RESUMEN ZERO-COST COLLAR STRATEGY FOR CHILEAN EXPORTERS: BLACK-SCHOLES VALUATION VS MONTE CARLO SIMULATIONS ABSTRACT

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1 REVISTA INTERNACIONAL ADMINISTRACION & FINANZAS VOLUMEN 7 NUMERO ESTRATEGIA COLLAR COSTO CERO PARA EXPORTADORES CHILENOS. VALUACION DE BLACK-SCHOLES VS SIMULACIONES DE MONTECARLO Eduardo Sandoval, Universidad de Concepción Paula Urruia, Universidad de Concepción RESUMEN Las simulaciones de Mone Carlo (SMC) son una imporane écnica uilizada en finanzas para valuar opciones europeas en general y esraegias de coberura de riesgo cambiario en paricular. Sin embargo, Hull (01) indica que esa écnica demanda demasiado iempo de cómpuo para alcanzar un alo nivel de precisión. No obsane lo anerior y como se demuesra en ese arículo, los errores esándar asociados a las SMC pueden ser reducidos significaivamene al incremenar el número de caminos aleaorios realizados. Adicionalmene, se muesra que la esraegia Collar coso cero seguida por un exporador chileno que busque coberura mensual frene al riesgo cambiario, converge al mismo precio ya sea usando el modelo de Black-Scholes o SMC cuando aumena el número de caminos aleaorios. Finalmene, se evalúa la efecividad de la esraegia, mosrando claros beneficios económicos asociados de ser implemenada en períodos de apreciación del peso chileno respeco al dólar americano. PALABRAS CLAVE: Esraegia Collar Coso Cero, Valuación de Black-Scholes, Simulaciones de Mone Carlo ZERO-COST COLLAR STRATEGY FOR CHILEAN EXPORTERS: BLACK-SCHOLES VALUATION VS MONTE CARLO SIMULATIONS ABSTRACT Mone Carlo Simulaion (MCS) is an imporan echnique used in finance o value European opions in general and hedging sraegies of exchange rae risk in paricular. However, Hull (01) indicaes ha his echnique demands much compuing ime o achieve a high level of precision. In spie of he above, his aricle shows ha he sandard errors associaed wih MCS can be significanly reduced by increasing he number of random walks. Addiionally, i is shown ha he valuaion of zero-cos collar sraegy followed by a Chilean exporer, who seeks monhly coverage agains foreign exchange risk, converges a he same price eiher using he Black-Scholes model or MCS when he number of random walks increases hrough simulaions. Finally, he effeciveness of zero-cos collar sraegy is evaluaed. This sraegy shows clear economic benefis associaed of being implemened in periods of appreciaion of he Chilean peso agains he U.S. dollar. JEL: G13, G17 KEYWORDS: Zero-cos Collar Sraegy, Black-Scholes Valuaion, Mone Carlo Simulaions INTRODUCCIÓN L as esadísicas del Banco Cenral de Chile ( indican que las exporaciones chilenas han aumenado significaivamene desde los 1,651 millones de USD en el año 003 a 78,813 en el año 01, mosrando así una asa de crecimieno anual promedio del 15,4%. El fuere 5

2 E. Sandoval & P. Urruia RIAF Vol. 7 No crecimieno de las exporaciones hace necesario que los agenes económicos dedicados a esa acividad en Chile busquen mecanismos de coberura frene al riesgo cambiario y con ello minimizar las poenciales pérdidas cambiarias en escenarios adversos de ipo de cambio. Uno de esos mecanismos de coberura es la esraegia Collar, la cual se consigue a ravés de la combinación de dos opciones europeas sobre el dólar americano. La primera consise en la compra de una opción de vena con precio de ejercicio K 0 (ipo de cambio $/USD piso) y la segunda en la vena de una opción de compra con precio de ejercicio K 1 (ipo de cambio $/USD echo) ambas posibles de ser ejercidas en una fecha fuura deerminada. En ese ipo de esraegia, se iene que el exporador paga y cobra una prima simuláneamene, paga como consecuencia de la compra de la opción de vena a ipo de cambio piso K 0 y cobra como consecuencia de la vena de la opción de compra a ipo de cambio echo K 1, por lo que puede darse el caso de que el coso de la combinación de ambas opciones sea cero. Con el objeivo de que el coso sea cero, se buscarán rangos de precio de ejercicio que generen primas de igual cuanía, lo que se conoce como Collar coso cero. Cuando el acivo subyacene corresponde a dólares americanos, se iene que las venajas asociadas a ese ipo de coberura para un exporador son las siguienes; la coberura no posee un coso inicial, se fija un ipo de cambio mínimo para realizar la operación, que le permie cubrirse ane la caída del ipo de cambio, es más flexible que un forward de ipo de cambio único y al ser una alernaiva OTC (over he couner), el Collar se adecua perfecamene a las necesidades de los clienes en cuano a monos, plazos, precios de ejercicio, enre oros. Las desvenajas consisen en el echo fijado para el exporador que no le permiirá aprovechar la oalidad de los beneficios que enrega el mercado si el ipo de cambio sobrepasa el ipo de cambio echo K 1. Dada la relevancia que puede ener la coberura cambiaria en los resulados económicos para un exporador en Chile, ese arículo iene como principal moivación valuar las opciones europeas sobre el dólar americano conempladas en la esraegia Collar coso cero bajo dos méodos alernaivos: Simulaciones de Mone Carlo (SMC) y Black-Scholes, y luego probar si exise convergencia en la valuación en ambos méodos en la medida que el número de caminos aleaorios implemenados en las SMC aumena. Finalmene se evalúan los resulados de la esraegia para el caso de un exporador chileno que busque coberura mensual frene al riesgo cambiario y con ello esimar su efecividad. A coninuación el arículo coninúa con la revisión de la lieraura, luego se sigue con la meodología, luego se presenan los resulados y finalmene las conclusiones. REVISIÓN LITERARIA La simulación de Mone Carlo ha sido una de las écnicas más uilizadas en finanzas debido a que evia la complejidad maemáica y iene una implemenación relaivamene fácil de llevar a cabo. Esa écnica fue inicialmene uilizada en la valuación de opciones por Boyle (1977) y ha sido una herramiena úil en siuaciones de valuación de opciones con múliples facores esocásicos, Barraquand y Marineau (1995). Hull y Whie (1987) usan SMC para valuar opciones con volailidades esocásicas. Schwarz y Torous (1989) la aplican en la valuación de acivos financieros con garanía hipoecaria. Inspirados por Carriere (1996), y Tsisiklis y Van Roy (1999), Longsaff y Schwarz (001) usan un méodo de simulación basado en el algorimo de mínimos cuadrados de Mone Carlo para valuar opciones americanas. Sin embargo, las SMC han sido ambién criicadas por algunos auores. Hull (01) indica que ésa demanda demasiado iempo de cómpuo para alcanzar el nivel de precisión requerido, generando así alas varianzas que lideran a ineficiencias compuacionales, lo que no obsane puede ser minimizado gracias a los ordenadores de úlima generación 6

