TOPOLOGÍA SOLUCIONES A LAS RELACIONES DE PROBLEMAS

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1 TOPOLOGÍA SOLUCIONES A LAS RELACIONES DE PROBLEMAS Ejercicio.1.- Relación. Espacios topológicos. Operadores Sea X un conjunto y x 0 X. Queremos probar que la familia T x0 = {X} {A X;x 0 / A} es una topología sobre X. Dado que x 0 / {A X;x 0 / A} T x0. De otro lado, por la definición de T x0, X T x0. Por tanto,x T x0. para cualquier cantidad finita de conjuntos A 1,...,A n T x0. Hay dos posibilidades: Si x 0 A i, i n A i = X, i n n A i = X n A i T x0. Si i 0 : x 0 / A i0, ya que n A i A i, i n, entonces x 0 / n A i n A i T x0. n A i A i0 Considerenos ahora una familia arbitraria {A α }, con A α T x0, α Λ. De nuevo consideramos dos casos Supongamos α 0 Λ : x 0 A α0 A α0 = X se cumple que A α = X T x0. Supongamos que x 0 / A α, α Λ x 0 / A α A α T x0. Por lo tanto queda probado que el par (X, T x0 ) es un espacio topológico. En lo que sigue vamos a obtener la familia de cerrados F x0, que estará compuesta por los conjuntos F : (X F) T x0. Sabemos que X y son cerrados en cualquier topología sobre X. Por otro lado, un conjunto F X con F,X, será un cerrado en (X, T x0 ) si y sólo si X F figura entre los conjuntos de T x0 ; es decir, x 0 / (X F), o, equivalentemente, x 0 F. De esta forma F x0 = { } {F X : x 0 F } Ejercicio..- Tenemos T = {IR, } {(a,+ ) : a IR} y queremos probar que es una topología sobre IR. Obsérvese que IR, T por la propia definición. Sean A 1,...,A n : A i T. Existen dos posibilidades: 1

2 TOPOLOGÍA Si la intersección n A i =,IR, es trivial se sigue que n A i T, por definición. Si n A i IR,, sean i 0,...,i l, los índices con A ij,ir; en- tonces A ij = (a ij,+ ) y n A i = l A ij = l (a ij,+ ). Como se trata de un número finito l de conjuntos, j=0 j=0 l (a ij,+ ) = (a ij0,+ ) T, donde j=0 a ij0 = mín{a ij } 0 j l. Sea {A α } : A α T. Puede darse que A α =,IR sea un conjunto trivial así y A α T, por definición. En otro caso, A α,ir. Si es así, se tiene la igualdad A = A α = A α, donde Λ = {α Λ;A α }. Como A α IR, entonces A α IR, α Λ A α = (a α,+ ), α Λ A α = (a α,+ ) IR a 0 = ínf{a α : α Λ } A = (a 0,+ ) T Con esto queda probado que (IR, T ) es espacio topológico. A continuación vamos a obtener la familia de cerrados F de dicha topología. Recordemois que siempre, IR F. Además, los subconjuntos F = (, a] son cerrados de (IR, T ), dado que IR F = (a,+ ) T. Tenemos entonces que la familia de cerrados viene dada como F = {,IR} {(,a] : a IR}. Ejercicio.3.- Tenemos la familia T = {IR, } {G α }, donde G α = {(x,y) IR : y < x α, α IR} y queremos demostrar que es una topología en IR, así que procedamos a ello. Por la definición de T, IR, T. Sean A 1,...,A n : A i T, i = 1,...,n, y sea A = n A i. Pueden darse dos casos: a) A =,IR A T b) A,IR existe un número determinado de subconjuntos A i que son del tipo G α. Si etiquetamos estos conjuntos con el subíndice j = 1,...,l entonces A ij = G αj para todo 1 j l A = l G αj, donde G αj = {(x,y) IR : y < x α j }. Como hay un número l finito de conjuntos, sea α jk = max{α j ;1 j l} l G αj = G αjk A = G αjk = {(x,y) IR : y < x α jk } A T. j=1 j=1

