Examen de Estadística Grado en Ingeniería de Telecomunicación

Transcripción

1 Cuestiones Examen de Estadística Grado en Ingeniería de Telecomunicación 3 de Junio de 5 solución h 45m C (.5 puntos). Una multinacional realiza operaciones comerciales en 3 mercados (A, B y C). El % de las operaciones de la multinacional corresponden al mercado A, y en los mercados B y C realiza exactamente el mismo número de operaciones. Además, el porcentaje de operaciones en las que se producen retrasos en el pago es del %, 5 % y 5 % en los mercados A, B y C, respectivamente. a) En qué porcentaje de operaciones de la multinacional no se producen retrasos en el pago? b) Elegida una operación al azar, qué probabilidad hay de que no tenga retraso en el pago y corresponda al mercado A o C? c) Entre las operaciones que no han sufrido retraso en el pago, cuál es el porcentaje de las que corresponden a los mercados A o C? Definamos los siguientes sucesos: A = La operación comercial se realiza en el mercado A B = La operación comercial se realiza en el mercado B C = La operación comercial se realiza en el mercado C R = La operación comercial presenta retraso en el pago R = La operación comercial no presenta retraso en el pago Los datos del enunciado permiten conocer las siguientes probabilidades: Pr(A) =. Pr(B) = Pr(C) =. =.4 Pr(R A) =. Pr(R A) =.9 Pr(R B) =.5 Pr(R B) =.85 Pr(R C) =.5 Pr(R C) =.95 a) Como {A, B, C} constituye un sistema completo de sucesos, es decir, una partición del espacio muestral E (pues A B C = E y dichos sucesos son disjuntos dos a dos o mutuamente excluyentes), podemos utilizar el Teorema de la Probabilidad Total para calcular la probabilidad de que una operación no sufra retraso en el pago: Pr(R) = Pr(R A) Pr(A) + Pr(R B) Pr(B) + Pr(R C) Pr(C) = =.9. Por lo tanto, en el 9 % de las operaciones que realiza la multinacional no se producen retrasos en el pago.

2 b) El suceso de interés es R (A C) cuya probabilidad se calcula utilizando la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: Pr(R (A C)) = Pr((R A) (R C)) = Pr(R A) + Pr(R C) Pr(R A C) = Pr(R A) Pr(A) + Pr(R C) Pr(C) Pr( ) = =.56, donde se ha utilizado la regla de la probabilidad compuesta (también conocida como regla del producto) y el hecho de que los sucesos A y C son disjuntos. c) Utilizando la definición de probabilidad condicionada y los resultados obtenidos en los apartados anteriores, tenemos que el porcentaje solicitado es: Pr(A C R) = Pr((A C) R) Pr(R) =.56 = 6. %..9 C ( puntos). Sea X una v.a. con función de densidad dada por f X (x) = 3x, si x (, ), y considera la transformación de X dada por la v.a. Y = ln(x). a) Calcula la función de densidad de Y e identifica su modelo de probabilidad. Se trata de una Exponencial? b) Calcula la esperanza de Y. c) Calcula Pr(Y > ) y Pr(X < e 7 Y > ). a) y = ln(x) x = e y dx dy = e y <. ( ) Dado que la transformación de X es una función derivable y monótona decreciente en x (, ), se verifica que: f Y (y) = f X (x) dx dy = 3(e y ) e y = 3e 3y, si y (, ). Nótese que: x y x y b) Utilizando integración por partes (considerando u = y y dv = 3e 3y dy) y la regla de L Hôpital es sencillo obtener que E[Y ] = y3e 3y dy = 3.