3 REVISTA INTERNACIONAL ADMINISTRACION & FINANZAS VOLUMEN 7 NUMERO METODOLOGÍA La Eficiencia y Precisión de las Simulaciones de Mone Carlo Desde un puno de visa esadísico se espera que la eficiencia de las SMC se incremene con el aumeno del número de caminos aleaorios usados en las simulaciones. Ya que las SMC son muesras de variables esocásicas, la valuación o precios de las opciones modeladas a ravés de esa écnica ambién lo son. El error esándar esimado (EEE) puede ser calculado como la desviación esándar (DS) de los precios de las opciones esimados a ravés de las SMC dividido por la raíz cuadrada del número de caminos aleaorios usados en la esimación (m). EEE = DS/ m (1) La ecuación (1) indica que EEE disminuirá al incremenar el número de caminos aleaorios usados en la esimación. En eoría si la DS permanece consane, al incremenar por ejemplo m de 100 a 400, el EEE se reduciría en un 50%. Por ora pare, la convergencia en el precio o valuación de opciones es medida a ravés de la magniud de las diferencias de los promedios de los precios asociados a las muesras de dos grupos. Para los propósios de ese arículo, SMC y modelo de Black-Scholes, el cual corresponde a un ipo de solución cerrada. Los precios de ambos méodos convergen cuando los promedios no muesran diferencias esadísicamene significaivas. Bajo el modelo de Black-Scholes, el dólar americano (ipo de cambio $/USD) sigue un movimieno geomérico del ipo Brownian. Eso es: ds = (r rf)s d + σsdz () donde S es el ipo de cambio $/USD, r es la asa sin riesgo en Chile, rf es la asa sin riesgo en Esados Unidos, σ es la volailidad asociada a los rendimienos del dólar americano, y dz es un proceso Wiener, dz = ε. La esraegia Collar coso cero (CCC) corresponde a la combinación de dos opciones europeas. Como fue señalado aneriormene, el exporador chileno que desee cubrirse con esa esraegia debe comprar una opción de vena europea (P) con precio de ejercicio K 0 y simuláneamene vender una opción de compra europea (C) con precio de ejercicio K 1. Ambas opciones suscrias sobre el dólar americano con igual fecha de vencimieno. Para efecos de valuación, en ese arículo se asume que K 0 = S lo cual supone que el exporador no desea obener un ipo de cambio inferior al observado en el mercado spo inmediao, S. El precio de ejercicio K 1 por su pare, oma un valor que, dada la volailidad en los rendimienos del dólar americano, las asas de inerés y el plazo de vencimieno de las opciones permia generar una esraegia Collar coso cero (eso es el valor de las primas ano para la opción de vena como para la opción de compra deben ser iguales). CCC = P S, K 0,, σ, r, rf C S, K 1,, σ, r, rf (3) donde: C = S e rf T N(d 1 ) K 1 e r T N(d ) (4) P = K 0 e r T N( d ) S e rf T N( d 1 ) (5) d 1 = ln S K +(r rf+0,5 σ ) T σ T (6) 7

4 E. Sandoval & P. Urruia RIAF Vol. 7 No d = d 1 σ T (7) S rf C P K r σ T N(x) : Tipo de cambio spo inmediao ($/US$) : Tasa de inerés libre de riesgo anual exerna compuesa coninuamene : Precio de opción de compra europea : Precio de opción de vena europea : Precio de ejercicio (K 0 para opción de vena, K 1 para opción de compra) : Tasa de inerés libre de riesgo anual domésica compuesa coninuamene : Volailidad (varianza) anual del rendimieno del dólar americano : Tiempo de maduración de la opción expresado en años. : Función de disribución acumulada de probabilidad asociada a una disribución normal esandarizada. Volailidad La volailidad corresponde a la inceridumbre sobre los rendimienos proporcionados por el acivo subyacene. El efeco de esa variable sobre opciones de compra y vena va en la misma dirección, pues se iene que a mayor volailidad, mayor será el precio de la opción. Lo anerior, se explica debido a que a mayor volailidad más amplio es el rango de precios que puede omar el acivo subyacene al vencimieno, incremenando el riesgo del vendedor de opciones y aumenando la probabilidad de beneficios para los compradores, lo que se raduce en un aumeno de la prima. En los modelos de valoración de opciones se asume la hipóesis de mercados eficienes para los acivos subyacenes, en oras palabras, que los precios del subyacene incorporan auomáicamene oda la información relevane que surge en los mercados. Dado eso, es que la variación de precios será compleamene aleaoria, pues la información será enregada al mercado de la misma forma, por lo que la disribución esadísica de los precios será una disribución normal. Prosper Lamohe (1993), señala que diferenes esudios empíricos realizados sobre diversos subyacenes reflejan que aunque las variaciones o rendimienos diarios no se comporan exacamene como una disribución normal, su disribución se aproxima basane a las caracerísicas de ésa, por lo que los mercados han asumido la hipóesis sin producirse grandes sesgos. Volailidad y Modelos Garch De acuerdo a Casas y Cepeda (008) la volailidad es una caracerísica inherene a las series de iempo financieras que por lo general, no es consane y por consecuencia odos los modelos de series de iempo radicionales que suponen varianza homocedásica, no son adecuados para modelar series financieras. Los modelos auorregresivos de heerocedasicidad condicional (GARCH) se encuenran específicamene diseñados para modelar y pronosicar varianzas condicionales. Engle (198) señala que la experiencia lleva a conrasar periodos de amplia varianza seguidos de periodos de varianza más pequeña, por lo que un modelo que inene predecir los valores de dicha varianza servirá para enregar esimaciones más precisas. De la misma forma, esos modelos son válidos para la compra y vena de acivos financieros, pues la decisión puede ser omada en base a información proveniene del pasado (renabilidad, 8

