PRÁCTICA IV: SISTEMAS DE ECUACIONES
|
|
- Daniel Sandoval Hernández
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 PRÁCTICA IV: SISTEMAS DE ECUACIONES 23 de enero de 2015 Jonathan Estévez F. Universidad Complutense de Madrid Curso I de Grado en Ciencias Físicas jonestev@ucm.es
2 Práctica IV: Sistemas de ecuaciones Índice 1. Condicionamiento de una matriz 3 2. Sistemas fáciles de resolver 4 3. Factorización LU 6 4. Métodos iterativos: Método de Jacobi 7 5. Métodos iterativos: Método de Gauss-Seidel 11 Jonathan Estévez Fernández 2
3 Práctica IV: Sistemas de ecuaciones Laboratorio de Computación Científica 1. Condicionamiento de una matriz Matlab incorpora funciones para conocer el condicionamiento de un sistema de ecuaciones a través de las funciones intrínsecas cond, rcond, condest. Haciendo uso de las tres funciones anteriores, escribe una función llamada condicion.m que evalue los valores de los tres números de condición, el determinante de la matriz y su inversa. Considera la matriz A del sistema y el vector independiente b como variables de entrada. La solución del sistema será la variable de salida. Aplica el operador para resolver el sistema. (a) Aplícalo al siguiente sistema de ecuaciones 0, 832x 1 0, 448x 2 = 1 0, 784x 1 0, 421x 2 = 0 (1) 1 f u n c t i o n [COND] = c o n d i c i o n (A) 2 % CONDICION Condicionamiento de l a matriz A: cond rcond condest 3 4 a=cond (A) ; 5 b=rcond (A) ; 6 c=condest (A) ; 7 d=det (A) ; 8 i n v e r s a=inv (A) 9 COND=[a b c d ] ; 10 end 11 A=[0.832, 0.448; , ] ; 12 c o n d i c i o n (A) 13 i n v e r s a= COND= B= [ 1 ; 0 ] 20 X=A\B 21 X= (b) Haz lo mismo con el siguiente sistema de ecuaciones: 1, 985x 1 1, 358x 2 = 2, 212 0, 953x 1 0, 652x 2 = 1, 062 (1, 061) (2) 1 X=C\D1 2 X= X=C\D2 6 X= 3 Jonathan Estévez Fernández
4 Práctica IV: Sistemas de ecuaciones %La matriz e s t a mal condicionada porque e l sistema r e p r e s e n t a r e c t a s c u a s i c o i n c i d e n t e s 9 c o n d i c i o n (C) 10 i n v e r s a= e ans= e %Determinante=0 19 (c) Haz lo mismo con el siguiente sistema de ecuaciones: x 1 + 2x 2 = 0 2x 1 + 4x 2 = 1 (3) 1 c o n d i c i o n (E) 2 i n v e r s a= 3 I n f I n f 4 I n f I n f 5 6 ans= 1. 0 e I n f 0 %Determinante=0 8 X=E\F 9 X= 10 I n f 11 I n f %No e x i s t e porque e l sistema r e p r e s e n t a r e c t a s p a r a l e l a s Sistemas fáciles de resolver Crea una función en Matlab que permita resolver un sistema de ecuaciones triangular inferior por el método de sustituciones progresivas. Llama a la función sp.m y diseñala de tal modo que reciba como parámetros de entrada la matriz de coeficientes y un vector columna que contenga los términos independientes, y devuelva como salida un vector columna con las soluciones del sistema. Aplica la función creada para obtener la solución del sistema: x 1 = 1 (4) 0,5x 1 2x 2 = 3,5 (5) x 1 + 0,5x 2 + 3x 3 = 9 (6) Jonathan Estévez Fernández 4
5 Práctica IV: Sistemas de ecuaciones Laboratorio de Computación Científica 1 f u n c t i o n x=sp (A, b ) 2 % Esta f u n c i o n permite obtener l a s o l u c i o n de un sistema t r i a n g u l a r i n f e r i o r 3 % empleando s u s t i t u c i o n e s p r o g r e s i v a s. Las v a r i a b l e s de entrada son l a 4 % matriz de c o e f i c i e n t e s A y e l v e c t o r de terminos i n d e p e n d i e n t e s b. La 5 % s o l u c i o n se devuelve como un v e c t o r columna en l a v a r i a b l e x. 6 % x=sp (A, b ) 7 8 %% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 9 10 % Obtenemos e l tamano de l a matriz de c o e f i c i e n t e s y comprobamos que es % cuadrada, [ f, c ]= s i z e (A) ; i f f =c 17 e r r o r ( l a matriz de c o e f i c i e n t e s no es cuadrada ) 18 end 19 %construimos un v e c t