PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 8 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 dx Calcula ( x x)( x ) MATEMÁTICAS II. 8. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A Las raíces del denominador son: x ; x ; x Descomponemos en fracciones simples: A( x ) Bx( x ) Cx A B C x ( x ) ( x ) x x ( x ) x ( x ) Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A, B y C sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores x A x C x A B C B Con lo cual: dx dx dx dx ln x ln( x ) ln ( x x)( x ) x x ( x ) x 4 6

3 x Sea f : la función dada por f ( x) e a) Justifica que la recta de ecuación y ex es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta tangente del apartado anterior. MATEMÁTICAS II. 8. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La recta tangente en f e x es f '( x) e f ' e x y f f ' x Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y e e x y ex b) Hacemos el dibujo x x e e e e e ex dx ex u 4 4

4 Sea f : la función definida por f ( x) ax bx cx d Se sabe que tiene un máximo local en x, que el punto (,) es un punto de inflexión de su 9 gráfica y que f ( x) dx.calcula a, b, c y d. 4 MATEMÁTICAS II. 8. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Calculamos la primera y segunda derivada de la función. f '( x) ax bx c ; f ''( x) 6ax b Vamos aplicando las condiciones del problema. - Máximo en x f '() a b c - Punto de inflexión en Pasa por (,) d (,) f ''() b ax ax a a 9 f ( x) dx ( ax ax ) dx x Resolviendo el sistema formado por estas ecuaciones sale: a ; b ; c ; d

5 Sea Dadas las funciones f :, y :, g definidas por f ( x) x y g( x) x calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. MATEMÁTICAS II. 8. RESERVA. EJERCICIO.OPCIÓN A. Calculamos los puntos de corte de dichas funciones x x x x x x x x ( ) ; 4 x x A x x dx u 4 4

6 Sea g : (, ) la función dada por g( x) ln x (ln x denota logaritmo neperiano). a) Justifica que la recta de ecuación y x es la recta tangente a la gráfica de g en el punto de e abscisa x e. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g, el eje de abscisas y la recta tangente del apartado anterior. MATEMÁTICAS II. 8. RESERVA. EJERCICIO.OPCIÓN B. a) La recta tangente en x e es y g( e) g '( e) ( x e) g( e) Lne g '( x) g '( e) x e Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y ( x e) y x e e b) El área de la región pedida es: e e x e e A x dx ln xdx xln x x u e e e

7 Sean f : y g : las funciones definidas mediante f ( x) x 4x y g( x) x 6 a) Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g. b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas. MATEMÁTICAS II. 8. RESERVA. EJERCICIO.OPCIÓN A. a) Calculamos los puntos de corte de dichas funciones x x x x x x x x ; ; b) 4 4 x 7x x 7x A x 7x 6 dx x 7x 6 dx 6x 6x u 4 4 4

8 Calcula x ln( x ) dx. MATEMÁTICAS II. 8. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Vamos a calcular la integral I x ln( x ) dx, que es una integral por partes. u ln ( x ); du dx x x dv x dx; v x x x x I x ln( x ) dx ln( x ) dx ln ( x ) x ln( x ) C ( x ) Por lo tanto, la integral que nos piden es: x x x ln ( x ) x ln( x ) dx ln ( x ) 4 4

9 x x si x Sea f : la función definida por: f( x) 6 x si x a) Esboza la gráfica de f. b) Estudia la derivabilidad de f. c) Calcula el área comprendida entre la gráfica de f y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II. 8. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Lo primero que hacemos es abrir la función. x si x x x si x f x x si x 6x si x 6 x si x ( ) b) Por el dibujo vemos que la función es continua en x y en x. Vamos a estudiar la derivabilidad en esos dos puntos. f f f f '( ) f '( ) f '( ) '( ) '( ) 4 f '( ) f '( ) '( ) x si x f '( x) x si x si x Derivable en x. No derivable en x. c) Ahora, calculamos la integral que nos piden: 6 6 x x 8 A x dx (6 x) dx 6 x (6 8) ( ) u

10 Sean f : y g : las funciones dadas por f ( x) x y g( x) a (con a ) Se sabe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g es 4. Calcula el valor de la constante a. MATEMÁTICAS II. 8. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Como a, la gráfica de g( x) a es un recta paralela al eje OX y por encima de él. La gráfica de f ( x ) es una parábola con vértice en (,) y ramas hacia arriba. Como el área encerrada por el recinto es 4 tenemos que, y sabemos que la recta g ( x ) a es mayor que cero, a a x ( a) ( a) A a x dx ax a a a a a a ( a) 4 a a 4a a 4 a a

11 e Calcula x ln x dx. MATEMÁTICAS II. 8. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Vamos a calcular la integral I x ln x dx, que es una integral por partes. u ln x; du dx x x dv x dx; v x x x I x ln x dx ln x dx ln x x C x 9 Por lo tanto, la integral que nos piden es: e e x x e x ln x dx ln x 9 9

12 Sea Considera las funciones f :, y g : (, ) definidas por sen x f( x) y g( x) x ln x cos x a) Halla la primitiva de f que tima el valor cuando x. (Se puede hacer el cambio de variable t cos x). b) Calcula g( x) dx MATEMÁTICAS II. 8. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) t cos x dt sen x dx sen x dt t F( x) dx t dt C cos x t t cos x F C C C cos Luego, F( x) cos x b) x ln x x x ln x x x ln x dx dx C 4 4x 4 6 u ln x; du dx x 4 x dv x dx; v 4

13 Sea g : la función dada por g( x) x x x. 4 a) Esboza la gráfica de g. b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa x. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II. 8. RESERVA 4. EJERCICIO.OPCIÓN B. a) b) La recta tangente en x es y g() g '() ( x ) g() x g '( x) x g '() 4 Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y ( x ) y c) 4 x x x A x x xdx u 4 6

14 Sea Dada la función g : definida por g( x) x x. a) Esboza la gráfica de g. c) Calcula g( x) dx. MATEMÁTICAS II. 8. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Lo primero que hacemos es abrir la función. x x si x g x x x x x si x x x si x ( ) b) x x g( x) dx ( x x ) dx ( x x ) dx x x x x 6

15 Sean f : y g : las funciones definidas por f ( x) x, g( x) x a) Esboza las gráficas de f y g. b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas. MATEMÁTICAS II. 8. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) b) El área pedida es: x A (x x ) dx ( x x ) dx x x u

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