MECHANICS OF MATERIALS

Transcripción

1 hird E CHAPER 3 orsión MECHANICS OF MAERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell ohnston, r. ohn. DeWolf Leture Notes:. Walt Oler exas eh University

2 Contents Introduion Cargas de orsión en Ejes Cirulares orque Neto debido a Esfuerzos Internos Componentes axiales del esfuerzo ortante Deformaiones del eje Deformaión por ortante Esfuerzos en el Rango Elástio Esfuerzos Normales Formas de Falla por torsión Ejemplo Problema 3.1 Ángulo de giro en el Rango Elástio Ejes Estátiamente Indeterminados Ejemplo Problema 3.4 Diseño de ransmisión por ejes Conentradores de esfuerzos Deformaiones Plástias Materiales Elastoplástios Esfuerzos Residuales Ejemplo 3.08/3.09 orsión en elementos no irulares Ejes Hueos de Pared Delgada Ejemplo

3 Cargas de orsión en Ejes Cirulares Interés en los esfuerzos y tensiones de los ejes irulares sujetos a pares de torsión o torques urbina ejere torque en el eje Eje transmite el torque desde el generador Generador rea un torque igual y opuesto 3-3

4 orque Neto debido a Esfuerzos Internos El esfuerzo ortante interno neto es un torque interno, igual y opuesto al torque apliado, ( ) ρ df ρ da Aunque el torque neto debido al esfuerzo ortante es onoido, la distribuión de esfuerzos no lo es La distribuión de los esfuerzos ortantes es estátiamente indeterminados se onsideran las deformaiones del eje A diferenia de los esfuerzos normales debido a argas axiales, la distribuión de los esfuerzos ortantes no se pueden asumir uniformes. 3-4

5 Componentes axiales del esfuerzo ortante El torque apliado a un eje prodee esfuerzos ortantes en las aras perpendiulares al eje. La ondiión de equilibrio requiere la existenia de esfuerzos iguales en las aras de los dos planos que ontienen el eje del elemento (eje). La existenia de las omponentes axiales del esfuerzo ortante es demostrada onsiderandi un eje formado por listones axiales. Los listones se deslizan uno respeto a otro uando torques iguales y opuestos se aplian en los extremos del eje. 3-5

6 Deformaiones del eje De la observaión, el angulo de giro del eje es proporional al torque apliado y a la longitud del eje. φ φ Cuando se somete a torsión, todas las seiones transversales de un eje irular permaneen planas y sin distorsiones. Las seiones transversales de un eje solido y un eje hueo permaneen planas y sin distorsíón porque los ejes irulares son simétrios. Las seiones transversales de ejes no irulares (no simétrios) se distorsionan uando se someten a torsión. L 3-6

7 Deformaión por ortante Considerando una seión interior del eje. Como una arga de torsión es apliada, un elemento en el interior del ilindro se deforma en un rombo. Dado que los extremos del elemento permaneen planos, la deformaión por esfuerzo ortantes es igual al angulo de giro. Entones, se tiene que, Lγ ρφ or γ La deformaión por ortante es proporional al angulo de giro y al radio. γ max φ L ρφ L and γ ρ γ max 3-7

8 Esfuerzos en un rango elástio 1 4 π 4 4 ( ) 1 1 π da max ρ ρ da Multipliando la anterior euaión por el modulo de rigidez, ρ G γ Gγ max Por la ley de Hooke, Gγ, entones, ρ max El esfuerzo ortante varia linealmente on la posiión radial en la seión. Reordar que la suma de los momentos de la distribuión interna de esfuerzos es igual al torque en el eje de la seión, ρ max and max Los resultados se onoen omo las fórmulas elástias de torsión, 3-8

9 Esfuerzos Normales Elementos on aras paralelas y perpendiulares al eje de simetría se someten sólo a esfuerzos ortantes. Esfuerzos normales, esfuerzos ortantes o una ombinaión de los dos se pueden enontrar en otras orientaiones. Considerando un elemento a 45 o del eje entral, F ( A ) os45 A σ 45 o max F A 0 max A 0 A 0 max 0 max Elemento a está en ortante puro. Elemento es sometido a esfuerzo de tensión en dos aras y esfuerzo de ompresión en las otras dos. Notese que todos los esfuerzos de los elementos a y tienen la misma magnitud. 3-9