o r s o l u c i o n, i n i c i a l m e n t e formado por ceros, 20 x=z e r o s ( f, 1 ) ; 21 %construimos un bucle f o r para i r c a l c u l a n d o progresivamente l a s 22 % s o l u c i o n e s d e l s istema 23 f o r i =1: f 24 %primero igualamos l a s o l u c i o n a l termino i n d e p e n d i e n t e de l a ecuacion 25 %que toque x ( i )=b ( i ) 27 %luego creamos un bucle para i r restando todas l a s s o l u c i o n e s 28 %a n t e r i o r e s f o r j =1: i 1 30 x ( i )=x ( i ) A( i, j ) x ( j ) 31 end 32 %para terminar dividimos por e l elemento de l a d i a g o n a l de l a matriz 33 %de c o e f i c i e n t e s 34 x ( i )=x ( i ) /A( i, i ) 35 end G= H= Jonathan Estévez Fernández
6 Práctica IV: Sistemas de ecuaciones sp (G,H)= 1, 2, Factorización LU Matlab suministra una función propia lu.m para el cálculo de la factorización LU, con pivoteo de filas. La sintaxis es, [L,U,P]=lu(A); donde L es una matriz triangular inferior, U una matriz triangular superior y P es la matriz de permutaciones que da cuenta del cambio de orden aplicado a las ecuaciones del sistema, P*A=LU. Aplícalo para resolver el siguiente sistema de ecuaciones 0,5x 1 + 2x 2 + 2,5x 3 + 3x 4 =24 (7) 0,7x 1 + 5,2x 2 3x 3 + x 4 =6,1 (8) 0,8x 1 6x 2 + 3,4x 3 2x 4 = 9 (9) 2,1x 1 + 3,2x 2 4,5x 3 + 2,3x 4 =4,2 (10) 1 [ L1, U1, P1]= l u ( I ) 2 L1= U1= P1= bp=p1 J 22 Jonathan Estévez Fernández 6
7 Práctica IV: Sistemas de ecuaciones Laboratorio de Computación Científica 23 bp= z=sp ( L1, bp ) 30 z= x=sur (U1, z ) 37 x= J= I= cond ( I ) = %Elaboramos un programa de s u s t i t u c i o n r e g r e s i v a ( sur ) : 56 f u n c t i o n x=sur (A,B) 57 n=l e n g t h (B) ; 58 x=z e r o s (n, 1 ) ; 59 x ( n )=B( n ) /A(n, n ) ; 60 f o r k=n 1: 1:1 61 x ( k )=(B( k ) A( k, k+1:n ) x ( k+1:n ) ) /A( k, k ) ; 62 end Métodos iterativos: Método de Jacobi Sea la siguiente función 1 f u n c t i o n [ x ] =j a c o b i 1 (A, b, x0 ) 2 L=A t r i u (A) ; %tambien t r i u (A, 1) 3 U=A t r i l (A) ; %tambien t r i l (A, 1 ) 4 D=diag ( diag (A) ) ; 5 x=inv (D) (b (L+U) x0 ) 6 end 7 Jonathan Estévez Fernández
8 Práctica IV: Sistemas de ecuaciones 7 Guárdala como fichero jacobi1.m 4.1. Partiendo de x0=[0;0;0] como aproximación inicial del sistema determinar la primera solución de este. 3x 1 + x 2 + x 3 =4 (11) 2x 1 + 5x 2 + x 3 = 1 (12) x 1 + x 2 + 3x 3 =4 (13) 1 x=j a c o b i 1 (A, b, x0 ) 2 x= Qué característica peculiar tiene la matriz del sistema? Sin ejecutar la función interna lu, cómo sería la matriz de permutación? La traza de la matriz A es la máxima posible=11, como consecuencia, P, la matriz de permutación es la matriz identidad,i. La matriz es estrictamente dominante por filas Escribe una función jacobi.m, con estructura x = jacobi(a, b, x0, tol), de modo que resuelva el sistema de ecuaciones Ax = b por el método iterativo de Jacobi hasta conseguir un error inferior (usar el comando matlab norm) a la tolerancia tol y partiendo de un valor x0 como aproximación inicial a la solución. Usa el comando while y la forma matricial del método de Jacobi. Ejecútalo para el sistema anterior con una tolerancia de 0,001. Se debe ver en pantalla y guardarlo en un fichero de datos, en forma de tabla, el número de iteración, s, los valores de las incógnitas x en la iteración s correspondiente, y el error entre x (x) y x (s+1). Considera en s = 0 el valor de x0, aproximación inicial. 1 A= b= j a c o b i 1 (A, b, x0,10ˆ( 3) ) 12 i t x0 x norm t o l ( , , ) ( , , ) ans= Jonathan Estévez Fernández 8