3 TOPOLOGÍA 3 Supongamos ahora {A β } : A β T. Si A = A β,ir entonces para todo β existe un α β tal que A β = G αβ y pueden ocurrir dos casos: 1. α 0 = ínf{α β : β Λ} : G αβ G α0 A = Esta igualdad se demuestra por doble inclusión: G αβ = G α0 T. Sea (x,y) G αβ β i Λ : (x,y) G αβi y < x α βi x α 0 (x,y) G α0 G αβ G α0. Dado (x,y) G α0, como (x α 0 ) y > 0 existe, por la definición de ínfimo, un α β0 [α 0,α 0 + ε), esto es, α 0 α β0 < α 0 + ε = α 0 + x α 0 y con lo cual: α β0 < α 0 +x α 0 y y < x+α α β0 < x+α β0 α β0 = x α β0, luego y < x α β0 (x,y) G αβ G α0 G αβ.. α 0 = ínf{α β : β Λ} A = G αβ = IR T. Esta igualdad se demuestra por doble inclusión: Siempre. Si (x,y) IR como los {α β } no están acotados inferiormente cualquiera que sea (x,y) α β0 tal que α β0 < x y y < x α β0, con lo cual (x,y) G αβ0. De este modo (x,y) G αβ. Con esto queda demostrado que la familia T es topología en IR. A continuación vamos a obtener la familia de cerrados F. Ya sabemos que IR y siempre son cerrados. Para el conjunto F α = {(x,y) IR : y x α, α IR}, tenemos que IR F α = {(x,y) IR : y < x α, α IR} = G α T Así pues, F = {IR, } {F α : α IR}. Ejercicio.4.- Veamos que la familia de subconjuntos de IR, T = {IR, } {[ x, x]; x > 0}, no es una topología sobre IR. En efecto, si consideramos los conjuntos de T, G n = [ x n,x n ], con x n = n 1 n, siendo n, la unión G n = ( 1,1) no está en T, así pues T no es una topología sobre IR. Ejercicio.5.- n=

4 4 TOPOLOGÍA Es análogo al Ejercicio.4, pues si θ = (0,0) es el origen, y G n = B dl (θ, n 1 n ), con n, entonces la unión G n = B dl (θ,1) es la bola abierta de radio 1 y centro el origen, y este conjunto no aparece en T. Ejercicio.6.- Dado un espacio topológico (X, T ), consideramos la familia T = { } {{y 0 } G; G T }. Queremos saber si es una topología sobre Y = X {y 0 } con {y 0 } / X. Para ello T tiene que cumplir las tres propiedades que definen a una topología, comprobémoslo: Tenemos T por definición. Por otra parte, como X T dado que T es topología, se sigue que Y = {y 0 } X T por definición. n Sean A 1,...,A n con A i T, i = 1,...,n. Si A i,y (en otro caso es trivial) i 0,...,i l ; A ik = {y 0 } G k con G k T, k = 0,...,l, n por tanto, A i = l A ik = l ({y 0 } G k ) = {y 0 } l G k. Dado que k=0 k=0 n= k=0 (X, T ) es un espacio topológico, teniendo G k T, k l l llamamos G = l k=0 k=0 G k T. Si G k tenemos que n A i = {y 0 } G, con G T n A i T. Sea ahora {A α } : A α T, α Λ. Supongamos que la unión A = A α,y no está en un caso trivial (en otro caso es obvio que A T ). G α Sea Λ = {α Λ;A α }. Tenemos A = y además, A α = Y for all α Λ. Entonces A α = {y 0 } G α con G α T y A = ({y 0 } G α ) = ( ) {y 0 }. Por tanto, si G = G α, como (X, T ) es espacio topológico, G T y A = {y 0 } G, con G T A T. Queda demostrado que T es una topología sobre Y. A continuación obtenemos la familia F de cerrados. Si F =,Y es un cerrado, entonces Y F Y, T, luego Y F = Gcup{y 0 } con G T. Entonces, F == (Y (G {y 0 }) = X G, y llegamos a que F es un cerrado de (X, T ). Recíprocamente, si F es un cerrado de, entonces G = X F T y G {y 0 } = (X F) {y 0 } = Y F (pues y 0 / F) nos dice que F es in cerrado de (Y, T ). Hemos probado que los cerrados de (Y, T ) coinciden con los cerrados de (X, T ). Ejercicio.7.- Como T e es la topología inducida por la distancia euclídea, para conocer si alguno de los intervalos, I, son entornos de 0 basta con comprobar que

