TOPOLOGÍA. Curso 2011/2012

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1 TOPOLOGÍA Curso 2011/2012

2 Capítulo 1 Espacios métricos 1.1. Medir la proximidad Sea X un conjunto. Denotaremos por X X al conjunto de los pares de elementos de X. Definición Una distancia sobre X es una aplicación d : X X R cumpliendo: 1. d(x, x ) 0, x, x X, 2. d(x, x ) = d(x, x), x, x X (Propiedad simétrica), 3. d(x, x ) = 0 si y sólo si x = x, x, x X, 4. d(x, x ) d(x, x )+d(x, x ), x, x, x X (Propiedad triangular), Al par (X, d) se le llama espacio métrico. Si la condición (3) se sustituye por (3 ) d(x, x) = 0, entonces d se llama seudodistancia y el par (X, d) espacio seudométrico. Ejemplo (Análisis I) Se toma X = R y se define d(x, x ) = x x. Ejemplo (Geometría) Se toma X = R 2 y se define d((x, y), (x, y )) = (x, y) (x, y ) = (x x ) 2 + (y y ) 2. Definición Sea V un espacio vectorial sobre R. Una norma sobre V es una aplicación : V R cumpliendo: 1. v 0, v V, 2

3 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 3 2. λv = λ v, λ R, v V, 3. v = 0 si y sólo si v = 0, v V, 4. v + w v + w, v, w V. Al par (V, ) se le llama espacio normado. Proposición Si (V, ) es un espacio normado, la aplicación d : V V R dada por d(v, w) = v w es una distancia sobre V. A (V, d) se le llama espacio métrico asociado al espacio normado (V, ). Demostración. Veremos a continuación que d cumple las condiciones que hacen a una aplicación distancia: 1. d(v, w) = v w 0 por la propiedad 1 de la norma. 2. d(v, w) = v w = ( 1)(w v) = 1 w v = w v, donde se ha usado la propiedad 2 de la norma en la tercera igualdad. 3. Por definición, d(v, w) = 0 si y sólo si v w = 0. Por la propiedad 3 de la norma, esto ocurre si y sólo si v w = 0, es decir, v = w. 4. d(v, v ) = v v = v v + v v v v + v v = d(v, v ) + d(v, v ), donde se ha usado la propiedad 4 de la norma para conseguir la desigualdad. Veremos a continuación algunos ejemplos de espacios normados y sus distancias asociadas. Ejemplo Si V = R y =valor absoluto, entonces (V, ) es un espacio normado con distancia asociada d(x, x ) = x x. Ejemplo Si V = R 2 y es la habitual en Geometría, es decir, la norma euclídea (x, y) = x 2 + y 2, entonces (V, ) es un espacio normado. Su distancia asociada, que llamaremos distancia euclídea y denotaremos d e, es d e ((x, y), (x, y )) = (x x ) 2 + (y y ) 2. Ejemplo Si V = R 2, entonces (x, y) taxi = x + y es una norma. La cuarta propiedad de la definición de norma se demostraría así: (x, y) + (x, y ) taxi = x + x + y + y x + x + y + y = (x, y) taxi + (x, y ) taxi.

4 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 4 A esta norma se le llama norma taxi y a su distancia asociada distancia taxi: d taxi ((x, y), (x, y )) = x x + y y. En el plano R 2, las distancias entre los puntos (0, 0) y (1, 1) son d e ((0, 0), (1, 1)) = 2 y d taxi ((0, 0), (1, 1)) = 2. Figura 1.1: Ejemplo Si V = R 2, (x, y) max = máx{ x, y } es una norma. Probaremos a continuación su cuarta propiedad: Se cumple que x + x x + x máx{ x, y } + máx{ x, y } = (x, y) max + (x, y ) max. Podemos hacer lo mismo con y + y, luego tenemos que (x, y)+(x, y ) max = máx{ x+x, y+y } (x, y) max + (x, y ) max. Su distancia asociada es d max ((x, y), (x, y )) = máx{ x x, y y }, que llamaremos distancia del máximo. Ejemplo Si tomamos V = R n, n 2, la norma euclídea es ahora (x 1,...,x n ) = n i=1 x2 i. Su distancia asociada, que también llamaremos distancia euclídea, es d e ((x 1,..., x n ), (y 1,...,y n )) = n i=1 (x i y i ) 2. Análogamente, las normas taxi y máximo para R n son (x 1,...,x n ) taxi = n i=1 x i y (x 1,...,x n ) máx = máx{ x i ; 1 i n}, siendo sus distancias asociadas d taxi ((x 1,...,x n ), (y 1,..., y n )) = n i=1 x i y i y d máx ((x 1,...,x n ), (y 1,...,y n )) = máx{ x i y i ; 1 i n}, respectivamente. Ejemplo V = {f : R R; fes acotada} es un espacio vectorial con: Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x), Producto por escalar: (λf)(x) = λf(x).

5 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 5 Se define f = sup{ f(x) ; x R}, que se demuestra que es norma: 1. f 0 porque es un supremo de valores absolutos. 2. λf = sup{ λ f(x) ; x R} = λ sup{ f(x) ; x R} = λ f. 3. Si f = 0 = sup{ f(x), x R}, entonces f(x) = 0, para todo x R, luego f es la función nula θ(x) = 0, para todo x R. 4. f +g = sup{ f(x)+g(x) ; x R}. Ahora bien, f(x)+g(x) f(x) + g(x) sup{ f(x), x R}+sup{ g(x), x R} = f + g. Por tanto, f + g f + g. La norma anterior se llama norma del supremo y su distancia asociada es d = sup{ f(x) g(x), x R}, que se denotará distancia del supremo. Veremos a continuación con un ejemplo concreto cómo funcionan esta norma y distancia. Ejemplo Si f(x) = sen(x), entonces f = 1. Si tomamos g(x) = cos(x), se tiene d (f, g) = 1. Figura 1.2: Se define la sucesión de funciones {f n } como f n = (1/n) sen(x) y se denota por θ a la función nula. Entonces d (f n, θ) = 1/n y la sucesión {f n } se aproxima arbitrariamente a la constante cero en el espacio (V, d ). Definiremos a continuación otra norma: Ejemplo Si V = {f : [0, 1] R; f continua}, entonces f 1 = 1 f(x) dx es una norma cuya distancia asociada es d 0 1(f, g) = 1 f(x) 0 g(x) dx. 1. f 1 0 porque f(x) 0 para todo 0 x λf 1 = 1 0 λ f(x) dx = λ 1 0 f(x) dx = λ f 1.