9 Práctica IV: Sistemas de ecuaciones Laboratorio de Computación Científica f u n c t i o n [ x ] = g s e i d e l (A, b, x0, t o l ) 22 a=1; 23 L=t r i u (A, 1) ; 24 U= t r i l (A, 1 ) ; 25 D=diag ( diag (A) ) ; 26 r a d i o e s p e c t r a l=max( abs ( e i g ( inv (D) U) ) ) ; 27 i f r a d i o e s p e c t r a l > 1 28 e r r o r ( No converge ) ; 29 end 30 i t =0; 31 f i=fopen ( s a l i d a. txt,w ) ; 32 f p r i n t f ( f i, \n i t x0 x norm t o l ) ; 33 while norm ( a x0 ) ; 34 i f i t >=1 35 x0=x ; 36 end 37 x=inv (D) b inv (D) (L+U) x0 38 a=x ; 39 i t=i t +1; 40 f p r i n t f ( f i, %i...,... ) ; 41 end 42 f c l o s e ( f i ) ; Utiliza jacobi.m, para resolver el sistema de ecuaciones: x + 2y + 3z =4 (14) 4x + 5y + 6z = 1 (15) 7x + 8y + 9z =4 (16) partiendo de (0, 0, 0) como aproximación inicial de la solución. Qué soluciones obtienes? Si has obtenido soluciones incorrectas o no te permite calcular la solución, modifica jacobi.m para que el programe funcione correctamente ya que en este caso la matriz del sistema es singular. Sólo escribe el conjunto de sentencias que has incorporado al programa jacobi.m, especificando entre qué sentencias se encuentra, es decir escribe la linea anterior, conjunto de sentencias nuevas y una línea posterior que tenías de tu programa de jacobi.m. 1 i f norm (A) > 1 2 e r r o r ( No converge ) 3 end 4 i f max( abs ( e i g ( inv (D) (L+U) ) ) ) > 1 %Definiendo antes D=diag ( diag (A) ) ; L= t r i u (A, 1) ; U= t r i l (A, 1 ) ; 5 e r r o r ( No converge ) 6 end 7 i f rcond (A) < e r r o r ( Mal condicionada ) 9 end 9 Jonathan Estévez Fernández
10 Práctica IV: Sistemas de ecuaciones Teniendo en cuenta tu programa de jacobi.m determina la solución del sistema sistema, Qué ocurre? 2x 2y =4 (17) 2x + 3y z = 1 (18) 5x + 2z =4 (19) 1 La matriz d e l s istema es s i n g u l a r y ademas e s t a mal condicionada, se comprueba con : 2 det (A)=0 3 rcond=0 4 En los métodos iterativos que has estudiado es posible previamente determinar la convergencia del método para ello incorpora a tu programa las siguientes sentencias: 1 r a d i o e s p e c t r a l=max( abs ( e i g ( inv (D) (L+U) ) ) ) ; 2 i f r a d i o e s p e c t r a l >1 3 e r r o r ( No converge ) ; 4 end 5 Debes inicializar el vector solución x para no tener problemas en el caso de que no haya convergencia Escribir una función x = jacobi amor(a, b, x0, w, tol) que resuelva el sistema de ecuaciones Ax=b por el método iterativo Jacobi amortiguado, hasta conseguir un error de convergencia inferior a la tolerancia tol, partiendo de un valor x0 como aproximación inicial a la solución y w como peso. Nota: Con añadir en tu programa jacobi.m la sentencia de amortiguamiento tras la sentencia que define el método de jacobi es suficiente. Aplica tu función al sistema de ecuaciones anterior, apartado 4.4, con una tolerancia de 0.001, un peso de 0.9 y vector solución inicial [0;0;0]. Cuáles son las sentencias que debes incorporar para saber si el método converge previamente? La matriz J debe salirte: 0,1 0,9 0 0,6 0,1 0,3 2,25 0 0,1 Y el radio espectral: 0, f u n c t i o n [ x ] = jacobi amor (A, b, x0,w, t o l ) 2 a=1; 3 i t =0; 4 L=A t r i u (A) ; 5 U=A t r i l (A) ; 6 D=diag ( diag (A) ) ; 7 r a d i o e s p e c t r a l=max( abs ( e i g ( w inv (D) (L+U) ) ) ) ; Jonathan Estévez Fernández 10
11 Práctica IV: Sistemas de ecuaciones Laboratorio de Computación Científica 8 i f r a d i o e s p e c t r a l >1 9 e r r o r ( No converge ) ; 10 end 11 f p r i n t f ( \ n i t x0 x norm t o l ) ; 12 while norm ( a x0 ) ; 13 i f i t >= 1 14 x0=x ; 15 end 16 x=inv (D) b inv (D) (L+U) x0 ; 17 a=x ; 18 i t=i t +1; 19 f p r i n t f (... ) 20 end 21 i t = R= x= Si la solución inicial fuera x0=[3;1;10], cuántas iteraciones se realizan hasta llegar a la solución? Y cuánto vale el vector solución?. 