5 ε > 0 tal que B de (0;ε) = ( ε,ε) I. TOPOLOGÍA 5 a) I = ( 1, 1 ). Si tomamos ε = 1 4, B d e (0;ε) = ( 1 4, 1 4 ). Como 1 4 < 1 y 1 < 1 4 ( 1 4, 1 4 ) ( 1, 1 ). Por lo tanto ( 1, 1 ) es entorno de 0. b) I = ( 1,0). No es entorno pues 0 / I (y todo punto de int I debe estar en I). c) I = [0, 1 ). En este caso, ε > 0 tal que B d e (0;ε) = ( ε,ε) [0, 1 ). Por lo tanto [0, 1 ) no es entorno de 0. d) I = (0,1]. No es entorno por la misma razón que b). Ejercicio.8.- Para que un conjunto H sea entorno de un punto (x,y) IR en (IR, T e ) tiene que existir ε > 0 tal que B de ((x,y);ε) H. Dado que B de ((x,y);ε) = {(x,y) IR : x + y < ε }, para que H sea un entorno de (0,0) debe cumplir en general que contenga valores positivos y negativos tanto para x como para y. Esto nos bastará para justificar en los siguientes conjuntos si son o no entornos de (0,0). a) ( 1, 1 ] ( 1 4, 1 4 ]. Basta con tomar ε = 1 5, podemos comprobar que B de ((0,0); 1 5 ) = {(x,y) IR : d e ((0,0),(x,y)) < 1 5 } ( 1 5, 1 5 ) ( 1 5, 1 5 ). Dado que 1 5 < 1 4 < 1 B d e ((0,0); 1 5 ) ( 1, 1 ] ( 1 4, 1 4 ]. De este modo es entorno de (0,0). b) ( 1,0] ( 1,0]. Este conjunto no es entorno, pues los valores de x e y están restringidos al tercer cuadrante de los ejes cartesianos y cualquier círculo centrado en el (0,0) tiene puntos en los cuatro cuadrantes, de manera que resulta imposible introducir una bola de radio ε > 0 en dicho conjunto. c) [0, 1 ) [0, 1 4 ). De nuevo, no es entorno de (0,0) ya que los valores de x e y están restringidos al primer cuadrante, y por tanto(0,0) no está en el interior del conjunto. d) (0,1] (0, 1 ]. No es entorno, pues (0,0) / (0,1] (0, 1 ] Ejercicio.9.- En este problema obtendremos los derivados de los conjuntos propuestos en el plano euclídeo (IR, T e ).

6 6 TOPOLOGÍA a) A = {(x,y) IR ;x Q} = IR Q. Para cualquier abierdo euclídeo G, ε > 0 tal que B de ((x,y);ε) G. Como Q es denso en (IR, T e ), el intervalo abierto (x ε,x+ε) tiene intersección (x ε,x+ε) Q no vacía con Q. Sea q (x ε,x+ε) Q. Entonces (q,y) (x ε,x+ε) {y} B d ((x,y),ε) G, así pues G (Q IR). Es decir, (x,y) (que es un punto arbitrario de IR ) es un punto de acumulación de A, y de ese modo A = ((IR Q) Q) IR = IR IR = IR. b) B = {(( 1) n 1 n,( 1)n );n IN}. Como podemos comprobar, el conjunto B es el de los puntos del primer y tercer cuadrante de los ejes cartesianos con y = 1 ó y = 1 respectivamente y x = 1 n si n es par o x = 1 n si n es impar. Es claro que todo punto (x,y) B es aislado. En efecto, supongamos x > 0 (se razona de forma análoga si x < 0), entonces y = 1 y x = 1 n con n par. Si tomamos ε = 1 n(n+) B d e ((x,y);ε ) es entorno de (x,y) y sólo corta a B en el propio (x,y). También es fácil encontrar para todo (x,y) IR B con x 0 un ε > 0 de forma que (B de ((x,y);ε 1 ) B =. Si n 0 + x 1 n 0 tomamos ε = mín{ x 1/(n 0+), 1/n 0 x }. En caso de que x > 1, basta tomar ε = 1 x. Finalmente, si (x,y) = (0,1) dado cualquier ε, por la propiedad arquimediana de los números n 0 reales tal que 1 n 0 < ε ε > 0 tal que B de ((0,1);ε) es entorno de (0,1) se tiene que B de ((0,1);ε) B = {(x,y ) IR : y = 1,x = 1 n, n n 0 }, cortando a B en un número infinito de puntos. Por tanto (0,1) es punto de acumulación. El mismo razonamiento se aplica a (0, 1) concluyendo lo mismo. De esta forma B = {(0,1),(0, 1)} c) C = {(x,f(x)) IR ; x IR} con f(x) = x si x Q, f(x) = 1 x si x IR Q. De este modo si llamamos C Q = {(x,x) IR ;x Q} y C IR Q = {(x,1 x) IR ;x (IR Q)}, tenemos C = C Q C IR Q. Sea (x,x) un punto de la diagonal IR de ecuación y = x que contiene a C Q. Para cualquier ε > 0, y como ( x ε,x + ε ) contiene infinitos números racionales, la intersección C Q [( x ε,x + ε ) ( x ε,x + ε )] C Q B d ((x,y),ε) también, luego C. Igualmente si Γ es la recta y = 1 x que contiene a C IR Q, tenemos que para todo (x,1 x) Γ y ε > 0, [( x ε,x + ε ) ( (1 x) ε,(1 x) + ε )] B de ((x,1 x),ε), y como los irracionales son densos, podemos encontrar infinitos irracionales (z,1 z) ( x ε,x + ε ) ( (1 x) ε,(1 x) + ε ). De esta forma, C IR Q corta a B de ((x,y ),ε) en infinitos puntos y Γ C. Por último si (x,y ) / Γ, si ε 1 = d e ((x,y ), ) y ε = d e ((x,y ),Γ), entonces basta tomar ε = mín{ε 1,ε } para tener que B de ((x,y );ε) no corta a C en ningún punto, es decir, B de ((x,y );ε) C = (x,y ) / C. De este modo, C = Γ.