6 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 6 Figura 1.3: 3. Si f 1 = 1 f(x) dx, entonces f(x) = 0 para todo x R, luego 0 f es la función nula θ(x) = 0 para todo x R. 4. f+g 1 = 1 f(x)+g(x) dx 1 ( f(x) + g(x) )dx = 1 f(x) dx g(x) dx = f g 1. En general, podemos definir f n = n 1 0 f(x) n dx. Comprobaremos a continuación que las distancias d 1 y d son distintas. Ejemplo Para la sucesión {f n } descrita en el siguiente dibujo se tiene que d 1 (f n, θ) = 1/2 n+1, luego f n se acerca todo lo que se quiera a θ en (V, d 1 ). Sin embargo, d (f n, θ) = 1 para todo n, luego f n permance separada de θ en (V, d ). Figura 1.4: Veamos ahora un ejemplo de seudodistancia. Ejemplo Dado el espacio vectorial V = {f : [0, 1] R; f continua}, entonces d meta = f(1) g(1) es una suedodistancia. No es distancia

7 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 7 porque si tomamos dos funciones f, h que sean distintas pero que coincidan en el punto 1, entonces d meta (f, h) = 0. Podemos darle un sentido a esta seudodistancia si observamos una función creciente en V con f(0) = 0 puede ser considerada como la expresión del tiempo que tarda un corredor en pasar por cada punto de su carrera entre la salida en x = 0 y la meta en x = 1. De esta forma d meta mide la diferencia del tiempo de llegada. Figura 1.5: Definiremos ahora una distancia válida para cualquier conjunto. Ejemplo Dado { un conjunto X, la aplicación d : X X R 1, x x definida por d(x, x ) = 0, x = x es una distancia, que denotaremos distancia discreta. 1. Trivial por definición. 2. d(x, x ) = d(x, x) por definición. 3. d(x, x ) = 0 si y sólo si x = x. 4. La aplicación d sólo puede tomar los valores 0 y 1, luego la única posibilidad de que la desigualdad d(x, x ) d(x, x ) + d(x, x ) falle sería si d(x, x ) = 1 pero entonces d(x, x ) = 0 = d(x, x ). Sin embargo, este caso no puede ocurrir porque d(x, x ) = 0 = d(x, x ) implica x = x = x, luego d(x, x ) = 0. Proposición No existe ninguna norma en R n cuya distancia asociada sea la discreta. Demostración. (R.A.) Supongamos que existiese tal norma asociada y tomemos x 0 (donde 0 es el origen de R n ) y λ R, λ 0. Entonces λx 0 y 1 = d(λx, 0) = λx 0 = λx = λ x = λ. Luego hemos probado que λ = 1 para cualquier λ R, λ 0. Contradicción.

8 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 8 En el plano euclídeo (R 2, d euclídea )(plano), los círculos de centro un punto x permiten medir la proximidad a ese punto. Figura 1.6: Esta observación lleva a la siguiente definición general Definición Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Dados x X y ε > 0, se llama bola abierta de centro x y radio ε a B d (x, ε) = {y X; d(x, y) < ε}. Una bola cerrada de centro x y radio ε es B d [x, ε] = {y X; d(x, y) ε}. Una esfera de centro x y radio ε es S d [x, ε] = {y X; d(x, y) = ε}. Ejemplo En la recta euclídea (R, d e ), tenemos B de (x, ε) = {y R, x y < ε} = (x ε, x + ε). Ejemplo En el plano euclídeo (R 2, d e ), la bola B de (0, ε) = {(x 1, x 2 ) R 2, d e ((x 1, x 2 ), 0) < ε} = {(x 1, x 2 ) R 2, x x 2 2 < ε} = {(x 1, x 2 ) R 2, x 2 1 +x2 2 < ε2 }, sería un círculo sin circunferencia de centro (0, 0) y radio ε. Ejemplo En (R 2, d taxi ), la bola abierta de centro 0 y radio ε es B dtaxi (0, ε) = {(x 1, x 2 ) R 2, d taxi ((x 1, x 2 ), 0) < ε} = {(x 1, x 2 ) R 2, x 1 + x 2 < ε}. Si x 1, x 2 0, entonces x 1 + x 2 < ε implica x 1 + x 2 < ε.

9 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 9 Figura 1.7: Si x 1, x 2 0, entonces x 1 + x 2 < ε implica x 1 x 2 < ε. Si x 1 0, x 2 0, entonces x 1 + x 2 < ε implica x 1 x 2 < ε. Si x 1 0, x 2 0, entonces x 1 + x 2 < ε implica x 2 x 1 < ε. Por tanto, B dtaxi (0, ε) sería un cuadrado sin su borde de centro 0 y con esquinas en (ε, 0), (0, ε), ( ε, 0) y (0, ε). Ejemplo En (R 2, d max ), la bola abierta de centro 0 y radio ε es B dmax (0, ε) = {(x 1, x 2 ) R 2, d max ((x 1, x 2 ), 0) < ε} = {(x 1, x 2 ) R 2, máx{ x 1, x 2 } < ε} = {(x 1, x 2 ) R 2, x 1 < εy x 2 < ε}. Por tanto, B dmax (0, ε) sería un cuadrado sin su borde centrado en 0, con sus lados (de longitud 2ε) paralelos a los ejes de coordenadas. Figura 1.8: Ejemplo Sean X = {f : R R, f es acotada} y la distancia d = sup{ f(x) g(x) }. Si denotamos por θ la función constate nula, entonces B d (θ, ε) = {f X, d (f, θ) < ε} = {f X, sup{ f(x) } < ε} = {f X, ε < f(x) < ε} = {f : R R gráfico de f está entre y = ε e y = ε}.

10 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 10 Figura 1.9: Ejemplo Si tomamos X = R 2, la distancia { discreta d discreta y el {θ}, ε 1 punto θ = (0, 0), entonces B ddiscreta (θ, ε) = R 2, ε > 1 Proposición (Propiedades de las bolas abiertas) Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Se cumplen: 1. Dados ε > 0 y x X, x B d (x, ε). 1. Si 0 < ε < ε, entonces B d (x, ε ) B d (x, ε). 2. Si y B d (x, ε), donde x, ε son arbitrarios, entonces existe δ > 0 con B d (y, δ) B d (x, ε). 3. Si z B d (x, ε) B d (x, ε ), entonces existe µ > 0 tal que B d (z, µ) B d (x, ε) B d (x, ε ). Demostración. 1. Como d(x, x) = 0 < ε, entonces x B d (x, ε). 1. Si y B d (x, ε ), entonces d(x, y) < ε < ε. Por tanto, d(x, y) < ε y concluimos que y B d (x, ε). 2. Como y B d (x, ε), entonces d(x, y) < ε y podemos definir δ := ε d(x, y) > 0. Veremos ahora que B d (y, δ) B d (x, ε). En efecto, si p B d (y, δ), entonces d(y, p) < δ y d(x, p) d(x, y) + d(y, p) < d(x, y)+δ = d(x, y)+ε d(x, y) = ε. Hemos probado que d(x, p) < ε, es decir, que p B d (x, ε). 3. Si z B d (x, ε) B d (x, ε ), entonces: z B d (x, ε), luego existe δ con B d (z, δ) B d (x, ε) por el apartado (2). z B d (x, ε ), luego existe δ con B d (z, δ ) B d (x, ε ) por el apartado (2).

11 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 11 Figura 1.10: Figura 1.11: Si tomamos µ = mín{δ, δ } > 0, entonces B d (z, µ) B d (z, δ) B d (x, ε) y B d (z, µ) B d (z, δ ) B d (x, ε ). Podemos concluir que B d (z, µ) B d (x, ε) B d (x, ε ). Proposición (Propiedad de separación de Hausdorff) Si (X, d) es un espacio métrico y x x X, entonces existe ε > 0 tal que B d (x, ε) B d (x, ε) =. Demostración. Como (X, d) es un espacio métrico, entonces d(x, x ) = λ > 0. Sea ε = λ/2. Afirmamos que B d (x, ε) B d (x, ε) =. (R.A.) Si existiese y B d (x, ε) B d (x, ε), entonces d(x, y) < ε y d(x, y) < ε. Luego d(x, x ) d(x, y) + d(y, x ) < ε + ε = 2ε = λ y concluimos que d(x, x ) < λ, lo cual es absurdo. Ejemplo En R 2, d((x, x ), (y, y )) = x y es seudodistancia pero no distancia porque d((0, 0), (0, 1)) = 0 < ε, luego (0, 1) B d ((0, 0), ε), para todo ε > 0. Por tanto, B d ((0, 1), ε) B d ((0, 0), ε) para todo ε > 0. El punto (0, 1) no se puede separar nunca del (0, 0).