10 Modos de Fallas por torsión Generalmente los materiales dutiles fallan en ortante. Los materiales frágiles son más débiles en el esfuerzo de tensión. Cuando se sujeta a torsión, un espeimen dútil se rompe a lo largo del plano de ortante máximo, i.e., un plano perpendiular al eje. Cuando se sujeta a torsión, un espeimen frágil a lo largo de planos perpendiulares a la direión donde la tension es máxima, i.e., a lo largo de superfiies de 45 o del eje. 3-10

11 Ejemplo Problema 3.1 SOLUCIÓN: Eje BC es hueo on diametros interno y externo de 90 mm y 10 mm, respetivamente. Ejes AB y CD son sólidos de diámetro d. Para la arga mostrada, determine (a) el mínimo y máximo del esfuerzo ortante en el eje BC, (b) el diámetro d requerido para los ejes AB y CD si el esfuerzo ortante admisible en estos ejes es 65 MPa. Cortar las seiones a traves de los ejes AB y BC y realizar analísis de equilibrio estátio para enontrar los toques apliados. Apliar las formulas de torsión elástia para enontrar los esfuerzos minimos y máximos en el eje BC. Dado el esfuerzo ortante admisible y el torque apliado, despejar de la formula de torsión elastia para enontrar el diámetro requerido. 3-11

12 Ejemplo Problema 3.1 SOLUION: Cortar seiones a través de los ejes AB y BC y realizar el analísis de equilibrio estátio para enontrar los torques apliados. M AB x 0 ( 6kN m) M 0 ( 6kN m) + ( 14kN m) 6kN m CD AB BC x 0kN m BC 3-1

13 Ejemplo Problema 3.1 Apliar las formulas de torsión elástia para enontrar el esfuerzo minimo y máximo en el eje BC. Dado el esfuerzo ortante admisible y el torque apliado, despejar de la formula de torsión elastia para enontrar el diámetro requerido π 4 4 π ( ) [ 4 4 ( ) ( ) ] max 6 m BC 4 ( 0kN m)( 0.060m) m 4 max π 3 4 m 6kN m 65MPa π 3 d 77.8mm 86.MPa min max 1 min 86. MPa 45mm 60mm max 86. MPa min 64.7 MPa min 64.7 MPa 3-13

14 Angulo de giro en un Rango Elástio Reordar que el ángulo de giro y la maxima deformaión por ortante se relaionan, φ γ max L En el rango elástio, el esfuerzo y deformaión ortante por ley de Hooke, max γ max G G Igualando las expresiones de deformaión por ortante y resolver para el ángulo de giro, φ L G Si la arga torsional o la seión transversal del eje ambia a lo largo de la longitud, el ángulo de rotaión se enuentra omo la suma de la rotaión de los segmentos. il φ i G i i i 3-14

15 Ejes estátiamente indeterminados Dadas las dimensiones del eje y el torque apliado, nos gustaría enontrar el torque de reaión en A y B. De un analísis de uerpo libre del eje, A + B 90lb ft que no es sufuiente para enontrar los torques terminales. El problema es estátiamente indeterminado. Dividir el eje en dos omponentes que debe tener deformaiones ompatibles, φ φ φ A 1 B B 1G G Sustituyendo en la euaión de equilibrio original, L L L 1 90lb ft L A + A 1 L1 L 1 A 3-15

16 Ejemplo Problema 3.4 SOLUCIÓN: Apliar un analísis de equilibrio estátio en los dos ejes para enontrar una ralaión entre CD y 0 Apliar un analisis inemátiopara relaionar la rotaión angular de los engranajes Dos ejes de aero sólido estan onetadoa por engranajes. Sabiendo que para estos ejes G 11. x 10 6 psi y el esfuerzo admisible ortante es 8 ksi, determine (a) el mayor torque 0 que puede apliarse en el extremo final del eje AB, (b) el orrespondiente angulo de deformaión que termina en A de la rotaión del eje AB. Enontrar el maximo torque admisible en ada eje - esoger el mas pequeño Enontrar el orrespondiente angulo de giro para ada eje y el angulo neto de rotaión al final de A 3-16