5 REVISTA INTERNACIONAL ADMINISTRACION & FINANZAS VOLUMEN 7 NUMERO volailidad), lo que moiva y jusifica la modelación de la heerocedasicidad condicional auorregresiva (De Arce, 1998). Los modelos GARCH (Generalized ARCH) fueron inicialmene planeados por Bollerslev (1986). En esos modelos es necesario hacer dos especificaciones, una para los rendimienos y ora para la varianza condicional. El modelo básico GARCH (1,1), cuena con un érmino ARCH y un érmino GARCH ambos de primer orden, el cual iene la siguiene especificación: y = ' γ + ε (8) σ x ' = ω + α ε 1 + β σ 1 La ecuación (8) asociada a la ecuación de los rendimienos puede ser expresada como una combinación lineal de variables exógenas ( σ ) de un periodo es pronosicada a parir de información pasada, se conoce a esa varianza con el ' x y sus parámeros γ, más un érmino de error ( ε ). Dado que la varianza nombre de varianza condicional, la cual se encuenra expresada en la ecuación (9), donde los érminos son: ω : Media, valor de iniciación en orno al cual se producirán cieras variaciones. Se eniende ambién como el valor a largo plazo sobre el cual se generan las expecaivas y que es modificado de acuerdo a los que se encuenran a coninuación. ε 1 : Noicias sobre volailidad del periodo pasado, medido como el residuo al cuadrado de la ecuación de los rendimienos con un rezago, lo que se conoce como el érmino ARCH. σ 1 : Predicción de la varianza en el úlimo periodo hisórico, conocido como el érmino GARCH. En ese arículo se esimará la volailidad condicional de los rendimienos asociados al ipo de cambio $/USD usando el modelo Garch (1,1), el cual se uilizará como base de los pronósicos de volailidad fuura. Simulación Monecarlo La Simulación Monecarlo es un méodo que combina concepos esadísicos (muesreo aleaorio) con la capacidad que ienen los compuadores para generar números aleaorios y permiir la auomaización de cálculos. Esa écnica se basa en el hecho que un valor esperado se obiene a parir del valor medio obenido en eoría, al realizar una ala canidad de pruebas aleaorias. Al aplicar simulación de Monecarlo para obener el valor de una opción, se pare consruyendo la rayecoria esperada de los pagos del acivo subyacene bajo la suposición de la neuralidad al riesgo. Luego, los pagos se descuenan a la asa libre de riesgo. Si se oma un acivo subyacene S que da un pago al iempo T, considerando que la asa de inerés es consane, se puede derivar su valor a ravés de los siguienes pasos: 1. Deerminar una rayecoria aleaoria para el precio del subyacene S en un mundo neural al riesgo.. Se calcula el pago del derivado. 3. Repeir los pasos 1 y hasa obener una muesra aleaoria lo suficienemene grande. 4. Calcular la media de los pagos obenidos para esimar el valor esperado de los pagos bajo un mundo neural al riesgo. (9) 9

6 E. Sandoval & P. Urruia RIAF Vol. 7 No Desconar el valor esperado a la asa libre de riesgo para obener un valor esimado del derivado. Supóngase que el proceso de un acivo subyacene es: ds = μ Sd + σsd (10) donde: dz μ σ ds S d : Es un proceso de Wiener (ε ). : Es el reorno esperado en un mundo neural al riesgo. Corresponde a la diferencia de asas de inerés sin riesgo domésica y exranjera en el caso del dólar americano. : Es la volailidad de los rendimienos asociados al dólar americano. : Es la variación del ipo de cambio spo. : Es el precio spo. : Es la variación en el iempo. Para simular la rayecoria seguida por S, se puede dividir la vida del derivado en N inervalos de longiud y aproximar la ecuación como: S( + ) S() = μ S() + σs()ε (11) donde: S() : Es el valor de S en el iempo. ε : Es una muesra aleaoria proveniene de una disribución normal esandarizada N~(0,1). Lo anerior permie obener el valor S al iempo a parir del valor inicial de S, el valor de S al iempo puede ser calculado a parir del valor de S al iempo. Por oro lado, el Lema de Io señala que si x sigue un proceso Io de difusión, su dinámica viene dada por: dx = a(x, )d + b(x, )dz (1) Supóngase que G = G (x, ) sigue un proceso de difusión cuya diferencial esocásica viene dada por: dg = ( G x) a + G + 1 ( G/ x )b d + [ G/ x]bdz (13) Pariendo del hecho que: ds = μ Sd + σsdz (14) 30

