PRÁCTICA 6 MEDIDA DE LA CONSTANTE DE RESTITUCIÓN DE UN RESORTE A PARTIR DE UN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.)

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1 PRÁCTICA 6 MEDIDA DE LA CONSTANTE DE RESTITUCIÓN DE UN RESORTE A PARTIR DE UN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.) SERGIO ARAGÓN SANTOS Código CONSUELO GÓMEZ ORTIZ Código LICENCIADA SANDRA LILIANA RAMOS DURÁN UNIVERSIDAD DE LOS LLANOS FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA MECÁNICA I VILLAVICENCIO 2012

2 MEDIDA DE LA CONSTANTE DE RESTITUCIÓN DE UN RESORTE A PARTIR DE UN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.) Objetivo general Obtener el valor de la constante de elasticidad de un resorte utilizando un sistema masa-resorte dispuesto verticalmente. Objetivos específicos Desarrollar habilidades para hacer mediciones de tiempo, longitudes y en la determinación de valores medios de estas magnitudes. Comprobar experimentalmente el valor de la constante de elasticidad de dos resortes conectados en paralelo. Desarrollar habilidades en el tratamiento gráfico de resultados experimentales. Desarrollar habilidades en la utilización de la teoría de errores. FUERZAS ELÁSTICAS O DE RESTITUCIÓN El primero en estudiar las fuerzas elásticas o de restitución fue Robert Hooke ( ), quien llegó a establecer que estas fuerzas siempre son proporcionales a la deformación que sufre el cuerpo y a una constante que depende del material. Cuando sobre un cuerpo se ejerce una fuerza, esta acción se transmite a la sustancia de que está compuesto, modificando la posición de los átomos, a su vez, la estructura responde con otra fuerza igual y contraria, lo cual podría interpretarse como el cumplimiento de la tercera ley de Newton (acción y reacción). La relación entre la respuesta de una sustancia oponiéndose a su propia deformación se conoce como la Ley de Hooke, la cual se expresa matemáticamente como: F = - kx (1) El signo menos indica que la fuerza de restitución siempre apunta hacia la posición de equilibrio. Como todo cuerpo es en parte elástico y en parte plástico, cuando la fuerza externa que se aplica es muy grande, también lo serán las deformaciones y por lo tanto la ley de Hooke deja de cumplirse, porque se sobrepasan los límites de flexibilidad de la sustancia, lo cual impone que para utilizar esta ley confiablemente, las deformaciones que se produzcan en los cuerpos elásticos deben ser pequeñas. La ley de Hooke puede ser comprobada experimentalmente de muchas maneras, dos de las más conocidas son: Directamente: Midiendo la deformación que experimenta un resorte bajo la acción de una fuerza; se coloca verticalmente fijándose a un extremo y al otro lado se le acopla un dinamómetro, se aplican diferentes fuerzas y se miden los valores correspondientes de alargamiento Δx. Los resultados se representan en un plano

3 cartesiano F vs x, y se ajustan los valores a una recta. La pendiente de la recta trazada de esta manera será numéricamente igual a la constante de restitución del resorte. El mismo resultado puede obtenerse si en vez de utilizar un dinamómetro, se cuelgan diferentes masas tomando el peso de las mimas como la fuerza. Este será el primer método utilizado en este trabajo experimental. Indirectamente: Midiendo el período para oscilaciones pequeñas del sistema masa-resorte vertical, y a partir de esta magnitud, obtener la constante de restitución del resorte, utilizando la expresión matemática: T = 2π m/k (2) Este método será el utilizado en esta práctica de laboratorio. Para desarrollar la actividad experimental es importante conocer el origen de las expresiones matemáticas que se van a utilizar. En este caso se utilizarán algunos conocimientos básicos: 1. Un cuerpo suspendido de un resorte, al separarse una pequeña distancia de su posición de equilibrio y soltarse, realiza un movimiento armónico simple, al menos durante las primeras 6 ó 7 oscilaciones. Aquí una distancia pequeña es aquella que nunca exceda más de 3 veces la separación entre las espiras del resorte. 2. La ecuación del movimiento de un sistema que oscila con movimiento armónico simple (MAS) puede ser expresada matemáticamente como: X = Acos(ωt + φ o ) (3) donde A es la máxima separación hacia arriba o hacia abajo, de la masa oscilante, medida desde la posición en que se encontraba detenida al inicio del experimento; ω es la frecuencia angular, definida en el movimiento circunferencial uniforme como ω = 2π/T; T es el período y se obtiene midiendo el tiempo que demora la masa en realizar una oscilación completa; y φ o es el ángulo o la fase a partir del cual comenzó a observarse el movimiento. 3. La velocidad del cuerpo oscilante en cada punto de la trayectoria se expresa como: V = - ωasen(ωt + φ o ) (4) 4. Y la aceleración de la partícula animada de movimiento armónico simple, se expresa matemáticamente como: a = - ω 2 Acos(ωt + φ o ) (5) 5. Teniendo en cuenta la segunda Ley de Newton, y considerando que en este caso la fuerza cumple con la Ley de Hooke, se puede escribir: F = ma = - kx (6) de donde se puede plantear: a = - kx/m (7) Si en esta ecuación se sustituyen los valores de aceleración y posición para el movimiento armónico simple, se obtiene: - ω 2 Acos(ωt + φ o ) = - KAcos(ωt + φ o ) / m (8) De cuya igualdad, se obtiene que: ω = k/m (9) MATERIALES