17 Ejemplo Problema 3.4 SOLUCIÓN: Apliar un analísis de equilibrio elástio en los dos ejes para enontrar la relaión entre CD y 0 Apliar un analísis inemátio para relaionar el angulo de rotaión de los engranajes M M CD B C F F ( 0.875in. ) (.45in. ) 0 CD r φ φ B φ B B B r φ r r C B C φ C.8φ C C.45in. φ 0.875in. C 3-17

18 Ejemplo Problema 3.4 Enontrar el 0 para el maximo torque admisible en ada eje esoger el más pequeño Enontrar el angulo de giro orrespondiente para ada eje en el angulo de rotaión neto al final de A max lb in. max AB CD AB CD 8000 psi 8000 psi 0 π ( 0.375in. ) 4 ( 0.375in. ).8 0 ( 0.5in. ) 4 ( 0.5in. ) π 561lb in lb in φ φ A / B C / D φ φ B A.8φ π 0.387rad. π 0.514rad.95 φ AB AB CD CD B L G L G C + φ.8 A / B ( 561lb in. )( 4in. ) 4 ( ) ( 6 ) 0.375in psi.8 o ( 561lb in. )( 4in. ) 4 ( ) ( 6 ) 0.5in psi o ( o ) o o o φ A o

19 Diseño de transmisión por ejes Las espeifiaiones de la transmisión por ejes son: - potenia - veloidad El diseñador debe seleionar material del eje y la seión transversal para umplir on las espeifiaiones de rendimiento sin exeder esfuerzo ortante permisible. Determine el torque apliado al eje la potenia y la veloidad espeifiadas, P ω πf P ω P πf Enontrar la seión transversal del eje que no exeda el esfuerzo ortante maximo, max π 3 π ( solid shafts) 4 4 ( ) ( hollow shafts) max 1 max 3-19

20 Ejes estátiamente indeterminados 3-0

21 Ejes estátiamente indeterminados 3-1

22 Ejes estátiamente indeterminados 3 -

23 Ejes estátiamente indeterminados 3-3

24 Ejes estátiamente indeterminados 3-4

25 Conentradores de esfuerzos La derivaión de la formula de torsión, max asumiendo un eje de seión transversal irular uniforme a traves de plaas extremas rigidas. El uso de aoplamientos de bridas, engranajes y poleas onetados a los ejes mediante los haveteros y seíones transversales disontinuos pueden ausar onentraiones de esfuerzos Experimentalmente o numeriamente determinando los fatores de onentraión max K 3-5

26 Deformaiones plástias Asumiendo un material linealmente elástio, max Si el límite de elastiidad es exedido o el material tiene una urva de ortante-tensión-deformaión no lineal, esta expresión no se sostiene. Deformaión por ortante varia linealmente independientemente de las propiedades del materiales. Apliaión urva de ortante-tensión-deformaión permite la determinaión de la distibuión de esfuerzos. La integral de los momentos de la distribuión de esfuerzos es igual al torque en la seíón del eje, ( πρ dρ ) π ρ ρ dρ

27 Materiales elastoplástios En el torque maximo elástio, Y A medida que aumenta el, en la región plástia ( Y ) se desarrolla alrededor del nuleo elástio ρ ( Y ) Lγ Y ρy ρy φ Y ρ π Y Y As ρ Y 0, el torque se aproxima a un valor límite, P Y π Y φ Y ρ Y Y 3 1 φ Y 4 φ 4 3 Y 1 3 L Y γ plasti torque 3-7

28 Esfuerzos residuales Región plástia se desarrolla en un eje uando es sometido a un par de torsión sufiientemente grande Cuando se elimina el torque, la reduión del esfuerzo y la tensión en ada punto tiene lugar a lo largo de una línea reta a una tensión residual generalmente distinto de ero En una urva -f, las desargas del eje a lo largo de una línea reta a un ángulo mayor que ero Esfuerzos residuales enuentran desde el prinipio de superposiión m ρ ( da) 0 3-8

