Máquinas de Turing, programas y tesis de Turing-Church

Transcripción

1 Máquinas de Turing, programas y tesis de Turing-Church Elvira Mayordomo, Universidad de Zaragoza Ilustraciones: Costas Busch, Rensselaer Polytechnic Institute 1

2 Máquinas de Turing 2

3 La jerarquía de lenguajes a n b n c n? ww? Lengs. indeps. del contexto n n b a Lenguajes regulares a * a *b* R ww 3

4 a n b Lenguajes aceptados por Máquinas de Turing n c n Lengs. indeps. del contexto n n b a Lenguajes regulares a * a *b* ww R ww 4

5 Una máquina de Turing Entrada $ a c d cabeza de lectura Unidad de control lectura-escritura Cinta $ g d e 5

6 $ La cinta de memoria Sin límite derecho longitud infinita... cabeza de lectura-escritura La cabeza se mueve a la Derecha o a la Izquierda o No se mueve 6

7 $... cabeza de lectura-escritura La cabeza en cada paso de ejecución: 1. Lee un símbolo 2. Escribe un símbolo 3. Se mueve a Dcha o Izda o No se mueve 7

8 Ejemplo: $ a a c b Tiempo 0... $ a b k c Tiempo Lee a 2. Escribe k 3. Se mueve a la Izda 8

9 $ a b k c Tiempo 1... $ a f k c Tiempo Lee b 2. Escribe 3. Se mueve a la Dcha f 9

10 La cadena de entrada Símb. inicio Cadena de entrada Símbolo blanco $ a b a c... cabeza lectora La cabeza empieza en la posición más a la izda de la cadena de entrada 10

11 Lee (entrada y memoria) Estados y transiciones q q2 1 No mover entrada a, c N, b, I Escribe en memoria Mov. a Izda memoria q q2 1 Mov. Dcha entrada a, c D, b, D Mov. a Dcha memoria 11

12 Ejemplo: Tiempo 1 $ d d d... q1 estado actual $ a b a c... q q2 1 d, a N, b, D 12

13 Tiempo 1 $ d d d q 1 $ a b a c Tiempo 2 $ d d d q 2 $ a b b c... d, a N, b, D q q1 2 13

14 Ejemplo: Tiempo 1 $ d d d... q 1 $ a b a c Tiempo 2 $ d d d q 2 $ a b b c... d, a D, b, q q1 2 I 14

15 Ejemplo: Tiempo 1 $ d d d... q 1 $ a b a c Tiempo 2 $ d d d q 2 $ a b b c g... d, D, g, D q q1 2 15

16 Definición formal de máquinas deturing 16

17 Función de transición q q2 1 d, a D, b, D ( q, d, a) ( q, D, b, D)

18 Función de transición q q2 1 b, c N, d, I ( q, b, c) ( q, N, d, I)

19 Máquina de Turing: Estados Alfabeto entrada Alfabeto cinta M ( Q,,,, q0, F) Función de transición Estado inicial Estados finales 19

20 Parar La máquina para si no hay transición posible desde la configuración actual 20

21 Ejemplo: $ d d d... q 1 $ a b a c... d, a D, b, D q 1 a, b I, d, I q 2 q 3 No hay transición posible PARA!!! 21

22 Aceptar Aceptar Entrada Si la máquina para en un estado final Rechazar Entrada Si la máquina para en un estado no final o Si la máquina no para nunca 22

23 El lenguaje aceptado Para una máquina de Turing M L( M ) w : desde el estado q0, con w en la entrada, la máquina para en un estado final 23

24 Un ejemplo de máquina de Turing Una máquina de Turing que acepta: a * a, D,, N q 0, I,, N q 1 24

25 Tiempo 0 $ a a a q 0 a, D,, N, I,, N q0 q 1 25

26 Tiempo 1 $ a a a q 0 a, D,, N, I,, N q0 q 1 26

27 Tiempo 2 $ a a a q 0 a, D,, N, I,, N q0 q 1 27

28 Tiempo 3 $ a a a q 0 a, D,, N, I,, N q0 q 1 28

29 Tiempo 4 $ a a a q 1 a, D,, N Para y acepta, I,, N q0 q 1 29

30 Ejemplo de rechazo Tiempo 0 $ a b a q 0 a, D,, N, I,, N q0 q 1 30

31 Tiempo 1 $ a b a q 0 a, D,, No hay transición posible Para y rechaza N, I,, N q0 q 1 31

32 Ejemplo con bucle infinito Una máquina de Turing para el lenguaje a* b, I,, N a, D,, N q 0, I,, N q 1 32

33 Tiempo 0 $ a b a q 0 b, I,, N a, D,, N, I,, N q0 q 1 33

34 Tiempo 1 $ a b a q 0 b, I,, N a, D,, N, I,, N q0 q 1 34

35 Tiempo 2 $ a b a q 0 b, I,, N a, D,, N, I,, N q0 q 1 35

36 Tiempo 2 $ a b a Tiempo 3 Tiempo 4 Tiempo 5 q 0 $ a b a q 0 q 0 $ a b a $ a b a q 0 Bucle infinito 36

37 Por el bucle infinito: No se puede alcanzar el estado final La máquina nunca para No se acepta la entrada 37

38 Máquinas que paran siempre Una máquina de Turing M para siempre si para cualquier cadena w, M con entrada w para 38

39 Lenguajes decidibles Un lenguaje L es decidible si es el aceptado por una máquina de Turing M que para siempre w w L L M para en un estado final M para en un estado no final 39