7 REVISTA INTERNACIONAL ADMINISTRACION & FINANZAS VOLUMEN 7 NUMERO Se puede definir la función G = ln(s), la cual sigue un movimieno Browniano ariméico en iempo coninuo. Como G = G(S, ), se iene: G = 0 ; G S = 1 S ; ( G/ S ) = 1 S (15) Luego, resolviendo por medio del Lema de Io, se iene: d G = 1 μ S + 1 S σ S 1 S d + [σs/s]dz (16) En la prácica es usualmene más preciso simular ln S en vez de S, por lo ano resolviendo por medio del Lema de Io, la diferencial esocásica iene como resulado: dln S = (μ σ )d + σdz (17) ln S( + ) ln S() = (μ σ ) + σε (18) Lo que es equivalene a: S( + ) = S()exp (μ σ ) + σε (19) La cual es la ecuación uilizada para consruir la rayecoria de S. La venaja de rabajar con lns, es que ése sigue un proceso Wiener generalizado, lo que implica que esa expresión se hace verdadera para odo insane de iempo T. lns(t) lns (0) = (μ σ )T + σε T (0) Equivalenemene, S(T) = S(0)exp (μ σ ) + σε (1) Esa expresión puede ser uilizada para la valoración de derivados que enregan una función de pago no esándar al iempo T. En ese arículo es uilizada para comprobar si la valuación de las opciones conempladas en la esraegia Collar coso cero convergen en promedio a la valuación de dichas opciones según la fórmula de Black-Scholes. Se espera que los resulados bajo ambos méodos de valuación no presenen diferencias esadísicamene significaivas. Daos La serie mensual de ipo de cambio peso chileno/dólar americano ($/USD) desde enero del año 000 a diciembre del año 01 publicada por el Banco Cenral de Chile ( es uilizada como base para fines de modelar y pronosicar la volailidad condicional asociada a los rendimienos del dólar americano. Para lo anerior se consideró el periodo desde febrero de 000 a diciembre de 008 como periodo para modelar la volailidad condicional a ravés de un modelo Garch (1,1) lo que una vez realizado permie crear un pronósico de volailidad condicional de largo plazo para el periodo de evaluación de la esraegia Collar coso cero que va desde enero de 009 a diciembre de 01. De esa manera, se consideraron 9 años de hisoria para modelar y 4 años para evaluar en base al pronósico de volailidad condicional de largo plazo generada a ravés de la especificación Garch (1,1). Como 31

8 E. Sandoval & P. Urruia RIAF Vol. 7 No aproximación de la asa sin riesgo domésica se uilizó la asa anualizada de los pagarés desconables del Banco Cenral de Chile ( mienras que para la asa sin riesgo exranjera se usó la asa anual de los bonos del Tesoro de Esados Unidos (T-Bills) ( En ambos casos se consideraron los insrumenos con vencimieno mensual o más próximo compaibles con el vencimieno de las opciones europeas implícias en la esraegia Collar coso cero desarrollada en ese arículo. RESULTADOS El modelo Garch (1,1) que se implemenó para esimar la volailidad condicional asociada a los rendimienos mensuales coninuos del dólar americano fue: y = c( 1) + c() AR(1) + ε () ' = c( 3) + c(4) ε 1 + c(5) σ 1 σ (3) donde y = ln (S /S -1 ) corresponde a los rendimienos mensuales coninuos del dólar americano a parir del ipo de cambio spo observado en y en -1 respecivamene, considerando el periodo que va desde enero de 000 a diciembre de 008. Así los rendimienos se esimaron desde febrero de 000 a diciembre de 008. Se incorporó un érmino auorregresivo de primer orden en la ecuación () de los rendimienos del dólar americano a objeo de conrolar la presencia de auocorrelación de primer orden deecada en la serie original y garanizar así que el érmino de error fuese aleaorio. Se realizaron pruebas a los residuos del modelo [ecuaciones () y (3)] mosrando un comporamieno normal (es de Jarque-Bera = 1.0 valor p = 0.6), sin presencia de procesos auorregresivos de mayor orden (es Ljung Box-Qsa = valor p = 0.78) y homocedásicos (es de Ljung Box-Qsa = 9.14 valor p = 0.746) en base a 36 rezagos. Los resulados de la esimación de las ecuaciones () y (3) para el periodo febrero de 000 a diciembre de 008 son: y = AR(1) + ε σ ' = ε σ 1 Con las esimaciones aneriores la volailidad (varianza) mensual condicional de largo plazo (VCLP) puede ser esimada como: VCLP = C(3)/[1-C(4)-C(5)] = /( ) = Para converir la varianza mensual en desviación esándar mensual obenemos la raíz cuadrada del valor anerior = / = Luego para converir la desviación esándar mensual (DEM) a desviación esándar anual (DEA) se aplica la siguiene relación, donde T represena el iempo, en ese caso un mes expresado en años: DEA = DEM/(T) 1/ = /(1/1) 1/ = = 10.88% anual La esimación anerior de 10.88% corresponde a la volailidad esponánea anualizada que será usada en los modelos (SMC y Black-Scholes) de valuación de opciones incorporadas en la esraegia Collar coso cero. Las Figuras 1, y 3 comparan la valuación de la opción de vena realizada por medio del modelo Black-Scholes y SMC, respecivamene, bajo res diferenes escenarios que incluyen 100, 400 y 5000 caminos aleaorios. Para examinar la convergencia en la valuación de la opción enre SMC y Black- Scholes se aplicó un es para comparar los valores promedios. Para efecos de valuación se consideró un 3

