7 DE LA EXPRESIÓN REGULAR AL AUTÓMATA FINITO

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1 7 DE LA EXPRESIÓN REGULAR AL AUTÓMATA FINITO En los cpítulos nteriores se hn construído diversos AFDs y AFNs que reconocen distintos LRs. Pero no siempre result tn sencillo ni tn seguro diseñr un Autómt Finito correcto. Ejemplo 1 Supongmos el lenguje representdo por l siguiente ER: * + *. Comencemos diujr el DT de un AF que reconoce este lenguje. L ER dd está formd por l unión de dos expresiones, cd un de ls cules es reconocid por un AF cuy construcción es stnte simple. L primer ER, *, es reconocid por el AF: que se puede construir, con ciert fcilidd, siguiendo ls consigns expuests en cpítulos nteriores. L segund expresión, *, tmién deriv en un AF de fácil construcción, teniendo en cuent ls misms clves señlds en esos cpítulos. Así, logrmos el siguiente DT: Y tenemos los dos AFs por seprdo; solo nos rest unirlos pr otener un AF que reconozc l ER presentd inicilmente. Intentemos, entonces, l siguiente cción: consideremos l estdo 0 como único estdo inicil del AF finl; consecuentemente, eliminmos l estdo 3 y diujmos el siguiente DT: Pero este AF no es correcto porque l prte del utómt diujd hci jo reconoce más de un crácter inicil. Esto es decudo pr l ER de l izquierd (*), pero no lo es pr l ER de l derech (*). En relidd, hemos construído un AF que reconoce l LR representdo por *(+*), y que l expresión * detectd por el estdo 0, estdo inicil, es común ms rms del digrfo.

2 Oserve, demás, que este utómt es un AFN por ls trnsiciones 0 => => 0 y 0 => => 4. L solución este prolem será logrd en ls próxims secciones de este cpítulo. El proceso que conduce desde el conocimiento de un LR hst l otención del AFD más útil pr trjr con ese lenguje, tiene vris etps. En primer lugr, el LR es descripto, generlmente, medinte un frse en un lenguje nturl o medinte un ER. Si el lenguje es descripto medinte un frse, el cmino que llev l construcción del AFD que lo reconoce puede ser muy recto, pero tmién puede ser extremdmente sinuoso. No existe lgoritmo lguno pr relizr est tre, solo es cuestión de poseer uenos conocimientos previos (como ls recets del cpítulo 4) y un decud dosis de inspirción pr plicr, en el momento oportuno, esos conocimientos, unque nunc se podrá grntizr un resultdo correcto. En cmio, si el lenguje está representdo por un ER, l situción se simplific mucho porque existe un grupo de lgoritmos que, plicdos ordendmente, nos permitirán otener el mejor AFD con solut seguridd. Los lgoritmos son: ER Algoritmo de Thompson AFN Algoritmo de clusur- AFD Algoritmo de Clses AFD Mínimo En este cpítulo se descriirá el ALGORITMO DE THOMPSONy un derivdo de él, no lgorítmico, l que denominremos Método Semi-Thompson. En los cpítulos que siguen se curen los otros dos lgoritmos de est trilogí. 7.1 ALGORITMO DE THOMPSON L plr lgoritmo signific que el método que se descriirá puede ser implementdo medinte un progrm de computdor, y es donde rdic su verdder utilidd. El Algoritmo de Thompson, desrrolldo por Ken Thompson pr un editor de texto llmdo QED, consiste en: (1) Desmemrr l ER de prtid en sus componentes ásicos (crcteres, operdores y, si este símolo form prte de l expresión); (2) Generr un utómt ásico por cd crácter o símolo que de ser reconocido; (3) Componer estos utómts ásicos según los operdores existentes en l expresión, hst logrr el AF que reconoce l ER dd. El utómt que se otiene es un AFN con trnsiciones-. Not 1: Este lgoritmo es de sencill comprensión pero complejo en su relizción. Los lectores interesdos en conocer cómo se puede implementr en computdor, sugiero que nlicen ls 587 línes! de código en Lenguje C desrrollds por Allen Holu en su liro [HOL90] (ver Biliogrfí) AUTÓMATA PARA CADA CARÁCTER Y PARA EL SÍMBOLO Como se descriió nteriormente, en primer lugr el Algoritmo de Thompson construye tntos utómts ásicos como crcteres y símolos hy en l Expresión Regulr. Ejemplo 2 Si l Expresión Regulr es +, el Algoritmo de Thompson comienz construyendo dos utómts: uno que reconozc l crácter y otro que reconozc l crácter.

3 Si l Expresión Regulr es +, el Algoritmo de Thompson comienz con l construcción de tres utómts: uno que reconozc l primer, otro que reconozc l crácter y un tercer utómt que reconozc l segund. Si l Expresión Regulr es +, el Algoritmo de Thompson comienz construyendo dos utómts: uno que reconozc l crácter y otro que reconozc l símolo. El AF que reconoce un símolo del lfeto (, por cso) es: inicil - finl + El AF que reconoce l símolo es: inicil - finl + Un vez que están desrrolldos los AFs que reconocen los diversos crcteres y símolos que formn l ER originl, el Algoritmo de Thompson procede componer estos utómts ásicos, según ls operciones que están presentes en l ER. Surgen, sí, utómts más complejos, con myor cntidd de estdos, que corresponden l plicción de los distintos operdores que formn l expresión, respetndo, ovimente, ls prioriddes de estos operdores. A continución se muestr cómo se cren los utómts pr los diferentes operdores oficiles (unión, conctención y clusur de Kleene) AUTÓMATA PARA LA UNIÓN Se diseñrá el AF que reconoce l ER formd por l unión de dos crcteres y/o símolos (como + o +), de l siguiente form: (1) Se construyen los dos utómts ásicos; (2) Los estdos iniciles de los utómts ásicos dejn de ser iniciles y los estdos finles de estos mismos utómts dejn de ser finles; (3) Se greg un nuevo estdo inicil; (4) Se incorporn dos trnsiciones- que relcionrán l nuevo estdo inicil con los dos ex estdos iniciles; (5) Se ñde un nuevo estdo finl; (6) Se trzn dos trnsiciones- pr unir los dos ex estdos finles con este nuevo estdo finl, y el utómt está construído. Ejemplo 3 Se l ER +. El proceso del Algoritmo de Thompson pr otener el AF reconocedor, siguiendo los seis psos descriptos nteriormente, es el siguiente: (1) y

4 (2) El AFN otenido en este punto y reconoce l ER + pero no responde l Algoritmo de Thompson porque este método exige que el utómt construído teng un único estdo finl; por lo tnto, deemos seguir un pso más. (3) Este es el AFN que se otiene plicndo el Algoritmo de Thompson; el utómt es un AFN por tener trnsiciones AUTÓMATA PARA LA CONCATENACIÓN Se un ER formd por l conctención de dos crcteres (como, por ejemplo,, en l que es el crácter izquierdo y es el crácter derecho ). El AFN por Thompson que reconoce est ER se otiene de l siguiente mner: (1) Se construyen los utómts ásicos (denominemos utómt izquierdo l que reconoce el crácter izquierdo y utómt derecho l que cept el crácter derecho ); (2) El estdo finl del utómt izquierdo dej de ser finl y el estdo inicil del utómt derecho dej de ser inicil (los otros estdos no se ltern); (3) Se greg un trnsición- que vincule l ex estdo finl del utómt izquierdo con el ex estdo inicil del utómt derecho ; (4) El AFN y está termindo, siendo su estdo inicil, el estdo inicil del utómt izquierdo, y siendo su estdo finl, el estdo finl del utómt derecho. Ejemplo 4 Se l Expresión Regulr. Pr otener el AFN por Thompson que reconoce est expresión, prtimos de los dos utómts ásicos:

5 y Siguiendo el lgoritmo descripto, otenemos el siguiente utómt: AUTÓMATA PARA LA CLAUSURA Desemos construir, medinte el Algoritmo de Thompson, un AFN que reconozc un ER que solo tiene el operdor estrell (como, por ejemplo, *). Este es el tercero y último operdor oficil que existe pr l creción de ER. Recuerde que los otros operdores genern ERs que siempre se pueden escriir, unque con myor dificultd, utilizndo solo los tres operdores oficiles. El utómt pr l clusur se otiene sí: (1) Se construye el utómt ásico; (2) El estdo inicil dej de ser inicil y el estdo finl dej de ser finl; (3) Se incorporn un nuevo estdo inicil y un nuevo estdo finl; (4) Se greg un trnsición- desde el nuevo estdo inicil hst el ex estdo inicil; (5) Se greg un trnsición- desde el ex estdo finl l nuevo estdo finl; (6) Se incorpor un trnsición- desde el nuevo estdo inicil l nuevo estdo finl (pr que reconozc l plr vcí); (7) Se greg un trnsición- desde el ex estdo finl l ex estdo inicil (pr reconocer l repetición del crácter). Ejemplo 5 Siguiendo los siete psos descriptos rri, y prtiendo de un utómt ásico con trnsición 1 => => 2, el AFN por Thompson que reconoce l Expresión Regulr * es: CARACTERÍSTICAS GENERALES DE UN AFN POR THOMPSON El AFN otenido medinte l plicción del Algoritmo de Thompson es un AFN con trnsiciones- con ls siguientes crcterístics: (1) Al estdo inicil no llegn trnsiciones; (2) El estdo finl dee ser único; (3) Del estdo finl no prten trnsiciones; (4) De culquier estdo no finl pueden prtir: un sol trnsición etiquetd con un crácter del lfeto, un sol trnsición- o dos trnsiciones-.

6 Not 2: Verifique, en todos los AFN por Thompson construídos hst el momento, el cumplimiento de ests restricciones. Ejemplo 6 Se l ER (+)*, un expresión que posee los tres operdores oficiles. Construymos, plicndo el Algoritmo de Thompson, un AF que reconozc este LR. En primer lugr, deemos tener en cuent ls prioriddes de los operdores que ctún en est expresión y l existenci de préntesis. En consecuenci, el orden de evlución será. (1) (+); (2) l clusur de Kleene de (+); (3) l conctención de con (+)*. El orden plicr en l construcción del utómt por Thompson dee coincidir con el orden de evlución de l expresión. Por lo tnto: (1) Se construyen los utómts ásicos pr los crcteres y que intervienen en l expresión (+); (2) Se construye el utómt que reconoce (+): (3) Se construye el utómt que reconoce (+)*: (4) Se construye el utómt ásico que reconoce el primer crácter ; (5) Finlmente, se construye el utómt que reconoce l Expresión Regulr (+)*:

7 A continución incorpormos otr sección en l que se nlizrá un método, sdo en lguns de ls puts que nos rind el Algoritmo de Thompson, pero que result más simple pr otener un AF diseñdo mnulmente (no lgorítmicmente). Por ello, denominremos este segundo método como Semi Thompson. 7.2 MÉTODO SEMI THOMPSON El Algoritmo de Thompson es muy útil por ser, justmente, un lgoritmo. Est circunstnci posiilit que se pued diseñr un progrm de computdor que implemente ese lgoritmo, como se descrie en [HOL90], de tl form que dd un ER (como dto), oteng l Tl de Trnsiciones del AFN por Thompson (como resultdo). Como se h visto en los ejemplos presentdos, el AFN por Thompson tiene muchos estdos y su construcción mnul es lent y muy tedios. L computdor, en cmio, es muy rápid y no tiene sentimientos como urrimiento o fstidio; por lo tnto, dejemos que el Algoritmo de Thompson se plicdo por l computdor. No ostnte, deemos conocer el Algoritmo de Thompson pr, justmente, ser qué deemos tener en cuent y qué podemos modificr en un plicción mnul, pr que el AF otenido se correcto y más simple de procesr. En est sección nlizremos un método que result más práctico pr ser plicdo en form mnul (ppel y lápiz), unque deemos tener mucho más cuiddo pr otener un AF que se, efecivmente, correcto. Como utilizremos lguns ides que rind el Algoritmo de Thompson, este método lo llmremos Semi Thompson. El AF que se construye puede ser un AFN o un AFD. Un crcterístic fundmentl de este método es que, por no constituir un lgoritmo implementle, el AF otenido no dee respetr ls restricciones que poseen los utómts construídos medinte el Algoritmo de Thompson. En consecuenci, y contrrimente lo que se firm en l susección 6.1.5: (1) l estdo inicil pueden llegr trnsiciones; (2) puede her vrios estdos finles; (3) del estdo finl pueden slir trnsiciones; (4) desde culquier estdo puede prtir un número y tipo de trnsiciones ritrrio. Si ien no se puede dr un recet plicle todos los csos, sí se pueden nlizr lguns situciones que se presentn menudo o que formn un generlizción de lo que reliz el Algoritmo de Thompson: Cso 1: Expresión Regulr *. El AF que reconoce est expresión es inmedito:

8 0 ± Si construímos el utómt que reconoce este lenguje utilizndo el Algoritmo de Thompson, otenemos un AFN con trnsiciones- de cutro estdos. El utómt diujdo, en cmio, es un AFD y tiene solo un estdo. Oserve que este utómt no respet el Algoritmo de Thompson por dos motivos: l estdo inicil lleg un trnsición y, demás, del estdo finl sle un trnsición. Por otro ldo, el Algoritmo de Thompson jmás puede producir un utómt en el que su estdo inicil, tmién se estdo finl. Cso 2: Expresión Regulr (+)*. El utómt que reconoce est expresión es igul que el utómt nterior, con l únic diferenci que hor l trnsición está etiquetd con dos crcteres:, 0 ± En este cso, l diferenci entre el AFN por Thompson y este AFD es ún myor en cunto l cntidd de estdos de cd utómt. El diujdo sigue teniendo un solo estdo, mientrs que el AFN por Thompson tiene ocho estdos. El utómt construído greg un nuev violción ls restricciones que define el Algoritmo de Thompson: desde el estdo inicil prten dos trnsiciones por dos crcteres del lfeto (unque esté diujdo con un solo ciclo, pr simplificr el gráfico). Cso 3: Expresión Regulr * + * + +, constituíd por l unión de tres expresiones, cd un de ls cules tiene conctenciones. Generlizmos l implementción del operdor unión del Algoritmo de Thompson, permitiendo que desde el estdo inicil prtn más de dos trnsiciones-. Además, ignormos l necesidd de un único estdo finl y eliminmos l trnsición- que greg Thompson pr representr cd conctención: Ovimente, est generlizción de vris trnsiciones- se puede plicr culquier estdo del utómt. Note, demás, cómo reconoce l clusur positiv ( + = *, en los estdos 6 y 7).

9 Cso 4: Expresión Regulr ( + )*. Segurmente nos conviene utilizr trnsiciones- pr crer el ciclo que corresponde l operdor clusur de Kleene, pero recuerde que no estmos oligdos gregr nuevos estdos (como sí ocurre con el Algoritmo de Thompson). Por lo tnto, podemos construir el siguiente AFN reconocedor: Como se oserv, hy vris violciones de ls restricciones propis del Algoritmo de Thompson: l estdo inicil lleg un trnsición; del estdo inicil slen dos trnsiciones etiquetds con crcteres del lfeto, y que no es necesrio el uso de trnsiciones- pr est unión, más un trnsición etiquetd con ; del estdo finl sle un trnsición; y, finlmente, no es necesrio gregr un trnsiciones- pr conctenr los crcteres y. Cso 5: Expresión Regulr ( + ) +. Este cso es muy similr l cso nterior: l únic diferenci es que utiliz el operdor clusur positiv en lugr del operdor clusur de Kleene. Como semos, l clusur positiv no represent l plr vcí si ést no pertenece l lenguje se. En consecuenci, el AF resultnte es igul l AF nterior, pero sin l trnsición- que trnsit del estdo inicil l estdo finl pr reconocer l plr vcí: RESUMEN OPERADORES OFICIALES ALGORTIMO DE THOMPSON CARACTERÍSTICAS DE SU AFN MÉTODO SEMI-THOMPSON

10 7.4 EJERCICIOS (1) Oteng, por Thompson, el AFN que reconoce l Expresión Regulr +. (2) Oteng, por Thompson, el AFN que reconoce l Expresión Regulr ( + ) +. (3) Oteng un utómt por Semi Thompson que reconozc l expresión ( + ) +. (4) Oteng, por Thompson, el AFN que reconoce l Expresión Regulr ( + ) +. (5) Oteng un utómt por Semi Thompson que reconozc l expresión ( + ) +. (6) Oteng, por Thompson, el AFN que reconoce l Expresión Regulr * + * (del Ejemplo 1). (7) Oteng un utómt por Semi Thompson que reconozc l expresión * + * (del Ejemplo 1). (8) Oteng, por Thompson, el AFN que reconoce l Expresión Regulr ( + + )*. (9) Oteng un utómt por Semi Thompson que reconozc l expresión ( + + )*. (10) Oteng, por Thompson, el AFN que reconoce l Expresión Regulr ( + )* ( + )*. (11) Oteng un utómt por Semi Thompson que reconozc l expresión ( + )* ( + )*. (12) Oteng, por Thompson, el AFN que reconoce l Expresión Regulr ()* ( + )*. (13) Oteng un utómt por Semi Thompson que reconozc l expresión ()* ( + )*. (14) Oteng, por Thompson, el AFN que reconoce l Expresión Regulr ( + ) + () +. (15) Oteng un utómt por Semi Thompson que reconozc l expresión ( + ) + () +. (16) Oteng, por Thompson, el AFN que reconoce l Expresión Regulr (* + *)*. (17) Oteng un utómt por Semi Thompson que reconozc l expresión (* + *)*. (18) Oteng, por Thompson, el AFN que reconoce l Expresión Regulr *(c*)*. (19) Oteng un utómt por Semi Thompson que reconozc l expresión *(c*)*. (20) Oteng, por Thompson, el AFN que reconoce l Expresión Regulr c* + +. (21) Oteng un utómt por Semi Thompson que reconozc l expresión c* + +. (22) Oteng, por Thompson, el AFN que reconoce l Expresión Regulr + c ( + )* + c ( + + c)*. (23) Oteng un utómt por Semi Thompson que reconozc + c ( + )* + c ( + + c)*.