40 Lenguajes semidecidibles Para una máquina de Turing M L( M ) w : desde el estado q0, con w en la entrada, la máquina para en un estado final Un lenguaje es semidecidible si es aceptado por una máquina de Turing 40

41 Variaciones de máquinas de Turing Más de una cinta de memoria Memoria ilimitada también por la izda Entrada en la cinta de memoria Memoria en varias dimensiones Máquina no determinista Todas equivalentes!! 41

42 Programas 42

43 Programas Consideramos programas sintácticamente correctos: Tipos de datos predefinidos booleano, carácter, natural, entero, real, cadena Instrucciones condicionales si <condición> entonces <secuencia de acciones> sino <secuencia de acciones> fsi Instrucciones iterativas mientrasque <condición> hacer <secuencia de acciones> fmq 43

44 Programas Procedimientos y funciones procedimiento <nombre>(ent <parámetros_1>:<tipo_1>; sal <parámetros_2>:<tipo_2>; e/s <parámetros_3>:<tipo_3>... ) función <nombre>(<parám_1>:<tipo_1>; <parám_2>:<tipo_2>...) devuelve <tipo_fun> <declaraciones locales de constantes, tipos, variables, proced., funciones...> principio <secuencia de acciones> devuelve <valor_de_tipo_fun> {tras devolver el valor la función termina} fin Y el resto de la sintaxis habitual 44

45 Programas ideales El único añadido es que la memoria es ilimitada, es decir No hay nunca errores por overflow (de una variable o de un puntero) De esta forma un programa real es un programa ideal, y un programa ideal se puede implementar en un computador real si tiene suficiente memoria 45

46 Codificación Cualquier dato elemental (booleano, carácter, natural, entero, etc.) puede codificarse como una cadena, y varias cadenas en una sola (por ej. con un símbolo extra #) Luego cualquier programa es equivalente a: procedimiento ejemplo (ent w:cadena; sal z:cadena) 46

47 Nos interesan especialmente Un programa o algoritmo de decisión es el que tiene salida de tipo tpresultado tipo tpresultado = (acepta,rechaza) procedimiento ejemplo (ent w:cadena; sal z:tpresultado) 47

48 Parar Un programa con una entrada para si termina su ejecución 48

49 Aceptar Aceptar Entrada Si el programa para y devuelve acepta Rechazar Entrada Si el programa para y no devuelve acepta o Si el programa no para nunca 49

50 El lenguaje aceptado Para un programa p L( p) w : el programa p con entrada para y devuelve acepta w 50

51 Ejemplo de programa que no para 51

52 Programas que paran siempre Una programa p para siempre si para cualquier cadena w, p con entrada w para 52

53 Tesis de Turing-Church 53

54 Teorema Las máquinas de Turing y los programas son equivalentes 54

55 Son equivalentes quiere decir Para cualquier máquina M existe un programa p tal que: L(M)=L(p) M y p paran con las mismas entradas y viceversa para cualquier programa p existe una máquina M tal que L(M)=L(p) y M y p paran con las mismas entradas 55

56 Demostración 1) Para cualquier máquina M existe un programa p tal que L(M)=L(p) y M y p paran con las mismas entradas Escribir un programa que simule una máquina de Turing (sencillo) 56

57 Demostración 1) Para cualquier programa p existe una máquina M tal que L(M)=L(p) y M y p paran con las mismas entradas Escribir una máquina de Turing que simule una programa (complicado) Primero hacer una máquina que simule cada tipo de instrucción (condicional, bucle) Luego combinarlas 57

58 Lenguajes semidecidibles Para un programa p L( p) w : el programa p con entrada para y devuelve acepta w Un lenguaje es semidecidible si es aceptado por un programa 58

59 Lenguajes decidibles Un lenguaje L es decidible si es el aceptado por un programa que para siempre w w L L p para y devuelve acepta p para y no devuelve acepta 59

60 Tesis de Turing-Church: (1930) Cualquier modelo de cálculo que se pueda implementar físcamente es equivalente a las máquinas de Turing 60

61 Tesis de Turing-Church: Se cumple para los modelos conocidos: Programas (imperativos) Programas lógicos Programas funcionales Máquinas paralelas. Tesis = conjetura. No hay demostración 61

62 Los programas son máquinas de Turing Cuando decimos: Existe un algoritmo que hace x Es lo mismo que: Existe una máquina de Turing que hace x 62

63 a n b Lenguajes semidecidibles (aceptados por programas) n c n Lengs. indeps. del contexto n n b a Lenguajes regulares a * a *b* ww R ww 63