3 Véamoslo en detalle: E[Y ] = y3e 3y dy = [ ye 3y] + e 3y dy [ ] y e 3y = lím y e 3y + 3 = lím y 3e 3y + 3 = + 3 = 3. Otra opción sería tener en cuenta que Y Exp(λ = 3), y por consiguiente ha de suceder que E[Y ] = 3. c) Para la primera probabilidad pedida se tiene que: Pr(Y > ) = 3e 3y dy = [ e 3y] = e 6 =.5. Otra opción sería tener en cuenta que Y Exp(λ = 3), y por lo tanto se verifica que Pr(Y > ) = F Y () = ( e 6 ) = e 6 =.5. Para la segunda probabilidad pedida se tiene que: Pr(X < e 3 Y > ) = Pr(Y > 3 Y > ) = = Pr(Y > 3 Y > ) Pr(Y > ) Pr(Y > 3) Pr(Y > ) = e 9 e 6 = e 3 =.498. Otra opción sería usar la propiedad de la falta de memoria de la Exponencial, en cuyo caso se tendría que: Pr(X < e 3 Y > ) = Pr(Y > 3 Y > ) = Pr(Y > ) = F Y () = ( e 3 ) = e 3 =.498. C3 (.5 puntos). Sea (X, Y ) un vector aleatorio con función de densidad conjunta dada por { f(x, y) = 3 si < x ; < y < x 4 3 si < x < ; < y < x a) Calcula las densidades marginales para X e Y. b) Son X e Y independientes? Razona tu respuesta. c) Calcula Pr(X.5 Y.5). a) f X (x) = x x 3 dy = x 3 4 4( x) dy = 3 3 < x < x < en caso contrario 3

4 f Y (y) = y y 3 dx + 4 dx = ( y) < y < 3 en caso contrario b) X e Y no son independientes, pues f(x, y) f X (x) f Y (y). c) Pr(X.5 Y.5) = Pr(X.5, Y.5) Pr(Y.5) donde,.5 x.5 Pr(X.5, Y.5) = 3 dydx +.5 = = 7 = dydx dydx = y Luego, Pr(Y.5) = Pr(X.5 Y.5) =.5 ( y)dy = 3 4. Pr(X.5, Y.5) Pr(Y.5) = 7/ 3/4 =

5 Examen de Estadística Grado en Ingeniería de Telecomunicación 3 de Junio de 5 Problemas solución h 45m P (.5 puntos). En la fabricación de cierto dispositivo se utilizan unos tornillos cuya resistencia a la torsión fluctúa normalmente con media 7 newtons y desviación típica 3.5 newtons. Dichos tornillos son colocados en el dispositivo mediante una máquina atornilladora que ejerce una fuerza de apriete de media newtons y desviación típica 3 newtons. a) Si la fuerza de apriete aplicada a un tornillo supera la resistencia a la torsión de éste, entonces el tornillo se parte. Si consideramos que ambas acciones son independientes, qué porcentaje de tornillos se partirá al atornillarse con la máquina? b) El tiempo T que transcurre hasta que la máquina atornilla un tornillo se distribuye según una exponencial de parámetro λ. Teniendo en cuenta que el % de los atornillados duran más de segundos, hallar el valor de λ y la media T. c) Calcula la probabilidad de que en 5 segundos se hayan atornillado exactamente tornillos. d) Comenta qué realiza el siguiente código de MATLAB y justifica tu respuesta. Qué valor aproximado devolverá mean(t)? n = ; u = rand(n,); lambda = -log(.)/; t = -log(-u)/lambda; mean(t) a) X resistencia a la torsión X N (µ = 7; σ = 3.5) Y fuerza de apriete Y N (µ = ; σ = 3) Pr(Y > X) = Pr((Y X) > ); (Y X) N (µ = 6; σ = ) N (µ = 6; σ = 4.6) Luego, considerando Z N (µ = ; σ = ), entonces ( Pr((Y X) > ) = Pr Z > El 9.7 % de los tornillos se partirán. ) ( + 6) = Pr(Z >.3) =.93 = b) T tiempo que transcurre hasta que la máquina atornilla un tornillo T Exp(λ) Pr(T > ) =. = 5 λe λt dt = e λ

