NÚMEROS RACIONALES. Los números racionales son todos aquellos números de la forma. es una fracción impropia.

Transcripción

1 NÚMEROS RACIONALES Los números racionales son todos aquellos números de la forma a b con a y b números enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra Q. FRACCIÓN PROPIA E IMPROPIA Sean a y b enteros. i) Si a b a es una fracción propia. b ii) Si a > b a b es una fracción impropia. OBSERVACIÓN Toda fracción impropia se puede escribir como número mixto. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Si a, c Q, entonces: b d OBSERVACIÓN El número mixto A b se transforma a fracción con la siguiente fórmula: c MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Si a, c Q, entonces: b d MULTIPLICACIÓN

2 DIVISIÓN OBSERVACIÓN El inverso multiplicativo (o recíproco) de a b es (a b ) 1 = b a, con a y b 0 RELACIÓN DE ORDEN EN Q OBSERVACIONES Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos: Igualar numeradores. Igualar denominadores. Convertir a número decimal. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales. POTENCIAS EN LOS RACIONALES (Q) Si a es un número racional y n número entero positivo. DEFINICIONES OBSERVACIONES 0 n = 0, si n > 0 1 n = no está definido.

3 SIGNOS DE UNA POTENCIA: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS Sean a y b números racionales distintos de cero, m y n números enteros. Multiplicación de potencias de igual base División de potencias de igual base Multiplicación de potencias de igual exponente División de potencias de igual exponente Potencia de una potencia NOTACIÓN CIENTÍFICA Y ABREVIADA Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k 10 n, en que 1 k 10 y n es un numero entero. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p 10 n, en que p es el menor entero y n es un número entero. EJEMPLOS expresado en notación científica es 3, La notación científica de 0, es equivalente a 6, NÚMEROS IRRACIONALES (Q') Son aquellos números decimales infinitos no periódicos. Los números = 3,141592, 2 = 1, son ejemplos de números irracionales. OBSERVACIÓN La definición y algunas propiedades de las raíces cuadradas, para a y b números racionales no negativos, son: DEFINICIÓN:

4 PROPIEDADES NÚMERO DECIMAL Es aquel que puede ser expresado como la suma de productos de cifras por potencias de base 10. En particular, los números que son menores que un entero, los exponentes de las potencias de base 10 son negativos. Los números decimales se clasifican de la siguiente manera: Para cubrir todos los números decimales estudiaremos los que están enmarcados. DECIMALES FINITOS Son aquellos que tienen una cantidad determinada de cifras en la parte decimal Ej: 0,25 0,125 Todo decimal finito es un racional y para llevarlo a forma racional, se anota en el numerador el numero son coma, y en el denominador un uno con tantos ceros como cifras haya en la parte decimal. Ej: 0,25 = = = 1 4

5 DECIMALES INFINITOS PERIÓDICOS PUROS Son aquellos que en su parte decimal tiene una o más cifras que se repiten indefinidamente. Las cifras que se repiten se llaman periodo. Ej: 0,3333 = 0,3 Todo decimal periódico puro es un racional. Para llevarlo a forma racional en el numerador se anota el periodo y en el denominador tantas 9 como cifras tenga el periodo. Ej: 0,333 = 3 9 = 1 3 Si además del periodo aparece parte entera, en el numerador se anota el número sin coma y se le resta la parte entera y en el denominador tantos 9 como cifras tenga el periodo. Ej: 2,333 = = 21 9 = 7 3 DECIMALES INFINITOS SEMIPERIÓDICOS Son aquellos que en su parte decimal además del periodo tienen una o más cifras que no se repiten (ante periodo). Ej: 0,2333 = = = 7 30 Si además de lo anterior el número tiene parte entera, se transforma de la misma forma. Ej: 4,2333 = = DECIMALES INFINITOS NO PERIÓDICOS Son aquellos que en su parte decimal tiene una cantidad indeterminada de cifras en las cuales jamás se puede establecer un periodo. Ej: π = 3,1415 Estos decimales no pueden ser llevados a forma racional, por lo tanto reciben el nombre de Irracionales (Q * )

6 OPERATORIA ENTRE RACIONALES E IRRACIONALES Al sumar o restar un racional con un irracional el resultado es siempre irracional. Al sumar o restar dos irracionales el resultado puede ser racional o irracional. Al multiplicar un racional con un irracional en un único caso resulta racional, es cuando el racional es cero, en cualquier otro caso da irracional. Al multiplicar dos irracionales el resultado puede ser racional o irracional.

7 1.- El resultado de la expresión 8 7 ( ) es: GUÍA PSU MATEMÁTICA NÚMEROS RACIONALES A) 8 10 B) 8 21 C) 1 35 D) 1 40 E) Una fracción con numerador y denominador positivo aumenta su valor si: I. El numerador aumenta. II. El denominador aumenta. III. El denominador disminuye. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III

8 3.- En un curso de 40 estudiantes los 5 del total son niños. Si a mediados de año ingresan al 8 curso 5 niñas, Cuál es la fracción, respecto del total, que representa a las niñas del curso? A) 4 9 B) 2 3 C) 5 9 D) 1 2 E) Una barra de aluminio mide 0,8 m. Por defecto de los cambios de temperatura, luego de 15 horas aumentó en una milésima parte su longitud. Cuál es su medida? A) 0,81 m B) 0,88 m C) 0,801 m D) 0,8008 m E) 0,8001 m 5.- Si n es un número entero negativo distinto de -1, Cuál de las siguientes fracciones es la menor? A) 1 n B) n 1 C) 1 n 2 D) 1 2n E) 1 n 3

9 6.- Si a = 1, b = verdadera(s)? 25 y c =, entonces, Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) 4 I. b c < a 2 II. (a b) 1 < c b III. c A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III 7.- En un triángulo rectángulo isósceles, ambos ángulos interiores agudos disminuyen en un tercio su medida. Entonces la medida del tercer ángulo interior del triángulo resultante debe: A) Disminuir a su tercera parte. B) Aumentar en su tercera parte. C) Disminuir en sus dos terceras partes. D) Aumentar en sus dos terceras partes. E) Aumentar en su novena parte. 8.- En un triángulo ABC, uno de sus ángulos interiores mide x, otro mide 30º más que la mitad de x y el tercer ángulo mide la tercera parte de x aumentado en 18º. Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor ángulo interior del triángulo ABC? A) 72º B) 24º C) 30º D) 42º E) 66º 9.- Un estanque tiene ocupada sus tres cuartas partes con agua. Si se le agregan 500 litros, el agua ocupa hasta los cinco sextos del estanque. Cuál es su capacidad? A) litros. B) litros. C) litros. D) litros. E) litros.

10 10.- Un partido de fútbol se desarrolla en dos tiempos de 45 minutos cada uno. Qué fracción del tiempo que dura un partido queda cuando han transcurrido 15 minutos del segundo tiempo? A) 2 3 B) 3 4 C) 1 4 D) 1 6 E) En un grupo de personas, 1 de ellas no tienen hijos, un tercio mellizos y las 35 personas 5 restantes tienen solo un hijo. Cuántas personas forman el grupo? A) 70 personas. B) 75 personas. C) 60 personas. D) 120 personas. E) No se puede determinar En un curso, un día faltaron a clases 2 de los estudiantes. Si ese día asistieron 35 9 estudiantes, Cuántos alumnos componen el curso? A) 36 alumnos. B) 38 alumnos. C) 40 alumnos. D) 45 alumnos. E) 48 alumnos Qué precio tiene una mercadería si los 2 de los 2 de ella equivalen a $5.600? 3 5 A) $ B) $ C) $ D) $ E) $42.000

11 14.- Se tiene 13 botellas de 3 L, de las cuales 7 están llenas y 6 a la mitad, Cuántas botellas 4 L se necesitan para envasar la misma cantidad de litros? de 1 2 A) 9 botellas. B) 12 botellas. C) 14 botellas. D) 15 botellas. E) 18 botellas Una persona compró cuatro séptimos de 3 1 docenas de naranjas. Cuántas naranjas 2 compró? A) 2 docenas de naranjas. B) 1 1 docenas de naranjas. 4 C) 1 1 docenas de naranjas. 2 D) 1 docena de naranjas. E) 16 naranjas Si a cuatro enteros dos quintos se le suma el producto de cuatro sextos por tres medios, se obtiene: A) B) C) D) E) Si x = ; y = A) x < y < z B) x > y > z C) z > y > x D) y < x = z E) x = z < y 13 ; z =, Qué alternativa representa el orden entre ellas? 22

12 18.- Los números racionales 1 2, 2 3, 3 4, 3 5 ordenados de mayor a menor son: A) 1 2, 2 3, 3 4, 3 5 B) 3 4, 2 3, 3 5, 1 2 C) 3 4, 3 5, 2 3, 1 2 D) 2 3, 3 5, 3 4, 1 2 E) 1 2, 3 5, 2 3, Cuántos paquetes de 3 kg de azúcar se pueden formar con 4 sacos de 30 kg cada uno? 4 A) 90 paquetes. B) 120 paquetes. C) 160 paquetes. D) 180 paquetes. E) 210 paquetes Cuál es la expresión truncada a la décima del número 94,177? A) 94 B) 94,1 C) 94,2 D) 94,17 E) 94,18

13 es igual a: A) 25 8 B) 5 4 C) 1 2 D) 5 2 E) Cuánto es la tercera parte del inverso multiplicativo del número 5? A) 1 5 B) 1 8 C) 3 5 D) 1 15 E) Si x = 2 y z = 5, entonces de las siguientes expresiones, Cuál(es) resulta(n) un 5 8 número entero? I. (x z)(x + z) II. 4xz III. 25x 16z A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) Solo I y II

14 24.- El resultado de es A) 3 41 B) C) 3 20 D) 0 E) Un basquetbolista practica lanzamientos: convierte m y falla n. Qué fracción del total de lanzamientos falla? A) m n B) n m C) D) E) n n+m m m+n n n m = A) 2 B) C) D) E) 1 1 4

15 = A) B) C) 10 D) E) Cuál es el término que sigue en la siguiente secuencia numérica; 1 2, 2 3, 1, 1 3 5, 2 2 3,? A) B) 4 C) D) E) Un estanque de litros está lleno hasta sus 5, Cuántos litros restan para llenarlo? 8 A) B) C) D) E) 6.335

16 = A) B) C) D) E) Un automóvil consume 1 de litro para cada kilómetro recorrido, Cuánto consumirá 10 dicho automóvil para recorrer 240 km? A) 1 L B) 10 L C) 12 L D) 20 L E) 24 L 32.- El ahorro mensual de Georgina es de $ , lo que corresponde a 1 de su sueldo, 6 Cuánto gana Georgina al año? A) $ B) $ C) $ D) $ E) $ Cuántos números enteros hay entre 1 2 y 15 14? A) 0 B) 1 C) 2 D) 14 E) 15

17 34.- Al amplificar por 9 una fracción, Qué ocurre con ella? A) Solo el numerador es múltiplo de 9 B) Solo el denominador es múltiplo de 9 C) La fracción es múltiplo de 9 D) La fracción resultante es 9 veces la fracción original E) La fracción resultante es equivalente a la fracción original 35.- Si una fracción se ha amplificado por 5, entonces lo más correcto es: A) La fracción resultante es 5 B) La fracción resultante es irreductible C) El numerador de la fracción original es múltiplo de 5 D) El denominador de la fracción resultante aún se puede simplificar más E) Tanto el numerador como el denominador de la fracción original son múltiplos de Cuántos octavos hay en la fracción 17 4? A) Ninguno B) 34 C) 17 D) 4 E) es igual a: A) B) C) D) E)

18 38.- Para qué una fracción sea equivalente a un número entero, debe ocurrir? A) El denominador sea múltiplo del numerador. B) Numerador y denominador sean múltiplos del mismo número. C) El numerador sea mayor que el denominador. D) El numerador sea múltiplo del denominador. E) La resta del numerador y el denominador sea mayor que Savane que es una niña muy golosa, se comió un cuarto de la torta antes de que llegaran sus invitados que eran 9, si la mamá de Savane debe repartir de manera equitativa lo que resta de la torta, Qué parte de la torta original le corresponde a cada participante del cumpleaños? A) 1 12 B) 3 40 C) 1 9 D) 1 10 E) Una persona tiene considerado vivir hasta los 80 años y proyecta terminar sus estudios cuando tenga 1 de los años que vivirá, a qué edad terminará sus estudios? 3 A) 26 años. B) 26 años 2 meses. C) 26 años 8 meses. D) 27 años 8 meses. E) 53 años 4 meses.

19 41.- Para la celebración de un grupo de niños se compraron 7 tortas, si se reparten las tortas en partes iguales y son 56 niños, entonces Qué parte de una torta recibe cada uno de ellos? A) 1 56 B) 1 7 C) 1 8 D) 1 9 E) Un entero se ha dividido en 72 partes, si queremos representar una fracción que sea equivalente a una con numerador 1, Cuántas partes no deberíamos considerar? A) 2 B) 3 C) 6 D) 24 E) Un estudiante universitario determina que 1 de sus ingresos lo gastará en transporte, los 3 4 del resto de ellos en alimentación, y el excedente en diversión, Cuál debe ser el monto de 5 sus ingresos para que los dineros asignados a diversión no sean una fracción de peso? A) $ B) $ C) $ D) $ E) $

20 44.- El producto entre un número positivo, su cuadrado y su recíproco es 100, Cuál es el número? A) B) C) 9 10 D) 10 9 E) Lily mide 90 cm. Si Anita mide 4 de la altura de Lily, y Sadaf mide 5 de la altura de 3 4 Anita, Cuál es la altura de Sadaf? A) 180 cm. B) 150 cm. C) 120 cm. D) 96 cm. E) 70 cm Ya completé los 3 del álbum, para llenar 1 de lo que me falta necesito 36 láminas. 5 4 Cuántas laminas, en total, lleva el álbum? A) 76 B) 144 C) 180 D) 240 E) Si 5 3 m. de una tela cuesta $23.000, entonces Cuánto cuesta 1 metro de la misma 4 tela? A) $400 B) $4.000 C) $5.000 D) $5.750 E) $

21 48.- Un reloj se adelanta 8 minutos por día, Cuántos segundos se adelanta en un cuarto de hora? A) 5 seg. B) 8 seg. C) 10 seg. D) 12 seg. E) 15 seg Los puntos A, B, C, D y E representan a números racionales, Cuál es el mejor punto que representa al valor del producto entre B y C? A) A B) B C) C D) D E) E 50.- Cuál de las siguientes fracciones no es equivalente a un decimal finito? A) 1 2 B) 1 20 C) D) 1 12 E) Ninguno de los anteriores El decimal 0,125 corresponde al racional A) 1 4 B) C) 1 8 D) 1 16 E)

22 52.- 0, ,999 = A) 1 B) 1,111 C) 1,1 D) 1, E) 0, ,25 + 0,125 1 = A) 0,625 B) 0,375 C) 0,1 D) -0,375 E) -0, Un estudio de venta de autos dice que cada dos meses se vende la mitad de autos que hay, Cuál es el mínimo de autos que debe tener la empresa al iniciar el año? A) 128 B) 64 C) 32 D) 16 E) El desarrollo decimal de la fracción 1 es 0, , en la parte decimal Cuál 7 es la cifra o digito que ocupa el lugar 27? A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) ,36 : 0,9 0,4 = A) 1 B) 1,6 C) 0,16 D) 0,016 E) 0,81

23 = A) 2,357 B) 0,5327 C) 5,732 D) 5,235 E) 5, Un cuadrado de 1 metro de lado, se divide en 100 cuadrados iguales y en él se achura un rectángulo de área 0,36 m 2, Cuáles no serían las medidas del largo y el ancho de dicho rectángulo? A) 18 cm y 2 cm B) 9 cm y 4 cm C) 36 cm y 1 cm D) 8 cm y 4 cm E) 12 cm y 3 cm 59.- Si se suman un entero, un decimal finito y un decimal periódico puro, el resultado es un número: A) Entero B) Decimal finito C) Decimal semiperiódico D) Decimal periódico puro E) Irracional , = A) 9 B) 5 C) 0,9 D) 0,3 E) Al dejar caer una pelota desde una altura h, esta rebota subiendo hasta 0,9 veces la altura de donde cayó, si esta sigue rebotando con la misma condición, entonces a qué altura llegará después del quinto rebote? A) 0,9 h B) 4,5 h C) 0,45 h D) (0,9) 4 h E) (0,9) 5 h

24 62.- Una familia tiene un negocio en donde todos ellos trabajan. Han decidido que de las ganancias, el padre tendrá el 0,29, la madre el 0,27 y el resto para los dos hijos por igual. Si ganaron $ , entonces Cuánto recibió cada hijo? A) $ B) $ C) $ D) $ E) $ Qué decimal corresponde a la cuarta parte de la mitad de la unidad? A) 8 B) 2 C) 0,5 D) 0,25 E) 0, Cuánto es la cuarta parte de 0,44? A) 0,11 B) 0,011 C) 1,1 D) 0,1 E) 0, El precio de un artículo se aumenta en su cuarta parte para luego disminuir en la mitad del nuevo valor, luego para obtener el valor final el precio original se debe multiplicar por: A) 0,25 B) 0,75 C) 0,625 D) 1,25 E) 1, Un estudiante usando su calculadora se equivoca en un examen y en lugar de dividir por 10, multiplica por 10 y la calculadora le da como resultado 0,8. Cuál era la respuesta correcta del ejercicio del examen? A) 0,008 B) 0,08 C) 0,8 D) 8 E) 80

25 67.- Sea A = 0,, 123 B = 0,123, C = 0,123 y D = 0,123, luego al ordenarlos de manera decreciente se obtiene A) D, C, A, B B) D, C, B, A C) C, D, A, B D) C, D, B, A E) A, B, C, D 68.- El digito que ocupa la posición 2004 en la expresión decimal del racional es: A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) En un curso mixto hay 40 estudiantes. Cuántas niñas hay? (1) Los 3 de los estudiantes son niños. 5 (2) Hay 8 niños que niñas. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional Se puede calcular el valor de x e y sabiendo que: (1) 3 5 x = 3 5 y (2) x = 3 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.

26 71.- En el cuadrado ABCD, Qué parte de cuadrado está sombreada? (1) G, F, H, I son puntos medios (2) DB JH A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional Cuántas personas trabajan en una empresa? (1) Los 5 del total son mujeres. 8 (2) Hay 456 hombres. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional La fracción p se puede simplificar si: q (1) p y q tienen divisores comunes. (2) p es múltiplo de q. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional Cuántos novenos tiene el racional x 3? (1) x es múltiplo de 7. (2) x = 28 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.

27 75.- En la figura, el entero está dividido en 6 partes iguales, entonces para representar la fracción 5 en la figura, es necesario: 7 (1) Dividir cada una de las 6 partes en 7 iguales y del total de ellas sombrear 30. (2) Dividir cada una de ellas en 5 partes y sombrear 7. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional El decimal 0,ABC, donde A, B y C son cifras, es equivalente a 3 8 si: (1) C = 5 (2) AB es primo A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional El producto entre a y b es racional si: (1) a y b son irracionales. (2) a + b es racional. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional Para que la fracción a sea mayor que dos enteros, a debe ser? 8 (1) mayor que 8. (2) entero mayor o igual que 17. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

28 E) Se requiere información adicional Si p, x e y son enteros distintos de 0, entonces p 2p = x y si (1) 2x = y (2) x = 5 e y = 10 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional En la expresión A + B + C = 124 Cuáles son los valores de A, B y C? (1) A = B = C 2 (2) A + B = C A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional CLAVES GUÍA NÚMEROS RACIONALES Nº CLAVE Nº CLAVE Nº CLAVE Nº CLAVE Nº CLAVE EJER EJER EJER EJER EJER 1 C 17 E 33 B 49 A 65 C 2 E 18 B 34 E 50 D 66 A 3 A 19 C 35 E 51 C 67 A 4 D 20 B 36 B 52 B 68 E 5 A 21 E 37 E 53 E 69 D 6 D 22 D 38 D 54 B 70 C 7 B 23 D 39 B 55 B 71 C 8 C 24 A 40 C 56 C 72 C 9 A 25 C 41 C 57 E 73 D 10 E 26 B 42 E 58 D 74 B 11 B 27 D 43 B 59 C 75 A 12 D 28 A 44 D 60 E 76 E 13 C 29 A 45 B 61 E 77 E 14 D 30 A 46 E 62 C 78 B 15 A 31 E 47 B 63 E 79 D 16 D 32 E 48 A 64 A 80 A

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