4 Figura 1. Materiales necesarios para la práctica PROCEDIMIENTO Juego de masas estas deben ser menores de 200 gr. Un resorte Regla. Cronómetro. Dinamómetro Soporte universal. 1. Procedemos a realizar el montaje de la figura 2, medimos la longitud del resorte es de 6.8 cm. Figura 2. Montaje de la práctica 2. Colgamos una masa de 40g. del extremo del resorte y se mide su estiramiento. Luego hacemos lo mismo con una masa de 50g., 60g. y finalmente de 70g., como se muestra en la figura 3, porque una masa más grande afectaría nuestro cálculo de la constante y también excedería la longitud del resorte que no debe ser mayor a tres veces su longitud. Al dividir la fuerza entre el estiramiento se está obteniendo una aproximación grosera del valor de la constante que se va a medir, por eso procedemos a realizar lo siguiente: Figura 3. Proceso número 2 del procedimiento 3. Pusimos a mover el sistema con la primera masa de 40g., con oscilaciones pequeñas, midiendo previamente la amplitud cuando el cuerpo está en reposo.

5 Calculamos el período de oscilación midiendo el tiempo en que realiza 8 oscilaciones. Esta operación la repetimos para diferentes valores de amplitud, empleando las masas de 50g., 60g. y 70g. Los valores que obtuvimos los consignamos en la tabla 1. Masa (Kg) desplazamiento (m) Fuerza aplicada (N) desplazamiento con fuerza (m) m 1 = m 2 = m 3 = m 4 = Tabla 1. Datos de los valores medidos de masa, fuerza aplicada y elongación 4. Con los valores obtenidos y consignados en la tabla 1, graficamos en un plano cartesiano colocando las fuerzas en el eje de las Y y las masas en el de las X. Con los puntos obtenidos trazamos la mejor recta 0,6 Fuerza en función de la masa 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,04 0,05 0,06 0,07 Gráfica1. Fuerza aplicada en función de la masa medidas con el dinamómetro 5. Luego tomamos los tiempos gastados por las 8 oscilaciones para cada masa, tomando ocho valores de tiempo y luego promediamos, encontramos que el tiempo es proporcional a la masa, los valores obtenidos los consignados en la tabla 2, con los cuáles hallamos la constante de restitución.

6 m t t 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 tpro m s 4.37s 4.47s 4.31s 4.11s 4.38s 4.10s 3.97s 4.23s m s 4.66s 4.76s 4.67s 4.52s 4.53s 4.56s 4.55s 4.59s m s 5.13s 5.12s 5.09s 5.14s 5.20s 5.17s 5.17s 5.14s m s 5.59s 5.52s 5.62s 5.60s 5.61s 5.69s 5.58s 5.60s Tabla 2. Datos de masa medidos y tiempos cronometrados durante las 8 oscilaciones respectivamente Fuerza en función del desplazamiento 0 0,17 0,18 0,19 0,2 Gráfica 2. Fuerza en función del desplazamiento medido en las elongaciones, con masa constante ANÁLISIS Podemos observar y medir la elongación del resorte al colocarle las respectivas masas y más aún al aplicarle la fuerza, entre más fuerza se le aplica más deformación se presenta en este como lo muestra la gráfica 2. Al graficar los datos vemos que estos tienden a describir una recta, por lo que podemos decir que son directamente proporcionales y que responden a una constante de restitución. Midiendo el período para oscilaciones pequeñas del sistema masa-resorte vertical, y a partir de esta magnitud, obtuvimos la constante de restitución del resorte utilizando la ecuación (2), en la cual se despeja la constante donde el promedio de los valores nos dio 0.042, como vemos el proceso de toma de datos, fue bueno ya que la constante de restitución hallada fue pequeña.

7 CONCLUSIONES El resorte con el que se construye el sistema masa-resorte vertical tiene una constante de restitución muy pequeña. Las variables a considerar para analizar el sistema masa-resorte vertical, son la masa, el tiempo, la fuerza aplicada y el desplazamiento. A partir de la gráfica 2, de fuerza en función del desplazamiento, en donde la curva se aproxima a una recta, se obtiene la constante de restitución, que para nuestro sistema masa resorte vertical se obtuvo una constante de 0,042 ± 0,05 En el desarrollo de habilidades encontramos que para poder verificar los valores y confiar en ellos, es necesario tomarlos varias veces promediarlos y compararlos para disminuir los errores en la toma de datos. BIBLIOGRAFÍA 1. Resnick Halliday Física para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería. Tomo I. Edición Fidel Rodríguez Puerta. Física Interactiva I. Edición Universidad de los Llanos www. Portal interactivo. 4. Física II, Oscilaciones, Ondas, Electromagnetismo y Física Moderna. Edición 1995.