Introducción a la Teoría de Autómatas, Lenguajes y Computación
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- Alejandro Soriano Romero
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1 Introducción a la Teoría de Autómatas, Lenguajes y Computación Gustavo Rodríguez Gómez y Aurelio López López INAOE Propedéutico / 53
2 Capítulo 2 Autómatas Finitos 2 / 53
3 1 Autómatas Finitos Autómatas Finitos Deterministas (AFD) Como un AFD Procesa Cadenas Diagramas y Tablas de Transición Extensión de la Función de Transición a Cadenas Lenguaje de un AFD Autómatas Finitos No Deterministas (AFND) 3 / 53
4 Autómatas Finitos Deterministas (AFD) Definición de AFD Definición Un AFD es una quíntupla A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) 1 Q es un conjunto finito de estados. 2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada. 3 δ : Q Σ Q es una función de transición δ(q, a) = p. 4 q 0 Q es el estado de inicio. 5 F Q es el conjunto de estado aceptados o finales. 4 / 53
5 Como un AFD Procesa Cadenas Procesamiento de Cadenas por un AFD Sea A AFD y w = a 1 a 2 a n una cadena de entrada para A. 5 / 53
6 Como un AFD Procesa Cadenas Procesamiento de Cadenas por un AFD Sea A AFD y w = a 1 a 2 a n una cadena de entrada para A. Iniciamos con A en su estado q 0, δ(q 0, a 1 ) = q 1. 6 / 53
7 Como un AFD Procesa Cadenas Procesamiento de Cadenas por un AFD Sea A AFD y w = a 1 a 2 a n una cadena de entrada para A. Iniciamos con A en su estado q 0, δ(q 0, a 1 ) = q 1. Procesamos a 2, δ(q 1, a 2 ) = q 2 y continuamos encontrando q 3, q 4,..., q n. 7 / 53
8 Como un AFD Procesa Cadenas Procesamiento de Cadenas por un AFD Sea A AFD y w = a 1 a 2 a n una cadena de entrada para A. Iniciamos con A en su estado q 0, δ(q 0, a 1 ) = q 1. Procesamos a 2, δ(q 1, a 2 ) = q 2 y continuamos encontrando q 3, q 4,..., q n. δ(q i 1, a i ) = q i para cada i. 8 / 53
9 Como un AFD Procesa Cadenas Procesamiento de Cadenas por un AFD Sea A AFD y w = a 1 a 2 a n una cadena de entrada para A. Iniciamos con A en su estado q 0, δ(q 0, a 1 ) = q 1. Procesamos a 2, δ(q 1, a 2 ) = q 2 y continuamos encontrando q 3, q 4,..., q n. δ(q i 1, a i ) = q i para cada i. Si q n F diremos que la entrada w = a 1 a 2 a n es aceptada sino es rechazada 9 / 53
10 Como un AFD Procesa Cadenas Lenguaje de un AFD Definición El lenguaje de un AFD es el conjunto de todas las cadenas w que el AFD acepta. 10 / 53
11 Como un AFD Procesa Cadenas Ejemplo 1 Ejemplo Especificar formalmente un AFD que acepte únicamente cadenas que tenga 0 s y 1 s conteniendo la subcadena 01 en alguna parte de la cadena L = {x01y x, y {0, 1} } Las siguientes cadenas pertenecen a L: 01, 11010, 1001, / 53
12 Como un AFD Procesa Cadenas Ejemplo 1 Ejemplo Especificar formalmente un AFD que acepte únicamente cadenas que tenga 0 s y 1 s conteniendo la subcadena 01 en alguna parte de la cadena L = {x01y x, y {0, 1} } Las siguientes cadenas pertenecen a L: 01, 11010, 1001, Las siguientes cadenas no pertenecen a L: ɛ, 0, / 53
13 Como un AFD Procesa Cadenas Ejemplo 1, continuación (1/3) Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata que acepta al lenguaje L? 1 Sus estados Q. 13 / 53
14 Como un AFD Procesa Cadenas Ejemplo 1, continuación (1/3) Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata que acepta al lenguaje L? 1 Sus estados Q. 2 Su estado de inicio q / 53
15 Como un AFD Procesa Cadenas Ejemplo 1, continuación (1/3) Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata que acepta al lenguaje L? 1 Sus estados Q. 2 Su estado de inicio q 0. 3 Su alfabeto Σ = {0, 1}. 15 / 53
16 Como un AFD Procesa Cadenas Ejemplo 1, continuación (1/3) Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata que acepta al lenguaje L? 1 Sus estados Q. 2 Su estado de inicio q 0. 3 Su alfabeto Σ = {0, 1}. 4 Su conjunto de estado aceptados. 16 / 53