9 REVISTA INTERNACIONAL ADMINISTRACION & FINANZAS VOLUMEN 7 NUMERO precio de ejercicio K 0 = $649.3/USD igual al precio spo observado a fines de diciembre de 008, una asa anual sin riesgo compuesa coninuamene del 8.038% y del 0.03% para Chile y Esados Unidos, respecivamene, observadas en igual fecha, un periodo de vencimieno para la opción de un mes y una volailidad del 10.88% esimada a ravés del modelo Garch (1,1). Se usaron 40 muesras de SMC para la valuación de la opción con respeco al ipo de cambio al sensibilizar el valor de ese úlimo en $1 hasa que alcance los $610.3/USD. De acuerdo a Griffihs e al. (1993) para aplicar una prueba, no exise un amaño muesral predeerminado para que una disribución muesral sea una razonable aproximación. En algunos casos puede ser 30 o bien en oros más de 30. En ese caso usamos 40. Como se puede observar en las respecivas figuras, la valuación de la opción de vena realizada a ravés de las SMC iende a converger a la valuación de solución cerrada de Black-Scholes [ecuación (5)] en la medida que el número de caminos aleaorios se incremena. Para confirmar lo anerior, se probó la siguiene hipóesis. H 0 = El promedio de valuación de la opción de vena realizada por SMC = promedio de valuación de la opción de vena realizada por solución cerrada a ravés del modelo de Black-Scholes, versus H 1 = El promedio de valuación de la opción de vena realizada por SMC promedio de valuación de la opción de vena realizada por solución cerrada a ravés del modelo de Black-Scholes. La hipóesis nula es rechazada si el esadísico es más alo que el correspondiene valor críico de 1.96 bajo un inervalo de 95% de confianza esadísica. La Tabla 1 presena los resulados. Esa muesra en primer lugar que la desviación esándar de la valuación de la opción de vena realizada por SMC disminuye desde 9.1 a 8.84 con el aumeno en el número de caminos aleaorios implemenado en las simulaciones generando así un menor error esándar. En segundo lugar, se encuenra que odos los esadísicos son menores al valor críico de 1.96 sugiriendo que no exisen diferencias esadísicamene significaivas en los promedios, no siendo así posible rechazar la hipóesis nula. Además se encuenra que el valor p incremena desde 0.5 a 0.68 con el número de caminos aleaorios implemenados en las SMC. El valor p más alo indica que la probabilidad de comeer un error del ipo disminuye. Eso es cuando la hipóesis alernaiva es falsa y ésa no es rechazada. En oras palabras, mienras más simulaciones sean realizadas, más precisa será la hipóesis nula que indica que el promedio de valuación de la opción de vena realizada por SMC es igual al promedio de valuación de la opción de vena realizada por solución cerrada a ravés del modelo de Black-Scholes. Figura 1: Precio de la opción de vena europea frene a cambios (disminuciones) en el precio spo del dólar americano ($/USD). Valuación de Black-Scholes versus Simulaciones de Mone Carlo. Número de caminos aleaorios para el subyacene m = 100. Figura 1:Número de Caminos Aleaorios = 100 Valuación Opción de Vena Tipo de Cambio $/USD Valuación Black Scholes Valuación SMC Figura 1 muesra la valuación de la opción de vena europea frene a cambios (disminuciones) en el precio del dólar americano ($/USD). Modelo de Black-Scholes versus Simulaciones de Mone Carlo (SMC). Línea sin quiebres Black-Scholes, línea con quiebres (SMC). Número de caminos aleaorios para el subyacene m =

10 E. Sandoval & P. Urruia RIAF Vol. 7 No Figura : Precio de la opción de vena europea frene a cambios (disminuciones) en el precio spo del dólar americano ($/USD). Valuación de Black-Scholes versus Simulaciones de Mone Carlo. Número de caminos aleaorios para el subyacene m = 400 Valuación Opción de Vena Tipo de Cambio $/USD Valuación Black Scholes Valuación SMC Figura muesra la valuación de la opción de vena europea frene mbios (disminuciones) en el precio del dólar americano ($/USD). Modelo de Black-Scholes versus Simulaciones de Mone Carlo (SMC). Línea sin quiebres Black-Scholes, línea con quiebres (SMC). Número de caminos aleaorios para el subyacene m = 400. Figura 3: Precio de la opción de vena europea frene a cambios (disminuciones) en el precio spo del dólar americano ($/USD). Valuación de Black-Scholes versus Simulaciones de Mone Carlo. Número de caminos aleaorios para el subyacene m = 5000 Valuación Opción de Vena Tipo de Cambio $/USD Valuación Black Scholes Valuación SMC Figura 3 muesra la valuación de la opción de vena europea frene a cambios (disminuciones) en el precio del dólar americano ($/USD). Modelo de Black-Scholes versus Simulaciones de Mone Carlo (SMC). Línea sin quiebres Black-Scholes, línea con quiebres (SMC). Número de caminos aleaorios para el subyacene m = Por ora pare, y a objeo de complear el análisis para la esraegia Collar coso cero, las Figuras 4, 5 y 6 comparan la valuación de la opción de compra europea realizada por medio del modelo Black-Scholes y SMC, respecivamene, bajo los mismos res diferenes escenarios analizados para la opción de vena, los cuales incluyen 100, 400 y 5000 caminos aleaorios. Para examinar la convergencia en la valuación de esa opción enre SMC y Black-Scholes se aplicó el mismo es aplicado a la opción de vena para comparar los valores promedios. Para efecos de valuación se consideró un precio de ejercicio K 1 = $658.15/USD, una asa anual sin riesgo compuesa coninuamene del 8.038% y del 0.03% para Chile y Esados Unidos, respecivamene, observadas a fines de Diciembre de 008, un periodo de vencimieno para la opción de un mes y una volailidad del 10.88% esimada a ravés del modelo Garch (1,1). El precio de ejercicio K 1 anerior permie igualar el valor de la opción de vena con el valor de la opción de 34