12 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS Conjuntos que envuelven a sus puntos Un círculo abierto del plano contiene todos los puntos del plano que rodean su centro hasta una cierta distancia (el radio del círculo), igualmente una bola abierta de un espacio (seudo)métrico. Más aún, de acuerdo con la propiedad (2), una bola abierta cualquiera contiene todos los puntos vecinos de cada uno de sus puntos hasta una cierta distancia (que varía según el punto elegido). Pero tambíén figuras de aspecto geométrico irregular pueden envolver a algunos de sus puntos (incluso a todos): bastará que contenga alguna bola abierta, por pequeña que sea, centrada en cada uno de esos puntos. Figura 1.12: Para fijar ideas establecemos las siguientes definiciones Definición Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico y A X. Decimos que x X es un punto interior de A si existe ε > 0 tal que B d (x, ε) A. En tal caso se dice que A es entorno de x en (X, d). Se llama interior de A en (X, d), denotado por inta, a: inta = {x X, x es interior a A}. Un conjunto A X se dice abierto en (X, d) si A = inta. Proposición Se cumple que inta A en todo espacio (seudo)métrico (X, d). 2. Toda bola abierta en un espacio (seudo)métrico es un conjunto abierto en (X, d).

13 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 13 Demostración. 1. Si x inta, entonces existe ε > 0 con B d (x, ε) A. Por el apartado 1 de la Proposición , x B d (x, ε) A, luego x A. Por tanto, inta A. 2. Demostraremos que intb d (x, ε) = B d (x, ε) por doble inclusión. intb d (x, ε) B d (x, ε) por (1). intb d (x, ε) B d (x, ε): Sea y B d (x, ε). Por el apartado 2 de la Proposición , existe δ > 0 tal que B d (y, δ) B d (x, ε), luego y intb d (x, ε). El siguiente resultado muestra que todo control de proximidad"tiene a los abiertos y no al valor numérico de la (seudo) distancia que los genera como elemento fundamental. Figura 1.13: Proposición En los espacios métricos (R 2, d e (euclídea)), (R 2, d taxi ) y (R 2, d max ), cualquier conjunto A R 2 tiene el mismo interior. Por tanto, las familias de los conjuntos abiertos de los tres espacios coinciden. Demostración. Si x = (x 1, x 2 ) inta en (R 2, d e (euclídea)), entonces existe ε > 0 tal que B de (x, ε) A. Ahora bien, B de (x, ε) = {y = (y 1, y 2 ) R 2, d e (x, y) < ε} = {y R 2, (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 < ε}, de donde se sigue fácilmente que: B dmax (x, 2ε/2) B de (x, ε) A, luego x inta en (R 2, d max ). B dtaxi (x, ε) B de (x, ε) A, luego x inta en (R 2, d taxi ).

14 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 14 Figura 1.14: Figura 1.15: Sea x = (x 1, x 2 ) inta en (R 2, d taxi ). Entonces existe ε > 0 tal que B dtaxi (x, ε) A. Como B dtaxi (x, ε) = {y = (y 1, y 2 ) R 2, d taxi (x, y) < ε} = {y R 2, x 1 y 1 + x 2 y 2 < ε}, tenemos que: B de (x, 2ε/2) B dtaxi (x, ε) A, luego x inta en (R 2, d e ). Figura 1.16: B dmax (x, ε/2) B de (x, 2ε/2) B dtaxi (x, ε) A, luego x inta en (R 2, d max ). El resto se deja como ejercicio (bastaría probar que si x inta en (R 2, d max ), entonces x inta en (R 2, d e ) y (R 2, d taxi )). Corolario Las bolas abiertas de (R 2, d e ), son abiertos en (R 2, d taxi ) y (R 2, d max ). Análogamente para el resto de los casos. Nota Se deja como ejercicio generalizar los dos resultados anteriores al espacio R n para todo n 2.

15 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 15 Proposición Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Entonces: 1. A X es abierto en (X, d) si y sólo si A es entorno de todos sus puntos. 2. N X es entorno de x en (X, d) si y sólo si existe un abierto G en (X, d) con x G N. 3. x es un punto interior de A en (X, d) si y sólo si existe un abierto G con x G A. Demostración. 1. Si A X es abierto, entonces A = inta. Por tanto, dado x A se tiene que x inta. Es decir, que A es entorno de todos x A. Recíprocamente, si A es entorno de todo x A, entonces x inta, para todo x A por definición de entorno. Luego A inta y, como la inclusión contraria siempre es cierta, concluimos que A es abierto. 2. Si N X es entorno de x, entonces existe un ε > 0 tal que B d (x, ε) N. Como las bolas abiertas son abiertos, entonces podemos definir G := B d (x, ε), que es un abierto en (X, d). Como x G (por ser el centro de la bola), entonces x G N. Recíprocamente, supongamos que x G N con G abierto. Por ser G abierto, entonces G = intg y x intg. Por la definición de interior, existe ε > 0 tal que B d (x, ε) G N, luego x intn y obtenemos que N es entorno de x. 3. Por definición, x inta si y sólo si A es entorno de x. Proposición (Propiedades del interior) Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Entonces: 1. inta A. 2. Si A B, entonces inta intb. 3. int(a 1... A n ) = inta 1... inta n. 4. int(inta) = inta. En particular, inta siempre es abierto. Demostración. 1. Ya hecha en el apartado 2 de

16 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS Si x inta, entonces existe ε > 0 con B d (x, ε) A B. Por tanto, B d (x, ε) B y concluimos que x intb. 3. Demostraremos int(a 1... A n ) = inta 1... inta n por doble inclusión. Siempre es cierto que A 1... A n A i, (1 i n). Por tanto, int(a 1... A n ) inta i, para todo i, y obtenemos int(a 1... A n ) inta 1... inta n. Si x inta 1... inta n, entonces x inta i para todo 1 i n. Para cada i existe δ i > 0 de forma que B d (x, δ i ) A i. Si tomamos δ 0 = mín{δ i } 1 i n, B d (x, δ 0 ) B d (x, δ i ) A i, i. Por tanto, B d (x, δ 0 ) n i=1 A i y concluimos que x n i=1 A i. 4. Por el primer apartado, inta A. Por el segundo, int(inta) inta. Veamos a continuación la otra inclusión. Si x inta, entonces existe ε > 0 tal que B d (x, ε) A. Queremos probar que x int(inta), es decir, que existe δ > 0 con B d (x, δ) inta. Ahora bien, nos sirve como δ el propio ε porque B d (x, ε) inta. En efecto, dado y B d (x, ε), por el apartado 2 de la proposición , existe µ > 0 on B d (y, µ) B d (x, ε) A. Por tanto, y inta y hemos probado que B d (x, ε) inta. Proposición (Propiedades básicas de los conjuntos abiertos en un espacio (seudo)métrico). Dado un espacio (seudo)métrico (X, d), se cumplen: 1. Los conjuntos y X son abiertos en (X, d).

