrl de un mner más sencill. L ecución quedrí del siguiente modo u R + y du dy g g R R g R R + y du u u 1 u g R 1 1 g R u du g R R + y Reemplzmos ls condiciones iniciles del ejercicio en l ecución deducid. g R R + g R R + y g R R + y 1.. Uso del cálculo en cinemátic Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor 5

24 Aquí y debe ser l posición inicil desde l que se lnz el cuerpo, el mismo que serí cero, puesto que l referenci es justmente l superficie de l Tierr. g R R g R (. m / s )( 656m) m / s km / s 1. Un prtícul puntul se muee en dirección del eje erticl (Y) con un celerción Y t. En el tiempo t su posición es 1 m y en t 1 s su posición es + 1 m. Encuentre l ecución del moimiento de l prtícul en función del tiempo y(t). (Exmen prcil de Físic A, I término 5 6) Usmos l definición de celerción dy Y d t Y t Y Y Con est ecución determinmos l ecución de posición Y dy Y dy ( Y + t ) Y Y t t + Y d Y + t Y y y Utilizmos los dtos de ls condiciones iniciles pr determinr OY y y. dy Y ( ) + y 1m 1 y Y Y Y m / s ( 1) + 1 ( 1) L ecución de posición qued entonces 5 1 y 1+ t + t Uso del cálculo en cinemátic Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor

25 1... Ejercicios propuestos 1. L posición de l prtícul que se muee lo lrgo del eje de ls x rí en el tiempo de cuerdo con l expresión x ( m/s )t, donde x está en metros y t en segundos. Determine l elocidd de l prtícul t s. (Deber 1, II término ). Respuest: 18 m/s.. L posición de un prtícul que se muee en líne rect está dd por x t 6t 15t + 4, en l que x está en pies y t en segundos. Encuentre: ) El tiempo pr el cul l elocidd será cero. b) L posición y l distnci recorrid por l prtícul en el tiempo encontrdo en ). c) L celerción de l prtícul en ese instnte. d) L distnci recorrid desde t 4 s hst t 6s (Deber 1, II término ). Respuest: ) t 5s; b) 6 pies; 1 pies; c) 18 pies/s ; d) 18 pies. 4. L posición de un prtícul que se muee en el plno xy está dd por r ( t 5t ) î + ( 6 + 7t )ĵ, donde r está en metros y t en segundos. Clcule el ector posición, el ector elocidd y el ector celerción cundo t s. (Deber 1, II término ). Respuest: r ( 6 î ĵ)m ; ( 19 î + 4 ĵ) m / s ; ( 4î + 6 ĵ) m / s r [ ĵ + 5kˆ ]m. 4. El ector de posición de un prtícul en moimiento está dd por ( 4t ) î + ( t t) ) Cuál es l elocidd de l prtícul después de 5 s de inicido el moimiento? b) Cuál es l celerción de l prtícul los doce segundos? c) Cuál es el desplzmiento entre t 5 s y t 1 s? d) Encuentre l ecución de l tryectori. (Primer lección, Físic I, I término 4) Respuest: ) ( 5 ) ( 4î + 19 ĵ) m / s ; b) ( 1) ( 8î + 4 ĵ) m / s ; d) 1 y ( x x ) ; c) r ( 476 î + 1ĵ)m 5. L posición de un objeto sobre el eje x está dd por x (. 5t +. 9t )cm, donde t está en segundos. Encuentre l elocidd y l celerción del objeto pr t 7 s. (Deber # 1, Físic A, I término 5 6). Respuest: 1.1 cm/s; 1.8 cm/s. 6. Un ehículo se muee en líne rect de tl modo que su elocidd está definid por ( 9t + t) m / s donde t está en segundos, si t l posición es m, determine t s su posición y su celerción. (Deber # 1, Físic A, I término 5 6). Respuest: 9m; 56m/s. 7. El ector elocidd del moimiento de un prtícul iene ddo por [( t ) î + ( 6t 5) ĵ] m / s posición de l prtícul t 1 s es r ( î ĵ)m, clculr: ) El ector posición pr culquier instnte. b) El ector celerción. (Primer lección, Físic I, I término 1 ) Respuest: ) r 7 t t + î + ( t 5t + 1) ĵ m î + 1tĵ m / s ; b) ( ) 8. Un prtícul se muee en el plno xy de cuerdo con l expresión. Si l ; 4cos( t) m / s 1.. Uso del cálculo en cinemátic Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor 7 x Y. En el instnte t l prtícul se hll en x, y - 1 m, y tení elocidd x m/s y y. Encuentre ls expresiones pr r(t) y (t). Sugerenci: Use sent cost cos t sent un cmbio de rible pr t. (Primer lección, Físic I, II término 4) Respuest: r( t) [( t) î cos( t) ĵ]m ; ( t) [ î + sen( t) ĵ] m / s., demás puede usr 9. L elocidd de un prtícul que se muee en el plno XY iene dd por l ecución 4 t 1 î + ĵ m /. Se conoce que en el instnte t 1 s l prtícul se encuentr en l posición [( ) ] s r ( î + 4 ĵ)m. Obteng l ecución de l tryectori. (Primer lección, Físic I, I término 1 ) Respuest: x y 5y + 1

