CAPÍTULO 2. Las mediciones en la física

Transcripción

1 CAPÍTULO 2. Las mediciones en la física 2.13 Introducción a la graficación de resultados En la ciencia, la tecnología y en muchas otras actividades con frecuencia se prefiere analizar los datos por medio de gráficas y no mediante tablas o métodos analíticos (figura 2.18). Figura 2.18 Es más fácil visualizar el comportamiento de un fenómeno por su gráfica que por los datos tabulados. Gráficas Las gráficas son una forma de presentar de una manera clara y compacta los datos de una investigación o experiencia. Cuando se manejan grandes volúmenes de información, las gráficas son un aliado importante del ser humano en la comprensión de los fenómenos y su explicación. Las gráficas son representaciones de las relaciones que existen entre una y otra (o diversas) variables. Por ejemplo, entre la distancia que recorre un niño en bicicleta y el tiempo que tarda en hacerlo. Las gráficas pueden ser circulares, de barras, de puntos o de líneas (figura 2.19). Figura 2.20 Gráfica de barras que muestra la producción anual de frijol de Nayarit. Gutiérrez, Física general - Capítulo 2 - Tema

2 Las principales ventajas de las gráficas (con respecto a las tablas) son: Mediante una gráfica es más fácil conseguir la atención, ya que al igual que un dibujo vale más que mil palabras, una gráfica vale más que mil números. Es más fácil comparar una gráfica con otra que comparar una tabla con otra. Las gráficas revelan en forma más rápida y fácil ciertos rasgos que no se podrían obtener con facilidad mediante una inspección de la tabla. Entre ellos se encuentran: a) valor máximo b) valor mínimo c) periodicidad (si se repite un determinado valor) d) variaciones de la pendiente (si la inclinación de la gráfica lineal varía respecto a la horizontal) Las gráficas que se emplean en la ciencia pueden ser de barras, poligonales, funcionales, etcétera. Gráfica poligonal Es una gráfica lineal; en ésta se representa el número de veces que aparecen los datos o una serie de mediciones. En uno de los ejes se representa la frecuencia o número de veces que se encuentra cada dato o medición y, en el otro, los datos y mediciones. Estas gráficas son especialmente útiles para estudiar la evolución de diversos procesos: variación del precio de la gasolina, de la temperatura de un sistema o del número de estudiantes, según su edad, en una escuela primaria (figura 2.20). Figura 2.20 Gráfica poligonal del número de estudiantes por edad de una escuela primaria. Gutiérrez, Física general - Capítulo 2 - Tema

3 Gráfica de barras En esta gráfica también se expone la frecuencia con que aparecen los datos o una serie de mediciones, pero dicha representación se hace mediante barras paralelas colocadas en forma horizontal o vertical entre los ejes del plano horizontal. Estas barras tienen todas la misma base, pero su altura es proporcional a la frecuencia (figura 2.21). Figura 2.21 Gráfica de barras del número de estudiantes por edad de una escuela primaria. Las gráficas que más se utilizan en la ciencia son las denominadas gráficas funcionales. En este tipo de gráficas las variables se relacionan mediante una función matemática (ecuación). En la figura 2.22 se muestra un ejemplo de una gráfica funcional. En ella se puede deducir rápidamente en qué punto de la línea el comportamiento deja de ser lineal, así como el grado de dispersión de los datos. La gráfica representa la relación entre el alargamiento de un resorte y la fuerza que lo produce. El hecho de que la fuerza se haya representado en el eje de las abscisas y el alargamiento del resorte en el eje de las ordenadas no es accidental, sino resultado del análisis de quien realiza el experimento. La convención establece que la variable independiente, es decir, la que el experimentador controla, se debe graficar en el eje de las abscisas (el eje horizontal), mientras que la variable dependiente, cuyo valor se determina en función del valor de la otra variable independiente, se representa en el eje vertical (eje de las ordenadas). Una variable puede considerarse dependiente o independiente según las condiciones del experimento y el criterio del experimentador. Gutiérrez, Física general - Capítulo 2 - Tema

4 Figura 2.22 Gráfica que relaciona la deformación de un resorte por una fuerza. Interpolación Las gráficas se utilizan para obtener lecturas entre los puntos experimentales mediante el proceso denominado interpolación. Se hace una interpolación al predecir, a partir de una tabulación o de una gráfica, un valor desconocido que se encuentra entre dos valores conocidos. Al investigar el alargamiento de un resorte cuando se le aplica una fuerza de 17 N, ya que este valor se encuentra entre dos conocidos (15 N y 20 N), la deformación de dicha fuerza deberá estar entre las deformaciones producidas por las fuerzas de 15 N y 20 N. Así, en la gráfica de la figura 2.23 se traza una línea vertical auxiliar por el punto 17 N hasta que intercepte a la línea inclinada de la gráfica en un punto P, y por ese punto se traza otra línea auxiliar horizontal hasta el eje vertical. El punto de intersección con el eje vertical corresponde al alargamiento para la fuerza de 17 N, en este caso de 8.5 cm. Puesto que a partir de la gráfica se predijo un valor desconocido, se realizó una interpolación. Extrapolación El proceso opuesto, la extrapolación, consiste en prolongar la gráfica para obtener valores fuera del intervalo experimental. La extrapolación no es un proceso seguro, por lo que se debe tener cuidado en su utilización. La estimación que se hace de la deformación que experimentará el resorte cuando se le aplica una fuerza mayor de 35 N, que es la última fuerza aplicada al resorte, es un proceso conocido como extrapolación. Tanto la interpolación como la extrapolación suponen admitir que el comportamiento que la gráfica describe es regular. Particularmente en el caso de la extrapolación, es preciso proceder Gutiérrez, Física general - Capítulo 2 - Tema