11 REVISTA INTERNACIONAL ADMINISTRACION & FINANZAS VOLUMEN 7 NUMERO compra, bajo la valuación de Black-Scholes (con un precio spo para el dólar americano de $649.3), el cual resula en $6.13 para ambas opciones, generándose así una esraegia Collar coso cero para el mes de enero de 009, el cual corresponde al primer mes del periodo de evaluación. Al igual que el caso anerior se usaron 40 muesras de SMC para la valuación de la opción con respeco al ipo de cambio al sensibilizar el valor de ese úlimo en $1 hasa que alcance los $688.3/USD. Como se puede observar en las respecivas figuras, la valuación de la opción de compra realizada a ravés de las SMC iende a converger a la valuación de solución cerrada de Black-Scholes [ecuación (4)] en la medida que el número de caminos aleaorios se incremena. Para confirmar lo anerior, se probó la siguiene hipóesis. H 0 = El promedio de valuación de la opción de compra realizada por SMC = promedio de valuación de la opción de compra realizada por solución cerrada a ravés del modelo de Black-Scholes, versus H 1 = El promedio de valuación de la opción de compra realizada por SMC promedio de valuación de la opción de compra realizada por solución cerrada a ravés del modelo de Black-Scholes. Resulados similares son obenidos en relación al caso de la opción de vena. La Tabla presena los resulados. Esa muesra en primer érmino que la desviación esándar de la valuación de la opción de compra realizada por SMC disminuye desde 9.31 a 8.84 con el aumeno en el número de caminos aleaorios implemenados en las simulaciones generando así un menor error esándar. En segundo érmino, se encuenra que odos los esadísicos son menores al valor críico de 1.96 sugiriendo que no exisen diferencias esadísicamene significaivas en los promedios, no siendo así posible rechazar la hipóesis nula. Además se encuenra que el valor p incremena desde 0.1 a 0.94 con el número de caminos aleaorios implemenados en las SMC. Así, mienras más simulaciones sean realizadas, más precisa será la hipóesis nula que indica que el promedio de valuación de la opción de compra realizada por SMC es igual al promedio de valuación de la opción de compra realizada por solución cerrada a ravés del modelo de Black-Scholes. Figura 4: Precio de la Opción de Compra Europea Frene a Cambios (Aumenos) en el Precio Spo del Dólar Americano ($/USD). Valuación de Black-Scholes Versus Simulaciones de Mone Carlo. Número de Caminos Aleaorios Para el Subyacene M = 100 Valuación Opción de Compra Tipo de Cambio $/USD Valuación Black Scholes Valuación SMC Figura 4 muesra la valuación de la opción de vena europea frene a cambios (aumenos) en el precio del dólar americano ($/USD). Modelo de Black-Scholes versus Simulaciones de Mone Carlo (SMC). Línea sin quiebres Black-Scholes, línea con quiebres (SMC). Número de caminos aleaorios para el subyacene m =

12 E. Sandoval & P. Urruia RIAF Vol. 7 No Figura 5: Precio de la Opción de Compra Europea Frene a Cambios (Aumenos) en el Precio Spo del Dólar Americano ($/USD). Valuación de Black-Scholes Versus Simulaciones de Mone Carlo. Número de Caminos Aleaorios Para el Subyacene M = 400 Valuación Opción de Compra Tipo de Cambio $/USD Valuación Black Scholes Valuación SMC Figura 5 muesra la valuación de la opción de vena europea frene a cambios (aumenos) en el precio del dólar americano ($/USD). Modelo de Black-Scholes versus Simulaciones de Mone Carlo (SMC). Línea sin quiebres Black-Scholes, línea con quiebres (SMC). Número de caminos aleaorios para el subyacene m = 400. Figura 6: Precio de la Opción de Compra Europea Frene a Cambios (Aumenos) en el Precio Spo del Dólar Americano ($/USD). Valuación de Black-Scholes Versus Simulaciones de Mone Carlo. Número de Caminos Aleaorios Para el Subyacene M = 5000 Valuación Opción de Compra Tipo de Cambio $/USD Valuación Black Scholes Valuación SMC Figura 6 muesra la valuación de la opción de vena europea frene a cambios (aumenos) en el precio del dólar americano ($/USD). Modelo de Black-Scholes versus Simulaciones de Mone Carlo (SMC). Línea sin quiebres Black-Scholes, línea con quiebres (SMC). Número de caminos aleaorios para el subyacene m = Tabla 1: Prueba T de Convergencia en la Valuación Promedio de la Opción de Vena Europea. SM Versus Black-Scholes (Número de Muesras = 40) Caso 1 (m=100) Caso (m=400) Caso 3 (m=5000) Desviación esándar en la valuación de la opción realizada a ravés de SMC Promedio de las diferencias en valuación realizadas enre SMC y Black-Scholes Varianza de las diferencias en valuación realizadas enre SMC y Black-Scholes Número de muesras Esadísico /valor p / / /0.68 Prueba de hipóesis No se rechaza H 0 No se rechaza H 0 No se rechaza H 0 La Tabla 1: indica que a medida que aumena el número de caminos aleaorios en las simulaciones se produce una convergencia más significaiva en la valuación de la opción de vena europea enre SMC y el modelo de Black-Scholes. 36