17 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS Si A 1,...,A n son abiertos en (X, d), entonces A 1... A n también es abierto. 3. Si {A α } α Λ es una familia cualquiera de abiertos en (X, d), entonces α Λ A α también lo es. Demostración. 1. El conjunto X es abierto en (X, d) porque dados x X y ε > 0 cualesquiera, B d (x, ε) X por ser X el espacio total, luego x intx, x X. Por otra parte, está contenido en cualquier conjunto, luego int. La otra inclusión siempre es cierta, luego = int y concluimos que es abierto. 2. Si A 1,...,A n son abiertos en (X, d), entonces inta i = A i para todo 1 i n. Por la proposición anterior, obtendríamos que n i=1 A i = n i=1 inta i = int( n i=1 A i), luego n i=1 A i es abierto. 3. Si {A α } α Λ es una familia cualquiera de abiertos en (X, d), queremos probar que int( α Λ A α ) = α Λ A α. La inclusión int( α Λ A α ) α Λ A α es siempre cierta. Veremos ahora que la otra inclusión también se cumple. Como A α es abierto, α Λ A α = α Λ inta α. El conjunto A α está contenido en α Λ A α, luego inta α int( α Λ A α ), α Λ por la proposición Por tanto, α Λ inta α int( α Λ A α ) y concluimos que α Λ A α int( α Λ A α ).

18 Capítulo 2 Espacios topológicos En el capítulo anterior vimos que distacias distintas podían dar lugar a un mismo çontrol de proximidad". Por tanto debe existir una noción subyacente a la de distancia que nos lleve a la fundamentación general de la idea de proximidad. Esta estructura es la de topología como colección de subconjuntos sujetos a las condiciones que se reflejan en la propiedades básicas de los conjuntos abiertos de los espacios (seudo)métricos en la proposición El relevo de una (seudo)distancia por la familia de abiertos permite establecer sobre un conjunto una estructura de proximidad sin valores numéricos La proximidad sin distancia Definición Dado un conjunto X cualquiera, se llama topología sobre X a cualquier familia T de subconjuntos de X cumpliendo: 1. Los conjuntos y X están en T. 2. Si A 1,...,A n están en T, entonces n i=1 A i también está en T. 3. Si {A α } α Λ está formada por conjuntos en T, entonces α Λ A α también está en T. Al par (X, T ) se le llama espacio topológico. Los conjuntos de T se llaman abiertos del espacio topológico (X, T ). Ejemplo Si (X, d) es un espacio (seudo)métrico, entonces la familia T d = {A X; A es abierto en (X, d)} es una topología sobre X, llamada topología asociada a la distancia d. Esto es una consecuencia inmediata de las propiedades básicas de los conjuntos abiertos en espacios (seudo)métricos. 18

19 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 19 Nota Se cumple que T deuclídea = T dtaxi = T dmax, es decir, que el espacio topológico asociado a las tres distancias es el mismo. Ejemplo Sea X un conjunto cualquiera y T la familia formada por y todos los A X con X A finitos (Topología de Zariski o cofinita). Comprobaremos a continuación que T es topología sobre X: 1. T por definición. X T porque X X =, que tiene 0 elementos. 2. Dados A 1,...,A n T, tenemos dos casos posibles: Si algún A i =, entonces A 1... A n = T. Si A i, para todo 1 i n, entonces X A i es un conjunto finito para todo 1 i n. Como X ( n i=1a i ) = n i=1 (X A i) es unión finita de conjuntos finitos, entonces es finito y concluimos que n i=1 A i T. 3. Si {A α } α Λ con A α T para todo α Λ, queremos probar que α Λ A α T. Distinguiremos dos casos: Si A α = para todo α Λ, entonces α Λ A α = T. Si A α0 para algún α 0, entonces X A α0 es finito. Ahora bien, X ( α Λ A α ) = α Λ (X A α ) X A α0 (que es finito), luego X ( α Λ A α ) es finito y α Λ A α T. Proposición Si X es infinito, no existe ninguna distancia d sobre X cuyos abiertos sean los conjuntos que aparecen en la topología de Zariski. Demostración. (R.A.) Supongamos que existiese tal distancia d con T d = T. Consideremos x, x X, con x x. Por la propiedad de separación de Hausdorff, existe ε > 0 con B d (x, ε) B d (x, ε) =. Tomando complementarios, obtendríamos que X = X = X (B d (x, ε) B d (x, ε)) = (X B d (x, ε)) (X B d (x, ε)) sería un conjunto infinito (porque por hipótesis X lo es). Ahora bien, cada bola es un abierto en T d = T y x B d (x, ε), luego X B d (x, ε) y X B d (x, ε) son conjuntos finitos. Por tanto, (X B d (x, ε)) (X B d (x, ε)) sería un conjunto finito. Contradicción. Nota Se deja como ejercicio el demostrar que tampoco existe una seudodistancia d sobre un conjunto infinito X para la cual la topología de Zariski sea la familia de abiertos de (X, d).

20 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS El interior de un conjunto en un espacio topológico Hemos basado la definición de espacio topológico en la noción de conjunto abierto. Nuestra experiencia con los espacios (seudo)métricos nos dice que debería existir una idea de interior en un espacio topológico de forma que los abiertos de ese espacio quedasen caracterizados como aquellos conjuntos que coinciden con su interior como así ocurre en los espacios (seudo)métricos. La Proposición 1.2.6(3) sugiere la siguiente definición. Definición Sea (X, T ) un espacio topológico. Si A X y x X, decimos que x es interior a A en (X, T ) si existe un G en T con x G A. En particular, A. Se llama interior del conjunto A en (X, T ) al conjunto inta = {x X; x es interior a A}. Nota Obsérvese que por definición, siempre inta A. Proposición El conjunto A está en T si y sólo si A = inta. Demostración. Si A está en T, todo a A cumple que a A A, luego a inta. Como A inta y la otra inclusión se cumple siempre, entonces A = inta. Recíprocamente, si inta = A, entonces todo a A cumple que a inta, es decir, que existe G a en T con a G a A. Como A = a A {a} a A G a A, luego A = a A G a, que está en T por la tercera propiedad de la definición de topología. Ahora veremos que las propiedades del interior en un espacio (seudo)métrico se mantienen en los espacios topológicos. Proposición Sea (X; T ) un espacio topológico. Entonces se cumplen: 1. inta A. 2. Si A B, entonces inta intb. 3. int(a 1... A n ) = inta 1... inta n. 4. int(inta) = inta. En particular, inta siempre es abierto.

21 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 21 Demostración. (1) es la Nota Para demostrar (2), si x inta existe un abierto G con x G A B; luego x intb. Así pues, inta intb. De acuerdo con (2), y como A 1...A n A i para cada 1 i n, tenemos int(a 1...A n ) inta i, y por tanto int(a 1...A n ) inta 1 inta 2 inta n. Para la otra inclusión, sea x inta 1 inta 2 inta n. Por definición, para cada i n existe un abierto G i con x G i A i. Por tanto, G = G 1 G n es un abierto y x G A 1 A n. Esto prueba que x int(a 1 A n ). Esto concluye la demostración de (3). Finalmente, tenemos int(inta) inta por (1). Además, si x inta existe un abierto G con x G A. Aplicando la Proposición y la propiedad (2), tenemos x G = intg inta. Consecuentemente, la definición de interior nos da x int(inta). Definición Dado N X, decimos que N es entorno de x X en el espacio topológico (X, T ) si x intn. Proposición A está en T si y sólo si es entorno de todos sus puntos. Demostración. Se deja como ejercicio. Definición Dado (X, T ) un espacio topológico, se dice que x A es un punto aislado en A X si existe G en T con x G tal que G A = {x}. En particular, x se dice aislado en X si existe G en T con G = {x} La clausura de un conjunto. Conjuntos cerrados Si un punto x A no es aislado en A, entonces para todos G en T y x G se cumple que G A {x}, es decir, que (G {x}) A. Un punto no aislado se dice punto de acumulación; esto es Definición Dado un espacio topológico (X, T ) y A X, decimos que x X es punto de acumulación de A si para todo abierto G en (X, T ) con x G, se cumple que (G {x}) A. Proposición (Caracterización de puntos de acumulación en espacios métricos) Dados (X, d) un espacio métrico y A X, el punto x X es de acumulación de A si y sólo si todo abierto G en (X, d) contiene infinitos puntos de A.