1 i t =92 2 x= Si el peso valiera 1.1, cuál será el valor del radio espectral para el sistema de ecuaciones anterior? Radio espectral=1, Métodos iterativos: Método de Gauss-Seidel Escribe una función llamada xs1 = gseidel(a, b, xs) que realice una iteración de Gauss- Seidel sobre el sistema de ecuaciones del apartado 4.4. Incorpora las sentencias que ayudan a conocer previamente la convergencia del método. 1 f u n c t i o n [ x ] = g s e i d e l (A, b, x0, t o l ) 2 a=1; 3 L=A t r i u (A) ; 4 U=A t r i l (A) ; 5 D=diag ( diag (A) ) ; 6 r a d i o e s p e c t r a l=max( abs ( e i g ( inv (D+L) (U) ) ) ) ; 7 i f r a d i o e s p e c t r a l >1 8 e r r o r ( No converge ) ; 9 end 10 i t =0; 11 f p r i n t f ( \ n i t x0 x norm t o l ) ; 11 Jonathan Estévez Fernández
12 Práctica IV: Sistemas de ecuaciones 12 while norm ( a x0 ) ; 13 i f i t >= 1 14 x0=x ; 15 end 16 [ n f ]= s i z e (A) ; 17 I=eye ( n ) ; 18 x=inv (D+L) b inv (D+L) U x0 ; 19 a=x ; 20 i t=i t +1; 21 f p r i n t f (... ) 22 end Jonathan Estévez Fernández 12
MÓDULO SE: SISTEMAS DE ECUACIONES
LABORATORIO DE COMPUTACIÓN CIENTÍFICA (Prácticas) Curso 2009-10 1 MÓDULO SE: SISTEMAS DE ECUACIONES Alumno: Lee detenidamente los enunciados. Copia las funciones y scripts que crees a lo largo de la practica,
Más detallesMétodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales
Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales Natalia Boal - Manuel Palacios - Sergio Serrano Departamento de Matemática Aplicada Obetivos Trabaar con los métodos iterativos habituales (Jacobi,
Más detallesMétodo de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas. (Parte II)
Método de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas (Parte II) Métodos numéricos para sistemas lineales Solución numérica de EDPs requiere resolver sistemas de ecuaciones lineales
Más detallesUNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ENTRE RÍOS
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ENTRE RÍOS FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA CÁLCULO NUMÉRICO T.P.Nº3 EJERCICIO N 1 En los ejercicios 1 a 12 resolver el sistema dado. 1) a) Por el método de Gauss sin pivoteo con
Más detallesInstituto Tecnológico Autónomo de México. 1. At =..
Instituto Tecnológico Autónomo de México TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ DEFINICION : Transpuesta Sea A = (a ij ) una matriz de mxn Entonces la transpuesta de A, que se escribe A t, es la matriz de nxm obtenida
Más detallesPráctica: Métodos de resolución de ecuaciones lineales.
Práctica: Métodos de resolución de ecuaciones lineales. Objetivo: Aplicar dos técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Un método finito basado en la descomposición LU de la matriz de
Más detalles1. Sistemas de ecuaciones lineales
Departamento de Matemática Aplicada CÁLCULO COMPUTACIONAL. Licenciatura en Química (Curso 25-6) Sistemas de ecuaciones lineales Práctica 2 En esta práctica vamos a ver cómo se pueden resolver sistemas
Más detallesI. Operaciones con matrices usando Mathematica
PRÁCTICA 9: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES II I. Operaciones con matrices usando Mathematica Introducir matrices en Mathematica: listas y escritura de cuadro. Matrices identidad y diagonales. El programa
Más detallesMétodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales
Métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales Problemas para examen Si en algún problema se pide calcular el número de flops (operaciones aritméticas con punto flotante), entonces en el
Más detallesResolución numérica de sistemas de ecuaciones. Introducción
Resolución numérica de sistemas de ecuaciones. Introducción Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Spain) http://www-lacan.upc.es
Más detallesLo rojo sería la diagonal principal.
MATRICES. Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas).