17 Como un AFD Procesa Cadenas Ejemplo 1, continuación (2/3) El autómata debe tener la capacidad de reconocer si 01 es una subcadena de la cadena de entrada. 1 q 0 : Si la cadena de entrada es ɛ permanecemos en q 0, δ(q 0, ɛ) = q 0. Si la cadena de entrada es 1 permanecemos en q 0, δ(q 0, 1) = q / 53
18 Como un AFD Procesa Cadenas Ejemplo 1, continuación (2/3) El autómata debe tener la capacidad de reconocer si 01 es una subcadena de la cadena de entrada. 1 q 0 : Si la cadena de entrada es ɛ permanecemos en q 0, δ(q 0, ɛ) = q 0. Si la cadena de entrada es 1 permanecemos en q 0, δ(q 0, 1) = q 0. 2 q 1 : Ya se detecto la cadena 01, se acepta entonces toda sucesión posterior de entradas, δ(q 1, 0) = δ(q 1, 1) = q / 53
19 Como un AFD Procesa Cadenas Ejemplo 1, continuación (2/3) El autómata debe tener la capacidad de reconocer si 01 es una subcadena de la cadena de entrada. 1 q 0 : Si la cadena de entrada es ɛ permanecemos en q 0, δ(q 0, ɛ) = q 0. Si la cadena de entrada es 1 permanecemos en q 0, δ(q 0, 1) = q 0. 2 q 1 : Ya se detecto la cadena 01, se acepta entonces toda sucesión posterior de entradas, δ(q 1, 0) = δ(q 1, 1) = q 1. 3 q 2 : No se ha detectado la cadena 01 pero la entrada mas reciente ha sido un 0. Luego si vemos un 1 se tendrá la cadena 01, δ(q 2, 0) = q 2, δ(q 2, 1) = q 1 19 / 53
20 Como un AFD Procesa Cadenas Ejemplo 1, continuación (3/3) Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata que acepta al lenguaje L? 1 Sus estados Q = {q 0, q 1, q 2 } 20 / 53
21 Como un AFD Procesa Cadenas Ejemplo 1, continuación (3/3) Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata que acepta al lenguaje L? 1 Sus estados Q = {q 0, q 1, q 2 } 2 Su estado de inicio q / 53
22 Como un AFD Procesa Cadenas Ejemplo 1, continuación (3/3) Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata que acepta al lenguaje L? 1 Sus estados Q = {q 0, q 1, q 2 } 2 Su estado de inicio q 0. 3 Su alfabeto Σ = {0, 1}. 22 / 53
23 Como un AFD Procesa Cadenas Ejemplo 1, continuación (3/3) Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata que acepta al lenguaje L? 1 Sus estados Q = {q 0, q 1, q 2 } 2 Su estado de inicio q 0. 3 Su alfabeto Σ = {0, 1}. 4 Su conjunto de estado aceptados: F = {q 1 }. 23 / 53
24 Diagramas y Tablas de Transición Definición Diagramas de Transición Definición Un diagrama de transición de AFD A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) es un grafo que cumple con las siguientes condiciones 1 Para cada q Q existe un nodo. 24 / 53
25 Diagramas y Tablas de Transición Definición Diagramas de Transición Definición Un diagrama de transición de AFD A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) es un grafo que cumple con las siguientes condiciones 1 Para cada q Q existe un nodo. 2 Para cada q Q y a Σ, sea δ(q, a) = p. Entonces el diagrama de transición tiene un arco que va del nodo q al nodo p cuya etiqueta es a. 25 / 53
26 Diagramas y Tablas de Transición Definición Diagramas de Transición Definición Un diagrama de transición de AFD A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) es un grafo que cumple con las siguientes condiciones 1 Para cada q Q existe un nodo. 2 Para cada q Q y a Σ, sea δ(q, a) = p. Entonces el diagrama de transición tiene un arco que va del nodo q al nodo p cuya etiqueta es a. 3 Hay una flecha entrando al estado q 0 cuya etiqueta es Inicio. 26 / 53
27 Diagramas y Tablas de Transición Definición Diagramas de Transición Definición Un diagrama de transición de AFD A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) es un grafo que cumple con las siguientes condiciones 1 Para cada q Q existe un nodo. 2 Para cada q Q y a Σ, sea δ(q, a) = p. Entonces el diagrama de transición tiene un arco que va del nodo q al nodo p cuya etiqueta es a. 3 Hay una flecha entrando al estado q 0 cuya etiqueta es Inicio. 4 Los nodos correspondientes a los estados aceptados, F, son marcados por un círculo doble. Los estado que no pertenecen a F tienen un círculo simple. 27 / 53
