MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS, ADMINISTRATIVAS Y CONTABLES DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS Métodos Cuantitativos IV MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES I. MÁXIMOS Y MÍNIMOS SIN RESTRICCIONES: A. Determinar los extremos relativos de: 1. f (x, y )=x 2 +xy+ y 2 3 x+2 2. g(x, y)=x 2 6 xy+9 y 2 +3 x h(x, y)=2x 2 2 xy+ y 2 +5 x 3 y 4. u(x, y)=3+2 x+2 y 2 x 2 2xy y 2 5. v(x, y)=x 2 +xy+ y 2 6 x+2 6. w (x, y)=x 3 + x 2 y+x y 7. F( x, y )=4 x+2 y x 2 +xy y 2 8. G(x, y)=xy+x y 9. H (x, y)=1+x 2 y U (x, y)=25+(x y) 4 +( y 1) V (x, y)=x 2 + y x 2 y f (x, y )=xy ln(x 2 + y 2 ) 13. g(x, y)=x e x + y e 2 y B. Obtener las cantidades y precios que maximicen la utilidad, y el monto de la maxima utilidad. x, y son cantidades y p, q los precios de los bienes A y B, respectivamente. C es el costo conjunto. 1. x = 1 p + 2q y = 11 + p 3q C = 4x + y 2. x = 11 2p 2q y = 16 2p 3q C = 3x + y 3. p = 16 x 2 q = 9 y 2 C = x 2 + 3y 2 4. p = 26 x q = 40 4y C = x 2 + 2xy +y 2 5. p = 40 5x q = 30 3y C = x 2 + 2xy + 3y 2 6. p = 28 3x 2 q = 56 y 2 C = 2x 2 + y 2 C. Aplicaciones: 1. Una empresa que fabrica pasta dental produce presentaciones de 100 ml y 150 ml. El costo de esas presentaciones es de 60 centavos y 90 centavos, respectivamente. Las demandas semanales, en miles, para dichas presentaciones son: x = 3 (q p) y y = p 5q, donde x, y son cantidades y p, q los precios de venta. Determine los precios, p y q, que maximizan la utilidad de la empresa.

2 2. Si las funciones de demanda para dos productos son p = 36 3x y q = 40 5y, y la funcion de costo conjunto es c = x2 + 2xy + 3y2, determinar las cantidades y precios que maximicen la utilidad P del monopolista. Evaluar la utilidad empresarial maxima. 3. Suponiendo que la funcion de produccion de una empresa es z = 20 x 2 +10x 2y 2 + 5y y que los precios unitarios de los insumos, x e y, son $2 y $1, respectivamente, y que el precio unitario del bien producido es $5, determinar la utilidad maxima. 4. Suponiendo que la funcion de produccion de una empresa es z = 10 2x 2 +xy y 2 + 5y y que los precios unitarios de los insumos, x e y, son $3 y $3, respectivamente, y que el precio unitario del bien producido es $ 6, determinar la utilidad maxima. 5. Suponiendo que la funcion de produccion de una empresa es z = 4 1/8 (x 5 ) 2 ¼ (y 4 ) 2 y que los precios unitarios de los insumos, x e y, son $8 y $4, respectivamente, y que el precio unitario del bien producido es $ 32, determinar la utilidad maxima. 6. Una empresa produce un bien en competencia perfecta. La función de producción del bien es: 1 1 q=f ( L, K )=8 L 2 4 K su precio de venta es $4 y los precios de los factores capital y trabajo son $8 y $4, respectivamente. Calcular los niveles de capital y trabajo, así como la cantidad producida del bien, que maximizan los beneficios de la empresa. 7. Un monopolista puede clasificar a sus consumidores en dos tipos de mercados distintos, con las siguientes funciones de demanda: Mercado A: x = p Mercado B: y = q, donde p, q son los precios de venta y x, y las cantidades vendidas en cada mercado. Suponga que la función de costo total es: C = 20 x +20 y + 20 Determine cuál ha de ser precio del bien en cada mercado para maximizar el beneficio del monopolista 8. Un monopolista puede clasificar a sus consumidores en dos tipos de mercados distintos, con las siguientes funciones de demanda: Mercado A: x = p Mercado B: y = q, donde p, q son los precios de venta y x, y las cantidades vendidas en cada mercado. Suponga que la función de costo total es: C = 20(x + y) + 20 Determine cuál ha de ser precio del bien en cada mercado para maximizar el beneficio del monopolista 9. Una empresa produce dos tipos de productos, A y B. El costo diario total (en dólares) de producir x unidades de A y y unidades de B está dado por C = 250 4x 7y + 0.2x y 2. Determine el número de unidades de A y B que la empresa debe producir al día para minimizar el costo total. 10. Una empresa produce dos tipos de productos, A y B. El costo diario total (en dólares) de producir x unidades de A y y unidades de B está dado por C = x 15y 0.3 xy + 0.3x y 2. Determine el número de unidades de A y B que la empresa debe producir al día para minimizar el costo total.