22 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 22 Demostración. Si todo G contiene infinitos puntos de A, entonces el conjunto (G {x}) A contiene también infinitos puntos. En particular, (G {x}) A, luego x es de acumulación de A. Recíprocamente, sea G un abierto en (X, d) con x G. Como G es entorno de todos sus puntos, existe ε > 0 tal que B d (x, ε) G. Por hipótesis, (B d (x, ε) {x}) A, luego existe x 1 A con x 1 B d (x, ε) {x}. Como x x 1 y d es distancia, ε > d(x, x 1 ) = λ > 0. Figura 2.1: Sea ε 1 = λ/2. Por hipótesis, (B d (x, ε 1 ) {x}) A, luego existe x 2 A con x 2 x. Además, d(x, x 2 ) < ε 1 = λ/2 < d(x, x 1 ), luego x 2 x 1. Como x x 2, 0 < d(x, x 2 ) = λ 1 < ε 1. Sea ε 2 = λ 1 /2 = λ/4. Por hipótesis, (B d (x, ε 2 ) {x}) A, luego existe x 3 A con x 3 x. Además, d(x, x 3 ) < ε 2 < λ 1 /2 < d(x, x 2 ) < d(x, x 1 ), luego x 3 x 2 y x 3 x 1. Como x x 3, 0 < d(x, x 3 ) = λ 2 < ε 2 y definimos ε 3 = λ 2 /2. Reiterando el proceso obtenemos una sucesión de puntos distintos {x n } n 1 B d (x, ε) G y podemos concluir que G contiene infinitos puntos de A. Corolario Si (X, d) es un espacio métrico y A = {a 1,...,a n } es un conjunto finito, todos sus puntos son aislados. Definición Dados (X, T ) un espacio topológico y un conjunto A X, decimos que x X es punto adherente a A si todo abierto G de T con x G cumple G A. Nota Si x es de acumulación de A, entonces x es punto de adherencia de A. Cualquier punto x A (aislado o no) siempre es punto adherente a A.

23 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 23 Definición Se llama clausura de A al conjunto Ā = {x X; x es adherente a A}. Por la nota anterior, siempre se cumple A Ā. Un conjunto A se llama cerrado en (X, T ) si Ā = A. Ejemplo En al recta euclídea (R, euclídea), el supremo y el ínfimo de un conjunto A (si existen) son puntos adherentes a A; en particular, si A es cerrado tiene mínimo y máximo, respectivamente. Sea x 0 el ínfimo de A, por la definición de ínfimo, para todo ǫ > 0, siempre hay algún punto a ǫ A con x 0 a ǫ x 0 + ǫ. Por otro lado, si G es un abierto euclídeo con x 0 G existe ǫ 0 > 0 con (x 0 ǫ 0, x 0 + ǫ 0 ) G, y por tanto a ǫ/2 (x 0 ǫ 0, x 0 + ǫ 0 ) A G A. Tenemos así que x 0 A. Si ahora x 1 es el supremo, tenemos un elemento a ǫ A con x 1 ǫ a ǫ x 1 y se razona igual que en caso anterior para llegar a que todo abierto euclídeo que contega a x 1 corta a A; es decir, x 1 A. Proposición Sea (X, T ) un espacio topológico. Entonces, para todo A X, se tiene: A = (A A ) A donde A = {x X, x es punto de acumulación}. Obsérvese que A A es exactamente el conjunto de puntos asilados de A. Demostración. Veamos la contención hacia la derecha. Si x A, distinguimos: -x A, luego hemos terminado. -x A, luego existe G abierto, con x G y (G {x}) A =. Entonces, x es el único punto en G A. Luego, x A A. Por tanto, x (A A ) A. Para la otra contención, si x (A A ) A, distinguimos: -x A A, luego x A A, quedando demostrado. -x A. Entonces, para todo G abierto, con x G, se verifica que (G {x}) A =, por lo que G A. Por tanto, x A Dualidad interior/clausura y abierto/cerrado En esta sección veremos que en cualquier espacio topológico el interior y la clausura se determinan recíprocamente; es decir, basta conocer los interiores de los subconjuntos de un espacio topológico para conocer sus clausuras y recíprocamente. Exactamente se tiene la siguiente proposición:

24 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 24 Proposición (Dualidad interior/clausura) Sea (X, T ) un espacio topológico. Dado A X se tiene: 1. A = X int(x A). 2. int(a) = X (X A). Demostración. 1. x A para todo G abierto de (X, T ), con x G, G A para todo G abierto de (X, T ), con x G, G X A x int(x A) x X int(x A). 2. A partir del apartado anterior, cambiando A por X A. Como consecuencia inmediata se tiene. Proposición (Dualidad abierto-cerrado) En cualquier espacio topológico (X, T ) un conjunto A es abierto si y sólo si su complementario X A es cerrado Demostración. Tenemos, A abierto A = int(a) (2) A = X (X A) X A = (X A) X A es cerrado. A partir de las propiedades del interior y la dualidad en la Proposición podemos demostrar las siguientes propiedades generales de la clausura. Aquí las demostraremos directamente, dejando como ejercicio el hacerlo como se ha indicado anteriormente. Proposición (Propiedades de la clausura) Sea (X, T ) un espacio topológico. Se cumple: 1. Si A X entonces A A. 2. Si A B entonces A B. 3. A 1... A n = A 1... A n. 4. A = A. En particular, A siempre es cerrado. Demostración. 1. Ya lo hemos observado antes. 2. Sea x A, entonces, para todo abierto G de (X, T ) con x G se tiene que G A. Como A B, entonces G A G B. Por lo tanto, G B, y de ahí deducimos que x B. Luego A B. 3. Por el apartado anterior, sabemos que si A i A 1... A n, i, entonces, A i A 1... A n, para todo i. Por tanto, n i=1 A i A 1... A n. Para la otra contención, sea x A 1... A n, por definición se tiene que si G es cualquier abierto de (X, T ) con x G, se tiene que G (A 1... A n ). Ahora, por reducción al absurdo: Si x A 1... A n, entonces x A i, i. De este modo, existirá G i abierto, con x G i y G i A i =, i. Ahora, sea G o = n i=1 G i, éste

25 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 25 es un abierto con x G o. Llegamos así a contradicción con G 0 A i G i A i =, i, implicando G 0 (A 1... A n ) =, que no se puede dar. 4. Aplicando el primer apartado, se tendrá que A A. Para la otra contención, tomamos x A. Entonces, para todo G abierto de (X, T ), con x G, G A. De este modo, existirá y A, con y G. Así, por la definición de la clausura, G A. Luego, x A, y, por tanto, A A. Figura 2.2: La definición de cerrado como conjunto que coincide con su clausura y las propiedades de la clausura en la Proposición implican las siguientes propiedades de los conjunto cerrados de cualquier espacio topológico. Dejamos como ejercicio el escribir una demostración siguiendo esta indicación. Aquí lo haremos usando la dualidad abierto/cerrado. Proposición (Propiedades de los cerrados) 1. y X son cerrados. 2. Si A 1...A n son cerrados, entonces n i=1 A i es cerrado. 3. Si {A α } α Λ es una familia de cerrados, entonces α Λ A α es cerrado. Demostración. 1. es abierto, luego X = X es cerrado. X es abierto,luego X X = es cerrado. 2. Si A i es cerrado, entonces X A i es abierto. Por tanto, n i=1 (X A i ) = X n i=1 A i es abierto, luego n i=1 A i es cerrado. 3. Si A α es cerrado, entonces X A α es abierto. Luego, por propiedad de los abiertos, α Λ (X A α) = X α Λ A α es abierto. Por tanto, α Λ A α es cerrado.