5 con cierta cautela a la hora de generalizar las conclusiones a cualquier rango de variación de las cantidades investigadas, ya que la ley física investigada será la válida sólo dentro de ciertos límites. En tal caso, una extrapolación más allá de sus propias posibilidades sería errónea. Elaboración de gráficas La elaboración de gráficas es una tarea sencilla si se toma en cuenta lo siguiente: 1. Elección del papel adecuado. El más común es el papel milimétrico 2. Elección de la escala, no necesariamente debe iniciar en cero y se selecciona de manera que todos los puntos experimentales queden dentro de los límites del papel que se utilice. 3. Trazo de los puntos experimentales. Una vez elegidas las escalas y el papel, se procede a la localización de los puntos experimentales, lo cual se consigue haciendo coincidir las líneas imaginarias perpendiculares con los ejes que pasan por las coordenadas de los datos experimentales (como se muestra en la figura 2.24). Figura 2.24 El plano cartesiano está integrado por dos rectas perpendiculares entre sí. Un punto P en el plano cartesiano se localiza por sus coordenadas (4, 3). La primera coordenada representa la abscisa, porque se encuentra sobre el eje de las abscisas; la que está en segundo lugar es la coordenada del punto P, también llamada ordenada de P, porque se encuentra sobre el eje de las ordenadas. 4. Ajuste de la curva por los puntos experimentales. Una vez localizados los datos experimentales se procede a trazar una curva que se adapte a través de los puntos obtenidos. No es necesario que la curva o recta pase por todos los puntos experimentales. Gutiérrez, Física general - Capítulo 2 - Tema

6 5. Obtención de la ecuación matemática de la gráfica. En física es muy frecuente que se determine la ecuación que relaciona las dos variables a partir de la gráfica. En este texto se obtendrá la ecuación cuando los datos experimentales se representen por medio de una línea recta. De la geometría analítica se sabe que una línea recta se puede expresar mediante la siguiente ecuación: y = mx + b donde: y = variable dependiente b = ordenada al origen x = variable independiente m = pendiente de la recta La pendiente m de una línea recta se define como el cociente entre la elevación (cambio de la variable dependiente) y el avance (cambio de la variable independiente) en dos puntos P 1 y P 2 cualesquiera sobre la recta. Es decir: define por: m = elevación avance En función de los puntos P 1 y P 2 de la gráfica de la figura 2.24, la pendiente de la recta se donde: (x 1, y 1 ) = coordenadas del punto P 1 (x 2, y 2 ) = coordenadas del punto P 2 m = y 2 y 1 x 2 x 1 Figura 2.24 La ecuación de una recta está dada por y = mx + b. Gutiérrez, Física general - Capítulo 2 - Tema

7 La ordenada al origen (b) de una línea recta es el valor de la variable dependiente donde la línea recta cruza al eje vertical, es decir, donde la variable independiente tiene un valor de cero. En virtud de las características de las gráficas, científicos, administradores, ingenieros, médicos y otros profesionistas las consideran herramientas poderosas. PROBLEMA EJEMPLO 2.6 En la figura 2.26 se presenta la gráfica del movimiento de un corredor en una pista recta. Cuál es la ecuación que describe su movimiento? Figura 2.26 Gráfica del movimiento. Solución De la gráfica se observa que la ecuación de la recta debe ser de la forma: y = mx + b En nuestro caso, en lugar de y se escribe la variable d y en lugar de x la variable t, de manera que la ecuación de la recta se convierte en: d = mt + b También se observa en la gráfica que la ordenada al origen (b) es 2 m. De la definición de pendiente: m = y 2 y 1 x 2 x 1 En este caso la pendiente se obtiene de las coordenadas de los puntos P 1 y P 2, es decir: Gutiérrez, Física general - Capítulo 2 - Tema

8 m = y y 2 1 = d d m 14 m = = 6 m x 2 x 1 t 2 t 1 3 s 2 s 1 s = 6 m/s Al sustituir los valores de m y b en la ecuación de la recta, se obtiene: d = 6t + 2 donde la distancia d se expresa en metros y el tiempo t en segundos. Gutiérrez, Física general - Capítulo 2 - Tema