28 Diagramas y Tablas de Transición Definición de Tablas de Transición Definición Una tabla de transición es una representación tabular convencional de la función δ. Los renglones de la tabla corresponden a los estados y las columnas corresponden a las entradas. La entrada para el renglón correspondiente al estado q y columna correspondiente a la entrada a es el estado δ(q, a). 28 / 53
29 Diagramas y Tablas de Transición Ejemplo de Diagramas y Tablas de Transición Diagrama y tabla de transición del ejemplo 1. A = {{q 0, q 1, q 2 }, {0, 1}, δ, q 0, {q 1 }} Figura: Diagrama de transición Figura: Tabla de transición 29 / 53
30 Extensión de la Función de Transición a Cadenas Extensión de la Función de Transición a Cadenas La función de transición δ : Q Σ Q se puede extender para que actúe sobre estados y cadenas 30 / 53
31 Extensión de la Función de Transición a Cadenas Extensión de la Función de Transición a Cadenas La función de transición δ : Q Σ Q se puede extender para que actúe sobre estados y cadenas A la función extendida la denotaremos por ˆδ. 31 / 53
32 Extensión de la Función de Transición a Cadenas Extensión de la Función de Transición a Cadenas La función de transición δ : Q Σ Q se puede extender para que actúe sobre estados y cadenas A la función extendida la denotaremos por ˆδ. La definición de ˆδ se hace por inducción sobre la longitud de la cadena de entrada. 32 / 53
33 Extensión de la Función de Transición a Cadenas Definición de la Función de Transición Extendida 1 Definimos donde ɛ es la cadena vacía. ˆδ(q, ɛ) = q, 33 / 53
34 Extensión de la Función de Transición a Cadenas Definición de la Función de Transición Extendida 1 Definimos donde ɛ es la cadena vacía. ˆδ(q, ɛ) = q, 2 Sea w cualquier cadena tal que w = 1, suponga que w = a. Definimos ˆδ(q, w) = δ ( ˆδ(q, ɛ), a ) = δ (q, a) = p 1 34 / 53
35 Extensión de la Función de Transición a Cadenas Definición de la Función de Transición Extendida 1 Definimos donde ɛ es la cadena vacía. ˆδ(q, ɛ) = q, 2 Sea w cualquier cadena tal que w = 1, suponga que w = a. Definimos ˆδ(q, w) = δ ( ˆδ(q, ɛ), a ) = δ (q, a) = p 1 3 Sea w cualquier cadena tal que w = 2, suponga que w = ba. Entonces ˆδ(q, ba) = δ ( ˆδ(q, b), a ) = δ (p, a) = p 2, donde estamos suponiendo que ˆδ(q, b) = p. 35 / 53
36 Extensión de la Función de Transición a Cadenas Inducción Suponga que la definición de ˆδ es válida para cualquier cadena de longitud n y tomemos una cadena arbitraria de longitud n + 1. Supongamos que la cadena es w = xa, donde x = n y a = 1, entonces ˆδ(q, xa) = δ ( ˆδ(q, x), a ) = δ (p, a) = p 3, estamos suponiendo que ˆδ(q, x) = p por hipótesis de inducción. 36 / 53
37 Lenguaje de un AFD Definición Formal de Lenguaje para un AFD Definición Formalmente el lenguaje (aceptado) de un AFD A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) es L(A) = { w ˆδ(q 0, w) F } Definición Los lenguajes aceptados por los AFD son llamados lenguajes regulares. 37 / 53
38 Lenguaje de un AFD Ejemplo 2 de AFD 1 Diseño de un AFD que acepta únicamente cadenas con un número par de 0 s y un número par de 1 s. 38 / 53
39 Lenguaje de un AFD Ejemplo 2 de AFD 1 Diseño de un AFD que acepta únicamente cadenas con un número par de 0 s y un número par de 1 s. 2 El lenguaje aceptado del AFD es L = { w w tiene un número par de 0 s y de 1 s }. 39 / 53
40 Lenguaje de un AFD Ejemplo 2 de AFD 1 Diseño de un AFD que acepta únicamente cadenas con un número par de 0 s y un número par de 1 s. 2 El lenguaje aceptado del AFD es L = { w w tiene un número par de 0 s y de 1 s }. 3 q 0 : El número de 0 s y 1 s vistos hasta el momento es par. 40 / 53
