x i y p i h i h p i P i x p i O i

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1 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER.5 CINEMÁTIC LN Coordenadas de un punto pertenecente a un elemento lo largo de este apartado a partr de ahora se van a utlzar las coordenadas de punto de referenca. Dado un punto genérco pertenecente a un elemento su poscón puede defnrse ben por sus coordenadas locales ue permanecen constantes o ben por sus coordenadas globales ue varían a medda ue el elemento se mueve. En la fgura. se muestra un punto pertenecente a un elemento así como dos sstemas de referenca: uno eteror al elemento el otro con orgen en un punto fo del msmo ue por lo tanto se mueve soldaramente con el cuerpo. Las coordenadas del punto respecto al sstema eteror ue se denomna "sstema global" son mentras ue las coordenadas de este msmo punto respecto al sstema de referenca soldaro al elemento llamado "sstema local" son. Y p h h p p elemento p X Fgura.6. Coordenadas cartesanas de en los sstemas local global. bserve el lector ue en la notacón empleada para dentfcar las coordenadas el subíndce en este caso ndca a ué elemento pertenecen las coordenadas el superíndce a ué punto concreto de ese elemento pertenecen las coordenadas. or otra parte s las coordenadas están referdas al sstema global se denomnan e s lo están al sstema local del elemento. sí son las coordenadas globales del punto pertenecente al elemento son sus coordenadas locales. En cuanto a los puntos se emplea la notacón para especfcar ue el punto pertenece al elemento. Los puntos de referenca de cada elemento puntos en los ue se va a stuar el orgen del sstema de referenca local se denotan con la letra para especfcar el elemento al ue pertenece el punto de referenca se vuelve a emplear como subíndce el nombre del elemento. sí representa el punto de referenca del elemento. 8

2 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Y elemento h p h p p p X Fgura.7. Coordenadas cartesanas de tras el movmento del elemento. S el elemento se mueve al cabo de un tempo t se encontrará en otra poscón tal como se ndca en la fgura.7. bservemos ue el sstema global permanece fo en el eteror mentras ue el local se mueve acompañando en su movmento al elemento sobre el ue está defndo. or este motvo las coordenadas del punto respecto al sstema local permanecen sempre constantes. Y h S f r r X Fgura.8. Vectores de poscón r r s. Los puntos del elemento pueden representarse tambén respecto al sstema global por medo de sus vectores de poscón. En la fgura.8. se muestran el elemento los vectores r r ue defnen la poscón de los puntos respecto al sstema global. sí msmo el vector s defndo en coordenadas globales une el punto con. En general la localzacón de cada elemento en el espaco ueda defnda s se conocen las tres componentes globales del vector r ue poscona el orgen del sstema local asocado al elemento fgura.9. 9

3 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER h Z z r Y X Fgura.9. Coordenadas cartesanas. El vector r puede representarse de la sguente forma: ben empleando el vector traspuesto así: r z r [ z ] T En forma más general puede epresarse como: En donde la sgnfca ue se trata del elemento. r [ z ] T En el caso de movmento plano r [ ] T demás del vector r ha ue especfcar los tres gros ν ν ν ue defnen la orentacón angular del sstema local respecto al sstema global. sí pues la stuacón espacal del elemento puede representarse por el vector de coordenadas cuas componentes son las coordenadas traslaconales las otras angulares ue defnen la poscón relatva del sstema local respecto al global. [ z T ] En el plano sólo son necesaras coordenadas traslaconales una angular por lo ue el vector de coordenadas asocado al elemento es de la forma: T [ ] [ r T ] En un sstema formado por N elementos se necestan n 6 N coordenadas s es espacal n N s es plano. El vector de coordenadas del sstema es el sguente: T T T [... T N ] T 5

4 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER En donde... n corresponden a los elementos... n ue forman el mecansmo. Relacones de transformacón en cnemátca plana. Matrz de transformacón En la fgura.. se muestran las proeccones de un punto genérco sobre los ees locales lgados al elemento al ue pertenece dcho punto sobre los ees globales ue por smplcdad se han trasladado hasta el punto I. Y h S a f X Fgura.. roeccones de sobre los ees locales globales. la vsta de la fgura. pueden establecerse las sguentes relacones entre las coordenadas locales globales del punto I : cos sen sen cos S se consdera ue el sstema global no está stuado en el punto tal como se ndca en la fgura. las epresones anterores uedan en la sguente forma: Y cos sen sen cos h f X Fgura.. roeccones de sobre los ees locales globales. Las dos últmas ecuacones forman el sstema de ecuacones de transformacón cua epresón matrcal es la sguente: 5

5 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER cos sen sen cos Donde el vector del prmer membro representa las coordenadas del punto en globales en el segundo membro el prmer sumando representa las coordenadas del punto en locales el últmo vector las coordenadas del punto en locales. La matrz ue aparece en el segundo sumando recbe el nombre de matrz de transformacón. En forma compacta las coordenadas del punto respecto al sstema global pueden epresarse como: r r s' 5 Sendo r r los vectores ndcados en la fgura.8 una matrz ue se conoce con el nombre de "Matrz de transformacón". Esta matrz toma la forma sguente cuando se trabaa en coordenadas cartesanas planas: cos sen sen cos El vector s' es el vector de las coordenadas locales del punto. or tanto 6 s [ ] T Dervadas de las ecuacones de transformacón sí como las relacones de transformacón son útles para determnar la poscón de algunos puntos del mecansmo su prmera segunda dervadas lo son para conocer sus velocdades aceleracones respectvamente. rmera dervada artendo de la relacón de transformacón tenemos ue: cos sen sen cos Como las coordenadas varían con el tempo al gual ue el ángulo ν mentras ue las coordenadas locales permanecen constantes al dervar respecto al tempo se obtene lo sguente: sen cos cos sen La relacón de transformacón en velocdades puede ponerse tambén de esta forma: sen cos ueden epresarse tambén de forma más compacta: Donde es la matrz: cos sen r r s'

