ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Transcripción

1 ESUELA TÉNIA SUPERIOR DE NÁUTIA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO OI ESKOLA TEKNIKOA UNDAMENTOS MATEMÁTIOS : ORMAS UADRÁTIAS orm blel Decó K Se E res espcos vecrles dedos sobre el msmo cuerpo U plccó : E se llm blel cudo cumple l leldd pr cd compoee es decr: E el cso de que el espco vecorl se el propo cuerpo K cosderdo como espco vecorl sobre s msmo se llm orm blel E dele cosderremos plccoes : E E R orm blel sobre R Represecó mrcl de u orm blel Se u espco vecorl E dm E = se u bse osderemos u orm blel : E E R Ddos dos vecores E que e l bse vedrá epresdos: Eoces l orm blel e es bse podrá epresrse:

2 I Sedo Térmos que puede epresrse e orm mrcl: A Eoces l orm blel qued sí: Y A X Por o d u bse del espco vecorl E u orm blel le correspode u mr A recíprocmee dd u mr cudrd A es mr puede deermr u orm blel de l modo que se los elemeos de l mr

3 3 mbo de bse pr u orm blel Se u espco vecorl E dm E = se u bse osderemos u orm blel : E E R l que e l bse : X A Y Se hor or bse de E X A Y l que e es bse : Sedo A l mr cuos elemeos se obee de : Evdeemee se ee que vercr: X A Y X A Y Por or pre se P l mr de pso de l l : Eoces: X = P X Y = P Y P X A P Y X P A P Y X P A P Y X A Y Lo cul sgc que A P A P 3

4 4 orms bleles smércs smércs I ORMAS ILINEALES SIMÉTRIAS U orm blel ded sobre u espco E de dmesó es smérc s: PROPIEDAD: E orm blel smérc mr socd A smérc II ORMAS ILINEALES ANTISIMÉTRIAS U orm blel ded sobre u espco E de dmesó es smérc s: E PROPIEDAD: orm blel smérc mr socd A smérc 4

5 5 ORMAS UADRÁTIAS SORE R 5 Decó de orm cudrác Se E u espco vecorl sobre el cuerpo de los úmeros reles; se u orm blel smérc eoces se llm orm cudrác egedrd por l orm ble l plccó: : R E Adverec: A l orm blel se l llm orm polr de es ácl comprobr que se cumple l relcó: Respeco l orm cudrác puede desrrollrse l como e 8 hemos hecho co u orm blel eemos: X A X Sedo A l mr smérc orde m l que S ommos u uev bse cu mr de pso es P eoces se verc que su mr socd e es uev bse A verc mbé l relcó: P A P A

6 6 Vecores subespcos cougdos Se u orm cudrác: : E R Se dce que E so vecores cougdos respeco de o co respeco de s: X A Y 0 Subespcos cougdos: Dos subespcos U V de E se dce que so cougdos s culquer vecor de U es cougdo de odos los vecores de V vcevers 7 Subespco cougdo de u vecor TEOREMA: Se : E R u orm cudrác se su orm polr se E 0 u vecor do El couo ormdo por los vecores cougdos de 0 es decr: E es u subespco vecorl de E llmdo subespco vecorl cougdo del vecor 0 6

7 8 Núcleo de u orm cudrác Se : E R u orm cudrác se su orm polr Se llm úcleo de l orm cudrác l couo de vecores de E que so cougdos de odos los vecores de E es decr: Nuc E 0 E U orm cudrác se dce o degeerd s Nuc 0 E cso corro se dce degeerd Teorem: El úcleo de u orm cudrác es u subespco vecorl de E S dm E = A es l mr socd el úcleo esá ormdo por los vecores que verc A X = 0 Además: rga = dmnuc b o degeerd rga = c debgeerd rga < Demosrcó: Nuc es subespco de E 0 Nuc rvl Nuc 0 E 0 El úcleo esá ormdo por los vecores X q A X = 0 7

8 Nuc 0 E Y A X A X 0 0 Y omo cosecuec de lo eror se ee: DmNuc = Dm{solucoes de AX=0} = rga = rg 9 Reduccó l orm cóc Se llm orm cudrác cóc od orm cudrác que se reduce u sum de cudrdos k Eso sucede cudo su mr socd es dgol El problem eoces se reduce dgolr l mr socd l orm cudrác Tod orm smérc se puede dgolr pero o sempre resul secllo clculr sus vlores propos H oros méodos 8

9 9 0 Méodo de uss pr l descomposcó e cudrdos TEORÉMA: Todo polomo cudráco co deermds es u combcó lel de q cudrdos depedees DEMOSTRAIÓN por recurrec Y MÉTODO DE AUSS - Pr = - Se supoe que se cumple pr - Se demuesr que se cumple mbé pr : Se se puede dr dos posblddes: H érmos de l orm eoces: Dode es lel es cudráco Eoces: A Dode es u polomo cudráco co - deermds que puede ser epresdo como combcó lel de cudrdos depedees b No h érmos de l orm pr gú es decr odos los érmos so mos: b :

10 0 Se D Dode so polomos leles D es u polomo cudráco Eoces: D Sedo D u polomo cudráco e 3 es decr se puede epresr como combcó lel de cudrdos depedees Llmemos: u ssem que resuelo es: Por lo o 3 3 q q U eemplo: = + Segumos los psos dcdos pr el cso b

11 Ahor resolvemos: Por lo o: : S hor se om como uevs coordeds No como uev bse : = + = = Se obee: o eso qued reducd su orm cóc