26 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Convergencia de sucesiones en un espacio topológico. Caracterización de la clausura en los espacios (seudo)métricos Como los abiertos que continen a un punto x de un espacio topológico actuan como filtros de la proximidad a x, la siguiente definición precisa la idea de acercarse a x mediante sucesiones. Definición Sea (X, d) un espacio topológico. Una sucesión {x n } n 1 de X se dice que converge a x 0 X (o equivalentemente, que x 0 es un punto límite de {x n } n 1 ) en (X, T ) si para todo abierto G de (X, T ) con x 0 G existe n 0 tal que si n n 0, entonces x n G. Figura 2.3: Proposición Sea (X, d) un espacio métrico. Toda sucesión convergente en (X, d) tiene un único punto límite. Demostración. (R.A.) Supongamos que {x n } n 1 X converge en (X, d) a x 0 y a x 1, con x 0 x 1. Aplicando la propiedad de separación de Hausdorff de los espacios métricos, existe ε > 0 con B d (x 0, ε) B d (x 1, ε) =. Como {x n } n 1 converge a x 0, entonces existe n 0 tal que x n B d (x 0, ε) si n n 0. Por otro lado, como {x n } n 1 converge a x 1, existe n 1 tal que x n B d (x 1, ε) para todo n n 1. Si n > máx{n 0, n 1 }, entonces x n B d (x 0, ε) B d (x 1, ε) =. Contradicción.

27 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 27 Figura 2.4: Los puntos de la sucesión deben separarse para alcanzar los dos puntos límite Definición Un espacio topológico (X, T ) se dice que tiene la propiedad de separación de Hausdorff (o que es un espacio de Hausdorff ) si dados x, x X con x x, existen abiertos G, G en (X, T ) tales que x G, x G y G G =. Nota Si (X, T ) es un espacio topológico de Hausdorff, entonces toda sucesión convergente tiene un único punto límite. Ejemplo Sea (R 2, d) con d((x, y), (x, y )) = x x. La sucesión (x n, y n ) = (1/n, 0) converge a todo punto de la forma (0, y). En efecto, sea G un abierto de (X, d) con (0, y) G(= intg). Entonces existe ε > 0 tal que B d ((0, y), ε) G. Figura 2.5: Si escogemos n 0 tal que 1/n 0 < ε, entonces para todo n n 0 se cumple que d((0, y), (1/n, 0)) = 1/n 1/n 0 < ε, luego (x n, y n ) = (1/n, 0) B d ((0, y), ε) G, n n 0. Podemos concluir que el espacio no es de Hausdorff.

28 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 28 Proposición (Caracterización de la clausura en espacios (seudo)métricos). Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Son equivalentes: 1. x Ā con x X y A X. 2. Dado ε > 0, existe a A con d(x, a) < ε. 3. Existe {a n } n 1 A con {a n } n 1 convergiendo a x. Demostración. 1) 2): Para cada ε > 0, B d (x, ε) es abierto en (X, d) y x B d (x, ε), luego B d (x, ε) A porque x Ā. Existe por tanto a A tal que a B d (x, ε), es decir, d(x, a) < ε. 2) 3) : Dado ε = 1, existe a 1 A tal que a 1 B d (x, 1). Dado ε = 1/2, existe a 2 A tal que a 2 B d (x, 1/2). Figura 2.6: Reiterando el proceso obtenemos una sucesión a 1,...,a n en A con a n B(x, 1/n), es decir, d(x, a n ) < 1/n. Afirmamos que {a n } n 1 converge a x. En efecto, si G es abierto de (X, d) con x G, entonces existe δ > 0 con B d (x, δ) G. Si n 0 con 1/n 0 < δ, se cumple que d(a n, x) < 1/n < 1/n 0 < δ para todo n n 0. Luego a n B d (x, δ) G y concluimos que {a n } n 1 converge a x. 3) 1) (Válido para todo espacio topológico): Sea G un abierto de (X, d) con x G. Como {a n } n 1 converge a x por hipótesis, existe n 0 con a n G si n n 0 (por definición de convergencia). Como a n A, entonces a n A G y concluimos que x Ā por la definición de clausura. Corolario En un espacio (seudo)métrico, A es cerrado si y sólo si para todo x X para el cual exista {a n } n 1 A convergiendo a x se tiene que x A.

29 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 29 Demostración. Sabemos que A es cerrado si y sólo si A = Ā. La condición para todo x X para el cual exista {a n } n 1 A convergiendo a x se tiene que x A significa, gracias a la proposición anterior, que si x Ā, entonces x A. Por tanto Ā A y, como la otra inclusión siempre es cierta, A = Ā Otros puntos notables. Análisis de la posición en un espacio topológico Definición Sea (X, T ) un espacio topológico. Dado A X, decimos que x X es un punto frontera de A si para todo conjunto G abierto de (X, T ) con x G, se verifica que G A y (X A) G. Se llama conjunto frontera de A a FrA = {x X, x punto frontera de A} Proposición FrA = A X A Proposición Sea (X, T ) un espacio topológico. Entonces, para todo A X, se cumple: A = int(a) FrA Además, int(a) FrA =. Demostración. Para la contención hacia la derecha, sea x A, distinguimos: -x int(a), luego x int(a) F ra, y hemos terminado. -x int(a), entonces, para todo G abierto, con x G, se tiene que G A. De este modo, para todo G abierto con x G, se verifica que G (X A). Entonces, x FrA, y de este modo, x int(a) FrA. Para la contención hacia la izquierda, sea x int(a) F ra. Distinguimos: -x int(a) A A, luego x A. -x FrA = A X A, luego x A. Finalmente, veamos que int(a) y F ra son disjuntos. Por reducción al absurdo, supongamos que x int(a) F ra. En particular, x int(a), luego, existe un abierto G, con x G A. Entonces, G (X A) =, por lo que x FrA, que contradice la hipótesis. Definición Sea (X, T ) un espacio topológico, y A X. Un elemento x X se dice exterior a A si x int(x A). Se define el exterior de A como: ext(a) = int(x A)

30 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 30 Proposición Sea (X, T ) un espacio topológico, entonces: 1. FrA = Fr(X A) 2. X = int(a) FrA ext(a) 3. Los anteriores conjuntos son disjuntos entre sí. Demostración. 1. FrA = A X A = Fr(X A). 2. Tenemos que X = A (X A). Como A = X int(x A), se tendrá que X = int(a) FrA int(x A) = int(a) FrA ext(a). 3. Sabemos que FrA int(a) =. Por otro lado, FrA ext(a) = Fr(X A) int(x A) =. Y por último, int(a) ext(a) = int(a) int(x A) A (X A) =. Luego los conjuntos son disjuntos. Ejemplo (a) Si Z R es el conjunto de los números enteros, se tiene que int(z) = y Z = Z en (R, euclídea), en particular FrZ = Z. Tenemos así que Z es cerrado (pero no abierto) en la recta euclídea. (b) Si a < b, entonces los intervalos A = [a, b], B = (a, b), C = [a, b) y D = (a, b] como conjuntos de la recta euclídea cumplen: 1. int(a) = int(b) = int(c) = int(d) = (a, b) 2. A = B = C = D = [a, b] 3. FrA = FrB = FrC = FrD = {a, b} Así pues, A es un conjunto cerrado pero no abierto, B es un conjunto abierto no cerrado y C y D no son ni abiertos ni cerrados. (c) El Conjunto de Cantor es el conjunto cerrado de la recta euclídea C = n=1 A n obtenido como la intersección de los conjuntos cerrados (y esto prueba que C es un conjunto cerrado) definidos inductivamente al tomar A n+1 como el resultado de eliminar los intervalos abiertos que constituyen los tercios centrales de los intervalos que componen A n. Se comienza con A 1 = [0, 1].