6 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER sen cos cos sen En defntva la relacón de transformacón en velocdades puede defnrse dcendo ue: las componentes del vector velocdad de un punto lgado al elemento respecto al sstema global son guales a las componentes globales del vector velocdad del punto en el ue se stúa el sstema local más el producto de la matrz por el vector ue contene las coordenadas locales del punto por la velocdad de gro del sstema local respecto al global. Segunda dervada Dervando de nuevo respecto al tempo se obtene la segunda dervada de las relacones de transformacón cua epresón general es: sen cos cos sen cos sen sen cos Epresado en forma compacta es como sgue: r r s' s' Las relacones de transformacón sus dervadas no solo srven para determnar la poscón velocdad aceleracón de cualuer punto de un sstema mecánco sno ue tambén son de utldad en la obtencón de las ecuacones de restrccón en las ecuacones cnemátcas de velocdad aceleracón como se podrá comprobar más adelante. ar elemental de Revolucón La unta de revolucón ue une los dos puntos ue consttuen un par cnemátco plano ver fgura. ueda defnda por un punto de la artculacón a ue se trata de una unón plana. Naturalmente el punto puede pertenecer tanto al membro como al. h S S h Y r r X Fgura.. ar de revolucón. 5

7 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Este tpo de unta es un par nferor smple. bservando la fgura.. el vector de poscón del punto respecto al sstema global como pertenecente al elemento puede defnrse como: Y como pertenecente al elemento : r r Sendo s s los vectores respectvamente. Sus componentes están epresadas respecto al sstema global. or otra parte recordando la ecuacón 5 el vector de poscón del punto como pertenecente al elemento puede defnrse como: Y como pertenecente al elemento así: r r s s r r s' r r s' 5 Sendo s' s' los vectores pero esta vez epresados en las coordenadas locales asocadas a los elementos respectvamente. Igualando ambas epresones tenemos ue: ben r s r s 6 r s r s 7 Sendo esta gualdad la epresón vectoral de las ecuacones de restrccón correspondentes a este tpo de unta. l estar trabaando en el plano los vectores ue aparecen en la gualdad 7 tenen sólo dos componentes por lo ue esta representa un sstema de dos ecuacones. En la práctca se conocerán las coordenadas locales del punto tanto en el sstema local lgado al cuerpo como en el soldaro al en defntva serán conocdos los vectores s' s'. or tanto las úncas ncógntas son los elementos de los vectores r r los de las matrces.. La ecuacón 7 puede representarse tambén en forma matrcal: r cos sen sen cos cos sen sen cos Sendo: : Coordenadas del punto en el sstema de referenca global XY. : Coordenadas del punto en el sstema de referenca global XY. f : Ángulo de gro entre el sstema local del elemento el sstema global. f : Ángulo de gro entre el sstema local del elemento el sstema global. 8 5

8 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER : Coordenadas del punto en el sstema local del elemento. : Coordenadas del punto en el sstema local del elemento. ar de traslacón El par elemental de traslacón es un par cnemátco plano consttudo por dos elementos una unta de traslacón ue los conecta. Este tpo de unón es un par nferor smple. Se representa por la línea en la ue se produce el desplazamento relatvo entre ambos cuerpos. Q S h d h r Y r Fgura.. ar de traslacón. En la fgura.. se muestra un par de traslacón. Es un tpo de unta en la ue ueda mpeddo el gro relatvo entre los cuerpos. Esta condcón ege ue el ángulo grado por ambos elementos sea el msmo en cualuer nstante. sí pues s ν ν denotan los ángulos ue defnen el gro de en el nstante ncal φ φ los correspondentes a un nstante cualuera. Sendo: X 9 Debe verfcarse ue ambos ncrementos de ángulos sean guales por lo tanto: lo ue es lo msmo: La ecuacón 9 es una de las dos ecuacones de restrccón del par de traslacón. ara encontrar otra ecuacón de restrccón se toman dos puntos pertenecentes al elemento Q ue estén stuados sobre la línea de accón del par un tercer punto stuado sobre esa msma línea pero lgado al cuerpo. Entre estos dos puntos se mpone la condcón de ue permanezcan contnuamente alneados. Esto se consgue egendo ue el vector s ue une Q sea paralelo al vector d ue une o lo ue es lo msmo ue el producto vectoral de ambos vectores sea nulo. r r r r r s d s d Sguendo la fgura. los vectores s d pueden defnrse como: 55

9 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Q Q Q s r r.a d r r Y multplcando escalarmente estos dos vectores: ~ s s d d s d s d s s s d d d.b Q Q Como la condcón de paralelsmo es ue el producto vectoral sea nulo la segunda ecuacón de restrccón vene dada por: Q Q 5 En defntva para el par de traslacón al gual ue en el caso anteror esten dos ecuacones de restrccón ue son: Q Q 6 ar de Revolucón-Revolucón Cuando uno de los elementos del mecansmo se encuentra lgado a otros dos por sendas untas de revolucón puede tratarse el conunto como s fueran dos elementos undos por una únca unta múltple de revolucón-revolucón. h k k k k h h h h Fgura.. Junta múltple del tpo revolucón-revolucón. El hecho de trabaar con untas múltples permte omtr las coordenadas del elemento ntermedo lo cual supone una gran ventaa a ue se reduce el número de ecuacones totales del sstema 56

10 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER mecánco. En contraposcón el hecho de no tener en consderacón esas coordenadas mpde ue pueda obtenerse alguna nformacón sobre la poscón de dcho elemento. Un par de revolucón-revolucón ue conecta dos elementos se defne por los puntos en los ue los ees de las untas smples de revolucón de los elementos cortan al plano en el ue se estuda el movmento. h S d Y S r h r Fgura.5. ar de revolucón-revolucón. En la fgura.5 se muestra el par de revolucón-revolucón. demás de los vectores cláscos a utlzados en los casos anterores se defne auí un vector d con orgen en etremo en el punto cuo módulo se denota con la letra l representa la longtud de la unta. De la fgura.5 puede deducrse ue en el sstema de referenca global: De donde despeando el vector d: ben: X r s r s d 7 d r s r s 8 d r r 9 Y epresada esta ecuacón en térmnos de las componentes de los vectores respecto al sstema global se tene: d Tomando módulos elevando al cuadrado se llega a lo sguente: ben: l 57