13 REVISTA INTERNACIONAL ADMINISTRACION & FINANZAS VOLUMEN 7 NUMERO Tabla : Prueba T de Convergencia en la Valuación Promedio de la Opción de Compra Europea. SMC Versus Black-Scholes (Número de Muesras = 40) Caso 1 (m=100) Caso (m=400) Caso 3 (m=5000) Desviación esándar en la valuación de la opción realizada a ravés de SMC Promedio de las diferencias en valuación realizadas enre SMC y Black-Scholes Varianza de las diferencias en valuación realizadas enre SMC y Black-Scholes Número de muesras Esadísico /valor p 1.790/ / /0.94 Prueba de hipóesis No se rechaza H 0 No se rechaza H 0 No se rechaza H 0 La Tabla indica que a medida que aumena el número de caminos aleaorios en las simulaciones se produce una convergencia más significaiva en la valuación de la opción de compra europea enre SMC y el modelo de Black-Scholes. Los resulados reporados en Tablas 1 y permien concluir que la valuación de la esraegia Collar coso cero seguida por un exporador chileno converge al mismo precio ya sea usando el modelo de Black- Scholes versus la écnica de Mone Carlo cuando el número de caminos aleaorios aumena en las simulaciones implemenadas. A coninuación se uilizará el modelo de Black-Scholes para evaluar los resulados de la esraegia asumiendo que el exporador busca coberura mensual para los reornos de exporación en dólares americanos. La Tabla 3 repora los resulados. En la evaluación se asume que a fin de cada mes (desde diciembre de 008 a diciembre de 01) el exporador compra una opción de vena europea con precio de ejercicio K 0 igual al precio spo observado para el dólar americano en ese momeno, con fecha de vencimieno de un mes y vende simuláneamene una opción de compra europea con precio de ejercicio K 1 sobre el mismo subyacene e igual fecha de vencimieno. Para valuar ambas opciones se uilizó la valuación de Black-Scholes [ecuaciones (5) y (4)], asumiendo una volailidad de 10.88% anual y las respecivas asas sin riesgo anuales compuesas coninuamene a parir de las reporadas mensualmene para Chile y Esados Unidos. K 1 se esimó como aquel precio de ejercicio que permie igualar el precio de la opción de vena con el precio de la opción de compra dados los demás facores que deerminan el precio de las opciones, eso es: K 0, las asas sin riesgo, el iempo de maduración de las opciones y la volailidad. De esa forma, el coso de la esraegia es cero. La primera columna de la Tabla 3 muesra el periodo de evaluación de la esraegia Collar coso cero, la segunda indica el precio spo del dólar americano de fin de mes, expresado en $/USD, la ercera señala el precio de ejercicio K 0 ($/USD), la cuara muesra el precio de ejercicio K 1 ($/USD), la quina y la sexa columnas muesran el precio de la opciones de vena y de compra europeas, respecivamene. Ese se obiene aplicando las ecuaciones (5) y (4) donde se han dado valores a; el iempo de maduración de las opciones (1 mes), las asas de inerés sin riesgo observadas a fin de cada mes para Chile y Esados Unidos, la volailidad anual del 10.88% proyecada como la de largo plazo a parir del modelo Garch (1,1), K 0 y K 1. La sépima columna señala el coso de la esraegia. La ocava columna indica el resulado de la esraegia Collar coso cero para el exporador chileno que busca coberura mensual. Ese resulado se obiene de la siguiene manera: A fin de diciembre de 008 se asume que el exporador compra una opción de vena desembolsando $6.13 y vende una opción de compra recibiendo $6.13, por ano con un coso neo de cero para la esraegia. Ambas opciones las suscribe sobre un dólar americano con precio de ejercicio de $649.3/USD y $658.1/USD, respecivamene, y una fecha de vencimieno de un mes. Transcurrido el mes de enero de 009, se evalúan los resulados de la esraegia. A fin de enero se observa un ipo de cambio de $63/USD, como ese es menor a K 0 = $649.3/USD, el exporador ejerce la opción de vena obeniendo un resulado posiivo de $6.3/USD. Para el reso de los meses se sigue la misma lógica anerior. Nóese que en algunos meses se puede obener ganancias, en oros pérdidas o bien hay meses en que las opciones no se ejercen. 37

14 E. Sandoval & P. Urruia RIAF Vol. 7 No Tabla 3: Resulado Esraegia Collar Coso Cero Para Exporador Chileno Que Busca Coberura Mensual Para el Dólar Americano. Periodo Evaluación Desde Enero de 009 Hasa Diciembre De 01 So Ko K 1 BS Pe(Ko) BS Ce(K 1) Collar Coso cero Resulado Esraegia Mes/año $/USD $/USD $/USD $ $ $ $/USD Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oc Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oc Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oc Tabla 3. Coninuación Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oc Nov Dec La Tabla 3 muesra que los resulados acumulados desde enero de 009 a diciembre de 01 indican una ganancia nea de $13.8, la que dividida en los 48 meses que abarca el periodo de evaluación genera una ganancia promedio mensual de $4.45/USD. La suma de la ocava columna de la Tabla 3 muesra que los resulados acumulados desde enero de 009 a diciembre de 01 generan una ganancia nea de $13.8, la que dividida en los 48 meses que abarca el periodo de evaluación, deermina una ganancia promedio mensual de $4.45/USD. Lo anerior evidencia los beneficios que el exporador chileno podría capurar a ravés de una esraegia de coberura con opciones sin coso neo acual, la cual se explica principalmene por el resulado de la apreciación del peso chileno en relación al dólar americano, la cual es difícil de anicipar oporunamene por los agenes económicos y que conlleva al exporador a ejercer relaivamene más veces la opción de vena (30 veces) que a su conrapare la opción de compra (13 veces), generándole beneficios neos de seguir la esraegia Collar coso cero. 38

