Movimiento oscilatorio Movimiento armónico simple (MAS) Cinemática

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1 Moiiento ociltorio Moiiento rónico iple (MAS) Cineátic IES L Mgdlen. Ailé. Aturi Se dice que un prtícul ocil cundo tiene un oiiento de ién repecto de u poición de equilibrio, de for tl que el oiiento e repite en cd ocilción. Lo oiiento ociltorio pueden er á o eno coplejo (er figur) Moiiento ociltorio. L prtícul ocil izquierd y derech de x= (poición de equilibrio) repitiéndoe el oiiento en cd ocilción. De todo lo oiiento ociltorio el á encillo, y el á iportnte, e el oiiento rónico iple (MAS). Moiiento rónico iple de = y A = 1, Much fenóeno nturle pueden coniderre rónico iple y, deá, culquier oiiento ociltorio á coplejo e puede reoler coo un u de rio MAS (plicndo un étodo teático lldo étodo de Fourier). A l izquierd e puede er l gráfic x/t pr un oiiento ociltorio (en líne continu) obtenido coo u de do MAS (que precen con líne dicontinu). 1

2 Fíic y Quíic 1º Bchillerto. IES L Mgdlen. Ailé. Aturi Moiiento rónico iple (MAS) Moiiento rónico iple. MAS Un ejeplo de MAS e el de l proyección obre el diáetro de l circunferenci de l poición de un punto que gir con elocidd ngulr contnte: L poición del punto obre el diáetro qued deterind por l ecución: x A en( t) en ( ) co ( ) 1 co( ) 1 en ( ) Donde: x = poición (elongción) A= Aplitud (elongción áxi) = Velocidd ngulr de giro (en rd/) ( t) = Fe A co t A 1 en ( t) A A en ( t) A x A x A x Et ecución puede erir tbién pr definir el MAS: un cuerpo e uee con MAS cundo u poición reponde l ecución nterior. Podeo obtener l expreión que no d l elocidd derindo l expreión nterior repecto del tiepo: Podeo exprer l elocidd en función de l poición (x) del punto teniendo en cuent que: Por tnto: dx A co( t) dt L elocidd, coo e e, no e contnte, e un función coenoidl del tiepo. Con el fin de conocer l rpidez con l que rí clculo l celerción derindo, un ez á, l elocidd repecto del tiepo: d x d A en( t) dt dt L celerción tbién podeo exprerl en función de l poición, x: A en( t) x x Oberr que el oiiento no e uniforeente celerdo y que l celerción rí (e función del tiepo).

3 Fíic y Quíic 1º Bchillerto. IES L Mgdlen. Ailé. Aturi Moiiento rónico iple (MAS) L expreione nteriore pueden ecribire en función del periodo del oiiento, (tiepo que trd en dr un ocilción coplet) o de l frecuenci f (núero de ocilcione por egundo) recordndo que: 1 f O e: x A en t A en f t A co t A f co f t A en t A f en f t Aunque eteo trbjndo olo con l prte eclr de l gnitude no coniene olidr que l poición qued fijd por un ector de poición ( r), y que tnto l elocidd coo l celerción on ectore, cuy dirección y entido quedn fijdo por l del ector unitrio i i r x i i NOA: Oberr que pr un x dd (upongo que etá itud l derech del origen) l elocidd tiene do lore poible (er expreión que d en función de x), correpondiente l lor de l ríz cudrd con igno poitio o negtio, lo que indic que en un deterind poición el punto puede oere hci l derech (oiiento de id) o hci l izquierd (oiiento de uelt). Siepre que el punto e itúe l derech (x poiti), l celerción punt hci l izquierd y cundo etá l izquierd (x negti), hci l derech. ( x) i Repreentcione gráfic x/t. Vlore extreo de y Recordeo que cundo un punto e uee con MAS ocil izquierd y derech de u poición de equilibrio. L tryectori del punto (que e repite en cd ocilción) puede oberre en l gráfic iguiente, donde l poicione e hn fijdo interlo regulre de,1 : 3

4 Fíic y Quíic 1º Bchillerto. IES L Mgdlen. Ailé. Aturi Moiiento rónico iple (MAS) Podeo hcer hor un repreentción gráfic de lore de x (poición del punto) repecto del tiepo pr hcerno un ide de cóo rí x en función de t (er gráfic l izquierd) L gráfic e correponde con l de un MAS de A = 1, y =,. Oberr que el oiiento e repite interlo de. En l gráfic /t e ober que l elocidd dquiere u lor áxio poitio en el origen (oiiento hci l derech), decrece luego ht hcere nul pr t =,5 (x= A) y prtir de hí dquiere lore creciente, pero negtio (oiiento hci l izquierd), lcnz u áxio lor negtio pr t=1, (po por el origen hci l izd), coienz decrecer (igno negtio, oiiento hci l izd), e nul pr t=1,5 (x =- A) y continución to lore poitio creciente (oiiento hci l dch). Etudindo l gráfic /t eo que l celerción tiene un lor nulo en el origen, dquiere lore creciente y negtio (punt hci l izd) ht u lor áxio negtio pr t=,5 (x=a) y prtir de hí coienz diinuir nteniendo el igno negtio, e nul pr t= 1, (po por el origen hci l izd) y coienz crecer puntndo hci l dch. (igno poitio). Adquiere u lor áxio poitio pr t =1,5 (x = - A) y, finlente, decrece ht nulre cundo uele pr por el origen. bién podeo etudir lo lore extreo de y prtiendo de l fórul que l relcionn con l elongción, x: Vlore x Vlore y x= (Mo. hci l dch) x = A = x= (Mo. hci l izd) Coentrio A x x A A Origen. Vlor áx. Mo. hci l dch. Máx. lejiento l dch. Origen. Vlor áx. Mo. hci l izd. = A = Coentrio Origen. Moiiento hci l dch. Vlor áx. Acelerción hci l izd. Origen. Moiiento hci l izd. x= - A = Máx. lejiento l izd. A Vlor áx. Acelerción hci l dch. = x = x x = - A x = x = x =A