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Generalidades Definición [Sistema de ecuaciones lineales] Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto de m igualdades
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x
Más detallesMatrices: repaso. Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas. Una matriz A M m n es de la forma A =
Matrices: repaso Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas Una matriz A M m n es de la forma a 11 a 1n A = a m1 a mn Denotaremos A ij = a ij el coeficiente
Más detallesMatrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Problemas para examen Antes de resolver un problema en el caso general, se recomienda considerar casos particulares (por ejemplo, n = 4 y n = 50). En el caso
Más detalles1 0 4/ 5 13/
1 1 1 7 1 0 4/ 5 13/ 5 R1 R 1+1/5R3 0 0 0 2 R2 R3 0 5 9 22 0 5 9 22 0 0 0 2 Como la matriz tiene un renglón (0, 0, 0, 2) indica que el sistema no tiene solución ya que no existe un número que sea 2 y al
Más detallesMatemáticas. D e t e r m i n a n t e s
Matemáticas D e t e r m i n a n t e s El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución
Más detallesEs decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3
1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 Dada una matriz cuadrada de orden 1, A = (a), se define det A = det (a) = a Determinante de una matriz cuadrada de
Más detallesEJERCICIOS DE DETERMINANTES
EJERCICIOS DE 1) Si m n = 5, cuál es el valor de cada uno de estos determinantes? Justifica las p q respuestas: 2) Resuelve las siguientes ecuaciones: 3) Calcula el valor de estos determinantes: 4) Halla
Más detallesEJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES JUNIO 06/07. a) Calcula el rango de la matriz A según los valores del parámetro a 3 a A = 4 6 8 3 6 9 b)
Más detallesEJERCICIOS DETERMINANTES. 1º/ Calcula el siguiente determinante:
EJERCICIOS DETERMINANTES. 1º/ Calcula el siguiente determinante: 3 7 1 2 0 1 1 3 6 a) Usando la Regla de Sarrus. b) Desarrollando por los elementos de la primera columna. 2º/ Obtén el valor del determinante
Más detallesACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES
ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES Ejercicio 1 Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial? (b) Resuelve la ecuación matricial dada para. Ejercicio 2 Siendo I la matriz identidad de orden
Más detallesPrácticas de Análisis Matricial con MATLAB
Prácticas de Análisis Matricial con MATLAB Ion Zaballa. Trabajando con matrices y vectores Ejercicio.- Dados los vectores a = 3 4 a) Calcula el vector 3a a + 4a 3., a = 3, a 3 = b) Si A = [a a a 3 ] es
Más detallesDeterminantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5
DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno
Más detallesSistema de ecuaciones algebraicas. Eliminación de Gauss.
Sistema de ecuaciones algebraicas. Eliminación de Gauss. Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j.a.otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com
Más detallesTEMA 4: Sistemas de ecuaciones lineales II
TEM 4: Sistemas de ecuaciones lineales II ) Teorema de Rouché-Frobenius. ) Sistemas de Cramer: regla de Cramer. 3) Sistemas homogeneos. 4) Eliminación de parámetros. 5) Métodos de factorización. 5) Métodos
Más detallesCálculo numérico. Sistemas de ecuaciones lineales.
José Luis Morales http://allman.rhon.itam.mx/ jmorales Departamento de Matemáticas. ITAM. 2010. Las raíces de x 2 bx + c = 0. r = b ± b 2 4c 2 b = 3.6778, c = 0.0020798 r 1 = 3.67723441190... r 2 = 0.00056558809...
Más detallesConjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales
1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución
Más detallesAnálisis de cerchas Método de las uniones
Seminario de Modelación Matemática em Arquitectura Análisis de cerchas Método de las uniones Determinar las fuerzas internas de cada uno de los miembros de la siguiente cercha: /2 500 lb 250 lb Y 3/2 X
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Escuela de Ingeniería Informática de Oviedo (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Sistemas Lineales / 8 Contenidos Introducción Métodos directos Gauss Gauss
Más detalles(Soluc: a) 30; b) -66; c) 0; d) 0; e) 0; f) 0; g) 2; h) -50; i) 0; j) 0; k) 0; l) 0)
53 EJERCICIOS de DETERMINANTES º BACH. Cálculo de determinantes. Propiedades: 1. Calcular los siguientes determinantes de orden : a) 7 1 b) 4 11 4 6 0 c) 0 0 3 1 d) 3 7 3 7 e) 7 1 4 1 f) 33 55 3 5 g) 13
Más detallesTEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 0 REFLEXION Y RESUELVE Resolución de sistemas Ò mediante determinantes y Resuelve, aplicando x x e y, los siguientes sistemas de ecuaciones: 3x 5y 73 a
Más detallesTema 4 Álgebra Lineal Numérica
Tema 4 Álgebra Lineal Numérica Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Málaga Escuela Politécnica Superior Qué es un Sistema Lineal? Qué es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones.
Más detallesTema 3 Resolución de Sistemas deecuaciones Lineales
Tema 3 Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales E.T.S.I. Informática Indice 1 Introducción 2 Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios
Más detallesSi A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I?
MATRICES Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I? La multiplicación de matrices cuadradas, tiene la propiedad conmutativa?