11 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER l Esta epresón consttue la ecuacón de restrccón del par de revolucón-revolucón. Úncamente se necesta una ecuacón porue esta unta múltple sólo elmna un grado de lbertad. ar de Revolucón-Traslacón En la fgura.6 se muestran algunos eemplos de este tpo de untas múltples: k k Fgura.6. Dferentes untas de revolucón-traslacón. Como puede aprecarse s se tene un cuerpo k undo a otros dos por medo de una unta de revolucón otra de traslacón respectvamente el conunto formado por el elemento k los dos pares smples puede consderarse como una unta compuesta de revolucón-traslacón. Como a se comentó al estudar la unta smple de traslacón una forma de garantzar el cumplmento de la condcón ue mpde el gro relatvo de los elementos ue la componen consste en tomar puntos sobre la línea de accón de la unta dos pertenecentes a uno de lo elementos uno al otro membro egr ue permanezcan alneados en todo nstante. En este caso se toman dos puntos arbtraros Q sobre el elemento de la unta compuesta en el ue se encuentra la unta smple de traslacón un tercer punto stuado en el ee de la unta de revolucón. Nótese ue pertenece tanto al elemento en el ue se encuentra la unta de revolucón como al elemento ntermedo además está stuado en la línea de accón de la unta de traslacón. De forma análoga a como se hzo a con el par de traslacón para epresar esta condcón matemátcamente se defnen un vector d con orgen en etremo en Q otro s ue va de Q a se ege ue su producto vectoral sea nulo. 58

12 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER S Q d Fgura.7. ar de revolucón-traslacón. perando se llega a la ecuacón de restrccón del par ue vene dada por la sguente epresón: Q Q Q Q En donde Q e Q son respectvamente las coordenadas de los puntos Q respecto al sstema de referenca global. es el punto del elemento en el ue el ee de la unta smple de revolucón corta al plano de estudo Q dos puntos arbtraros del elemento stuados sobre la línea de accón de la unta smple de traslacón. S se comparan los pares de traslacón de revolucón-traslacón puede observarse cómo en el prmero se tenían dos ecuacones de restrccón: una para garantzar la colneardad de los vectores s s la otra para evtar ue los elementos gren uno respecto al otro en el par de revolucóntraslacón sn embargo como los elementos gran uno respecto al otro solamente se necesta la condcón de colneardad para los vectores por lo tanto sólo este una ecuacón de restrccón. Eemplo Se deben plantear las ecuacones de restrccón correspondentes al cuadrlátero artculado de la fgura resolverlas para el nstante t a partr de la solucón obtenda determnar las coordenadas globales de los puntos para t. 6 Resolucón: 59

13 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Número de ncógntas S se emplean coordenadas cartesanas para descrbr la confguracón del mecansmo al consderarse ue este está formado por elementos las varables del problema son cada una de las tres componentes de los vectores.... Se tenen por tanto: ncógntas Número de restrccones smples Cada elemento fo puede representarse por restrccones smples una por cada coordenada de la forma cte. l estr un únco elemento fo elemento n.º ha: restrccones smples Juntas En la sguente tabla se recogen los datos correspondentes a cada uno de los pares elementales del mecansmo. N.º Junta Elemento Elemento Tpo de unta N.º de restrccones r r r r Número de ecuacones de restrccón la vsta de la tabla anteror ueda claro ue el número de ecuacones de lgadura para este mecansmo es: N.º restrccones N.º restrccones smples N.º 8 untas r Grados de lbertad número de restrccones motrces adconales Se sabe ue la dferenca entre el número de restrccones el de coordenadas es sempre gual al número de grados de lbertad del sstema. g. d.l. Y s se decde segur el método de las restrccones motrces adconales para plantear las ecuacones de lgadura es precso añadr tantas ecuacones motrces como grados de lbertad tenga el mecansmo con el fn de obtener un sstema con gual número de ecuacones ue de ncógntas. sí pues según el resultado anteror se necesta una únca ecuacón motrz. S se supone ue el órgano motrz es el elemento n.º ue además el movmento motor es de revolucón dcha ecuacón debe ser de la forma: t 6

14 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Eleccón de los sstemas de referenca determnacón de las coordenadas locales ue defnen la poscón de las untas en cada elemento Referenca global. Se toma con orgen en el punto. La referenca se orenta según se muestra en la fgura. Referenca local lgada al elemento. Se toma con orgen en. h ara la referenca elegda se tenen las sguentes coordenadas locales para los puntos. Referenca local lgada al elemento. Se toma con orgen en el punto medo de orentada según la dreccón de dcha barra. f h En este caso tenendo en cuenta ue la longtud del elemento es l las coordenadas locales de los etremos son: Referenca local lgada al elemento. Se toma con orgen en el punto medo de. 6

15 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER h f Como l 6 las coordenadas locales de los etremos son: Referenca local lgada al elemento. Se toma con orgen en el punto medo de es orentada según esta barra. l ser l las coordenadas locales de los etremos son:.5.5 f h lanteamento de las ecuacones de restrccón smples Dado ue las coordenadas ncales del membro fo elemento n.º valen: las ecuacones de restrccón correspondentes a este elemento son: lanteamento de las ecuacones de restrccón correspondentes a cada unta Junta n.º. l gual ue todas las demás unones del mecansmo es una unta de revolucón por lo ue la epresón general de las ecuacones de lgadura para este tpo de par cnemátco es ecuacón 7: r r s r s 6

16 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER 6 en forma más desarrollada: sen sen sen sen cos cos cos cos Y s se tene en cuenta ue para todas las referencas escogdas la segunda coordenada local es nula puede escrbrse: sen sen cos cos Tenendo en cuenta ue: l susttur se obtenen las sguentes ecuacones: sen 5 cos Junta n.º. Es tambén de revolucón por lo ue puede emplearse la epresón general. En este caso se tene ue:.5 Susttuendo se obtenen las ecuacones: sen.5 sen cos cos Junta n.º. Es tambén de revolucón. Las ecuacones correspondentes a esta unta son: sen sen 9 8 cos cos Junta n.º. Se trata de una unta de revolucón.

