la matriz de cambio de base de B 1 en B 2. = M 1 B 2,B 1 [1 + x + x 2 ] B1 = M B2.

Transcripción

1 Práctica 2. Álgebra Lineal. Cambio de Base.Transformaciones Lineales. Matrices asociadas a una transformación lineal. 2do año: Lic. en Matemática y Profesorado. 1. (a) Sean B 1 = {(1, 0), (1, 1)} y B 2 = {(0, 1), ( 1, 1)} bases de R 2. i. Hallar M B2,B 1 la matriz de cambio de base de B 1 en B 2 (M es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de la base B 1 respecto de la base B 2 ). ii. Hallar la matriz cambio de base M B1,B 2 de B 2 en B 1. iii. Comprobar que M B1,B 2 = M 1 B 2,B 1. iv. Verificar que M B2,B 1 [(1, 2)] B1 = M B2. (b) Sean B 1 la base canónica de R 3 y B 2 = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 1, 1)}. i. Hallar M B2,B 1 la matriz de cambio de base de B 1 en B 2. ii. Hallar la matriz cambio de base M B1,B 2 de B 2 en B 1. iii. Comprobar que M B1,B 2 = M 1 B 2,B 1. iv. Verificar que M B2,B 1 [(1, 2, 0)] B1 = M B2. (c) Sean B 1 = {1, x, x 2, x 3 } y B 2 = {x 1, x(x 1), x 2 (x 1), x 3 } bases del R espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3. i. Hallar M B2,B 1 la matriz de cambio de base de B 1 en B 2. ii. Hallar la matriz cambio de base M B1,B 2 de B 2 en B 1. iii. Comprobar que M B1,B 2 = M 1 B 2,B 1. iv. Verificar que M B2,B 1 [1 + x + x 2 ] B1 = M B2. 2. Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son transformaciones lineales: (a) L : R 3 R 3 definida por L(x, y, z) = (x y, x 2, 2z). x 2x 3y (b) L : R 3x1 R 3x1 definida por L y = 3y 2z z 2z (c) T : R 2x2 R 2x2 definida por T ( x y z w ) = ( x + y y z + w w (d) f : C C, f(z) = z (considerando a C como R-espacio vectorial y como C-espacio vectorial). 1 )

2 (e) f : R[X] R 3, f(p) = (p(0), p (0), p (0)). (f) tr : K nxn K, definida tr(a) = n i=1 a ii.(esta aplicación es conocida con el nombre de traza). (g) Sea B K nxn {0} fija, f : K nxn K nxn definida: i. f(a) = BA. ii. f(a) = BA AB. iii. f(a) = A + B. ( ) (a) i. Sea T(x) = Ax siendo A =, 0 1 una transformación lineal de R 2 en R 2. En un sistema de ( coordenadas ) graficar ( ) los vectores u, v, T(u), T(v), siendo u = 2 5 y v = 4 1 ii. De una descripción geométrica de lo que hace T a un vector x de R 2 ( ) 0 iii. Encuentre un vector x cuya imagen por T sea. Es 15 único? (b) Interpretar geométricamente las siguientes aplicaciones lineales f : R 2 R 2. i. f(x, y) = (x,0). ii. f(x, y) = (0, y). iii. f(x, y) = (x, y). iv. f(x, y) = (12(x + y), 12(x + y)). 4. (a) Probar que existe una única transformación lineal f : R 2 R 2 tal que f(1, 1) = ( 5, 3) y f( 1, 1) = (5, 2). Para dicha f, determinar f(5, 3) y f( 1, 2). (b) Existirá una transformación lineal f : R 2 R 2 tal que f(1, 1) = (2, 6); f( 1, 1) = (2, 1) y f(2, 7) = (5, 3)? 5. En cada uno de los siguientes casos definir una transformación lineal f : R 3 R 3 que verifique lo pedido. (a) (1, 1, 0) Nu(f) y dim(im(f)) = 1. (b) Nu(f) Im(f) = {(1, 1, 2)}. (c) Nu(f) Im(f). 2

3 (d) f 0 y f f 0. (e) f Id y f f = Id. (f) Nu(f) 0, Im(f) 0 y Nu(f) Im(f) = {0}. 6. (a) Sea T la transformación lineal de V en V, siendo V un espacio de dimensión finita y donde se usa la misma base ordenada para V como dominio y codominio de T. Encuentre la representación matricial de T en cada uno de los siguientes casos: i. T(v) = v siendo V = R 2. ii. T(p) = p siendo V = R 2 [x].( es la derivada) (b) Sean V = R 2 [x], W = R 1 [x]. Se define F(p) = (p p(0))/x. Sea B = {1 + x, x + x 2, x 2 + 1} base de V y C = {1 + x,1 x} base de W. Encuentre la representación matricial de F en las bases dadas. ( ) 1 2 (c) Sea M = y T la tranformación lineal T : R 3 4 2x2 R 2x2 definida por T(A) = MA. Hallar la representación de T en la base usual de R 2x2. ( ) (d) Sea A =, L(v) = Av. Encontrar la representación matricial de L relativa a las bases de R 3 y R 2, B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}, C = {(1, 3), (2, 5)}. 7. Sean T(a, b) = (4a b, b+2a), B = {(1, 0), (0, 1)} y C = {(1, 3), (2, 5)}. (a) Hallar la matriz camio de base de B a C, la matriz cambio de base de C a B, comprobar que una es la inversa de la otra. (b) Hallar la matriz que representa T en la base B, la matriz que representa T en la base C. Compruebe el teorema de cambio de base. 8. Sean T transformación lineal de C 2 en C 2 definida por T(x, y) = (y, 0), B la base standar de C 2 y B = {(1, i), ( i,2)}. (a) Hallar la matriz de T en las bases B, B. (b) Hallar la matriz de T en las bases B, B. (c) Hallar la matriz de T en la base B. (d) Hallar la matriz de T en la base {( i,2), (1, i)}. (e) Calcule el determinante de la matriz hallada en a). 3