26 1. Un prtícul se muee según l ecución β x, donde β es un constnte positi. Si l prtícul comienz moerse desde el origen, clculr: ) L posición en función del tiempo. b) L elocidd en función del tiempo. c) L celerción en función del tiempo. d) L elocidd medi entre x y x s. (Primer lección, Físic I, II término 1 ) Respuest: ) β t x ; b) β t ; c) β ; d) β s m El ector celerción de un móil es ( t) [ î 4kˆ ] m / s y se sbe que pr t l elocidd es nul y pr t1 el móil está en el origen de coordends. Podemos estblecer que: ) t 1 r 4t + î + ( t + 8t 6) kˆ m b) [( t + 4) î + ( 4t + 8) kˆ ] m / s c) Su elocidd sólo tiene componente en el eje OX. d) 11 r t 4t + î + ( t + 8t 6) kˆ m (Primer lección, Físic I, II término 1 ) Respuest: d) 1. Pr un móil con elocidd ( t + t 1) m / s cumple que: ) Su tryectori es un prábol. b) Es un moimiento uniformemente celerdo. c) r t + t t m d) A los 5 s lle un celerción de 1 m/s. (Primer lección, Físic A, I Término 5 6) Respuest: c), que prte del origen de coordends cundo t s, se Uso del cálculo en cinemátic Elbordo por Julio Césr Mcís Zmor

27 1.. Moimiento Circulr. L prtícul reliz su recorrido en un tryectori circulr, de mner que l rpidez con l que reliz el recorrido puede ser constnte o no. Al estr cmbindo en form permnente l dirección de l elocidd se gener un celerción, l que tiene un dirección hci el centro de l tryectori circulr. A est celerción se l denomin celerción centrípet, celerción norml o celerción rdil. TANGENCIAL TANGENCIAL CENTRÍPETA CENTRÍPETA CENTRÍPETA CENTRÍPETA TANGENCIAL TANGENCIAL Figur Tmbién puede estr celerd o descelerd l prtícul, de mner que se gener un celerción que puede estr en l mism dirección o en l dirección opuest l elocidd instntáne. A est celerción se l denomin celerción tngencil. L combinción de ests dos celerciones gener lo que se conoce como celerción totl. Obsere en l figur que l celerción centrípet y l celerción tngencil sumn ectorilmente l celerción totl, y su mgnitud puede ser clculd por el Teorem de Pitágors. TANGENCIAL TOTAL CENTRÍPETA CENTRÍPETA TOTAL TANGENCIAL TANGENCIAL TOTAL CENTRÍPETA CENTRÍPETA TOTAL TANGENCIAL El recorrido en sí mismo de l prtícul gener un serie de ángulos en cd posición de l mism, l que gener un elocidd ngulr, ω, l que pr tiempos muy pequeños (t tiende cero) se define como l derid de l posición ngulr, θ. Figur dθ ω y pr tiempos no pequeños se define como l rzón de cmbio del desplzmiento. ω θ t Rdio θ Rdio Distnci Figur Moimiento Circulr Julio Césr Mcís Zmor 9

