INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS

Transcripción

1 INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS Las tutorías corresponden a los espacios académicos en los que el estudiante del Politécnico Los Alpes puede profundizar y reforzar sus conocimientos en diferentes temas de cara al examen de admisión de la Universidad Nacional y/o Examen de Estado ICFES Saber 11. Las tutorías tienen un límite estricto de cupos y para la asistencia a este espacio es indispensable la INSCRIPCIÓN PREVIA, además se deben tener en cuenta los siguientes aspectos: 1. Asistir puntualmente a la tutoría. Después de 10 minutos, bajo ningún argumento el docente permitirá el ingreso del estudiante.. Leer la siguiente tabla y cumplir con los prerrequisitos establecidos que en ella se dispongan. Asignatura: MATEMÁTICAS Nombre de la Tutoría: PROBLEMAS SOBRE LA PARÁBOLA Tema: CÓNICAS Conceptos que el estudiante debe manejar: OPERACIONES BÁSICAS, DESPEJE DE ECUACIONES, MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN. Documento Base: Instrucciones: Realice los problemas 1 y de la página 11 del documento de la tutoría. Escriba el procedimiento y su resultado en el siguiente espacio, y entregue este formato al iniciar la tutoría (si no alcanza, utilice la parte de atrás de la hoja).

2 Ejercicios 1) Determinar si cada una de las siguientes ecuaciones representa o no una circunferencia. Si la respuesta es afirmativa, hallar su centro y su radio. a) x + y - 6 x + 10y + 7 = 0 b) 4x + 4y + 8x - 8y + 53 = 0 c) 16x + 16 y - 64x + 8y + 77 = 0 ) Determina si las circunferencias 4x + 4y - 16x + 1y + 13 = 0 y 1x + 1y - 48x + 36 y + 55 = 0 son concéntricas. 3) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y que pasa por los puntos A(1, 3) y B(4, 6). 4) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-1, -4), (, 1) y cuyo centro está sobre la recta 4 x + 7 y + 5 = 0. 5) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5, 9) y que es tangente a la recta x + y - 3 = 0 en el punto (1,1). 6) Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0, ) y (7, 3). Hállese su ecuación. (Se tiene comos ecuaciones como solución). 7) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (, -), (-, -4) y (4, ). 8) Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos lados están determinados por las intersecciones de las rectas x - y + = 0, x + 3y - 1 = 0, y 4 x + y - 17 = 0. D 4.. Parábola Definición. La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. El punto fijo se llama Foco de la parábola y la recta fija es su directriz. Si la grafica de la parábola fuera la figura de abajo, se identificarían los siguientes elementos: Elementos de la parábola p V 1 Radio vector a 1 F b LR x Foco: Es el punto fijo F. Eje Focal: Es la recta que pasa por el Foco y es perpendicular a la Directriz. Representa el eje de simetría de la parábola. También se conoce como el eje de la parábola. Directriz: Es la recta perpendicular al eje focal. Es la recta fija D. Vértice V: Punto de intersección de la curva con su eje focal. Radio vector: segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco. Parámetro: Es la distancia del vértice al foco de la parábola, se designa por la letra P. Lado recto: Es la secante que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola. La longitud del lado recto se designa como L.L.R = 4p Excentricidad: e = 1 Octubre, 009 8

3 Ecuaciones ordinarias Parábola con vértice en el origen O Horizontal Que se extiende hacia la derecha y = 4 px Foco: F(p, 0) Directriz: x = -p Que se extiende hacia la izquierda y = -4 px Foco: F(-p, 0) Directriz: x = p Que se extiende hacia arriba Vertical x = 4 py Foco: F(0,p) Directriz: y = -p Que se extiende hacia abajo x = -4 py Foco: F(0,-p) Directriz: y = p Parábola con Vértice en (h, k) Horizontal Que se extiende hacia la derecha ( y - k ) = 4 p( x - h ) Foco: F(h+p, k) Directriz: x = h-p Octubre, 009 9

4 Que se extiende hacia la izquierda ( y - k ) = -4 p( x - h ) Foco: F(h-p, k) Directriz: x = h+p Vertical Que se extiende hacia arriba ( x - h ) = 4 p( y - k ) Foco: F(h, k+p) Directriz: y = k -p Que se extiende hacia abajo ( x - h ) = -4 p( y - k ) Foco: F(h, k-p) Directriz: y = k+p Ecuación general de la parábola Toda ecuación de la parábola vertical se puede expresar por medio de una ecuación del tipo: Ax + Dx + Ey + F = 0 con A, D, E y F constantes. Toda ecuación de la parábola horizontal se puede expresar por medio de una ecuación del tipo: Cy + Dx + Ey + F = 0 con C, D, E y F constantes. Octubre,

5 Ejercicios 1) Determina la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco el punto (3,0). ) Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta x + 5 = 0. 3) Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X pasa por el punto (-,4). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto. 4) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (-4,3) y (-1,3) respectivamente. Hallar también las ecuaciones de su directriz y su eje focal. 5) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (3,3) y (3,1) respectivamente. 6) La directriz de una parábola es la recta y 1 = 0 y su foco es el punto (-4,3). Hallar la ecuación de la parábola. En los ejercicios 7 y 8, reduzca la ecuación de la parábola en su forma ordinaria y halle las coordenadas del vértice y del foco, las ecuaciones de la directriz y eje focal. 7) 4y 48x 0y = 71 8) 9x + 4x + 7y + 16 = 0 9) Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y que pasa por los tres puntos (0,0), (8,-4) y (3,1). 10) Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto (4,-1), con eje focal sobre la recta y + 1 = 0 y que pasa por el punto (3,-3) Elipse Definición. La elipse es el lugar geométrico de un punto P(x, y) que se mueve sobre un plano de manera tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es siempre constante. Los puntos fijos se llaman focos. Elementos de la elipse LR Longitud del eje mayor (V1V) = a Longitud del eje menor (B1B) = b Distancia entre los focos (F1F) = c Se cumple la siguiente relación entre los parámetros a, b y c: c = a b b Longitud del lado recto (L.R.) = a c e = < 1 Excentricidad. a Octubre,