3. Calcula la probabilitat d obtenir un 1 i una X entre els dos llançaments Tenint en compte el diagrama anterior

Transcripción

1 PROBLEMES DE PROBABILITAT. Escrivim en les cares d una dau tres uns, dues X i un 2. Llancem un dau, Quina és la probabilitat de treure un? I una X? I Un 2? Solució: Espai mostral E={,x,2} No són esdeveniments equiprobables. 3 2 P() = P( x) P(2) 6 = 6 = 6 2. Llancem el dau anterior dues vegades. Fes un diagrama en arbre per tal d obtenir l espai mostral associat a l experiment i calcula la probabilitat de cadascun dels esdeveniments E = {, x,2, x, xx, x2,2,2 x,22} P(,) = P(, x) = P(, 2) = Px (,) = Pxx (, ) = Px (,2) = P(2,) = P(2, x) = P(2, 2) = Calcula la probabilitat d obtenir un i una X entre els dos llançaments Tenint en compte el diagrama anterior L esdeveniment A={treure un i una X} = (, X) ( X,) PA ( ) = + = = Quina seria la probabilitat d obtenir almenys un 2 entre els dos llançaments L esdeveniment B={treure almenys un 2} = (, 2 ) ( X, 2) ( 2,) ( 2, X) ( 2, 2) PB ( ) = = =

2 5. Llancem enlaire dos daus. Fes un diagrama en arbre per tal d obtenir la probabilitat de que siguin dos nombres imparells P(imparell,imparell)= = I de que siguin dos múltiples de 3? 2 2 P 3,3 = = Quina és la probabilitat d obtenir una fitxa doble si agafem una fitxa de dòmino? Hi ha 28 fitxes, de les quals són 7 dobles, per tant 7 P( fitxa doble ) = = Quina és la probabilitat d obtenir una puntuació de set (contant les dues parts de la fitxa) Les fitxes que tenim són les següents( i la seva suma): 3 Per tant, Psuma= ( 7) =

3 9. Escriu els espais mostrals associats als següents experiments i esbrina en cada cas les probabilitats dels esdeveniments elementals a) Extraure una carta de una baralla i anotar el pal E = { o, c, e, b} P( o) = P( c) = P( e) = P( b) = 4 b) Extraure una carta de una baralla i anotar el nombre E = {, 2,3, 4,5,6,7, J, Q, K} P() = P(2) =... = P( Q) = P( K ) = 0 c) Extraure una carta de una baralla i anotar si es figura o no { } E = F, F P( F) = = P( F) = = d) Llançar un dau octaèdric que té anotats els nombres de l al 8 i anotar amb i anotar si es múltiple de 3 o no E = 3,3 P 3 = = P 3 = = ja que hi ha dos múltiples de e) Llançar el dau anterior i anotar si el nombre obtingut és primer o no {, } ( ) ( ) 4 4 E = primer primer P primer = = P primer = = ja que els primers són 4: el 2,el 3, el 5 i el set f) Una urna conté sis boles blanques i cinc de negres. Traiem una bola i anotem el color 6 5 E = { blanca, negra} P( blanca) = P( negra) = g) Una urna conté cinc boles blanques, set de grogues i vuit de negres. Traiem una bola i anotem el color E = { blanca, groga, negra} P( blanca) = P( groga) = P( negra) = h) Polsar la ruleta de la figura i observar la puntuació obtinguda 0. Construeix i dibuixa una ruleta dividida en quatre sectors numerats de l al 4 de forma que les seves probabilitat siguin de : P() = 0,2 P(2) = 0,3 P(3) = 0,25 P(4) = 0,25

4 . En una moneda trucada, la probabilitat d obtenir cara és triple que la d obtenir creu. Quina és la probabilitat de cada resultat? { } E = cara, creu P( creu) = x P( cara) = 3x x + 3x = 3 Pcreu ( ) = Pcara ( ) = Amb respecte de l experiment de llançar un dau, considerem els esdeveniments. Descriu els esdeveniments { } { } { } { } { } {} {} { } am ) =,4,6 bm ) N= 2 cm ) N= 2,5 dn ) M=,6 e) N M = 2,3,4,5 f) N M = 4 g) N M = 4 h) N M =,2,4,6 3. Quina és la probabilitat d obtenir una fitxa doble si agafem dos fitxes de dòmino? 7 P( fitxa doble ) = = Una enquesta revela que el 35% dels habitants d una ciutat llegeixen el diari A, el 24% llegeixen el diari B i un 8% llegeixen els dos diaris. Si elegim a l atzar un habitant, a) quina probabilitat hi ha de que llegeixi un dels dos diaris? PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) = 0,35 + 0, 24 0,08 = 0,5 b) I de que llegeixi A però no B PA ( B) = PA ( ) PA ( B) = 0,35 0,08 = 0, 27 c) I de que no llegeixi cap dels dos ( ) ( ) P A B = P A B = 0,5 = 0, Un 65% dels alumnes d un grup de r han aprovat Socials, un 70% han aprovat Naturals i un 50% han aprovat les dues. Si escollim a l atzar un estudiant d aquest grup. a) quina és la probabilitat que hagi aprovat Naturals però no Socials : PN ( S) = 0,2 b) I de que hagi aprovat una qualsevol de les dues? PS ( N) = 0,85 c) I de que no hagi aprovat cap de les dues? P( S N) = 0,5