28 En l figur 4 se muestr el desplzmiento ngulr relizdo por un prtícul, y l mismo tiempo l distnci recorrid. L relción entre el desplzmiento ngulr y l distnci recorrid está dd por Donde θ está medido en rdines. d R θ Si reemplzmos est últim resultdo en l ecución precedente tendremos d ω R t d ωr t ωr TANGENCIAL En est ecución se puede obserr l relción que existe entre ls cntiddes lineles y ngulres. De l mism form se puede relcionr l celerción ngulr, α, con l celerción tngencil. TANGENCIAL αr L relción ectoril está dd por el producto ectoril entre ls cntiddes ngulres y lineles, de modo que l elocidd ngulr y l elocidd tngencil están relcionds por ω R α TAN Si existe un celerción ngulr constnte ls ecuciones del moimiento circulr son ls misms que en el moimiento rectilíneo uniforme mente rido pero pr cntiddes ngulres, esto es R 1 θ ωt + αt ω + ω θ t ω ω + αt ω ω + α θ Además de ests relciones, tmbién existen ls relciones de l elocidd ngulr con el tiempo necesrio en completr un uelt o reolución por prte de l prtícul nlizd, o tmbién de l relción entre l elocidd ngulr con el número de uelts en un interlo de tiempo determindo. L frecuenci se mide en reoluciones por unidd de tiempo o en Hertz (Hz). ω πf π ω T 1 f T 1.. Moimiento Circulr Julio Césr Mcís Zmor

29 1..1. Ejercicios resueltos 1. L figur 5 represent, en un instnte ddo, l celerción totl de un prtícul que se muee en sentido horrio en un círculo de.5 m de rdio. En este instnte de tiempo, encuentre ) l celerción centrípet, b) l elocidd de l prtícul, y, c) su celerción tngencil (Exmen prcil de Físic I, I término 1) 15. m/s.5m º Figur 5 L celerción totl,, está dd por T + c, donde T y c son ls componentes rectngulres de l celerción totl, por lo tnto, l mgnitud de l celerción centrípet es cosº ) ( 15. m / s )( cosº ) C C C 1. m / s b) Debido que el moimiento es circulr uniforme, podemos us l ecución elocidd de l prtícul, esto es, R c pr clculr l * R c (1.m / s )(.5 m ) 5.7m / s c) L celerción totl se relcion con ls celerciones tngencil y centrípet por medio de l ecución + TOT TAN CEN Ecución ectoril que nos indic que ls celerciones tngencil y centrípet son ls componentes rectngulres de l celerción totl, de tl modo que su módulo es obtenido prtir del teorem de Pitágors, o se, ( t ) + ( c ) de lo que se obtiene que ( ) t t ( ) ( ) c (15m / s ) (1m / s ) t 7.48m / s. Un trnsborddor espcil describe un órbit circulr un ltur de 5 km, en donde l celerción de l gredd es el 9% del lor ddo en l superficie. Cuál es el periodo de su órbit? (Deber # 1, I Término, 1) El periodo, T, es el tiempo que demorrá el trnsborddor en dr un uelt, o se, πr, debido que l rpidez es constnte, tenemos 1.. Moimiento Circulr Julio Césr Mcís Zmor 1

30 πr T demás sbemos que el moimiento es circulr por lo tnto c R despejndo l elocidd de l primer ecución y reemplzándol en l segund tenemos c 4π R T y de est últim ecución despejmos el periodo, de donde obtenemos T π R c demás, debemos tener bien en cuent que R represent el rdio de l Tierr más l ltur l que encuentr el trnsborddor, o se, R64 km + 5 km 6 65 km, entonces el periodo del trnsborddor será T x1 m π (9.8m / s )(.9) T 567seg T 89 mins. Los electrones de un cinescopio de teleisión experimentn un deflexión en un ángulo de 55º como se indic en l figur 6. Durnte l deflexión los electrones ijn elocidd constnte en un tryectori circulr de rdio 4. cm. Si experimentn un celerción de.5 x 1 17 m/s, cuánto trd l deflexión? (Tomdo del libro Físic pr Ciencis e Ingenierí de Wolfson Pschoff). 55º El problem relmente pide encontrr el tiempo que los electrones permnecen en l tryectori circulr. Debido que el recorrido relizdo por los electrones es hecho con rpidez constnte, podemos utilizr l ecución s t, donde s es el rco que recorren los electrones, por lo que tmbién conocemos que el rco s es igul s θr, donde θ está en rdines, por lo que tendrímos s t θr quí despejmos t, o se, t θr/, pero l elocidd tngencil l encontrmos con l ecución de celerción centrípet, debido que el moimiento de los electrones es circulr uniforme, o se, de quí despejmos Figur 6 c R 1.. Moimiento Circulr Julio Césr Mcís Zmor