Más detallesGuía de uso de DERIVE. 2) Botones de acceso rápido Al colocar el cursor sobre el botón aparece un recuadro con su función
Sobre la pantalla principal de DERIVE distinguimos: 1) La barra del menú 2) Botones de acceso rápido Al colocar el cursor sobre el botón aparece un recuadro con su función UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna
Más detallesIntroducción a MATLAB
Introducción a MATLAB Sistemas Conexionistas - Curso 07/08 MATLAB es un sistema interactivo basado en matrices para cálculos científicos y de ingeniería. Se pueden resolver problemas numéricos relativamente
Más detallesMENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES
MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES 1. Introducción. 2. Determinante de una matriz de 3 x 3. 3. Menores y cofactores. 4. Determinante de una matriz de n x n. 5. Matriz triangular. 6. Determinante de una
Más detallesPráctica 1ª: Introducción a Matlab. 1er curso de Ingeniería Industrial: Ingeniería de Control
1er curso de Ingeniería Industrial: Ingeniería de Control Práctica 1ª: Introducción a Matlab Departamento de Ingeniería electrónica, Telecomunicación y Automática. Área de Ingeniería de Sistemas y Automática
Más detallesBLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.
BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a 13... a 1n A= a a 21
Más detallesEjercicios Propuestos Tema 2
Ejercicios Propuestos Tema 2 1 Programar la función: fx, A, X = a 0 + a 1 x x 1 + a 2 x x 1 x x 2 + + a n x x 1 x x 2 x x n, donde A = [a 0, a 1,, a n ], X = [x 1, x 2,, x n ], con x R Calcular todas las
Más detalles, calcula: y C = , sabiendo que X y Y son matrices de dimensión 2x3 y A = A = , siendo abc 0.
MasMatescom Colección B Dadas las matrices A - -3, B - - C - - -, calcula: a) A+B-C t ; b) (A+B)C ; c) AB+C ; d) (A-B)(A+C) Resuelve el sistema X + Y A X - 3Y B, sabiendo que X Y son matrices de dimensión
Más detallesDeterminantes. Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A).
Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno a 11 = a 11 5 = 5 Determinante
Más detallesDETERMINANTES UNIDAD 3. Página 76
UNIDAD 3 DETERMINANTE Página 76 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: 2x + 3y 29 5x 3y 8 4x + y
Más detallesMétodos Numéricos (SC 854) Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Solución de sistemas de ecuaciones lineales c M Valenzuela 2007 (2 de agosto de 2007) Matrices Definición Una matriz n m es un arreglo rectangular de elementos con n filas (o renglones) y m columnas en
Más detallesDepartamento de Matemáticas, CCIR/ITESM. 9 de febrero de 2011
Factorización LU Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 9 de febrero de 2011 Índice 26.1. Introducción............................................... 1 26.2. Factorización LU............................................
Más detallesUniversidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias. Física Computacional CC063. Algebra Lineal. Prof: J. Solano 2012-I
Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias Física Computacional CC063 Algebra Lineal Prof: J. Solano 2012-I Introduccion Aqui trabjaremos con operaciones basicas con matrices, tales como solucion
Más detallesCREACIÓN DE MATRICES DESDE LA APLICACIÓN PRINCIPAL
Matemáticas con la calculadora Classpad 6. CÁLCULO MATRICIAL CREACIÓN DE MATRICES DESDE LA APLICACIÓN PRINCIPAL Se puede utilizar el teclado mth (matemático) para introducir valores matriciales en una
Más detallesMétodos de factorización para resolver sistemas de ecuaciones lineales. 22 de agosto, 2012
Cálculo numérico Métodos de factorización para resolver sistemas de ecuaciones lineales 22 de agosto, 2012 1 Factorización LU Considera el siguiente ejemplo de factorización LU de una matriz en un sistema
Más detallesEsta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )
Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder
Más detallesTeoría Tema 8 Determinante de una matriz cuadrada de orden 1, 2 y 3
página 1/5 Teoría Tema 8 Determinante de una matriz cuadrada de orden 1, 2 y 3 Índice de contenido Qué es un determinante de una matriz cuadrada y que aplicación tendrá?...2 Determinante de una matriz
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SOCIALES CAPÍTULO 2 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detalles5 Métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales
94 5 Métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales La resolución de sistemas de ecuaciones lineales también puede hacerse con fórmulas iterativas que permiten acercarse a la respuesta
Más detallesA1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas.