3 11. Si x denota la producción de la empresa (en cientos) y y la cantidad gastada (en miles de dólares) en los esfuerzos promocionales de vender el producto, entonces la utilidad de la empresa P (en miles de dólares) está dada por P = 16x + 12y + 2xy x 2 2y 2 7. Qué valores de x y y producirán la utilidad máxima? Cuál es la utilidad máxima? 12. Usando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, la producción semanal total de una empresa está dada por P(L, K) =20K + 32L + 3LK 2L K2 Halle el número de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe utilizar para maximizar su producción. 13. Una empresa utiliza dos tipos de materias primas, X y Y, en su producto. Usando x unidades de X y y unidades de Y, la empresa puede elaborar P unidades del producto, con P = 0.52x y xy x y 2 Si el costo de cada unidad de X es de $5.10 y el de cada unidad de Y es de $1.80 y la empresa puede vender todas las unidades que produce a $15 cada una, qué cantidades de X y Y debería utilizar con el propósito de maximizar sus utilidades? 14. A una compañía le cuesta $2 por unidad elaborar su producto. Si se gastan A dólares mensuales en publicidad, entonces, el número de unidades que se vendera por mes está dado por x=30(1 e A )(22 p) en donde p es el precio de venta. Halle los valores de A y p que maximizarán la utilidad mensual de la empresa y calcule el valor de esta utilidad máxima. 15. El costo total C por serie de producción (en miles de dólares) de cierta industria está dado por C = 3x 2 + 4y 2 5xy + 3x 14y + 20, en donde x denota el número de horas-hombre (en cientos) y y el número de unidades (en miles) del producto elaboradas por serie. Qué valores de x y y darán como resultado el costo total mínimo por serie de producción? II. MÁXIMOS Y MÍNIMOS CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD: Multiplicadores de Lagrange A. Determinar los maximos y minimos de cada funcion dada la restriccion: 1. f (x, y)=3 x 2 +4 y 2 xy sujeto a 2x + y=21 2. f (x, y)=x 2 10 y 2 sujeto a x y=18 3. f (x, y)=12 xy 3 y 2 x 2 sujeto a x+ y=16 4. f (x, y)=5 x 2 +6 y 2 xy sujeto a x+2 y=24 5. f (x. y )=x+ y sujeto a x 2 + y 2 =1 6. f (x, y )=x xy+8 y 2 sujeto a x 2 + y 2 =1 7. F(x, y)=3 x y 6 sujeto a x 2 + y 2 =4 8. f (x, y)=3 xy+4 y 2 sujeto a x 2 + y 2 =10 9. f (x, y )=x 2 + y 2 2 xy sujeto a x 2 + y 2 =50

4 10. P(L, K )=60L 2/3 K 1/ 3 sujeto a 64 K +108 L=2160 B. Aplicaciones: 1. Empleando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades de su producto, con P(L, K) = 50L 2/ 3 K 1/ 3 Le cuesta a la empresa $100 por cada unidad de mano de obra y $300 por cada unidad de capital empleado. La empresa dispone de una suma de $45,000 para propósitos de producción. Determine las unidades de mano de obra y de capital que la empresa debería utilizar con el objetivo de maximizar su producción. 2. Una fabrica produce dos tipos de maquinaria pesada en cantidades x e y. La funcion de costo esta dada por C = x 2 + 2y 2 xy Si se deben producir 8 maquinas, cuantas debe producir de cada una para minimizar el costo? 3. El costo de producir x modelos regulares y y modelos de lujo del producto de una empresa está dado por la función conjunta de costo C(x, y) = x y Cuántas unidades de cada tipo deben producirse para minimizar los costos totales, si la empresa decide producir un total de 200 unidades? 4. Una empresa puede elaborar su producto en dos de sus plantas. El costo de producir x unidades en su primera planta y y unidades en la segunda planta está dado por la función conjunta de costo C(x, y) = x 2 + 2y 2 + 5xy Si la empresa tiene una orden de suministrar 500 unidades, cuántas unidades debe producir en cada planta con el objetivo de minimizar el costo total? 5. La función de producción de una empresa es P(L, K) = 80L 3/ 4 K 1/ 4, en donde L y K representan el número de unidades de mano de obra y de capital utilizadas y P es el número de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $60 y cada unidad de capital cuesta $200 y la empresa dispone de $40,000 destinados a producción. Determine el número de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear para obtener una producción máxima. 6. La función de producción de una empresa es P(L, K )=800 3 L K 2, en donde L y K representan el número de unidades de mano de obra y de capital utilizadas y P es el número de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $250 y cada unidad de capital cuesta $50 y la empresa dispone de $6,750 destinados a producción. Determine el número de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear para obtener una producción máxima. 7. La función de producción de una empresa es P(L, K )=113 L+15K +3 LK L 2 2 K 2, en donde L y K representan el número de unidades de mano de obra y de capital utilizadas y P es el número de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $60 y cada unidad de capital cuesta $100 y la empresa dispone de $ 7,200 destinados a producción. Determine el número de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear para obtener una producción máxima.