31 R c finlmente est ecución l reemplzmos en l ecución del tiempo, o se, t θ c RR t 55( π /18)(4.x1.5x1 17 m / s t.44x1 m) (4.x1 1 s m) t.44ns 4. Un rued de m de rdio tiene un celerción ngulr constnte de.5 rd/s. En un cierto instnte t 4s, gir un ángulo θ 1 rd. Determine el tiempo que hbí estdo en moimiento ntes del interlo. (Supong que prte del reposo). (Deber # 1, I Término 1) Debido que nos dn interlos de tiempo y de posición ngulr trbjmos con tiempos inicil y finl, l igul que con posiciones ngulres inicil y finl. θ θ 1 R Figur 7 θ 1 θ + ω t 1 +½αt 1 θ θ + ω t +½αt de donde se obtiene θ 1 ½αt 1 y θ ½αt debido que l rued prte del reposo y suponemos que prte del origen t. Tmbién sbemos que θ θ - θ 1, esto es, θ ½α(t t 1 ) θ ½α(t t 1)(t + t 1) Pero de este último resultdo conocemos que θ 1 rd y (t t 1) 4 s, o se, l ecución qued como t + t 1 1, mism que form un sistem de ecuciones con t t 1 4 t + t 1 1 t t 1 4 l solución l sistem de ecuciones nos brind l respuest l problem, esto es t 1 58 s y t 6 s, por lo tnto, l rued estuo 58 segundos en moimiento ntes del interlo. 1.. Moimiento Circulr Julio Césr Mcís Zmor

32 5. El disco A que prece en l figur 8, rrnc desde el reposo grcis un motor y comienz girr con un celerción ngulr de rd/s. Determine l elocidd y l celerción ngulr del disco B un instnte después de que A h recorrido 1 re. m 1.5 Figur 8 En el punto de contcto de los discos se produce l mism elocidd tngencil, por lo que se puede encontrr cul es l elocidd tngencil del disco A, pr luego encontrr l elocidd ngulr de B en este interlo de tiempo. ω A ω A + α Aθ A pero sbemos que ω A es cero porque el disco A rrnc desde el reposo, demás θ A 1 reoluciones, que reducids rdines son y por lo tnto tenemos πrd θ A 1re 6. 8rd 1re ϖ A ϖ (rd / s )(6.8rd) A ϖ 15.8 rd A α θ Con este resultdo y podemos encontrr l elocidd del disco B A A A A A A ϖ R A 15.8rd(m) 1.6 m/ s B un ez que obtuimos el resultdo de l elocidd tngencil, podemos clculr el lor de l elocidd ngulr de B por medio de l ecución ω R ω R A A ω R ω AR ω B R B B A (15.8 rd / s)(m) ω B 1.5 m ω1.7rd Ahor necesitmos clculr l celerción ngulr del disco B, celerción que l clculmos por medio de l ecución t α R α R A A α AR α B R ( rd / s )(m) α B (1.5 m) α B.67 rd/ B α R B B A B Moimiento Circulr Julio Césr Mcís Zmor

33 6. En el lnzmiento olímpico del mrtillo, los concursntes hcen girr un esfer de 7. kg l extremo de un lmbre de cero que mide 1. m ntes de lnzrlo. En determindo lnzmiento, el mrtillo ij horizontlmente, prtir de un punto situdo.4 m de lto, 84 m ntes de tocr el suelo. Cuál es su celerción rdil ntes de lnzrlo? (Deber # 1, I Término 1) Primero relizmos un gráfico ilustrtio de l situción. Por lo que se obser, el moimiento del mrtillo un ez que sle de ls mnos del tlet V.4 m 84 m Figur 9 Pr clculr l celerción rdil necesitmos clculr l elocidd tngencil con l que slió l esfer X V X t y Y V Yt ½t Despejndo t en l primer ecución y reemplzndo en l segund ecución tenemos g x x y l reemplzr est ecución en l ecución de celerción centrípet tenemos c c gx y 9.8 m / s (.4 m) C 1.x1 4 m/s 7. En cierto instnte un prtícul que se muee en sentido ntihorrio, en un circunferenci cuyo rdio es m, tiene un rpidez de 8 m/s y su celerción totl está dirigid como se muestr en l figur. En ese instnte determine: ) l celerción centrípet de l prtícul b) L celerción tngencil, y c) L mgnitud de l celerción totl. V 6 En el gráfico djunto se presentn ls celerciones centrípet y tngencil. ) L celerción centrípet l clculmos por medio de C R V T6 C Figur Figur Moimiento Circulr Julio Césr Mcís Zmor 5