A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y +z = 1 -x + y +z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. Para que el sistema tenga, al menos, dos soluciones distintas
Más detallesTema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES
Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos
Más detallesSistem as de ecuaciones lineales
Sistem as de ecuaciones lineales. Concepto, clasificación y notación Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b a
Más detallesTema 3 Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Tema Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Índice Introducción 2 Método de Gauss 2 Resolución de sistemas triangulares 22 Triangulación por el método de Gauss 2 Variante Gauss-Jordan 24 Comentarios
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. Podemos clasificar los sistemas según el número de soluciones: Incompatible. No tiene solución Compatible. Tiene solución. Compatible
Más detallesSistemas lineales con parámetros
4 Sistemas lineales con parámetros. Teorema de Rouché Piensa y calcula Dado el siguiente sistema en forma matricial, escribe sus ecuaciones: 3 0 y = 0 z + y 3z = 0 y = Aplica la teoría. Escribe los siguientes
Más detallesIntroducción a MATLAB
Introducción a MATLAB Sistemas Conexionistas - Curso 08/09 MATLAB es un sistema interactivo basado en matrices que se utiliza para cálculos científicos y de ingeniería. Puede resolver problemas numéricos
Más detallesMAT web:
Clase No. 7: MAT 251 Matrices definidas positivas Matrices simétricas Dr. Alonso Ramírez Manzanares Depto. de Matemáticas Univ. de Guanajuato e-mail: alram@ cimat.mx web: http://www.cimat.mx/ alram/met_num/
Más detallesEcuaciones, inecuaciones y sistemas
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 1 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Ecuaciones con una incógnita. Ecuación.- Una ecuación es una igualdad de expresiones
Más detalles3- Sistemas de Ecuaciones Lineales
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 3- Sistemas de Ecuaciones Lineales 1. Introducción Consideremos el siguiente sistema, en él tenemos k ecuaciones y n incógnitas. Los coeficientes a ij son números reales
Más detallesGUIA BÁSICA DEL PROCEDIMIENTO MATRIX END MATRIX
GUIA BÁSICA DEL PROCEDIMIENTO MATRIX END MATRIX El SPSS permite realizar cálculos matriciales mediante el lenguaje de comandos que se resumen en los siguientes pasos: 1) Abrir una ventana de sintaxis Menú:
Más detallesDETERMINANTES Profesor: Fernando Ureña Portero
: CONCEPTO, CÁLCULO DE. Definición: A cada matriz cuadrada A=a ij, de orden n, se le asigna un número real, denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A =det (A)= 1.-Determinante de orden
Más detallesMatemáticas aplicadas a las CC.SS. II 2º Bachillerato. La igualdad de matrices 3x3 equivale a 9 ecuaciones escalares: { a 3=5.
Ejercicios resueltos 1. MATRICES 1.1. Introducción 1. Halla el valor de a, b y c para que las matrices A= 2 a 3 7 b 1 0 6 4 5 y B= 2 5 7 5 1 0 c 1 4 5 sean iguales. La igualdad de matrices 3x3 equivale
Más detallesSolución de sistemas de ecuaciones lineales: Métodos de Jácobi y Gauss-Seidel
Solución de sistemas de ecuaciones lineales: Métodos de Jácobi y Gauss-Seidel Ing Jesús Javier Cortés Rosas M en A Miguel Eduardo González Cárdenas M en A Víctor D Pinilla Morán Facultad de Ingeniería,
Más detallesIntroducción a Matlab.
Introducción a Matlab. Ejercicios básicos de manipulación de imágenes. Departamento de Ingeniería electrónica, Telecomunicación y Automática. Área de Ingeniería de Sistemas y Automática OBJETIVOS: Iniciación
Más detalles2 = 1 0,5 + = 0,5 c) 3 + = = 2
Trabajo Práctico N : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ejercicio : Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales empleando cuando sea posible: i) Método matricial. ii) Regla de Cramer. Interprete
Más detallesTEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y
Álgebra II: Tema 8. TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y NúMERO DE CONDICIóN Índice. Introducción 2. Norma vectorial y norma matricial. 2 2.. Norma matricial inducida por normas vectoriales......... 4 2.2. Algunos
Más detallesA c) Determinantes. Ejercicio 1. Calcula los siguientes determinantes:
Determinantes 1. Contenido 1.1 Determinantes de orden 1, 2 y 3. 1.2 Menor complementario. Matriz adjunta. 1.3 Propiedades de los determinantes. 1.4 Determinantes de orden n. 1.5 Cálculo de determinantes
Más detalles13. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3-133 - 13. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3 Cuando el número de ecuaciones en un sistema es elevado (con cientos o miles de ecuaciones) los métodos directos estudiados
Más detallesUNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Método de igualación. Método de reducción. Método de sustitución Método de eliminación Gaussiana.
Más detallesPráctica IV: Métodos de Newton-Raphson y de la secante, para encontrar las raíces de una función.
Práctica IV: Métodos de Newton-Raphson y de la secante, para encontrar las raíces de una función. Se suele llamar método de Newton-Raphson al método de Newton cuando se utiliza para calcular los ceros
Más detallesMateria: Matemática de 5to Tema: Método de Cramer. Marco Teórico
Materia: Matemática de 5to Tema: Método de Cramer Marco Teórico El determinante se define de una manera aparentemente arbitraria, sin embargo, cuando se mira a la solución general de una matriz, el razonamiento
Más detallesLas matrices tienen un número cada vez mas creciente de aplicaciones en la solución de problemas en Ciencia y Tecnología.