17 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER.5 perando de gual modo ue para las otras untas se obtene: cos.5 cos sen.5 sen lanteamento de las restrccones motrces Como a se ha comentado este una únca ecuacón motrz ue ha de ser de la forma: Se supondrá ue el movmento del membro motor elemento n.º sgue la le: t ω t ω π t t Sendo φ el valor ncal de la coordenada φ ω la velocdad angular ue se supondrá constante se tomarán para estos dos parámetros los valores: π 5 ω sí pues la restrccón motrz puede representarse de esta forma: Sstema de ecuacones de restrccón correspondentes al mecansmo En este sstema se agrupan todas las ecuacones obtendas anterormente. cos 5 sen 6 cos.5 cos 7 sen.5 sen 8 cos cos 9 sen sen cos.5 cos sen.5 sen π t 6

18 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Como puede observarse la últma ecuacón es dstnta en cada nstante por lo ue el sstema tene una solucón dferente para cada valor de la varable temporal t. Solucón de las ecuacones de restrccón para el nstante ncal ara t la solucón del sstema es: Coordenadas globales de los puntos en el nstante ncal Utlzando las relacones de transformacón una vez conocdas las coordenadas del sstema pueden determnarse las coordenadas de cualuer punto del mecansmo. cos sen sen cos Y tenendo en cuenta ue para los sstemas de referenca escogdos la segunda coordenada local es sempre nula pueden smplfcarse las ecuacones anterores uedando: cos sen Coordenadas globales del punto para t. S se consdera ue es un punto fo del membro puede escrbrse: cos.77 cos 5. sen.77 sen 5. Coordenadas globales del punto para t. Tenendo en cuenta ue es un punto fo del elemento se obtene: cos cos sen.78.5 sen Eemplo Se deben plantear las ecuacones de restrccón correspondentes al mecansmo bela-manvela representado en la fgura resolverlas para t a partr de la solucón obtenda determnar las coordenadas globales de los puntos en el nstante ncal. 65

19 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER 6 Resolucón: Número de ncógntas S se emplean coordenadas cartesanas para descrbr la confguracón del mecansmo al consderarse ue este está formado por elementos las varables del problema son cada una de las tres componentes de los vectores.... Se tenen por tanto ncógntas Número de restrccones smples Cada elemento fo puede representarse por restrccones smples una por cada coordenada de la forma cte. l estr un únco elemento fo elemento n.º esten: restrccones smples Juntas En la tabla se recogen los datos correspondentes a todos los pares elementales. N.º Junta Elemento Elemento Tpo de unta N.º de restrccones r t r r Número de ecuacones de restrccón la vsta de la tabla anteror ueda claro ue el número de ecuacones de lgadura para este mecansmo es: N.º restrccones N.º restrccones smples N.º untas r N.º 6 untas t Grados de lbertad número de restrccones motrces adconales Se sabe ue la dferenca entre el número de restrccones el de coordenadas es sempre gual al número de grados de lbertad del sstema. 66

20 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER g. d.l. Es precso añadr tantas ecuacones motrces como grados de lbertad tenga el mecansmo con el fn de obtener un sstema con gual número de ecuacones ue de ncógntas por lo ue se necesta una únca ecuacón motrz. S se supone ue el órgano motrz es el elemento n.º ue además el movmento motor es de revolucón dcha ecuacón debe ser de la forma. t Eleccón de los sstemas de referenca determnacón de las coordenadas locales ue defnen la poscón de las untas en cada elemento Referenca global. Se toma con orgen en el punto orentada según se muestra en la fgura. Referenca local lgada al elemento. Se toma con orgen en. h Dada la referenca elegda se tenen las sguentes coordenadas locales para el punto. Referenca local lgada al elemento. Se toma con orgen en el punto medo de orentada según la dreccón de dcha barra. h f En este caso tenendo en cuenta ue la longtud del elemento es l las coordenadas locales de los etremos son: 67

21 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Referenca local lgada al elemento. Se toma con orgen en el punto medo de. h f Como l b 6 las coordenadas locales de los etremos son Referenca local lgada al elemento. Se toma con orgen en el punto. h Y en este caso las coordenadas locales del punto son: lanteamento de las ecuacones de restrccón smples Dado ue las coordenadas ncales del membro fo elemento n.º valen: las ecuacones de restrccón correspondentes a este elemento serán: lanteamento de las ecuacones de restrccón correspondentes a cada unta Junta n.º. Es una unta de revolucón operando de modo análogo a como se hzo en el prmer eemplo se obtenen las sguentes ecuacones de restrccón: Junta n.º. cos 5 sen 68

22 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER 69 Es una unta de traslacón sus ecuacones de restrccón responden a la epresón general obtenda en el apartado.: Q Q t Donde Q son dos puntos lgados al elemento de la unta en este caso el membro n.º stuados sobre la línea de accón de esta es un punto del elemento elemento n.º tambén pertenecente a la línea de accón. Como estos puntos pueden selecconarse de forma arbtrara para obtener maor smplcdad en los cálculos se han elegdo los puntos con las sguentes coordenadas locales: Q Q Q Q plcando a estos puntos las ecuacones de transformacón: sen sen cos cos Se tene ue: sen Q Q Q Q Q cos Y susttuendo en la epresón general de las ecuacones de lgadura se obtene: [ ] [ ] sen 7 6 cos demás tenendo en cuenta ue los valores ncales de los ángulos φ φ son nulos ueda: sen 7 6 cos Junta n.º. Es una unta de revolucón. perando como en el eemplo se llega a: sen sen 9 8 cos cos

23 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Junta n.º. Se trata tambén de una unta de revolucón sus ecuacones correspondentes son: lanteamento de las restrccones motrces cos sen Se supondrá ue el movmento del membro motor elemento n.º sgue la le: ω t ω t Sendo φ el valor ncal de la coordenada φ ω la velocdad angular ue se supondrá constante se tomarán para estos dos parámetros los valores: π 5 ω sí pues la restrccón motrz puede representarse en la sguente forma: π t Sstema de ecuacones de restrccón correspondentes al mecansmo En este sstema se agrupan todas las ecuacones obtendas anterormente. cos 5 sen 6 sen cos 7 8 cos cos 9 sen sen cos sen π t La últma ecuacón es dstnta en cada nstante por lo ue el sstema tene una solucón dferente para cada valor de la varable temporal t. Solucón de las ecuacones de restrccón para el nstante ncal ara t la solucón del sstema es: 7