4 (f) Puede decir cuánto vale el determinante de las matrices del inciso b) al d) sin hacer las cuentas? Si no puede, calcule y concluya. Justifique su conclusión. 9. Sea V un K espacio vectorial sobre, B = {b 1,..., b n } una base ordenada de V y T : V V lineal. (a) Cuál es la matriz de T en la base B si T(b j ) = b j+1 para j = 1,..., n 1; y T(b n ) = 0? (b) Demostrar que T n = 0 y T n 1 0. (c) Sea f cualquier operador lineal sobre V tal que f n = 0 y f n 1 0. Demostrar que existe una base ordenada B 1 de V tal que la matriz [f] B1 coincide con la matriz hallada en (a). (d) Demostrar que si M y N son matrices de K nn tales que M n = N n = 0, con M n 1 0 y N n 1 0, entonces son semejantes. 10. Sea E ij K nxn tal que la entrada (i, j) de la matriz vale 1 y el resto de las entradas son nulas. Verificar que, si asociamos dicha matriz a una transformación lineal de la forma usual, entonces: (a) E ii es idempotente (es decir, E 2 ii = E ii) para i = 1,..., n. (b) E ii E jj = 0 si i j. (c) n i=1 E ii = I. 11. Describa explícitamente una transformación lineal T de R 3 en R 3 con T(1, 1, 1) = (2, 0, 0), T(1, 1, 0) = (3, 3, 0), T(1, 0, 0) = (4, 4, 4). (a) Es única? Justifique. (b) Encuentre una base B tal que [T] B = Sean g : V V y f : V V transformaciones lineales. Probar: (a) Nu(g) Nu(f g). (b) Si Nu(f) Im(g) = {0}, entonces Nu(g) = Nu(f g). (c) Im(f g) Im(f). (d) Si Im(g) = V, entonces Im(f g) = Im(f). 4

5 13. Calcular el núcleo y la imagen de cada una de las tranformaciones lineales de los Ejercicios anteriores. Decidir, en cada caso, si f es suryectiva, inyectiva o biyectiva. En el caso que sea biyectiva, calcular f Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y sea B = {v 1,..., v n } una base de V. Se define la aplicación F B : V K n de la siguiente manera: Si v = n i=1 x iv i, F B (v) = (x 1,..., x n ). Probar que F B es biyectiva. Observar que, teniendo en cuenta que la aplicación F B es tomar coordenadas en la base B, esto nos permite trabajar con coordenadas en una base en el siguiente sentido: (a) {w 1,..., w s } es linealmente independiente en V si y sólo si {F B (w 1 ),..., F B (w s )} es linealmente independiente en K n. (b) {w 1,..., w r } es un sistema de generadores de V si y sólo si {F B (w 1 ),..., F B (w r )} es un sistema de generadores de K n. (c) {w 1,..., w n } es una base de V si y sólo si {F B (w 1 ),..., F B (w n )} es una base de K n. Por ejemplo, para decidir si {x 2 x + 1, x 2 3x + 5, 2x 2 + 2x 3} es una base de R 2 [X], bastará ver si {(1, 1, 1), (1, 3, 5), (2, 2, 3)} es una base de R Sean B = {v 1, v 2, v 3 } una base de R 3 y B 0 = {w 1, w 2, w 3, w 4 } una base de R 4. Sea f : R 3 R 4 la transformación lineal tal que f BB0 = (a) Hallar f(3v 1 + 2v 2 v 3 ). Cuáles son sus coordenadas en la base B 0? (b) Hallar una base de Nu(f) y una base de Im(f). (c) Describir el conjunto f 1 (w 1 3w 3 w 4 ). 16. Si A es la matriz de f en la base B. Sin hallar f determinar la dimensión de la imagen para cada uno de los siguientes casos y hallar una base para el núcleo: (a) A =

6 (b) (c) A = A = En cada uno de los siguientes casos, hallar una matriz A R 3x3 que verifique: (a) A I y A 3 = I. (b) A 0, A I y A 2 = A. 18. Sea f : R 3 R 3 definida por f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 +x 2 x 3, 2x 1 3x 2 + 2x 3, x 1 x 2 + x 3 ). (a) Determinar bases B y B 0 de R 3 tales que f BB0 = (b) Si A es la matriz de f en la base canónica, encontrar matrices inversibles C y D tales que C.A.D =