P3.- Ondas gravitacionales

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Carolina Soler Correa
hace 6 años
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P.- Ondas gravitaionales El de febrero de 6 la olaboraión aligo (advaned Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory) anunió al mundo la primera deteión direta de ondas gravitaionales,

La señal on el ódigo GW94 (figura ) se abía detetado el 4 de septiembre de en los observatorios de Hanford y Livingston omo una osilaión de unos 4 Hz de freuenia iniial, que aumentó asta unos Hz en

1 P.- Ondas gravitaionales El de febrero de 6 la olaboraión aligo (advaned Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory) anunió al mundo la primera deteión direta de ondas gravitaionales, predias desde ae un siglo por la Teoría de la elatividad General de Einstein. La señal on el ódigo GW94 (figura ) se abía detetado el 4 de septiembre de en los observatorios de Hanford y Livingston omo una osilaión de unos 4 Hz de freuenia iniial, que aumentó asta unos Hz en menos de ms. El análisis de la señal, que llevó varios meses, permitió deduir que la onda se abía produido a más de mil millones de años luz de la Tierra durante el proeso de fusión de dos agujeros negros moviéndose en órbitas espirales, es deir de radio dereiente, debido preisamente a la pérdida de energía por la emisión de una potente onda gravitaional (figura ), asta que el sistema olapsó en un únio agujero negro de masa apreiablemente inferior a la suma de las masas de los dos agujeros negros originales. Fig. Señales detetadas Fig. Impresión artístia de las ondas gravitaionales de dos agujeros negros en órbita. Como sabrá, un agujero negro es un objeto de enorme masa que rea en su entorno un ampo gravitatorio tan intenso que ninguna partíula, inluido un fotón que viaja a la veloidad de la luz, puede esapar a su atraión si se enuentra a una distania de su entro inferior a s (radio de Swarzsild). En primera aproximaión, podemos imaginar el agujero negro omo una esfera masiva de radio s. a) Planteando que la veloidad de esape desde la distania s es, demuestre que el radio de Swarzsild de un agujero negro de masa es s G /, donde G es la onstante de gravitaión universal. Estudiaremos a ontinuaión el movimiento orbital de dos agujeros negros de igual masa que interaionan gravitatoriamente. Suponga que ambos desriben una trayetoria irular en torno al entro geométrio O del sistema O (entro de masas), siendo la distania entre sus entros (figura ). s b) Determine la veloidad angular on que giran ambos uerpos, en funión de G, y. Fig. Vamos a aer algunos álulos aproximados, uando los agujeros negros están próximos a toarse, es deir uando la distania entre sus entros es un poo superior a s. Considere en onreto s. La freuenia de la señal osilante detetada en la Tierra en estas irunstanias fue f señal Hz (situaión en t,4 ms en la esala de la figura ). ) Obtenga una expresión para en este aso, en funión de G, y. d) Calule la masa de ada agujero negro. Exprese su resultado en y en masas del. Ayuda: Tenga en uenta que en ada revoluión ompleta del sistema binario se emiten dos restas de ondas gravitatorias, de forma que la freuenia de la señal detetada en la Tierra es el doble de la freuenia de la órbita de los agujeros negros.

2 La Teoría de la elatividad General permite determinar la potenia P emitida en forma de ondas gravitaionales por un sistema de dos masas orbitando bajo la atraión gravitatoria mutua, omo el que estamos onsiderando. Suponiendo que las dos masas son iguales y que la órbita es irular, se obtiene 4 64 G P La órbita real es espiral, on radio dereiente, pero pueden aerse álulos estimativos onsiderando la misma órbita irular on s de los apartados anteriores. En la figura se observa que la onda gravitatoria se emitió prinipalmente durante un breve intervalo de tiempo, del orden de t ms. e) Suponiendo que toda la energía emitida durante el proeso de interaión y olapso de los agujeros negros se tradue en una pérdida de masa del sistema, aga una estimaión de esta pérdida,. Exprese su resultado en y en masas del. Vamos a ablar aora del sistema de deteión. Se a empleado un interferómetro de ielson, que se esquematiza en la figura 4. Un az de E luz láser, de longitud de onda, inide a 4º sobre una lámina semiespejada (divisor de az, D) donde se divide en dos aes, y, que viajan en direiones perpendiulares. Cada az se refleja normalmente en E un espejo plano, E y E, y vuelve aia D. Parte del az se refleja y parte del se transmite, de forma que en el az se superponen (interfieren) las ondas luminosas y que an ido y vuelto por ada uno de los brazos del D L interferómetro. La intensidad de la onda resultante depende de la diferenia de fase,, entre estas dos ondas. Por ejemplo, si se superponen en F ontrafase () la intensidad resultante I es nula (mínimo Fig. 4 interferenial). Cualquier pequeña variaión en la longitud de los brazos produe un ambio en el estado interferenial y por tanto en I, que se mide on un fotodetetor, F. Siguiendo on el ejemplo anterior, si partiendo de un mínimo interferenial la longitud de uno de los brazos aumenta en /4, el amino total reorrido por la luz en ese brazo (ida y vuelta) aumenta en /, de forma que las ondas pasan a interferir en fase y se tiene un máximo interferenial. Si el aumento de longitud fuese / se alanzaría un nuevo mínimo nulo, en el orden interferenial siguiente al iniial. En el interferómetro del observatorio de Livingston los dos brazos tienen la misma longitud L = 4, km. En la figura se esquematiza, de forma muy exagerada, lo que ourre uando una onda gravitaional alanza la superfiie de la Tierra. Estas ondas aortan y alargan periódiamente la fábria del espaio tiempo de forma que la longitud L de los brazos del interferómetro osila entre L A y L A, on la partiularidad de que estas osilaiones están en ontrafase, es deir uando el brazo alanza su longitud máxima L A, el brazo tiene la mínima, L A L A Elongaión de la onda, y vieversa. Suele trabajarse en funión de la deformaión unitaria ( strain en inglés) definida omo L/ L, donde L es la diferenia entre las longitudes de los dos brazos. Esta magnitud adimensional es la que aparee en ordenadas de la gráfia de la figura, en la que se observan laramente las osilaiones de produidas por la llegada de la onda gravitaional. La amplitud de esta osilaión llega a alanzar el valor uando los agujeros negros empiezan a fusionarse. L +A Fig. t

