INICIACIÓN ALGEBRA ECUACIONES I

Transcripción

1 Prfesra: Char Ferreira INICIACIÓN ALGEBRA Algebra es la parte de las matemáticas que relacina y aplica peracines aritméticas sbre expresines algebraicas Expresión algebraica: Expresión cnstituida pr un númer enter (sign + que antecede a un númer), y una varias letras. Esta expresión algebraica mínima, frmada pr un númer enter y/ una varias letras, recibe el nmbre de términ. Partes de un términ: El númer enter (numer cn su sign) recibe el nmbre de ceficiente, y la las letras reciben el nmbre de parte literal. Una expresión algebraica puede estar frmada pr un varis términs. Grad de un términ: Suma de ls expnentes de las partes literales, incluids ls que n tienen expnente ya que en este cas el expnente si existe y es 1. Ejempl: 3x 2 yz 3 : grad 2+1+3=6 Ls términs que tienen EXACTAMENTE la misma parte literal se denminan términs semejantes. Se debe tener en cuenta para este análisis, la prpiedad cnmutativa de la multiplicación dentr del términ y la definición de ptencia si existieran dentr del términ. REGLAS BÁSICAS DE NOMENCLATURA EN ÁLGEBRA: En un términ, se escribirá siempre primer (a la izquierda), el ceficiente, seguid de la parte literal. La parte literal se escribirá, preferentemente, pr rden alfabétic dentr de un términ Cuand un ceficiente n lleva sign delante del númer es psitiv, Ejempl: 7ab =+7ab El ceficiente 1 n se escribe, per sí el sign + Ejempl: n se escribe +1x, sin x y n se escribe 1x, sin x. Ls númers y las letras y las letras entre sí escritas juntas y sin ningún sign intermedi, indican que EXISTE UNA MULTIPLICACIÓN: Ejempl: 3x 2 yz 3 : 3 pr x elevad al cuadrad pr y pr z elevad al cub. Las letras (parte literal), en un mism términ, están unidas pr multiplicacines y pr l tant cumplen la prpiedad cnmutativa, es decir el rden de las mismas n altera el resultad, pr l tant a pesar del rden serán términs semejantes. Ejempl: 3abc=3cba=3cab=3bac=3bca El significad de la ptencia de una letra es el mism que el de un númer, es decir la multiplicación de la base pr sí misma tantas veces cm indique el expnente. Es decir x 3 = x pr x pr x (tres veces). Pr l tant, n es l mism (x 2 y=x pr x pr y) que (xy 2 =x pr y pr y). Aunque si debems tener en cuenta que (x 2 y es l mism que yx 2 ), ya que en este cas las ptencias de cada letra sn las mismas, y aplicams la prpiedad cnmutativa, explicada anterirmente Al igual que en númers enters n pdrems escribir junts ds signs sin utilizar paréntesis rtgráfics. 1

2 Prfesra: Char Ferreira Las multiplicacines nunca se indicarán cn aspas (x) para evitar la cnfusión cn la letra x. Valr numéric de una expresión algebraica: Es el númer btenid al sustituir las letras de una expresión algebraica, pr valres numérics dads, y realizar las peracines crrespndientes. Ejempl: 3x 2 y cuand x= -1 e y=4. En primer lugar sustituims cada letra pr el valr numéric indicad, perand según las peracines existentes en la expresión, que cm ya sabems sn multiplicacines: Operacines cn expresines algebraicas: SUMA Y RESTA Es IMPRESCINDIBLE QUE TENGAN LA MISMA PARTE LITERAL, es decir que sean TÉRMINOS SEMEJANTES (ver definición términs semejantes) El resultad será tr mnmi CON LA MISMA PARTE LITERAL. El ceficiente será el resultad de perar ls ceficientes cm si fueran númers enters. Ejempl: xy-7xy En primer lugar identificarems si ls términs sn semejantes y pr l tant si pueden perarse. Tienen la misma parte literal, pr l que pueden perarse, siend la parte literal del resultad, la misma, es decir xy, y el ceficiente será el resultad de perar 1 que es el ceficiente del primer términ (ver reglas anterires) y -7 cm númers enters, pr l tant, 1 7 6, es decir, el resultad será -6xy. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN N es necesari que tengan la misma parte literal El términ resultad se btendrá: Sign: Aplicand la regla de ls signs: Ceficiente: Se multiplican dividen ls númers, en función de la peración a realizar Letras: Se multiplican dividen las letras cm si fueran ptencias. Recrdatri: Multiplicación= igual base y se suman ls expnentes División: igual base se restan ls expnentes. Ejempl: (x 4 y 3 ). (x 2 y) = x 6 y 4 x 4 y 3 /x 2 y = x 2 y 2 2