24 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Coordenadas globales de los puntos en el nstante ncal Utlzando las relacones de transformacón una vez conocdas las coordenadas del sstema pueden determnarse las coordenadas de cualuer punto del mecansmo. cos sen sen cos demás sabendo ue para los sstemas de referenca escogdos la segunda coordenada local es sempre nula pueden smplfcarse las ecuacones anterores: cos sen Coordenadas globales del punto para t. S se consdera ue es un punto fo del membro puede escrbrse: cos.77 cos 5. sen.77 sen 5. Coordenadas globales del punto para t. Tenendo en cuenta ue es un punto fo del elemento se obtene: Eemplo cos 7.5 sen Deben plantearse las ecuacones de restrccón correspondentes al cuadrlátero artculado de la fgura resolverlas para el nstante ncal t. 6 7

25 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Como puede aprecarse el mecansmo ue se va a estudar es el msmo del eemplo pero esta vez consderando ue la barra ue une está ntegrada en una unta de revolucón-revolucón. Resolucón: Número de ncógntas l consderarse ue este está formado por elementos las varables del problema son las componentes de los vectores.... Se tenen por tanto: 9 ncógntas Número de restrccones smples Cada elemento fo puede representarse por restrccones smples una por cada coordenada de la forma cte. l estr un únco elemento fo elemento n.º esten: restrccones smples Juntas En la sguente tabla se recogen los datos correspondentes a cada uno de los pares elementales del mecansmo. N.º Junta Elemento Elemento Tpo de unta N.º de restrccones r r r-r Número de ecuacones de restrccón la vsta de la tabla anteror ueda claro ue el número de ecuacones de lgadura para este mecansmo es: N.º restrccones N.º restrccones smples N.º untas r N.º 8 untas rr Grados de lbertad número de restrccones motrces adconales El número de grados de lbertad es: g. d.l. 9 8 Es precso añadr tantas ecuacones motrces como grados de lbertad tenga el mecansmo por lo ue se necesta una únca ecuacón motrz. Eleccón de los sstemas de referenca determnacón de las coordenadas locales ue defnen la poscón de las untas en cada elemento Referenca global. Como en el eemplo. 7

26 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Referenca local lgada al elemento. Como en el eemplo. Referenca local lgada al elemento. Como en el eemplo. Referenca local lgada al elemento. Igual ue la referenca local del elemento vsta en el eemplo pero cambando el índce "" por "" por lo ue en este caso se tene ue:.5.5 lanteamento de las ecuacones de restrccón smples Como en el eemplo. lanteamento de las ecuacones de restrccón correspondentes a cada unta Junta n.º. Como en el eemplo. cos 5 sen Junta n.º. Como en el eemplo pero cambando el índce "" por "". 6 cos.5 cos 7 sen.5 sen Junta n.º. En este caso se trata de una unta de revolucón-revolucón ue por tanto responde a la epresón general dada por la ecuacón. ara esta unta se tene ue: rr l 7

27 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER 7.5 Se aplcan a estos puntos las ecuacones de transformacón: sen sen cos cos Y se tendrá ue: sen cos sen.5.5 cos Y susttuendo en la epresón general de las ecuacones de lgadura se obtene: 6.5 sen sen.5 8 cos cos lanteamento de las restrccones motrces Como en el eemplo. t 9 π Sstema de ecuacones de restrccón correspondentes al mecansmo En este sstema se agrupan todas las ecuacones obtendas anterormente. t 6.5 sen sen.5.5 sen sen.5 sen π cos cos cos cos cos

28 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Solucón de las ecuacones de restrccón para el nstante ncal ara t la solucón del sstema es: Eemplo Deben plantearse las ecuacones de restrccón correspondentes al mecansmo bela-manvela de la fgura resolverlas para el nstante ncal t. 6 Este mecansmo es el msmo del eemplo pero consderando ue el elemento n.º está ntegrado en una unta de revolucón-traslacón. Resolucón: Número de ncógntas l consderarse ue este modelo está formado por elementos las varables del problema son las componentes de los vectores.... Se tenen por tanto: Número de restrccones smples 9 ncógntas l haber un únco elemento fo elemento n.º esten: Juntas restrccones smples En la sguente tabla se recogen los datos correspondentes a cada uno de los pares elementales del mecansmo. 75

29 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER N.º Junta Elemento Elemento Tpo de unta N.º de restrccones r r r-t Número de ecuacones de restrccón El número de ecuacones de lgadura para este mecansmo es: N.º restrccones N.º restrccones smples N.º untas r N.º 8 untas tr Grados de lbertad número de restrccones motrces adconales El número de grados de lbertad es: g. d.l. 9 8 Es precso añadr tantas ecuacones motrces como grados de lbertad tenga el mecansmo por lo ue se necesta una únca ecuacón motrz. Eleccón de los sstemas de referenca determnacón de las coordenadas locales ue defnen la poscón de las untas en cada elemento Referenca global. Como en el eemplo. Referenca local lgada al elemento. Como en el eemplo. Referenca local lgada al elemento. Como en el eemplo. Referenca local lgada al elemento. Como en el eemplo. lanteamento de las ecuacones de restrccón smples Como en el eemplo. 76

30 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER lanteamento de las ecuacones de restrccón correspondentes a cada unta Junta n.º. Como en el eemplo. cos 5 sen Junta n.º. Igual a la unta n.º del eemplo. 6 cos cos 7 sen sen Junta n.º. Se trata de una unta de revolucón-traslacón ue responde a la epresón general obtenda en el apartado.5: Q Q Q Q rt Donde es el punto del elemento elemento n.º ue defne la poscón de la unta de revolucón Q son dos puntos lgados al elemento en este caso el membro n.º stuados sobre la línea de accón de la de unta smple de traslacón. sí pues se tene ue: Y aplcando las ecuacones de transformacón: Se tene ue: cos sen sen cos cos sen En cuanto a Q pueden selecconarse de forma arbtrara para obtener maor smplcdad en los cálculos se han elegdo los puntos con las sguentes coordenadas locales: Q Q Q Q Estas coordenadas como se vo en el eemplo verfcan las relacones: Q Q Q Q Q cos sen 77