34 m 64 s C m / s m b) Debido que se form un triángulo rectángulo entre ls celerciones centrípet, tngencil y totl, podemos clculr l celerción tngencil por medio de funciones trigonométrics. TAN CTn6 TAN 55.4 m/s c) L mgnitud de l celerción totl l podemos clculr por medio del teorem de Pitágors. TOTAL TOTAL TOTAL TAN 64m / s + C Un estudinte une un pelot el extremo de un cuerd de.6 m de lrgo y luego l blnce en un círculo erticl. L elocidd de l pelot es 4. m/s en el punto más lto y 6.5 m/s en el punto más bjo. Determine su celerción en: ) su punto más lto, y b) su punto más bjo. (Lección de Físic I, I término ) Si considermos que l celerción tngencil de l prtícul es constnte, est tiene un lor de + d (πr) El lor de d es l mitd de l longitud de un circunferenci, porque l psr del punto más lto l más bjo recorre l mitd de ell, y este lor está ddo por πr/ πr. TAN 6. m/s L celerción centrípet en el punto más lto es y en el punto más bjo es C 4. /.6.8 m/s C 6.5 / m/s Por lo tnto l celerción totl en el punto más lto es TOTAL TOTAL TAN C.8 y en el punto más bjo TOTAL 1.46 m/s TOTAL TOTAL TAN C 7.4 TOTAL 7.7 m/s Moimiento Circulr Julio Césr Mcís Zmor

35 9. Ciert pole gir 9 re en 15 s, su rpidez ngulr l fin del periodo es de 1 re/s. ) Cuál er l rpidez ngulr de l pole l inicirse el interlo de 15 s, suponiendo un celerción ngulr constnte? b) qué tiempo debió trnscurrir desde que l pole estb en reposo hst el principio del interlo de los 15s en referenci? (Lección de Físic I, I término ) ) Como l celerción ngulr permnece constnte podemos plicr l ecución siguiente pr clculr l rpidez ngulr l inicir el interlo de 15s. ω + ω θ t 1 + ω ω ω re/s b) El tiempo preio l inicio del interlo de los 15s podemos clculrlo clculndo primero l celerción ngulr, y posteriormente el tiempo. ω ω + αt 1 + α(15) 8 15 α α 8/15 re/s.5 re/s Con l mism ecución podemos hcer el cálculo del tiempo preio l interlo de los 15s. ω ω + αt + (8/15)t t.75s 1. Un biciclet con rueds de 75 cm de diámetro ij un elocidd de 1 m/s. Cuál es l elocidd ngulr de ls rueds de est biciclet? (I porte, 199) ) 8 rd/s b) 16 rd/s c) rd/s d) 64 rd/s L elocidd tngencil de un prtícul está dd por ωr, por lo tnto ω /R /D ω (1)/.75 ω rd/s Respuest: c 1.. Moimiento Circulr Julio Césr Mcís Zmor 7