6 Luego, λ =.99 y E[T ] = = 5.5 segundos. λ c) Y Número de tornillos atornillados en 5 segundos Y Pois(5.99) Pois(.878) Pr(Y = ) = e ! =.39. d) Con este código se están generando valores de una v.a. Exponencial con parámetro λ = ln(.) = ln() =.99, utilizando para ello el método de la transformación inversa según se detalla a continuación: u = F (t) con u U(, ) u = e λt u = e λt ln( u) = λt t = ln( u)/λ. Finalmente, con esos valores se aproxima la media de dicha v.a. a través de su media muestral. Por lo tanto, mean(t) ha de ser aproximadamente igual a E[Exp(λ)] = λ = ln(.) = ln() = 5.5. P (.5 puntos). Sean A y B variables aleatorias independientes, donde A se distribuye exponencialmente con media 4 y B se distribuye uniformemente en el intervalo (, π/). Considera el proceso estocástico X(t) definido como: X(t) = e A cos(πt + 4B). a) Calcula la media y la autocorrelación estadísticas del proceso X(t). b) Es el proceso estacionario en sentido débil? c) Comprueba si el proceso X(t) es ergódico en media y en autocorrelación. Nota: Las siguientes identidades trigonométricas pueden ser útiles: cos(α) cos(β) = [cos(α β) + cos(α + β)] cos(α) sin(β) = [sin(α + β) sin(α β)] sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± sin(β) cos(α) Como A Exp(λ = /4) y B Unif(, π/), tenemos que: f A (a) = 4 e 4 a, a > y f B (b) = π, < b < π. a) Dado que A y B son independientes, la media matemática del proceso queda expresado como: E[X(t)] = E[e A cos(πt + 4B)] = E[e A ]E[cos(πt + 4B)], donde, E[e A ] = + e a 4 e 4 a da = 4 e 3 4 a da = [e 3 a] a=+ 4 = 3 a= 3 6

7 π E[cos(πt + 4B)] = cos(πt + 4b) π db = [ ] b= π sin(πt + 4b) π 4 b= Por lo tanto, E[X(t)] =. La función de autocorrelación queda expresada como: Tenemos que, R X (t, t + τ) = E[X(t)X(t + τ)] = E[e A cos(πt + 4B)e A cos(π(t + τ) + 4B)] = E[e A ]E[cos(πt + 4B) cos(π(t + τ) + 4B)]. = [sin(πt + π) sin(πt)] =. π y E[e A ] = + e a 4 e 4 a da = 4 e 5 4 a da = [e 5 a] a=+ 4 = 5 a= 5 E[cos(πt + 4B) cos(π(t + τ) + 4B)] = cos(πτ) + E[cos(π(t + τ) + 8B)] donde hemos utilizado el hecho de que = cos(πτ) + = cos(πτ) + π π cos(π(t + τ) + 8b) π db [ sin(π(t + τ) + 8b) 8 ] b= π b= = cos(πτ) + [sin(π(t + τ) + 4π) sin(π(t + τ))] 8π = cos(πτ), cos(πt + 4B) cos(π(t + τ) + 4B) = [cos( πτ) + cos(π(t + τ) + 8B)] Por lo tanto, R X (t, t + τ) = cos(πτ). = cos(πτ) + cos(π(t + τ) + 8B). b) El proceso X(t) es débilmente estacionario, dado que E[X(t)] no depende de t y R X (t, t + τ) sólo depende de τ. c) La media y la autocorrelación temporal están dadas por: M X = lím = e A lím = e A lím T e A cos(πt + 4B)dt = e A lím T T T [ ] t=t sin(πt + 4B) = e A lím π t= T πt [ cos(4b) sin(πt )] = e A cos(4b) lím T cos(πt + 4B)dt T T [sin(πt + 4B) sin( πt + 4B)] πt sin(πt ) πt = 7

8 T A X = lím e A cos(πt + 4B)e A cos(π(t + τ) + 4B)dt T T = e A lím T = e A lím T T [ T [cos( πτ) + cos(π(t + τ) + 8B)]dt T cos(πτ) + = e A cos(πτ) + e A lím = e A cos(πτ) + e A lím = e A cos(πτ) + e A lím T T T = e A cos(πτ) + e A cos(πτ + 8B) lím cos(π(t + τ) + 8B)dt [ sin(π(t + τ) + 8B) π ] ] t=t t= T [sin(π(t + τ) + 8B) sin(π( T + τ) + 8B)] 4πT [ cos(πτ + 8B) sin(πt )] 4πT sin(πt ) πt = e A cos(πτ). Por lo tanto, el proceso X(t) es ergódico en media, porque M X = E[X(t)], pero no en autocorrelación, ya que A X R X (t, t + τ). 8

9 Probabilidad El valor de la tabla para z es el área bajo la curva de la normal estándar a la izquierda de z z TABLA A: Probabilidades de la normal estándar (cont.) z