5 Fíic y Quíic 1º Bchillerto. IES L Mgdlen. Ailé. Aturi Moiiento rónico iple (MAS) Ejeplo 1 Un punto ocil con MAS de periodo, y plitud,. ) Ecribir l ecución del oiiento. b) Deterinr el lor de l elongción, elocidd y celerción pr t =,75 y,3 ) x A en ( t) A en t en t en t x en t b) x(t, 75) en t en, 75 1, 8 (itudo l derech del origen) x(t, 3) en t en, 3 1, (itudo l izquierd del origen) A co ( t) A co t co t co t co t (t, 75) co t co, 75 1, / (oiéndoe hci l derech) (t, 3) co t co, 3, 7 / (oiéndoe hci l izquierd) A en ( t) A en t en t en t 16 en t (t, 75) en t en, 75, 55 / (punt hci l izquierd) (t, 3) en t en, 3, 51 / (punt hci l derech) Ejeplo Un punto ocil con MAS de ecución x, 5 en(. t) ) Deterinr u plitud, periodo y frecuenci. b) Deterinr lo lore extreo de x, y y relizr un eque. ) Coprndo l ecución generl del MAS con l dd en el enuncido: x A en( t) Se deduce que A =,5 ; =, y f = 1/= 1/ -1 =,5-1 x, 5 en( t) 5

6 Fíic y Quíic 1º Bchillerto. IES L Mgdlen. Ailé. Aturi Moiiento rónico iple (MAS) b) L elongción rí entre lo lore x =, x = A (lor áx. l derech) y x = - A (lor áx. l izd). Podeo clculr lo lore de en eo punto utilizndo l ecución A x : Pr x áx A A A, 5, 5 /, 5 / (Vlor áx. Signo hci l dch, negtio hci l izd) áx Pr x A A A ; x Pr clculr lo lore extreo de uo l ecución: x Pr x Pr x A áx A A,, 5 93 áx, 93 (Vlor áxio. El igno indic que punt hci l izd) Pr x A A A (, ), áx 5 93 áx, 93 (Vlor áxio. El igno indic que punt hci l dch) = x =,93 / x =, 5 x = -,93/ = x = - A x = -, 5 = x =A Ejeplo 3 Deterinr l ecución de un punto que ocil con MAS i cundo e encuentr en x=,5 tiene un elocidd de 1,3 / y un celerción de - / ( / ) x ; ; x, 5 1 A x ; A x A x x x A ; A x A x 1, 3, 5, 8 L ecución erá por tnto: x, 8 en ( t) 6

7 Fíic y Quíic 1º Bchillerto. IES L Mgdlen. Ailé. Aturi Moiiento rónico iple (MAS) L fe inicil Puede ocurrir que el origen de lo ángulo no coincid con el de lo tiepo. En ete co e debe tor en cuent el ángulo decrito cundo t = (ángulo inicil) e incluirlo en l expreión ngulr de l ecución del MAS (que tbién e conoce con el nobre de "fe"). El ángulo inicil recibe el nobre de "fe inicil" : L fe inicil e puede deterinr oberndo donde e encuentr el punto cundo e coienz contr el tiepo ( t=). De for generl e obtiene hciendo t = en l ecución del MAS: x A en ( t ) x A en ( ); en ( ) x A Alguno lore de l fe inicil: Si el punto etá en x = - A cundo t =: x A en ( ) 1 A A 3 Si el punto etá en X= y oiéndoe hci l derech cundo t=: x =A x = - A Ejeplo Si el punto etá en X= y oiéndoe hci l izquierd cundo t =: Deterinr l ecución de un punto que ocil con MAS de plitud,8 y frecuenci,5 Hz i e epiez contr el tiepo cundo el punto e encuentr, del punto de equilibrio y oiéndoe hci l derech: x A en ( t ) Si el punto etá en x = A cundo t =: x A en ( ) A A x, x A en ( ); en ( ), 55;, 553 rd A, 8 x A en ( f t ), 8 en (, 5 t, 553), 8 en ( t, 553) x, 8 en ( t, 553) 1 7

8 Fíic y Quíic 1º Bchillerto. IES L Mgdlen. Ailé. Aturi Moiiento rónico iple (MAS) Ejeplo 5 Un punto que ocil con MAS de plitud, y, de periodo. Si l fe inicil e de ) Ecribir l ecución que decribe el oiiento. b) Deterinr l poición del punto pr t=. c) Clculr el lor de l elocidd y celerción l cbo de,5. ) x A en ( t ) A en ( t ), en ( t ) x, en ( t ) b) x, en ( t ) x t, en ( ), 1 c) rd: A co ( t ) A co t, co t, co t (t, 5), co, 5, / A en ( t ) A en t, en t, en t (t, 5), en, 5 1, Ejeplo 6 Un punto ocil con MAS de plitud,3 y 1, Hz de frecuenci y coienz edire el tiepo cundo etá en el punto de áxi elongción hci l derech: ) Ecribir l ecución del oiiento b) Clculr el lor de l elocidd cundo pe por el origen Coo t = pr x = A,. L ecución erá por tnto: x A en ( t ) x A en ( f t ), 3 en ( 1, t ), 3 en ( t ) x, 3 en ( t ) b) Cundo pe por el origen x = : 1 A x A f A 1,, 3, 6 P do ece por el origen, un hci l derech y otr hci l izquierd. 8

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