36 11. Un cuerpo que se encuentr en estdo de reposo comienz girr con celerción constnte, efectundo 6 re durnte los primeros minutos. Clculr el lor de l celerción ngulr del cuerpo. ) π rd/s b) rd/s c).π rd/s d) 1 rd/s (Exmen prcil de Físic I, II Término 4) Podemos plicr l ecución θ ω t + ½ αt Respuest: πrd 1 6re + α(1) 1re 7π 7α α π 1. Desde el mismo punto de un tryectori circulr prten móiles, en sentido opuesto, con rpidez constnte. Uno de ellos recorre l circunferenci en hors y el otro trz un rco de 6 en 1 minuto. Cuánto tiempo trdrán en encontrrse? ) 4 minutos b) 6 minutos c) minutos d) 1 minutos (Exmen prcil de Físic I, II Término 4) SALIDA t ENCUENTRO t T Al indicr en el enuncido cunto tiempo se demor un de ls prtículs en dr un uelt, y cunto tiempo se demor l otr en recorrer un pequeño ángulo, nos está indicndo cunto es l rpidez ngulr de cd prtícul, o se, ω 1 θ 1/t π/7 π/6 rd/s Figur ω θ /t πrd 6 18 π rd / s 6s 18 Si un de ls prtículs recorre θ rd, l otr recorre π - θ rd. Plntendo ls ecuciones pr el moimiento circulr uniforme, pr mbs prtículs, tendrímos θ ωt (1) θ (π/18)t () π - θ (π/6)t Reemplzmos l ecución (1) en l ecución () π - (π/18)t (π/6)t π (π/6)t + (π/18)t π (π/1)t t 4 s 4 minutos Respuest: Moimiento Circulr Julio Césr Mcís Zmor

37 1. Un olnte gir 6 RPM en un instnte inicil, l cbo de 5s posee un elocidd ngulr de 7.68 rd/s. Cuánts uelts dio el olnte en ese tiempo? Supong que el moimiento es uniformemente rido. ) 1.5 uelts b) 1.5 uelts c) 15.5 uelts d) 17.5 uelts (Exmen prcil de Físic I, II Término 4) Debido que l respuest se present en uelts (o en reoluciones) dejremos los dtos ddos expresdos en re/s. re 1min 6 1re / s min 6s rd 1re re / s s πrd Al ser constnte l celerción ngulr, podemos plicr l ecución ω + ω θ t 1+ 6 θ 5 θ 17.5re Respuest: d 1.. Moimiento Circulr Julio Césr Mcís Zmor 9

38 1... Ejercicios propuestos 1. Un punto en l periferi de un rued de un utomóil, con rdio. m, se muee con rpidez de 54 km/h. ) Cuál es su elocidd ngulr? b) Cuál es el periodo de moimiento? c) Cuál es su celerción? (Lección # 1 Físic I, I Término ) Respuest: ) 5 rd/s; b).16 s; c) 75 m/s. Clcule ls elociddes ngulr y linel y l celerción centrípet de l Tierr, sbiendo que d un uelt complet lrededor del Sol en 65 dís y que su distnci medi l Sol es 148 x 1 6 km. (Lección # 1 Físic I, I Término ). 7 4 Respuest:. 1 rd / s ; m / s ; m / s. Un rued de m de rdio está girndo horizontlmente con un rpidez ngulr constnte de.5 rd/s. Sobre l rued se encuentr un objeto que no está fijo ell. En un instnte determindo se golpe l rued erticlmente con un elocidd de 1 m/s. Encuentre el lcnce horizontl del objeto si l rued se encuentr 1. de ltur.. (Lección # 1 Físic I, I Término ). Respuest: 1.7 m Figur 4. Un disco que tiene un gujero cm de su eje de rotción, gir con elocidd ngulr constnte en un plno horizontl en torno un eje erticl. Desde un ltur h 1.5 m se dej cer un pequeñ bol en el instnte en que l bol y el gujero están linedos erticlmente. Encuentre l mínim elocidd ngulr del disco de mner que l bol pse por el gujero libremente. (Exmen prcil del Físic A, I Término 5 6) h 1.5 m Respuest: 5.7 rd/s Figur 4 5. Un tren fren cundo libr un cur pronuncid, reduciendo su elocidd de 9 km/h 5 km/h en 15 s que trd en recorrerl. El rdio de l cur es 15 m. Clcule l celerción en el momento en que l elocidd del tren es 5 km/h. Asum que el tren desceler uniformemente sobre l cur. (Lección 1 de Físic A, I Término 5 6) Respuest: 1.48 m/s y un ángulo de 9.94º con respecto l rdio. 6. L ecución del moimiento de un prtícul está dd por θ + t t,donde θ está en rdines y t en segundos. Cuál es l posición ngulr de l prtícul en el instnte en que triplic el lor de su elocidd ngulr? (Lección del primer prcil de Físic I, I Término ). Respuest: (1/) rd Moimiento Circulr Julio Césr Mcís Zmor