5 6. Calcula la probabilitat de obtenir dos cares i dos creus si llancem enlaire quatre monedes Hi ha 6 casos possibles dels quals dues cares i dos creus poden sortir de 2,2 4! PR 4 = = = 6, per tant, asi A={2 cares i 2 creus}, PA= ( ) = 2! 2! D una urna que conté 8 boles blanques, 7 de vermelles i 5 de negres, extraiem una bola Quina és la probabilitat de que sigui negra? 5 Pnegra ( ) = = De la urna anterior extraiem dos boles a l atzar ( sense devolució) i anotem el seu color. Fes un diagrama en arbre i troba les probabilitats dels diferents resultats que es poden donar? Les probabilitats són, en cada cas, el producte: PBB (, ) = PBV (, ) = PBN (, ) = PV (, B) = PVV (, ) = PV (, N) = PNB (, ) = PNV (, ) = PNN (, ) = D una baralla espanyola, extraiem dues cartes. Quina és la probabilitat de que siguin dos figures? I dos copes PFF (, ) = Pcc (, ) = Un joc amb un baralla espanyola consisteix en treure dues cartes, Guanya el que treu dos copes o dos figures. Quina probabilitat hi ha de guanyar? A={ 2 copes o dos figures} P( A) = P(2 copes) + P(2 figures) P(2 figures de copes)

6 o sigui PA= ( ) + = Quants resultats són possibles en el llançament de tres daus? Quina serà la probabilitat d obtenir al menys un sis? Resultats possibles 3 VR 6,3 = 6 = 26 A={almenys un 6} PA ( ) = P(6, +, ) P(6,6, + ) P(6,6,6) = + + = = Si juguem una aposta a la loteria primitiva, quina és la probabilitat de que ens toqui? Hi ha C = = , per tant, I de no encertar cap dels sis nombres? P (encert amb q.) = Les jugades que no tenen cap dels sis nombres de la quiniela són Pcap ( ) = = = 0, C 43, i per tant 24. Tenim en una urna quatre boles blanques i 7 de negres, i traiem totes menys una. Quina és la probabilitat que sigui blanca? Podem suposar que tenim totes les boles fora i agafem una per posar a la bossa, quina 4 probabilitat hi ha de que sigui blanca? P =

7 25. Suposant que els resultats d una quiniela de 4 són equiprobables, i que hem realitzat una, quina és la probabilitat d obtenir una de tretze? I de no encertar cap resultat? 4 4 Hi ha VR 3 = 3 = casos possibles. Fallar un resultat ( per exemple l últim ) 2 2 val P( acertar, acertar,..., acertar, acertar ) =... = i, com que es pot fallar qualsevol dels resultats(4), llavors: P( una de 3) = D una baralla s extrauen tres cartes per observar si son o no figures, Descriu l espai mostral de l experiment i calcula les diferents probabilitats a) En el cas que es faci amb devolució de les cartes E= { FFFFFFFF,,, } PFF (, ) = PFF (, ) = PFF (, ) = PFF (, ) = b) Sense devolució E= { FFFFFFFF,,, } PFF (, ) = PFF (, ) = PFF (, ) = PFF (, ) = En una urna tenim 5 boles blanques i quatre de verdes. Traiem dos boles. Descriu l espai mostral i calcula les diferents probabilitats

8 a) en el cas que la primera bola es torni E= { BBBVVBVV,,, } PBB (, ) = PBV (, ) = PV (, B) = PVV (, ) = b) sense devolució de la bola E= { BBBVVBVV,,, } PBB (, ) = PBV (, ) = PVB (, ) = PVV (, ) = Calcula la probabilitat de que almenys una sigui blanca en cada un dels casos anteriors Serà, en cada cas, la suma dels esdeveniments (B,B), (B,V) i (V,B), per tant: a) Amb devolució: b) sense devolució: PZ ( ) = = PZ ( ) = = (*) Un joc consisteix en llaçar un dau repetides vegades fins que surti un 6 i es termina el joc). Calcular

9 a) La probabilitat de terminar en la primera jugada. b) De terminar abans de la quarta jugada P( j ) = P( abans4 j) = P( a) + P( a,2 a) + P( a,2 a,3 a) = + + = c) De terminar exactament a la quarta jugada: P(4 a) = ( a,2 a,3 a,4 a) = = (*) Tres persones A,B i C llancen un dardo sobre una diana. Les seves probabilitat d encertar són respectivament de 0,7, 0,5 i 0,2. Troba la probabilitat d encertar entre els tres si llancen cada un si no encerta l anterior. ( ) ( ) ( ) ( ) Pencertar ( ) = PA ( ) + P AB, + P ABC,, = 0,7 + 0,3 0,5 + 0,3 0,5 0, 2 = 0,88 NOTES: