TEMA 10. CÁLCULO DIFERENCIAL

Transcripción

1 TEMA 0. CÁLCULO DIFERENCIAL Problemas que dieron lugar al cálculo diferencial. (Estos dos problemas los resolveremos más adelante) a) Consideremos la ecuación de movimiento de un móvil en caída libre en el vacío: s( t) gt Demuestra que la velocidad instantánea de dicho móvil en el momento t es s' ( t) b) Dada una curva y = f(). La ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto P(a,f(a)) es y f ( a) tg( ) ( a), donde es el ángulo que forma la tangente con el eje de abscisas. f ( h) Demuestra que tg( ) f '( a) donde f '( a) lim. h 0 h gt Tasa de variación media. Dada una función continua, f(). Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en el intervalo [a,b] al cociente: f ( b) f ( a) T. V. M.[ a, b] b a. a) Calcula la tasa de variación media de la función f() = ²+0 entre 4 y 7. b) Calcula la tasa de variación media de la función f() = ³+²- en [,5]. c) Calcula la tasa de variación media de la función f() = sen() en 0,. Dada una función, f(), y los puntos A(a,f(a)) y B(b, f(b)), tales que a<b y f(a) <f(b). Qué signo tiene la tasa de variación media? Qué ocurre si a<b y f(a) > f(b)? Qué relación hay entre el signo de la T.V.M. y el crecimiento de una función? 3. Dada una función continua y creciente. Considera el triángulo que determinan los puntos A(a,f(a)), B(b, f(b)) y C(b,f(a)). (a<b) Qué relación hay entre la T.V.M. de f en [a,b] y el ángulo que tiene vértice en A? 4. a) Dada la función f() = -. Calcula la T.V.M de f en el intervalo [, +h]. b) Dada la función f() = 5-². Calcula la T.V.M de f en el intervalo [, +h]. 5. Define la T.V.M. de una función f() para un intervalo de la forma [a,a+h].

2 Definición de derivada de una función en un punto. Consideremos un función f(), y sea a un punto de su dominio. Se llama derivada de la función f en el punto a al límite cuando h tiende a 0 de la T.V.M. de f en [a,a+h]. Se designa por f (a), con lo que: f '( a) limt. V. M.( a, a h) lim h0 h0 f ( a h) h f ( a) 6. Utilizando la definición anterior: a) Halla la derivada de la función f() = ³ en = 3. b) Haz lo mismo que en el apartado anterior para f() = ²+5 en =. c) Halla la derivada de la función f()= en =. Función derivada. Se llama función derivada de f (o simplemente derivada de f) a la función f que asocia a cada abscisa,, la derivada de f en ese punto, f (). Es decir: f '( ) lim h 0 f ( h) h 7. Utilizando la definición anterior: a) Halla la derivada de las funciones f() = k,f() =, f() = ² y f() = ³. b) Cuál será la derivada de f() = n? c) Halla la derivada de la función 3 Propiedades de las derivadas. Derivada de una función constante es cero. k f '( ) 0 Derivada del producto de una constante por una función. y k k f '( ) Derivada de la suma (o diferencia) de dos funciones y g( ) f '( ) g'( ) Derivada del producto de dos funciones y g( ) f '( ) g( ) g'( ) Derivada del cociente de dos funciones. y g( ) f '( ) g( ) g' ( ) g( ) Regla de la cadena (derivada de la composición de funciones). y f ( g( )) f '( g( )) g'( )

3 Derivadas inmediatas. y k y ' 0 n y y n n y log a ( ) log a ( e) y ln() y a ln( a) a y e e y sen() cos( ) y cos() sen( ) y tg() y ' cos ( y arc sen() y arc cos() y arc tg()

4 y k y ' 0 y ) y n n n f ( f ( ) y log af ( ) log a ( e) f ( ) y ln f ( ) f () y a a ln( a) f ( ) e f ( f () y e ) y sen f () cos f ( ) y cos f ( ) sen f ( ) ' f ( ) y tg f () y cos y arc sen f () f ( ) y arc cos f ( ) y arc tg f () f ( )

5 8. Halla la función derivada de las siguientes funciones: y = 7

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7 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. Recta tangente a una curva en uno de sus puntos. (Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto) 9. Dada una curva y = f(). La ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto P(a,f(a)) es y f ( a) tg( ) ( a), donde es el ángulo que forma la tangente con el eje de abscisas. f ( h) Demuestra que tg( ) f '( a) donde f '( a) lim. h 0 h 0. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola y ² 5 6 en el punto P(4,) b) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = 3-3+4, en el punto de abscisa =. c) Halla la recta tangente a la curva y = sen() en el punto de abscisa =. 4 d) Halla la recta tangente a la parábola y ² 5 en el punto de abscisa =.. a) Halla un punto de la parábola y ² 5 en el que su tangente es paralela a la recta de ecuación y = +6. Halla la ecuación de dicha tangente. b) Halla un punto de la curva y = 3-3+4, en el que su recta tangente es paralela a la recta de ecuación 3-y+7=0. 5. a) Dada la función 3 5³. Halla los puntos en los que su recta tangente sea horizontal. b) Haz lo mismo que en el apartado anterior para la función ³ ² Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y 5 6 en el punto de abscisa =. 4. Escribe la ecuación de la recta tangente y la recta normal a y 5 en el punto de abscisa = Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y 4 cuya pendiente sea 6. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y en =0. 7. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y 3 3 que sean paralelas a la recta 6 y Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la función y 4 en los puntos de corte con el eje de abscisas. 9. En qué puntos la recta tangente a y 3 4 tiene pendiente iguala 8? 0. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y que son paralelas a la recta y 0.

8 . Halla los puntos de tangente horizontal de la función y En qué puntos de y la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante? 3. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a y en los puntos de abscisa =. y sen en el que la recta tangente tiene por 4. Halla el punto de la función pendiente 4 5. Halla los valores de a y b para que la recta tangente a a b en el punto P,0 sea paralela al eje de abscisas. 6. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a y 0 en los puntos de abscisa =. Ángulo que forman dos curvas al cortarse. 7. Demuestra que si f y g son dos curvas que se cortan en el punto de abscisa =a, entonces la tangente del ángulo que determinan sus tangentes en dicho punto es: f '( a) g' ( a) tg( ) f '( a) g' ( a) 8. Las curvas y ² e y, se cortan en el punto P(,). Halla el ángulo que forman sus tangentes en ese punto. 9. Halla el ángulo que forman las curvas 9y=³ e y=6+8-³ en el punto de abscisa = Halla el ángulo que forman al cortarse las curvas 3 y e 4 y. Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. 3. a) Demuestra que si una función es creciente en un intervalo, entonces la derivada de la función es positiva en cualquier punto de dicho intervalo. b) Demuestra que si una función es decreciente en un intervalo, entonces la derivada de la función es negativa en cualquier punto de dicho intervalo. 3. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: 3² ³ 3² 9 3 ³ ³ 6² 9 4 ² 3

9 Determinación de los máimos y mínimos relativos de una función. 33. Demuestra que si una función tiene un máimo relativo (o un mínimo) en =a, entonces f (a) = Sea f una función derivable en =a, tal que f (a) = 0. Demuestra que si f (a) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en = a. Demuestra que si f (a) < 0, entonces f tiene un máimo relativo en = a. 35. Halla los máimos y mínimos relativos de las siguientes funciones: 5 5 5³ 6² 8 ³ 7² 96 ³ ² ³ 3² (36 ²) ²(6 ) 00 ² Problemas de optimización. 36. Resuelve los siguientes problemas: a) Halla las dimensiones de un rectángulo de área 64 m² para que su perímetro sea mínimo. b) Descompón el número 6 en dos sumandos de modo que su producto sea máimo. c) Halla un número que sumado con 4 veces su inverso da un valor mínimo. d) Divide el número 8 en dos sumandos de modo que la suma de sus cubos sea la menor posible. e) De todos los rectángulos de perímetro cm, halla el que al girar alrededor de un lado genera un cilindro de máimo volumen. f) Se desea construir una caja abierta de base cuadrada y 864 dm³ de capacidad. cuáles deben sus dimensiones para que la superficie sea mínima? g) Se quiere cercar un terreno rectangular situado junto a un camino. La valla junto al camino cuesta 40 /m y la del resto 0 /m. Halla el área del mayor campo que puede vallarse con h) De una lámina de cartón de 80 cm de ancho y 60 cm de largo se quieren cortar un cuadrado igual de cada esquina de modo que se pueda construir con ella una caja sin tapa de capacidad máima. Cuáles deben ser las dimensiones de dichos cuadrados? i) El coste de una ventana es de 4 el metro de ancho y 0 el metro de alto. Si queremos que una ventana tenga m² de superficie, cuáles deben ser sus medidas para que nos resulte lo más económica posible? j) Un depósito abierto con fondo cuadrado ha de tener una capacidad de 400 litros. Qué dimensiones ha de tener para que en su fabricación se emplee la menor cantidad posible de material? k) Halla los lados del rectángulo de máimo perímetro inscrito en una semicircunferencia de radio metro.