7 Ejercicio.10.- TOPOLOGÍA 7 Recordemos que trabajamos con la distancia euclídea. a) A = { 1 n ; n IN}. Podemos ver que 0 A, ya que ε > 0, B d e (0;ε) = ( ε,ε) es entorno de 0 y B de (0;ε) A 0. Esto se debe a la propiedad arquimediana de los números reales, es decir, para cualquier ε > 0, n 0 IN tal que ε < 1 n 0 < ε 1 n 0 ( ε,ε) ( ε,ε) A = { 1 m ; m IN, m n 0 } por consiguiente {0} A. Además como B de (0;ε) corta a A en un número infinito de puntos, por lo que B de (0;ε) {0} también, es decir, (B de (0;ε) {0}) A, por lo tanto {0} A, es decir, es adherente y de acumulación. Veamos que si x IR : x / ({0} A) x / A. Para ello vamos a distinguir tres casos: x < 0 tomamos ε < de(x,0) = x (x + ε) < 0 y (x ε) < 0 B de (x;ε) A = x / A. x > 1 tomamos ε < de(x,1) = x 1 y nuevamente B de (x;ε) A = x / A. x ( 1 n+1, 1 1 n ) tomemos ε = mín{ x n+1, x 1 n }/ B d e (x;ε) es entorno de x en (IR, T e ) y de nuevo B de (x;ε) A =, ya que m IN 1 tal que n+1 < 1 m < 1 n. De esta forma, la clausura de A viene dada por A = {0} A. b) B = {0} (1,). Siempre B B. También es adherente x = 1 ya que ε > 0, B de (x;ε) B por la propiedad arquimediana de los números reales. El punto x = también es adherente, las razones son análogas a las de x = 1. De otro lado, si x (, 0) (0, 1) x / B. Para demostrarlo basta escoger ε = x 1 4 para tener B de (x;ε) B = y concluir que x / B. Por último, si x (,+ ) x / B ya que basta tomar α = x 4 para tener B de (x;ε) B = Hemos probado así que la clausura del conjunto B es B = {0} [1,]. c) C = Q. Sean q,p Q, dado que todo intervalo contiene infinitos números racionales, tenemos (x ε,x + ε) Q para todo x IR y todo ε > 0. Así pues, todo abierto euclídeo que contenga a x debe contener a Q, y como consecuencia C = IR. d) D = IN. Siempre IN D. Ahora bien, si x / IN, x (m,m + 1), para un m IN, entonces si tomamos ε = mín{ x m, x (m+1) } B de (x;ε) D = x / D.