31 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 31 Figura 2.7: (d) Sea X = {f : [ 1, 1] R continua}, definimos el conjunto A X como A = {f X : f derivable}. Nos preguntamos si el conjunto A es cerrado para la distancia del supremo d. Esta pregunta, puramente topológica, equivale a probar que el límite respecto a d de funciones derivables es derivable lo daría un importante resultado de Análisis. Desafortunadamente la respuesta es negativa. En efecto, si tomamos f(x) = x, función no derivable, podemos encontrar una sucesión de funciones derivables que tienden a f. Figura 2.8: Esto implica que A A, por lo que A no es cerrado. De hecho se puede demostrar que A = X, por lo que toda función continua es límite de funciones derivables respecto a la distancia del supremo d. Definición Sea (X, T ) un espacio topológico, A X se dice denso en (X, T ) si A = X Subespacio topológico Proposición Sea (X, T ) un espacio topológico, y A X. Sea la familia de subconjuntos de A, T A = {A G, G T }.

32 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 32 Entonces, la familia T A es una topología sobre A, llamada topología relativa a A (o restricción). A (A, T A ) se le llama subespacio topológico de (X, T ), y se tiene que C A es un cerrado de (A, T A ) si y sólo si C = {F A, F cerrado de (X, T )} Demostración. Dejamos como ejercicio comprobar que T A es una topología sobre A. Para la segunda parte, tenemos que C A es un conjunto cerrado de (A, T A ) si y sólo si C = A H, con H abierto en (A, T A ) si y sólo si C = A H y H = G A con G T. Luego C = A (X H) = A (X G), siendo X G cerrado de (X, T ). Teniendo en cuenta que la intersección finita de conjuntos abiertos (de cerrados, respectivamente) es un conjunto abierto (cerrado, resp.), se sigue inmediatamente la siguiente proposición. Dejamos los detalles como ejercicio. Proposición si A abierto de (X, T ), entonces todos los abiertos de (A, T A ) son abiertos de (X, T ). Del mismo modo se tendrá para los cerrados. Ejemplo En general, los abiertos de (A, T A ) no son abiertos de (X, T ). Por ejemplo: sea (R 2, euclídea), y A = R 2 + = {(x, y) : y 0} el semiplano superior. Figura 2.9: Entonces, A no es un abierto en (R 2, euclídea). Ahora, tomando G = B d (0, ε), que es abierto de (R 2, euclídea), ocurre que G A no es abierto de (R 2, euclídea), pero sí lo es de (A, euclídea A ) Nota Si B A X y (X, T ) espacio topológico, denotamos por B X a la clausura de B en (X, T ), y B A, a la clausura de B en (A, T A ). Probar que B A = B X A. Nota Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico, y sea T d la topología de los abiertos de (X, d). Dado A X, denotamos por d A a la distancia restricción cuyos abiertos forman la topología T d A, entonces se tiene

33 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 33 T d A = (T d ) A. Se deja como ejercicio comprobar la igualdad (Ayuda: se tiene que para todo a A, B d A (a, ε) = B d (a, ε) A). Para terminar, una observación sobre aquellos conjuntos que son simultáneamente abiertos y cerrados en un espacio topológico. Hemos visto que al menos X y son conjuntos simultáneamente abiertos y cerrados en cualquier espacio topológico (X, T ). Los espacios donde únicamente el espacio total y el conjunto vacío son a la vez abiertos y cerrados son de gran importancia en matemáticas y son llamados espacios conexos. Volverenos sobre ellos en la Sección 4.4. A continuación demostraremos que todos los intervalos de la recta con la restricción de la topología euclídea cumplen esta propiedad. Proposición Sea J un intervalo de cualquier tipo de la recta incluyendo la propia recta. Entonces, los únicos abiertos de (J,euclídea) que son a la vez cerrados son J y. Demostración. R.A. Supongamos por el contrario que existe A J abierto y cerrado de (J,euclídea) con A y A J. Escogemos un t 0 J A. Entonces si Figura 2.10: A 0 = A (, t 0 ) = A (, t 0 ] A 1 = A (t 0, ) = A [t 0, ) necesariamente A 0 ó A 1. Supongamos A 0. Como A es abierto en (J, euclídea), también lo es A 0 = A (J (, t 0 )) por ser intersección de dos abiertos en (J, euclídea). Del mismo modo, A 0 es cerrado en (J, euclídea). El conjunto A 0 está acotado por t 0 superiormente y A 0, entonces existe a = sup A 0. Como J es in intervalo, para todo t A 0, tenemos a [t, t 0 ] J. Sabemos por el Ejemplo que a es un punto adherente de A 0 en (R, euclídea). Por la Nota 2.7.4, tenemos que a A 0 J = A 0 J. Ahora bien, como A 0 es cerrado en (J, euclídea), entonces, a A 0. En particular, a < t 0. Por otro lado, de ser A 0 abierto se sigue que existe δ > 0 con {t J; t t 0 < δ} A 0, entonces si 0 < ǫ < δ con a + ǫ [a, t 0 ] J tenemos a + ǫ A 0 y a + ǫ > a, por lo que a no es supremo de A 0 llegando así a una contradicción.

34 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Continuidad Desde el punto de vista del análisis de la posición, una aplicación continua debe preservar la estructura de proximidad; es decir, si un punto está adherido a un conjunto, entonces la imagen de aquel debe seguir pegado a la imagen del conjunto. Figura 2.11: Definición Sean (X, T ) e (Y, T ) espacios topológicos. Una aplicación f : (X, T ) (Y, T ) se dice continua si para todo A X, se verifica que f(a) f(a). Es decir, si para todo a A, entonces, f(a) f(a). Proposición (Caracterización de la continuidad por abiertos y cerrados) Sean (X, T ) e (Y, T ) espacios topológicos, y sea una aplicación f : (X, T ) (Y, T ). Son equivalentes: (1) f es continua. (2) Si F es un cerrado en (Y, T ), entonces f 1 (F) es cerrado en (X, T ). (3) Si G es un abierto en (Y, T ), entonces f 1 (G) es abierto en (X, T ). Demostración. (1) (2) Sea F un cerrado en (Y, T ), veamos que f 1 (F) es cerrado en (X, T ). Esto será cierto si f 1 (F) = f 1 (F), de modo que la contención hacia la izquierda se tiene siempre. Para la otra contención, tomamos A = f 1 (F) X. Entonces, por la continuidad de f, se tiene que f(f 1 (F)) f(f 1 (F)). Ahora, tenemos que f(f 1 (F)) F, y por la monotonía de la clausura, f(f 1 (F)) F = F. Aplicando lo anterior, se tiene que f(f 1 (F)) F. Luego, para todo z f 1 (F), se verifica que f(z) F, luego z f 1 (F). Por tanto, se tiene la otra inclusión. (2) (3) Sea G abierto, entonces Y G es cerrado. Como estamos suponiendo (2), f 1 (Y G) = X f 1 (G) es cerrado. Por tanto, f 1 (G) es abierto.