10 l) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(,4) y tal que la suma de las longitudes de los segmentos que determinan con los ejes de coordenadas es la menor posible. m) Con un alambre de metro de longitud queremos construir un rectángulo de área máimo. Cuáles deben ser sus dimensiones? n) Un número más el cuadrado de otro número de suman 48. Halla ambos números para que su producto sea máimo. o) Epresa 67,5 como suma de tres números de forma que el segundo sea el doble del primero y su producto sea máimo. p) Descompón 4 en suma de tres números positivos tales que uno de ellos sea el doble del otro y la suma de sus cuadrados sea la menor posible. q) Calcula el área máima que puede tener un triángulo rectángulo de modo que la suma de sus catetos sea de 4 cm. r) Una hoja de papel debe contener 8 cm² de teto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener cm cada uno y los laterales cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. s) Una barca está a 9 km del punto más próimo a la orilla ( A). Se necesita llegar lo más rápidamente posible a otro punto (B) situado en la orilla que dista 5 km del anterior. Si a pie se va a 5 km/h y en la barca a 4 km/h, en qué punto de la orilla se debe desembarcar para llegar a B lo más rápido posible? t) Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. Encuentra las dimensiones de la ventana de área máima y perímetro 0 m. u) En una empresa de transporte urgente sólo se admiten paquetes con forma de paralelepípedo regular, tales que la anchura sea igual a la altura y además la suma de ancho, largo y alto debe ser de 7 cm. Halla las dimensiones de paquete que tenga volumen máimo. v) Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo tienen forma cilíndrica y una capacidad de 60 litros. Halla el radio del cilindro para que la chapa empleada en su fabricación sea mínima. w) Se pretende fabricar una lata de conservas cilíndrica de litro de capacidad. Cuáles deben ser sus dimensiones para que en su fabricación se use la menor cantidad posible de material? ) Un triángulo isósceles tiene su lado desigual de cm y la altura sobre dicho lado de 5 cm. Determina el punto sobre dicha altura para que la sume de sus distancias a los tres vértices sea mínima. y) Una finca rectangular se ha dividido en tres partes rectangulares iguales, con el fin de venderlas por separado. Antes de venderlas se han vallado las partes, usándose para ello 3000 metros de vallado. Cuáles son las dimensiones de la finca si el área encerrada por la valla es la máima? z) Una caja con tapa y base cuadrada debe tener una capacidad de 60 cm³. El precio del material utilizado para la base es de 3 /cm² y el de los lados y la tapa es de /m². Calcula sus dimensiones para que resulte lo más económica posible. aa) El dueño de una fábrica ha estimado que si compra máquinas y contrata a y empleados el número de unidades de producto que podría fabricar vendría dado por

11 la epresión F=90y². Cada máquina le supone una inversión de 500 y cada contrato de un nuevo trabajador otra de 500. a. Si solo dispone de 500 para este fin, a cuántos obreros debe contratar y cuántas máquinas comprar para maimizar su producción? Representación gráfica de funciones. Dada una función f(), para representarla gráficamente debemos calcular:. Dom(f). Cortes con los ejes a. El corte con el eje de abscisas se calcula resolviendo la ecuación f() = 0. b. El corte con el eje de ordenadas se calcula hallando f(0). 3. Ramas infinitas. a. lim b. lim 4. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. a. Si f () > 0 la función es creciente. b. Si f () < 0 la función es decreciente. 5. Máimos y mínimos relativos. a. Si f (a) = 0 y f (a) > 0 hay un mínimo relativo en A(a, f(a)). b. Si f (a) = 0 y f (a) < 0 hay un máimo relativo en A(a, f(a)). 6. Asíntotas: a. Si lim, la recta = k es una asíntota vertical. k b. La recta y = m+n es una asíntota oblicua donde m lim y n lim m. 40. Representa gráficamente las siguientes funciones. a) f() = 3³ f) b) f() = ³ - 3² + 4 g) c) f() = ³ h) d) f() = 4 - ² i ) ² e) f()=6²-³ j) ³

12 . Deriva las siguientes funciones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) Más ejercicios.. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa =. 3. Calcula el ángulo que forman al cortarse las curvas e 4. Halla los puntos en los que la función tiene etremos relativos. Indica si son máimos o mínimos. 5. Se considera la función y un punto de su gráfica, M, situado en el primer cuadrante. Por el punto M se trazan paralelas a los ejes de coordenadas, que junto a dichos ejes forman un rectángulo OAMB. Halla las coordenadas del punto M para que el rectángulo tenga área máima. 6. Representa gráficamente la función 7. Descomponer el número e en dos sumandos positivos de modo que la suma de los logaritmos neperianos de los dos sumandos sea máima. 8. Halla un punto de la parábola en el que su recta tangente sea paralela a la recta de ecuación. Escribe la ecuación de dicha recta tangente. 9. Halla los valores de a y b para que la función pase por el punto P(,), y en ese punto tenga tangente paralela a la recta 3+y=0.

13 0. Cuáles son las dimensiones del rombo de área máima formado uniendo los puntos medios de un rectángulo de 00 metros de perímetro?. Representa gráficamente la función. Descompón el número 60 como suma de tres sumandos positivos de modo que el segundo es el doble del primero y tales que el producto de los tres es máimo. 3. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa =. Halla también la ecuación de la recta normal en =-. 4. De todos los rectángulos de diagonal cm, encuentra las dimensiones del de perímetro máimo. 5. Queremos cortar dos chapas cuadradas cuyos perímetros sumen metro y cuyos precios son /cm² y 3 /cm², respectivamente. Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados para que su coste sea el mínimo posible? 6. Representa gráficamente la función 7. Halla e y para que la siguiente figura tenga volumen máimo.