15 REVISTA INTERNACIONAL ADMINISTRACION & FINANZAS VOLUMEN 7 NUMERO CONCLUSIONES El fuere crecimieno de las exporaciones chilenas hace que sea relevane la búsqueda de mecanismos de coberura de riesgo cambiario para quienes se dedican a ese negocio. Uno de los mecanismos posibles y disponibles a ravés del sisema financiero (over he couner) en muchos países del mundo es la esraegia llamada Collar coso cero. En ese ipo de esraegia, se iene que el exporador paga y cobra una prima simuláneamene, paga como consecuencia de la compra de la opción de vena a ipo de cambio piso K 0 y cobra como consecuencia de la vena de la opción de compra a ipo de cambio echo K 1, por lo que puede darse el caso de que el coso de la combinación de ambas opciones sea cero. Diferenes venajas se han asociado a ese ipo de esraegia. Primero, la coberura no posee un coso inicial. Segundo, el exporador fija un ipo de cambio mínimo para realizar la operación, que le permie cubrirse ane la caída del ipo de cambio. Tercero, es más flexible que un forward de ipo de cambio único. Cuaro, al ser una alernaiva OTC (over he couner), el Collar se adecua perfecamene a las necesidades de los clienes en cuano a monos, plazos, precios de ejercicio, enre oros. Por ora pare, la principal desvenaja consise en el echo fijado para el exporador que no le permiirá aprovechar la oalidad de los beneficios que enrega el mercado si el ipo de cambio sobrepasa el ipo de cambio echo K 1. Dados que los poenciales beneficios de esa esraegia pueden superar a sus cosos, ese arículo se concenra en valuar las opciones europeas sobre el dólar americano conempladas en la esraegia Collar coso cero bajo dos méodos alernaivos: SMC y Black-Scholes, para luego probar si exise convergencia en sus respecivas valuaciones en la medida que el número de caminos aleaorios en las SMC aumena. El arículo coninúa evaluando el desempeño de la esraegia, simulando a un exporador chileno que busque coberura mensual frene al riesgo cambiario en el periodo 009 a 01. Los resulados reporados permien concluir por una pare que la valuación de la esraegia Collar coso cero seguida por un exporador chileno converge al mismo precio ya sea usando el modelo de Black-Scholes o bien la écnica de Mone Carlo cuando el número de caminos aleaorios aumena en las simulaciones implemenadas. En érminos esadísicos, no exisen diferencias esadísicamene significaivas en ambas valuaciones siendo ésas cada vez menos relevanes en la medida que efecivamene el número de caminos aleaorios para el subyacene (dólar americano) aumena en las simulaciones. Por ora pare, al evaluar los resulados de la esraegia Collar coso cero desde enero de 009 a diciembre de 01, ésos permien cuanificar una ganancia nea de $13.8, la que dividida en los 48 meses que abarca el periodo de evaluación genera una ganancia promedio mensual de $4.45/USD. Lo anerior evidencia los beneficios que el exporador chileno podría capurar a ravés de una esraegia de coberura con opciones sin coso neo acual, la cual se explica principalmene por el resulado de la apreciación del peso chileno en relación al dólar americano, la que es difícil de anicipar oporunamene por los agenes económicos y que conlleva al exporador a ejercer relaivamene más veces la opción de vena (30 veces) que a su conrapare la opción de compra (13 veces), generándole beneficios neos de seguir la esraegia Collar coso cero. Finalmene, se recomienda como fuura línea de invesigación la valuación de las opciones implícias en la esraegia Collar coso cero en oros conexos de países emergenes, que exhiban un fuere crecimieno en su secor exporador, a objeo de evaluar su desempeño y así esablecer comparaciones inernacionales que conribuyan a la generalización de los resulados enconrados en ese arículo. REFERENCIAS Barraquand, J y D. Marineau (1995), Numerical Valuaion of High Dimensional Mulivariae American Securiies, Journal of Financial and Quaniaive Analysis 30: Bollerslev, T. (1986), Generalized Auoregressive Condiional Heerocedasiciy, Journal of Economerics 31: 307:37. 39

16 E. Sandoval & P. Urruia RIAF Vol. 7 No Boyle e al., (1977), Mone Carlo Mehods for Securiy Pricing, Journal of Economic Dynamics and Conrol 1: Carriere, J. (1996), Valuaion of he Early-Exercise Price for Opions using Simulaions and Nonparameric Regression, Insurance: Mahemaics and Economics 19: Casas, M. y E, Cepeda (008), Modelos ARCH, GARCH y EGARCH: Aplicaciones a series, Cuadernos de Economía 48: De Arce, R. (1998), Inroducción a los Modelos Auorregresivos con Heerocedasicidad Condicional. España. Insiuo de Predicción Económica Lawrence R. Klein. Engle, R. (198), Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy wih he Esimaes of he Variance of he Unied Kingdom Inflaion, Economerica 50: 987:1008. Griffihs e al., (1993), Learning and Pracicing Economerics. John Wiley and Sons, Inc. Chaper 14. Hull, J. (01), Opions, Fuures and oher Derivaives. Eigh Ediion. Prenice Hall. Chaper 0. Hull, J. y A. Whie (1987), The Pricing of Opions on Asses wih Sochasic Volailiies, Journal of Finance 4: Lamohe, P. (1993), Opciones Financieras. Un Enfoque Fundamenal. McGraw-Hill. Longsaff, F. y E, Schwarz (001), Valuing American Opions by Simulaion: A Simple Leas-Squares Approach, The Review of Financial Sudies 14: Schwarz, E y W. Torous (1989), Prepaymen and Valuaion of Morgaged-Backed Securiies, Journal of Finance 44, Tsisiklis, J.N. y B.Van Roy (1999), Opimal Sopping for Markov Processes: Hilber Space Theory, Approximaion Algorihm and an Applicaion o Pricing High-Dimensional Financial Derivaives, IEEE Transacion on Auomaic Conrol 44: BIOGRAFÍA Dr. Eduardo E. Sandoval es profesor asociado en: Faculad de Ingeniería, Deparameno de Ingeniería Indusrial, Universidad de Concepción. Edmundo Larenas 15, Cuaro Piso, Concepción Chile, y puede ser conacado en correo elecónico: eduardosandoval@udec.cl Magíser Sra. Paula L. Urruia se desempeña como Analisa de Finanzas en Mero S.A y puede ser conacada en correo elecrónico: paula.urruia.rivera@gmail.com 40