41 Lenguaje de un AFD Ejemplo 2 de AFD 1 Diseño de un AFD que acepta únicamente cadenas con un número par de 0 s y un número par de 1 s. 2 El lenguaje aceptado del AFD es L = { w w tiene un número par de 0 s y de 1 s }. 3 q 0 : El número de 0 s y 1 s vistos hasta el momento es par. 4 q 1 : El número de 0 s vistos hasta el momento es par pero los 1 s son impares. 41 / 53
42 Lenguaje de un AFD Ejemplo 2 de AFD 1 Diseño de un AFD que acepta únicamente cadenas con un número par de 0 s y un número par de 1 s. 2 El lenguaje aceptado del AFD es L = { w w tiene un número par de 0 s y de 1 s }. 3 q 0 : El número de 0 s y 1 s vistos hasta el momento es par. 4 q 1 : El número de 0 s vistos hasta el momento es par pero los 1 s son impares. 5 q 2 : El número de 1 s vistos hasta el momento es par pero los 0 s son impares. 42 / 53
43 Lenguaje de un AFD Ejemplo 2 de AFD 1 Diseño de un AFD que acepta únicamente cadenas con un número par de 0 s y un número par de 1 s. 2 El lenguaje aceptado del AFD es L = { w w tiene un número par de 0 s y de 1 s }. 3 q 0 : El número de 0 s y 1 s vistos hasta el momento es par. 4 q 1 : El número de 0 s vistos hasta el momento es par pero los 1 s son impares. 5 q 2 : El número de 1 s vistos hasta el momento es par pero los 0 s son impares. 6 q 3 : El número de 0 s y 1 s vistos hasta el momento es impar. 43 / 53
44 Lenguaje de un AFD Diagrama y Tabla de Transición del Ejemplo 2 Un AFD que acepta únicamente cadenas con un número par de 0 s y un número par de 1 s A = {{q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 }, {0, 1}, δ, q 0, {q 0 }} 44 / 53
45 Autómatas Finitos No Deterministas (AFND) Autómatas Finitos No Deterministas (AFND) Un AFND puede estar en varios estados al mismo tiempo. Capacidad de adivinar algo relacionado con su entrada. 45 / 53
46 Autómatas Finitos No Deterministas (AFND) Autómatas Finitos No Deterministas (AFND) Un AFND puede estar en varios estados al mismo tiempo. Capacidad de adivinar algo relacionado con su entrada. [Ejemplo 1 AFND] Considere el AFND que acepta todas las cadenas formadas de 0 s y 1 s pero que terminan en / 53
47 Autómatas Finitos No Deterministas (AFND) Definición de AFND Definición Un AFND es una quíntupla A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) 1 Q es un conjunto finito de estados. 47 / 53
48 Autómatas Finitos No Deterministas (AFND) Definición de AFND Definición Un AFND es una quíntupla A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) 1 Q es un conjunto finito de estados. 2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada. 48 / 53
49 Autómatas Finitos No Deterministas (AFND) Definición de AFND Definición Un AFND es una quíntupla A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) 1 Q es un conjunto finito de estados. 2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada. 3 q 0 Q, el estado de inicio. 49 / 53
50 Autómatas Finitos No Deterministas (AFND) Definición de AFND Definición Un AFND es una quíntupla A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) 1 Q es un conjunto finito de estados. 2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada. 3 q 0 Q, el estado de inicio. 4 F Q, los estados aceptados 50 / 53
51 Autómatas Finitos No Deterministas (AFND) Definición de AFND Definición Un AFND es una quíntupla A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) 1 Q es un conjunto finito de estados. 2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada. 3 q 0 Q, el estado de inicio. 4 F Q, los estados aceptados 5 δ : Q Σ 2 Q, la función de transición. 51 / 53
52 Autómatas Finitos No Deterministas (AFND) Especificación Formal del Ejemplo 1 AFND 1 A = {{q, q, q}, {0, 1}, δ, q 0, {q 2 }} 52 / 53
53 Autómatas Finitos No Deterministas (AFND) Especificación Formal del Ejemplo 1 AFND 1 A = {{q, q, q}, {0, 1}, δ, q 0, {q 2 }} 2 La función de transición δ está dada por 53 / 53
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