Aplicaciones de las Matrices a la Solución de Problemas de Redes Eléctricas Resumen Se muestra como obtener, sistemas de ecuaciones lineales que permitan calcular intensidades de corrientes en los ramales
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones y matrices Definición 1 Una ecuación lineal en las variables x 1, x 2,..., x n es una ecuación de la forma con a 1, a 2... y b números reales. a
Más detalles7ª Práctica. Matlab página 1 EJERCICIO 1. ORDENAR UN VECTOR CON EL MÉTODO DE LA BURBUJA...1
7ª Práctica. Matlab página 1 PROGRAMACIÓN EN MATLAB PRÁCTICA 07 ORDENACIÓN VECTORES Y MATRICES EJERCICIOS REPASO PARA EL EXAMEN EJERCICIO 1. ORDENAR UN VECTOR CON EL MÉTODO DE LA BURBUJA...1 EJERCICIO
Más detalles8. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES III
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES III - 143-8. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES III Cuando el número de ecuaciones en un sistema es elevado (con cientos o miles de ecuaciones) los métodos directos estudiados
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 1 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesSistema de Ecuaciones Lineales Matrices y Determinantes (3ª Parte)
Sistema de Ecuaciones Lineales Matrices y Determinantes (ª Parte) Definición: Sistemas Equivalentes Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si y solo si tienen el mismo conjunto solución Teorema fundamental
Más detallesCálculo científico y técnico con HP49g/49g+/48gII/50g Módulo 3 Aplicaciones Tema 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales: regla de Cramer
Cálculo científico y técnico con HP49g/49g+/48gII/50g Módulo 3 Aplicaciones Tema 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales: regla de Cramer Francisco Palacios Escuela Politécnica Superiror de Ingeniería Manresa
Más detallesTeoría Tema 9 Ecuaciones del plano
página 1/11 Teoría Tema 9 Ecuaciones del plano Índice de contenido Determinación lineal de un plano. Ecuación vectorial y paramétrica...2 Ecuación general o implícita del plano...6 Ecuación segmentaria
Más detallesEJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE ÁLGEBRA
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE ÁLGEBRA 2003 (4) Ejercicio 1. Considera los vectores u = (1,1,1), v = (2,2,a) y w = (2,0,0), (a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para que los vectores u, v y w sean linealmente
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales. Métodos iterativos
Lección F Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos iterativos Los métodos iterativos tienen la desventaja de que no se pueden aplicar, por lo menos de forma elemental, a cualquier sistema de ecuaciones
Más detallesMatrices 1. Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Matrices 1 Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se
Más detallesCursada Segundo Cuatrimestre 2012 Guía de Trabajos Prácticos Nro. 1
Temas: Ambiente de trabajo MATLAB. Creación de matrices y vectores. Matrices pre-definidas. Operador dos puntos. Operaciones con matrices y vectores. Direccionamiento de elementos de matrices y vectores.
Más detalles3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Más detallesHerramientas computacionales para la matemática MATLAB: Arreglos
Herramientas computacionales para la matemática MATLAB: Arreglos Verónica Borja Macías Marzo 2013 1 Una matriz es un arreglo bidimensional, es una sucesión de números distribuidos en filas y columnas.
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]
Más detalles!MATRICES INVERTIBLES
Tema 4.- MATRICES INVERTIBLES!MATRICES INVERTIBLES!TÉCNICAS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR 1 Hemos hablado anteriormente de la matriz cuadrada unidad de orden n (I n ).. Es posible encontrar
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 74 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:
Más detalles2º ITT SISTEMAS ELECTRÓNICOS 2º ITT SISTEMAS DE TELECOMUNICACIÓN 3º INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN AUTÓMATAS Y SISTEMAS DE CONTROL
2º ITT SISTEMAS ELECTRÓNICOS 2º ITT SISTEMAS DE TELECOMUNICACIÓN 3º INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN AUTÓMATAS Y SISTEMAS DE CONTROL PRÁCTICA 2: INTRODUCCIÓN A MATLAB. CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DE MATLAB Funcionalidades
Más detallesMatrices, Determinantes y Sistemas Lineales.
12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión
Más detallesEcuaciones de 2º grado
Ecuaciones de 2º grado Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax 2 + bx +c = 0 con a 0. Resolución de ecuaciones de segundo grado Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos
Más detallesALN. Repaso matrices. In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República
ALN Repaso matrices In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República Definiciones básicas - Vectores Definiciones básicas - Vectores Construcciones Producto interno: ( x, y n i x y i i ' α Producto
Más detalles