29 Ejemplo 3.08/3.09 Un eje sólido irular esta sujeto a un torque 4.6kN m en el final. Asumiendo que el eje esta heho de un material elastoplastio on Y y G 77GPa determine (a) el radio del orazon elástio, (b) el angulo de giro del eje. Cuando el torque es removido, determine () el giro permanente, (d) la distribuión de esfuerzos residuales. 150MPa SOLUION: Resolver la Eq. (3.3) para r Y / y evaluar el radio del orazon elástio. Resolver la Eq. (3.36) para el angulo de giro. Evaluar la Eq. (3.16) para el angulo que el eje retifique uando el torque es removido. El giro permanente es la diferenia entre angulos de giro y retifiado. Enontrar la distribuión de la tensión residual por una superposiión de la tensión debido a la torsión y destorsión el eje 3-9

30 Ejemplo 3.08/3.09 SOLUION: Resolver la Eq. (3.3) para r Y / y evaluar el radio del orazon elástio ρ Y ρ Y ρ Y Y Y Y Y Y 4 3 π 1 π 9 3 ( 5 10 m) ( Pa)( m ) 3.68kN m m 4 Y Y m 1 3 Resolver la Eq. (3.36) para el angulo de giro φ φ Y ρy φ φ Y Y Y L G φ φ φ Y ρ 3 ( N)( 1.m) -9 4 ( m )( 77 10Pa) 3 Y rad rad o 8.50 φ o rad 8.50 ρ Y 15.8mm 3-30

31 Ejemplo 3.08/3.09 Evaluar la Eq. (3.16) para el angulo que el eje se distorsiona uando el torque es removido. El giro permanente es la diferenia entre los angulos de giro y retifiado φ φ p 3 ( N m)( 1.m) ( m )( Pa) φ φ L G 3 3 ( ) 1.81 o 3 rad φ p o 1.81 rad Enontrar la distribuión de esfuerzo residual por la superposiión del esfuerzo debido a la torsión y la distorsión del eje max 187.3MPa 3 3 ( N m)( 5 10 m) m

32 orsion en elementos no irulares La anteriores formulas de torsión son validas para ejes asimetrios o irulares Seión transversal plana de un eje no irular no permaneen planas y el esfuerzo y la distribuión de la no varia linealmente Para seiones retangulares uniformes, φ ab max 1 ab Para grandes valores de a/b, el maximo esfuerzo ortante y angulo de giro para reiones abiertas es el mismo que en una barra retangular. L 3 G 3-3

33 Ejes de pared delgada Asumiendo fuerzas en la direión x AB, F 0 ( t Δx) ( t Δx) t A x A t B B A t A q shear flow esfuerzo ortante varia inversamente on el espesor Calular el torque de la integral de los momentos debido al esfuerzo ortante dm p df p ( t ds) q( pds) q da 0 dm ta φ 0 ds t B q da qa Angulo de giro (from Chapt 11) L 4A G B 3-33

34 Ejemplo 3.10 ubos de aluminio extruido on una seión transversal retangular tiene un torque de apriete de 4 kip-in. Determinar el esfuerzo ortante en ada una de las uatro paredes on (a) espesor de pared uniforme de 0,160 pulg. Y espesores de pared de (b) en Sobre AB y CD y 0,00 pulg. En CD y BD. SOLUCIÓN: Determinar el flujo de ortante a través de las paredes de la tubería Enontrar la tensión de orte orrespondiente a ada espesor de pared 3-34

35 Ejemplo 3.10 SOLUCIÓN: Determinar el flujo de ortante a través de las paredes de la tubería Enontrar la tensión de orte orrespondiente a ada espesor de pared Con una pared de espesor uniforme, t q 1.335kip in in. 8.34ksi A ( 3.84in. )(.34in. ) q A 4kip -in. kip ( ) in in in. Con un espesor de pared variable AB AC BD CD 1.335kip in. 0.10in. AB BC 1.335kip in. 0.00in ksi BC CD 6.68ksi 3-35