35 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 35 (3) (1) Sea y f(a), veamos que y f(a). Es decir, debemos probar que para todo G abierto de (Y, T ) con y G, se tiene que G f(a). En efecto, si G abierto, entonces, por (3), f 1 (G) es abierto de (X, T ). Como y f(a), existirá algún x A con f(x) = y. De modo que, como y G, x f 1 (G). Ahora, como x A, cualquier abierto que contenga a x corta a A. Así, por la definición de punto adherente, se tiene que f 1 (G) A. Luego, existe a A con a f 1 (G). Entonces, f(a) G f(a), es decir, G f(a), que es lo que queríamos probar. La caracterización de la continuidad por abiertos y cerrados nos lleva a la siguiente versión general de conocido Teorema del Valor Intermedio de Bolzano. Proposición Sea (X, T ) un espacio topológico. Son equivalentes a) Los únicos conjuntos abiertos que son también cerrados en (X, T ) son X y. b) Si f : (X, T ) (R,euclídea) es continua y a, b f(x) con a b entonces [a, b] f(x) c)(teorema de Bolzano) Si f : (X, T ) (R,euclídea) es continua y x 1, x 2 X con f(x 1 ) < 0 y f(x 2 ) > 0, entonces x 0 X con f(x 0 ) = 0. Demostración. a) b) Si a = b no hay nada que probar. Supongamos entonces que a < b. Si algún t con a < t < b cumpliese que t / f(x), entonces el conjunto A = f 1 ((t, )) coincide con f 1 ([t, )). Luego la continuidad de f implica que el A es un conjunto a la vez abierto y cerrado. Además, como a f(x), si a = f(x 0 ), x 0 / A pues a = f(x 0 ) < t, mientras que si f(x 1 ) = b entonces x 1 A pues b > t. Esto nos dice que A, X, lo que contardice a). b) c) Si f(x 1 ) = a < 0 y f(x 2 ) = b > 0. Tenemos a b, entonces [a, b] f(x). Por b) sabemos que 0 [a, b] f(x). Luego, x 0 X con f(x 0 ) = 0 c) a) Si no no se cumpliese a) entonces existe A, X abierto y cerrado a la vez. Sea f : (X, T ) (R, euclídea) definida como { +1 si x A f(x) = 1 si x A

36 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 36 Afirmamos que f es continua y claramente no cumple la condición c), llegando a una contradicción. Veamos la continuidad. Sea G abierto de (R,euclídea) Supongamos 1, 1 G f 1 (G) = A (X A) = X Supongamos 1, 1 G f 1 (G) = Supongamos 1 G y 1 G f 1 (G) = A Supongamos 1 G y 1 G f 1 (G) = X A En cualquier caso f 1 (G) es un conjunto abierto y por tanto f es continua. Consecuencia: Como todo intervalo de la recta (incluyendo la recta) cumple el apartado a) (Proposición 2.7.6), obtenemos como caso particular de la Proposición la versión clásica del teorema de Bolzano. Proposición (Caracterización de la continuidad para espacios (seudo)métricos) Sea f : (X, d) (Y, d ) una aplicación entre espacios (seudo)métricos. Son equivalentes: (1) f es continua (con la caracterización por abiertos). (2) Para todo x X y para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si d(x, x ) < δ, entonces, d (f(x), f(x )) < ε. O equivalentemente, f(b d (x, δ)) B d (f(x), ε). Demostración. (1) (2) Como B d (f(x), ε) es abierto de (Y, T ), por (1) sabemos que f 1 (B d (f(x), ε)) es abierto con de (X, T ). De este modo, si f(x) B d (f(x), ε), entonces x f 1 (B d (f(x), ε)). Así, por definición de abierto, f 1 (B d (f(x), ε)) es entorno de x, luego existirá δ > 0 tal que B d (x, δ) f 1 (B d (f(x), ε)). Y por tanto, f(b d (x, δ)) B d (f(x), ε). (2) (1) Si G es abierto de (Y, d ), debemos probar que f 1 (G) es abierto de (X, d). Es decir, hay que probar que f 1 (G) es entorno de todos sus puntos. En efecto, sea x f 1 (G), entonces, como G abierto, existe ε > 0 con B d (f(x), ε) G. Por (2), existirá δ > 0 tal que f(b d (x, δ)) B d (f(x), ε) G. Luego, B d (x, δ) f 1 (G), es decir, f 1 (G) es entorno de todos sus puntos. Proposición (Caracterización por convergencia) Sea f : (X, d) (Y, d ) una aplicación entre espacios (seudo)métricos. Son equivalentes: (1) f es continua. (2) Si {x n } n 1 X y {x n } n 1 converge a x 0 en (X, d), entonces {f(x n )} n 1 converge a f(x 0 ) en (Y, d ).

37 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 37 Demostración. (1) (2) Debemos probar que para cualquier G abierto de (Y, d ) con f(x 0 ) G, existe un n 0 tal que f(x n ) G n n 0. En efecto, por (1) sabemos que f 1 (G) es abierto de (X, d). Además, si f(x 0 ) G, entonces x 0 f 1 (G). Por hipótesis, si {x n } n 1 converge a x 0, entonces existe n 0 con x n f 1 (G); es decir, f(x n ) G para todo n n 0. (2) (1) Para ver que f es continua, debemos probar que f(a) f(a), para todo A X. En efecto, sea y f(a), entonces existe x A tal que y = f(x). Por la caracterización de la clausura en espacios (seudo)métricos, va a existir {a n } n 1 A convergiendo a x. Entonces, por (2), {f(a n )} n 1 f(a) converge a f(x). Luego, por propiedad de la clausura, y = f(x) f(a). Por lo que hemos probado lo que queríamos. Proposición (Propiedades generales de las aplicaciones continuas) a) Cualquier aplicación constante es continua. b) La identidad id : (X, T ) (X, T ) es continua. c) La composición de aplicaciones continuas es continua. d) La restricción de una aplicación continua es continua respecto de la topología restricción (o relativa). Notar que b) + d) implica que toda inclusión i : (A, T A ) (X, T ) : i(a) = a a A, con A X, es continua. Demostración. Usaremos la caracterización por abiertos. a) Sea f : (X, T ) (Y, T ) constante. Es decir, f(x) = y 0 Y x X. Entonces, sea U Y abierto en (Y, T ), tendremos que f 1 (U) = si y 0 U, que es un abierto; y f 1 (U) = X si y 0 U, que también es abierto. Luego f es continua. b) Sea U abierto de (X, T ), entonces id 1 (U) = U. Luego la identidad es continua. c) Sean f : (X, T ) (Y, T ) y g : (Y, T ) (Z, T ) aplicaciones continuas, y sea U abierto de (Z, T ). Entonces, x (g f) 1 (U) g(f(x)) = g f(x) U f(x) g 1 (U) x f 1 (g 1 (U)) Es decir, (g f) 1 (U) = f 1 (g 1 (U)), que es abierto por ser f continua, y ser g 1 (U) abierto por la continuidad de g. Por tanto, la composición de aplicaciones continuas es continua. d) Sea f : (X, T ) (Y, T ) continua, y A X. Entonces, sea f A : (A, T A ) (Y, T ) la restricción dada por f A (a) = f(a) a A. Ahora, sea U Y abierto de (Y, T ), sabemos que f 1 (U) es abierto, y, por