3 Prfesra: Char Ferreira NICIACIÓN Ecuación: Igualdad algebraica, frmada pr ds miembrs, situad cada un a un lad del sign igual. Miembr: Cada una de las expresines algebraicas situadas a cada lad del sign igual en una ecuación. Cada miembr puede estar frmad pr un más términs, cn sin parte literal. Ejempl: Ecuación 2x Primer miembr: 2x 7, frmad pr ds términs: 2x y -7, el ultim sin parte literal. Segund miembr: 4x, frmad también pr ds términs, 4x y +5. Incógnita: Parte literal de una ecuación de valr descncid. Generalmente representada pr las letras, x, y ó z. Slución de una ecuación: Valr numéric de la incógnita que verifica, hace cierta la igualdad. Ejempl: En la ecuación anterir, 2x, el valr x= -6 hace cierta la igualdad. Cmprbémsl sustituyend la incógnita pr el valr de -6, y calculand el valr numéric de cada miembr, debiend btener una identidad, si la slución es crrecta. 2 ( 6) 7 4 ( 6) Más adelante verems cóm averiguar la slución de la ecuación, per antes analicems las prpiedades de las ecuacines que sn las que ns permitirán averiguar la slución numérica de una ecuación. PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES I. Primera prpiedad de las ecuacines: Si sumams restams el MISMO TÉRMINO, en AMBOS MIEMBROS de la ecuación, la igualdad n varía Cnsiderems la ecuación anterir, y sumems un términ (cn sin parte literal), elegid pr nstrs libremente y sumémsl a ambs miembrs, pr ejempl 6x: 2x 2x 7 6x 4x 6x Recrdems que l que hagams en un miembr debems hacerl del mism md en el tr, en este cas sumar 6x. Simplifiquems la expresión perand términs semejantes 7 10x La ecuación así btenida es una ECUACIÓN EQUIVALENTE. Obtengams ahra tra ecuación equivalente a esta última y pr la tant también a la inicial 2x, restand un términ, en este cas, sin parte literal, pr ejempl -4: x 4 Simplificams la expresión, bteniend: 11 10x 1 Es decir, hems btenid tra ecuación EQUIVALENTE a las ds anterires, y pr l tant cn la misma slución. 3

4 Prfesra: Char Ferreira II. Segunda prpiedad de las ecuacines: Si multiplicams dividims ls DOS MIEMBROS, de la ecuación pr, entre un númer, la igualdad n varía Ejempl: Apliquems ahra esta prpiedad multiplicand dividiend pr un númer, enter fraccinari, per hems de hacer l mism simultáneamente en ls ambs miembrs de la ecuación para que la igualdad n varíe. Multipliquems ambs miembrs pr un númer cualquiera, pr ejempl -3: 3 ( 6) 3 (10x 4) Recrdems que hems de multiplicar TODO EL MIEMBRO, pr l que hems de aplicar la prpiedad distributiva, y perar cn much cuidad, signs y númers: 24x 18 30x De este md btenems una ecuación equivalente a la anterir. Del mism md pdríams dividir la ecuación anterir entre un númer, pr ejempl: -6 24x 18 30x 6 6 Operems cada miembr, cn cuidad de n equivcarns: 4x 3 x 2 Obteniend así tra ecuación equivalente. Llegads aquí y sabiend aplicar las prpiedades anterires, estams en dispsición de pder calcular la slución de una ecuación. Veams el prcedimient: 1) Aplicand la primera prpiedad de las ecuacines, hems de cnseguir agrupar tds ls términs cn incógnita en un de ls miembrs de la ecuación y ls que n tienen parte literal en el tr. Veams cóm: Cnsiderems la ecuación: 7 10x Elijams un de ls miembrs para agrupar ls términs cn incógnita, pr ejempl el primer miembr, es decir el de la izquierda. Para ell he de eliminar el términ 10x del segund miembr, y cm he dich antes aplicand la primera prpiedad de las ecuacines Cóm?, fácil, restand -10x en ambs miembrs para eliminarl del segund miembr. Hagámsl: 7 10x 10x 10x Hems añadid -10x en ls ds miembrs pr l que la igualdad n varía. Simplifiquems la expresión, perand términs semejantes: 7 2x 5 Bien, ya tenems ls términs cn incógnita en un miembr, per ls términs sin parte literal deberían estar en el tr miembr, es decir me mlesta, el -7 del primer miembr Cóm eliminarl? Sumems +7 en ambs miembrs aplicand de nuev la primera prpiedad de las ecuacines y la igualdad n variará: 7 2x Simplifiquems de nuev la expresión, bteniend: 2x 4

5 Prfesra: Char Ferreira 2) Llegads aquí, btendrems fácilmente la slución de la ecuación aplicand la segunda prpiedad de las ecuacines, es decir, dividiend ambs miembrs entre un númer, que será el ceficiente de la incógnita, en nuestr cas dividirems pr l tant ambs miembrs entre -2: 2x 2 2 Y finalmente, perand, btendrems: x 6 Es decir la slución de la ecuación. Para cmprbar si esta slución es crrecta, bastará cn intrducir el valr numéric en la ecuación riginal, y verificar si la igualdad deriva en una identidad, es decir si ese valr de la incógnita verifica la igualdad. 5