5 8. Usando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades de su producto, en donde P(L, K) = 60L 2/ 3 K 1/ 3. Los costos de la mano de obra y del capital son de $64 y $108 por unidad. La empresa decide elaborar 2160 unidades de su producto. Determine el número de insumos de mano de obra y de capital que deben emplearse con el objetivo de minimizar el costo total. 9. Usando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades de su producto, en donde P(L,K )=60 5(L 2 +K 2 ). Los costos de la mano de obra y del capital son de $200 y $100 por unidad. La empresa decide elaborar 4500 unidades de su producto. Determine el número de insumos de mano de obra y de capital que deben emplearse con el objetivo de minimizar el costo total. 10. Si una empresa gasta x miles de dólares en publicidad en la ciudad A, y y miles de dólares en la ciudad B sus ventas potenciales (en miles de dólares) en dichas ciudades están dadas por S= 300 x 500 y y S=, respectivamente. Si la utilidad es del 25% de las ventas x+10 y+13.5 y la empresa dispone de un presupuesto de $16,500 destinados a publicidad en las dos ciudades, cuánto deberá gastar en cada ciudad con el objetivo de maximizar la utilidad neta de la empresa? 11. Si una empresa gasta x e y miles de dólares en dos medios de publicidad sus ventas potenciales (en miles de dólares) están dadas por S= 200 x x y La utilidad es del y+10 20% de las ventas menos el costo de promocion. El presupuesto de publicidad es de $25,000 como debe asignarse el presupuesto disponible entre los dos medios para maximizar la utilidad neta de la empresa? 12. El importe de las ventas S, como funcion de las sumas x e y gastadas en dos tipos de promocion comercial esta dado por S= 240x 3 x y La utilidad neta es y S x y y el presupuesto es de $15,000. como debe asignarse el dinero disponible para maximizar la ganancia neta de la empresa? 13. Una compañía puede destinar su planta a la elaboración de dos tipos de productos, A y B. Obtiene una utilidad de $4 por unidad de A y de $6 por unidad de B. Los números de unidades de los dos tipos que puede producir mediante la planta están restringidos por la ecuación de transformación del producto, que es x 2 + y 2 + 2x + 4y 4 = 0 con x y y los números de unidades (en miles) de A y B, respectivamente, producidas por semana. Halle las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizar la utilidad. III. MÁXIMOS Y MÍNIMOS CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD: Condiciones de Khun-Tucker A. Determinar los maximos o minimos de cada funcion dada la restriccion: 1. f (x, y)=5 x 2 +6 y 2 xy sujeta a x+2 y f (x, y )=12 xy 3 y 2 x 2 sujeta a x+ y 16

6 B. Aplicaciones: 1. Una fabrica produce dos tipos de maquinaria pesada en cantidades x e y. La funcion de costo esta dada por C = x 2 + 2y 2 xy Si se deben producir al menos 8 maquinas, cuantas debe producir de cada una para minimizar el costo? 2. Si una empresa gasta x e y miles de dólares en dos medios de publicidad sus ventas potenciales (en miles de dólares) están dadas por S= 200 x x y La utilidad es del y+10 20% de las ventas menos el costo de promocion. El presupuesto de publicidad es de $25,000 maximo. como debe asignarse el presupuesto disponible entre los dos medios para maximizar la utilidad neta de la empresa?