31 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Y susttuendo en la epresón general de las ecuacones de lgadura se obtene: 8 cos cos sen sen sen cos Smplfcando la epresón anteror se llega a: cos cos sen sen sen cos 8 lanteamento de las restrccones motrces Como en el eemplo. π 9 t Sstema de ecuacones de restrccón correspondentes al mecansmo En este sstema se agrupan todas las ecuacones obtendas anterormente. cos 5 sen 6 cos cos 7 sen sen 8 cos cos sen sen sen cos π 9 t Solucón de las ecuacones de restrccón para el nstante ncal ara t la solucón del sstema es: Engranaes El contacto entre los dentes de un engranae no se produce sobre una superfce sno en una línea tangente a ambos perfles. or ello los engranaes son pares cnemátcos superores. Engranaes clíndrcos Dado ue las ruedas ue forman un engranae gran alrededor de su centro ue permanece fo se representa este tpo de pares por las dos ruedas ue engranan más un tercer elemento k al ue están lgados los centros de las ruedas. 78

32 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER k h k k h f f k h f Y X Fgura.8. Engranae clíndrco. Como es sabdo en toda rueda dentada puede defnrse una crcunferenca magnara llamada crcunferenca prmtva tal ue el movmento relatvo entre las crcunferencas prmtvas correspondentes a dos ruedas ue engranan es sempre de rodadura sn deslzamento. or ello resulta útl defnr este tpo de pares cnemátcos por las dos crcunferencas prmtvas de las ruedas dentadas. S se consdera ue el cuerpo k es fo basta con mponer la condcón de no deslzamento entre las ruedas prmtvas o lo ue es lo msmo con egr ue las velocdades lneales de ambas ruedas en el punto en ue se produce la rodadura pura sean guales. Sendo el punto en el ue se produce la tangenca entre las ruedas prmtvas sendo v v las velocdades lneales del punto de la rueda la rueda respectvamente debe verfcarse ue: v v Como se sabe la velocdad lneal puede epresarse como el producto del rado de gro por la velocdad angular. Dado ue el ángulo ν ndca el gro relatvo de cada una de las ruedas respecto al sstema global su dervada concde con el módulo de la velocdad angular aunue afectada por el sgno correspondente varacón angular postva o negatva. sí pues tenendo en cuenta ue las ruedas de un engranae gran sempre con sentdos opuestos puede escrbrse la relacón anteror en la forma: d d ρ ρ ρ ρ ρ d ρ d 5 d t d t 79

33 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER 8 Donde ρ ρ representan los rados prmtvos de las ruedas. Integrando la epresón anteror entre el momento ncal un nstante genérco t se obtene: d d t t ρ ρ ρ ρ ρ ρ 6 Sendo ν ν los valores ncales de las coordenadas angulares ν ν respectvamente. Hasta ahora se había supuesto ue el elemento k permanecía fo sn embargo s este membro grase con una velocdad angular k las ruedas fadas a él se moverían soldaramente. or ello s se le dera al conunto un gro gual opuesto al del elemento k se obtendría un sstema euvalente al ue se acaba de estudar. Se llamará ' ' a las velocdades resultantes de superponer al gro de las ruedas otro contraro al del elemento k: k k Según lo anterormente epuesto estas nuevas varables han de verfcar la relacón 6 por lo ue se tene ue: ' ' ' ' ρ ρ 7 Y deshacendo el cambo de varables se llega a la ecuacón ue consttue la ecuacón de restrccón del par engranae clíndrco: ] [ ] [ k k k k ρ ρ 8

34 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Engranae pñón-cremallera Fgura.9. ñón fo cremallera. Se estudará ahora el par cnemátco formado por un pñón de centro fo ue engrana con una cremallera la cual se desplaza paralelamente al ee global. En este caso la velocdad lneal de la cremallera en el punto de contacto vene dada por la dervada de su coordenada. or tanto la condcón ue mpde el deslzamento relatvo entre la cremallera el pñón puede epresarse como: d d ρ ρ ρ d d 9 d t d t Integrando la epresón anteror entre t se llega a la ecuacón de restrccón cuando el pñón no se desplaza: ρ 8

35 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Fgura.. ñón desplazable cremallera. S además el pñón se desplaza paralelamente a la cremallera a la velocdad tangencal del pñón ue se tenía en el caso anteror ha ue sumarle su velocdad de traslacón como sóldo rígdo ue es gual a la dervada de su coordenada. La condcón de rodadura pura presenta la forma: d d d ρ ρ d ρ d d dt dt dt Y al ntegrar se obtene: ρ.6 NÁLISIS CINEMÁTIC En los apartados anterores para determnar un sstema mecánco se han utlzado como varables las tres coordenadas ue defnen la ubcacón la orentacón del sstema de referenca local asocado a cada elemento. En la fgura del eemplo se muestra un sstema mecánco con tres barras. En general se dce ue las coordenadas escogdas para descrbr la confguracón de un sstema se agrupan para formar un vector algebraco llamado vector de coordenadas. En concreto para el eemplo ctado el vector de coordenadas podría ser: 8

36 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Como la poscón del mecansmo evolucona con el tempo las coordenadas son funcones de este en general para n coordenadas puede emplearse el sguente vector: t n t t M t Normalmente este vector se suele escrbr como fla en lugar de en columna por tanto es más usual la sguente epresón: t [ t t K n t Recuerde el lector ue el superíndce T ndca ue este vector fla es el traspuesto del vector orgnal. Una vez defndas las coordenadas ue descrben el mecansmo es necesaro encontrar las m ecuacones de restrccón ndependentes entre sí ue relaconan las n coordenadas del sstema. En cnemátca plana lo normal es encontrar mecansmos con un grado de lbertad por tanto: n m Cada una de las m restrccones geométrcas puede epresarse en forma de una funcón escalar de las n coordenadas del sstema. En general la -ésma ecuacón de restrccón puede escrbrse en la forma: T [ n ] K En el eemplo se obtuveron las ecuacones de restrccón ue eran de la forma: cos 5 sen M sen.5 sen ] T 8

37 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Llamando al vector formado por las funcones escalares se puede escrbr: - cos - sen M M sen 5. sen Y en general en notacón matrcal para el sstema de ecuacones de restrccón: Como realmente se han planteado m ecuacones de restrccón esten n coordenadas n m falta una ecuacón para poder resolver el mecansmo. La ecuacón ue falta debe ser una ecuacón motrz ue defna perfectamente una de las coordenadas en funcón del tempo. l fnal se dspone de un sstema de n ecuacones m restrccones geométrcas más una restrccón motrz ue permte determnar las dferentes poscones ue el mecansmo adopta en el tempo. ara determnar las dferentes velocdades del mecansmo es necesaro obtener el sstema de ecuacones cnemátcas de velocdad. Estas ecuacones se hallan dervando las ecuacones de restrccón respecto al tempo. ara una ecuacón de restrccón se tendrá: lo ue es lo msmo: d dt d dt d dt d dt K En general tenendo en cuenta todas las ecuacones de restrccón la epresón matrcal del sstema de ecuacones de velocdad es: d dt Donde es una matrz cuos térmnos son las dervadas parcales de las ecuacones de restrccón respecto a las coordenadas del sstema. esta matrz se la denomna matrz acobana. ara un mecansmo de m ecuacones de restrccón n coordenadas la matrz acobana tene la sguente forma: n d dt n 8

38 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER M m M m M m L L L n n M m n Una vez conocdos los elementos de la matrz acobana correspondente a cada tpo de par cnemátco es posble ensamblarlos convenentemente para formar la matrz acobana asocada al mecansmo. btencón de la matrz acobana Incalmente se van a plantear los elementos de la matrz acobana correspondentes a cada tpo de unta. ar de revolucón En la sguente tabla están recogdos todos los elementos de la matrz acobana correspondente a una unta smple de revolucón ue conecta dos elementos. / / / / / / r - r - Tabla.. Matrz acobana para un par cnemátco de revolucón. ara obtener los elementos de la matrz acobana del par de revolucón basta con dervar las ecuacones de restrccón de esta unta respecto a sus coordenadas característcas. Como se ha vsto en los apartados anterores las ecuacones de restrccón de una unta de revolucón son: r r cos sen cos sen sen cos sen cos No obstante para dervar estas ecuacones resulta más cómodo trabaar con una epresón más compacta empleando las relacones de transformacón puede escrbrse r r Como es sabdo los elementos de la matrz acobana asocada a un vector de funcones escalares se calculan medante la epresón: [ ] 85

39 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Ya se comentó en el capítulo anteror ue las ecuacones de restrccón tenen como varables las componentes de los vectores de coordenadas por lo ue ha ue dervar las funcones del prmer membro de las ecuacones de lgadura respecto a los parámetros φ φ. Dervadas de respecto a φ : r [ ] r r [ ] r Dervadas de respecto a φ : r [ ] r r [ ] r r [ ] r 5 Dervadas de respecto a φ : r [ ] r 6 r [ ] r r [ ] r r [ ] r Dervadas de respecto a φ : r [ ] r r [ ] r 5 r [ ] r 6 86

40 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER ar de Traslacón La sguente tabla muestra los elementos de la matrz acobana asocada a una unta smple de traslacón ue enlaza dos elementos. / / / / / / t Q Q Q Q Q Q Q Q t - Tabla.. Matrz acobana para un par cnemátco de traslacón. ar de Revolucón-Revolucón En la tabla.. se ndcan los elementos de la matrz acobana correspondente al par compuesto de revolucón-revolucón ue lga dos elementos. / / / / / / rr Tabla.. Matrz acobana para un par cnemátco de revolucón-revolucón. ar de Revolucón-Traslacón La tabla sguente muestra los elementos de la matrz acobana correspondente al par múltple de revolucón-traslacón ue conecta dos elementos de un mecansmo en la forma a señalada. / / / / / / rt Q Q Q Q Q Q Tabla.. Matrz acobana para un par cnemátco de revolucón-traslacón. Q Q.7 GENERCIÓN SISTEMÁTIC DE LS ECUCINES DE VELCIDD Estas ecuacones responden a la fórmula general: Es evdente ue conocer los elementos de la matrz acobana correspondente al mecansmo es sufcente para poder plantear estas ecuacones. Esto puede consegurse calculando las componentes de la matrz acobana asocada a cada uno de los pares elementales del mecansmo. Después debe colocarse cada uno de estos elementos en la matrz global del sstema en las flas correspondentes a las ecuacones de restrccón del par cnemátco en cuestón en las columnas asocadas a las coordenadas de los elementos enlazados por la unta. Una vez stuados todos estos elementos pueden gualarse a cero el resto de las componentes de la matrz global. osterormente es necesaro multplcar esta matrz por el vector velocdad e gualar el producto a cero. Como se ha vsto en el eemplo en un análss cnemátco es precso añadr tantas ecuacones motrces como grados de lbertad tenga el mecansmo con el fn de obtener un sstema con gual número de ecuacones ue de ncógntas. 87

41 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER ara dstngur las ecuacones motrces de las restrccones geométrcas se denotarán las prmeras con un superíndce d. Se tendrá pues un sstema formado por: m restrccones geométrcas d d k ecuacones motrces t Estas ecuacones representan un sstema formado por m k n ecuacones con n ncógntas las n componentes de. La dervada de las restrccones geométrcas es como se sabe: Tenendo en cuenta ue ahora d dt d d depende drectamente del tempo la ecuacón motrz es: d d dt t d En donde parcales de las ecuacones motrces respecto al tempo. dt dt d d t d es la matrz acobana de las ecuacones motrces d t son las dervadas grupando las epresones obtendas para las restrccones geométrcas para las ecuacones motrces el sstema de ecuacones de velocdad toma la forma: Eemplo 5 d t d Se deben plantear las ecuacones de velocdad correspondentes al cuadrlátero artculado de la fgura para el nstante ncal t resolverlas determnar las velocdades globales de los puntos. 6 Como puede aprecarse el mecansmo ue se va a estudar es el msmo del eemplo del capítulo en el ue se obtuveron sus ecuacones de restrccón así como su solucón para t. Resolucón: 88

42 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Coordenadas locales de los puntos empleados para representar la poscón de las untas Estas coordenadas se estmaron a en el eemplo valen:.5.5 Coordenadas ue defnen la poscón del mecansmo en el nstante ncal t Se obtuveron a en el eemplo al resolver el sstema de ecuacones de restrccón partcularzado para t Coordenadas globales de los puntos empleados para representar la poscón de las untas en el nstante ncal t Utlzando las relacones de transformacón pueden determnarse las coordenadas de cualuer punto del mecansmo una vez conocdas las coordenadas del sstema. cos sen sen cos Y tenendo en cuenta ue para los sstemas de referenca escogdos ver eemplo la segunda coordenada local es sempre nula pueden smplfcarse las ecuacones anterores uedando: cos sen Coordenadas globales del punto para t. S se consdera ue es un punto fo del membro puede escrbrse: cos sen Coordenadas globales del punto para t. Tenendo en cuenta ue es un punto fo del elemento se obtene: cos cos sen Coordenadas globales del punto para t. Se calcularon a en el eemplo... 89