3 f) Haga una estimaión de la máxima amplitud de osilaión de los brazos del interferómetro de Livingston, A, uando reibió esta señal. Compare su resultado on el radio de un protón. La deformaión a detetar es en la prátia tan pequeña que an sido neesarios extraordinarios esfuerzos ténios para impedir que quede enmasarada por el ruido produido por mirosismos o pequeñas variaiones térmias. Para poder detetar ondas muy débiles onviene que L sea lo mayor posible. Pero la longitud antes indiada, L = 4, km, no sería sufiiente en la prátia para poder detetar las ondas produidas por la mayoría de los suesos ósmios previsibles. Para aumentar la longitud, se a reurrido a situar otro espejo dentro de ada brazo, entre el divisor de az y el espejo original del ielson (figura 6). Estos espejos tiene una pequeña transmitania, de forma que, en promedio, la luz realiza unos N 8 viajes de ida y vuelta entre los dos espejos enfrentados antes de volver a alanzar el divisor de az y ontribuir a la interferenia en el az. Con este proedimiento se onsigue aumentar la longitud efetiva de los brazos del ielson asta L NL km. ef Para terminar, vamos a araterizar la extraordinaria sensibilidad del aparato. Observando la gráfia de la figura, se dedue que el sistema es apaz de detetar deformaiones, no enmasaradas por el ruido, on una amplitud mínima min. g) Exprese la sensibilidad del instrumento en fraiones de orden interferenial, min /. D F Fig. 6 E E Datos: Constante de gravitaión universal, G 6,67 Nm / Veloidad de la luz en el vaío,,8 m/ s asa del,, adio de un protón, r,88 p m Longitud de onda de la luz láser (Nd-YAG):,6 μm Ayuda: Cada nuevo orden interferenial orresponde a un ambio en la diferenia de fase entre las dos ondas que se superponen en el az.

4 P.- uión a) El radio de Swarsild se obtiene planteando que la veloidad de esape (orrespondiente a energía meánia nula) es. b) m E m G s G G s G / ) 6G s 8 G d) f señal Hz f órbita Hz ; s 6, 8 G Las masas deduidas del estudio detallado de la señal son ) (6, (94) e) G s 9 km ; s 76 km 64 G 4 P 6, W E Pt 6, 47 J 6,7, La pérdida real estimada es (,) f) Amplitud de la deformaión máxima detetada en L = 4 km: L A L L 8 A A m r p / A 44 g) Si la diferenia de longitudes de los brazos es L, la diferenia de aminos óptios (ida+vuelta) es L. Por tanto, la diferenia de fase entre las dos ondas es k L Lef Donde k es el número de ondas. Cada ambio de fase orresponde a un nuevo orden iterferenial. La amplitud mínima detetable es min. Por tanto, la sensibilidad del instrumento, en fraiones de orden interferenial es min Lef min min ~ Nótese que, omo se india en el enuniado, para poder detetar señales muy débiles ( min lo menor posible) interesa L ef lo mayor posible. L

5 P.- Tabla de respuestas Apartado esultados analítios esultados numérios Puntos G a) s b) / G, ) 8 G d) 6,,8, e) 6,7,,8, f) A 8 m r p / A 44,, g) min ~

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