8 8 TOPOLOGÍA De este modo la clausura del conjunto D será él mismo, D = D = IN. e) E = IR + = {x IR;x 0}. Supongamos x / IR +, si tomamos ε = x se tiene B de (x;ε) E = x / E. Por consiguiente, E = E = IR +. Ejercicio.11.- Llamamos A al conjunto S IR S. Si S = [a,b], entonces S es cerrado y S = S. Por tanto, A coincide con la frontera de S y así A = Fr(S) = {0,1}. En el caso S = (a,b), S es abierto y por tanto IR S es cerrado. Así que IR S = IR S y por tanto A = S (IR S) =. Si ahora S = IN, tenemos que S es cerrado y como en el primer caso A = Fr(S) = IN, ya todos los puntos de IN son puntos frontera. Finalmente, si S = Q, entonces IR Q = IR y así A = Q IR = Q. Ejercicio.1.- Como Fr(S) = S X S, tenemos que Fr(S) (IR S) = S IR S (IR S) = S (IR S). Recordemos que los cerrados de (IR, T cof ) son IR y todos los conjuntos con un número finitos de elementos (incluyendo el vacío ). Así pues si A = Fr(S) (IR S) y S es abierto entonces o bien S = con lo que A = o bien IR S es finito con lo cual S es infinito y como S S, S es un cerrado infinito y por tanto S = IR. Así pues, A = IR S. Si S es finito entonces es cerrado en (IR, T cof ) y por tanto S = S, de donde S (IR S) =. Finalmente, si S = Q entonces S = IR por ser Q infinito (ver primer caso), y así A = IR (IR Q) = IR Q es el conjunto de números irracionales. Ejercicio.13.- Dado que trabajaremos con la topología euclídea T e sobre IR, para hallar los puntos interiores que forman el interior de un conjunto buscaremos aquellos puntos que son centro de una bola abierta contenida en el conjunto. Análogamente, un punto formará parte de la clausura de A (punto adherente a A) si toda bola centrada en él corta a A. 1) A = {(x,y) : x = 1 n,0 y 1}. Para todo z = ( 1 n,y) A, dado cualquier ε > 0, B de (z;ε) = {(x,y) IR : x + y < ε } (x,y) B de (z;ε) tal que (x,y) / A z no es punto interior de A int(a) =. Para hallar A lo que haremos será estudiar los z = (0,y) IR tales que 0 y 1 ya que todo otro punto de IR A es el centro de alguna bola que no corta a A.

9 TOPOLOGÍA 9 Es inmediato que para todo (0,y) IR, con 0 y 1 cualquier bola centrada en (0,y) contiene puntos de la forma ( 1 n,t). Por ejemplo, si el radio de la bola es ε entonces podemos elegir un n con 1 n < ε y 1 > t > y ε 1. n Así pues A es la unión de A y el segmento {(0,y);0 y 1}. ) Si B = {(x,y) IR : x y > 1}, tenemos int(b) = B. Figura 1. pie de figura 3) En este caso, int(c) = y C = C es cerrado. Ejercicio.14.- a) A = {(x,y) IR ; x y = 0}. Nótese que A es la unión de los ejes de coordenadas pues xy = 0 si x = 0 o y = 0. Como los ejes son cerrados del plano euclídeo entonces A es unión de los cerrados y por tanto cerrado. Además, int(a) =. Así que A es cerrado y no abierto. b) B = {(x,y) IR ; x Q}. En este caso int(b) = pues en toda bola de centro (x,y) con x Q podemos encontrar (x,y) con x irracional. Además B = IR pues en toda bola de centro (x,y) IR con (x,y) arbitrario podemos encontrar un punto (p, y) B. Por tanto, B no es cerrado ni abierto. c) C = {(x,y) IR ; x < 1} = {(x,y) IR : 1 < x < 1}.

10 10 TOPOLOGÍA En este caso int(c) = C y C = C {(x,y);x = ±1}. El conjunto C es entonces abierto y no cerrado. d) D = {(x,y) IR ; 0 < x < 1, 0 < y < 1} {(0,0)}. Claramente 0 / int(d) pero todos los demás puntos de D son interiores. Así int(d) = D {(0,0)}. Para la clausura de D tenemos