43 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER Coordenadas globales del punto para t. Tambén se calcularon en el eemplo Matrz acobana correspondente a las restrccones smples Como las restrccones smples son de la forma cte la únca dervada no nula es: sí pues los úncos elementos no nulos de las matrces acobanas correspondentes a las restrccones son: Matrz acobana correspondente a cada unta Junta n.º. Se trata de una unta de revolucón ue conecta los elementos ue daba lugar a las ecuacones de restrccón 5. or tratarse de una unón de revolucón la forma general de su correspondente matrz acobana es: / / / / / / r - r - Consderando ue en esta unta: Se tene ue: or tanto la matrz acobana para esta unta es:

44 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER / / / / / / Junta n.º. Se trata tambén de una unta de revolucón ue proporcona las ecuacones de restrccón 6 7 en la ue: Y procedendo del msmo modo ue para la unta anteror se llega a: / / / / / / Junta n.º. Se trata de una unta de revolucón-revolucón ue une los elementos ue proporconaba la ecuacón de restrccón n.º 8. or tratarse de una unón de revolucón-revolucón la forma general de su matrz acobana es: / / / / / / rr Consderando ue en esta unta: Se tene ue: Y susttuendo estos valores en la epresón general se obtene: 9

45 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER / / / / / / Matrz acobana correspondente a las restrccones motrces La restrccón motrz es: Dervando respecto al tempo: π 9 d d t sí pues la novena ecuacón de velocdad es: 9 t Y obvamente el únco elemento no nulo de la matrz acobana es: Matrz acobana global para el nstante t 9 Tenendo en cuenta ue el orden de las ecuacones de restrccón se corresponde con el de las flas de la matrz acobana el de las coordenadas del mecansmo con las columnas pueden ensamblarse las matrces anterormente obtendas en una únca matrz acobana ue corresponde al mecansmo completo. / / / / / / / / / Ecuacones cnemátcas de velocdad para el nstante ncal t La epresón general de estas ecuacones es: 9

46 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER d Y partcularzando para este caso se obtene el sguente sstema en el ue se agrupan todas las ecuacones obtendas anterormente d t Solucón de las ecuacones cnemátcas de velocdad La solucón del sstema es: Velocdades globales de los puntos en el nstante ncal Hacendo uso de la prmera dervada de las relacones de transformacón pueden determnarse las velocdades de cualuer punto del mecansmo una vez conocdas las coordenadas velocdades del sstema. sen cos cos sen Y tenendo en cuenta ue para los sstemas de referenca escogdos la segunda coordenada local es sempre nula pueden smplfcarse las ecuacones anterores uedando: sen cos Velocdad global del punto para t. S se consdera ue es un punto fo del membro puede escrbrse: sen 7.7 sen 5.7 cos 7.7 cos5.7 Y el módulo del vector velocdad es 9

47 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER v.7.7 Velocdad global del punto para t. Tenendo en cuenta ue es un punto fo del elemento se obtene: sen sen cos cos Y el módulo es: v GENERCIÓN SISTEMÁTIC DE LS ECUCINES DE CELERCIÓN Como recordará el lector para obtener la epresón matrcal del sstema de ecuacones de velocdad bastaba con dervar las ecuacones de restrccón respecto al tempo es decr: d dt d dt S lo ue se uere obtener es el sstema de ecuacones cnemátcas de aceleracón basta dervar nuevamente las ecuacones de velocdad respecto al tempo. En defntva se tene: d d t d dt d dt t t dt dt Y consderando ue la matrz acobana no depende drectamente del tempo la representacón matrcal del sstema de ecuacones cnemátcas de aceleracón tomará la forma: d dt En donde representa las dervadas parcales respecto a las coordenadas del producto de la matrz acobana por el vector de velocdades de las coordenadas. Escrbendo la ecuacón de aceleracones en la forma se tene una ecuacón en la ue el segundo membro es un vector algebraco ue suele representarse por γ. En este caso las ecuacones de aceleracón pueden escrbrse como: Sendo: γ γ l gual ue ocurre con las ecuacones de restrccón con la matrz acobana los elementos del vector γ pueden generarse de forma sstemátca. 9

48 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER 95 Veamos un eemplo de cómo se obtenen los elementos del vector γ para una unta de revolucón. En prmer lugar se va a realzar el producto de la matrz acobana por el vector de velocdades. Tenendo en cuenta ue las ecuacones de restrccón correspondentes a una unta de revolucón dependen úncamente de los elementos ue componen el par cnemátco es claro ue los elementos del vector son: ] [ ] [ T T Y como los elementos de la matrz acobana asocada a este tpo de unón son los ue están representados en la tabla. se tene: [ ] [ ] r r Una vez conocdo el producto puede calcularse el térmno k k [ ] [ ] Y como: γ Se conclue ue: γ γ Las sguentes tablas recogen los elementos de la matrz acobana del vector γ correspondentes a los pares cnemátcos más frecuentes.

49 Capítulo T NÁLISIS CINEMÁTIC DE SISTEMS MULTICUER / / / / / / - r - t Q Q Q Q Q Q Q Q - r r t r Q Q Q Q Q Q Q Q Tabla.5. Elementos de la matrz acobana para algunos de los pares cnemátcos más comunes. γ r t Q Q [ ] Q Q [ ] r r [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Q Q [ ] t r Q Q [ ] Q Q [ ] Tabla.5. Vector γ de térmnos ndependentes de las ecuacones de aceleracón para algunos de los pares cnemátcos más comunes. l gual ue cuando se analzan velocdades para estudar cnemátcamente las aceleracones de un mecansmo es necesaro ntroducr tantas ecuacones motrces como grados de lbertad tenga el mecansmo ue se pretende estudar. La segunda dervada de las restrccones geométrcas como a se ha vsto tene la epresón: γ Veamos ahora la segunda dervada de las ecuacones motrces: 96

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