11 D = {(x,y);0 x 1;0 y 1}. El conjunto D no es pues ni cerrado ni abierto. e) E = {(x,y) IR ; x,y Q, x + y < 1}. TOPOLOGÍA 11 En este caso int(e) = pues todo círculo abierto (= bola abierta) contiene puntos con alguna coordenada irracional. Además, E = B d [(0,0),1] es la bola cerrada de centro el orígen y radio 1, esto es, el círculo unidad, ya que en toda bola abierta de centro cualquier punto (x,y) podemos encontrar un punto (p, q) con sus dos coordenadas racionales y además que la distancia al origen sea menor que la de (x,y). Este conjunto no es cerrado ni abierto. f) F = {(x,y) IR ; x + y < 1}. Este conjunto es la bola abierta de centro el origen y radio la unidad. Entonces, int(f) = F por ser un conjunto abierto y F es la bola cerrada. Este conjunto es abierto y no cerrado. g) G = {(x,y) IR ; x > 0, y 0}. Este conjunto representa el semiplano derecho de IR sin el eje OY. Para ver que G es abierto basta considerar para cada (x,y) G un ε menor que la distancia de (x,y) al eje OY y tenemos B d ((x,y),ε) G. Es también fácil comprobar que G = G OY. Simplemente observar que todo círculo centrado en un punto del eje OY tiene puntos de los dos semiplanos que definen este eje. El conjunto G es abierto pero no cerrado. h) H = {(x,y) IR ; x Q ó y Q}. Este conjunto coincide con la unión (IR Q) (Q IR). Así int(h) = pues todo círculo contiene puntos con sus dos coordenadas irracionales. Además H = IR, esto es, H es denso, pues en todo círculo podemos encontrar puntos con una coordenada irracional. H no es ni abierto ni cerrado. i) I = {(x,y) IR ; x 0, y 1 x }. Es claro que los puntos (x,y) I con y = 1 x no son puntos interiores. De hecho, int(i) = {(x,y) IR,x 0,y < 1 x }. Además I = I OY. Esto muestra que I no es ni abierto ni cerrado. Ejercicio.15.- a) A = {(x,y) IR ; x Q, y > 0}. En primer lugar int(a) = pues todo círculo del plano contiene puntos cuya primera coordenada es irracional. Por otro lado, A = {(x,y)

12 1 TOPOLOGÍA IR ; y > 0} pues todo círculo centrado en algún punto de este conjunto contiene puntos cuya primera coordenada es racional y la segunda es estrictamente positiva. Finalmente Fr(A) = A int(a) = A. b) B = {(x,y) IR ; x 0, y 0}. En este caso int(b) = {(x,y) IR ; x > 0, y 0} pues todo círculo alrededor de un (x,y) B con x = 0 contiene puntos cuya primera coordenada es negativa. además B = {(x,y) IR ; x 0} pues todo círculo de centro (x,0) contiene puntos con segunda coordenada no nula. Finalmente Fr(B) = B int(b) = OY OX + donde OX + es el semieje positivo de abcisas. Ejercicio.16.- Tenemos un espacio topológico (X, T ) y queremos demostrar que A X es abierto y cerrado Fr(A) =. Procedemos a demostrarlo por doble implicación: Sea A X abierto y cerrado en (X, T ). Fr(A) = A (X A), como A es abierto X A es cerrado y por ende X A = X A. De otro lado,

13 TOPOLOGÍA 13 A es cerrado, por lo cual A = A, por consiguiente, Fr(A) = A (X A) =. Si Fr(A) = A = int(a) Fr(A) = int(a). Dado que int(a) A A y A = int(a), A = int(a) = A A es abierto y cerrado en T. Ejercicio.17.- Tenemos (X,d) espacio métrico y x X. Para demostrar que X {x} es abierto comprobaremos que int(x {x}) = X {x}, por doble inclusión: int(x {x}) X {x} siempre, por definición de interior. Sea y (X {x}), entonces x y y por la propiedad de Hausdorff de los espacios métricos, ε > 0, tal que B de (x;ε) B de (y;ε) =, luego x / B de (y;ε) y por tanto B de (y;ε) (X {x}) y int(x {x}), y (X {x}) (X {x}) int(x {x}). Nota: Obsérvese que sólo hemos usado la propiedad de Hausdorff de un espacio métrico. Por ello este ejercicio se puede extender a los espacios topológicos que tengan la propiedad de Hausdorff. Como nuevo ejercicio adicional, comprobar los detalles. Ejercicio.18.- Queremos probar que A es denso en X G X abierto no vacío, G A. Para ello usaremos la doble implicación: Supongamos A X denso A = X. Escogemos z G G T ;G, como z X = A se cumple G A por la definición de clausura. Sea A X, si G X abierto no vacío, G A sea x X y G un abierto con x G. Entonces G y entonces G A, luego x A. Por lo tanto x X, x A X A. Como siempre A X se tiene X = A.