OBJETIVOS ÍNDICE BIBLIOGRAFÍA

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1 OBJETIVOS Tema 9: GRAFOS Primera Parte Estructuras de Datos y Algoritmos Curso 2002/03 Definiciones formales de grafo y conceptos relacionados Estructuras de datos para representar grafos Algoritmos para resolver diferentes variantes del problema de encontrar el camino mínimo sobre un grafo Algoritmos para resolver el problema de encontrar el árbol de extensión de coste mínimo sobre un grafo 2 ÍNDICE 1. Introducción 2. Conceptos Básicos 3. Implementación de grafos. Recorridos de grafos 5. Búsqueda del camino con peso mínimo: algoritmo de Dijkstra 6. Otros problemas de caminos en GAD Ordenación topológica Búsqueda de caminos mínimos 7. Problema de obtención de árboles de extensión sobre grafos no dirigidos Algoritmos de Prim y Kruskal BIBLIOGRAFÍA Básica: Weiss, M.A. Estructuras de datos en Java. Adisson-Wesley, Capítulos 1 y 23 Otros: T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest. Introduction to Algorithms. MIT Press, Capítulos 5 y 23. Aho A.V., Hopcroft J.E., Ullman J.E. Estructuras de datos y Algoritmos. Addison-Wesley, Capítulos 6 y 7.

2 1. INTRODUCCIÓN CONCEPTOS BÁSICOS Un grafo permite representar relaciones binarias entre los elementos de un conjunto. Ejemplos: Rutas de transporte Envío de correo electrónico Grafos dirigidos y no dirigidos Grafos etiquetados Relaciones de incidencia y adyacencia Caminos Subgrafos Conectividad Árboles y Grafos Grafos Dirigidos (DiGrafos) Grafos no dirigidos Un grafo dirigido (g.d.) es un par G=(V,E) V es un conjunto finito de vértices (nodos) E es un conjunto de arcos (o aristas). Un arco es un par ordenado(u,v) con u,v V Un grafo no dirigido (G.N.D) es un par G=(V,E) V es un conjunto finito de vértices (nodos) E es un conjunto de arcos (aristas). Un arco es un par NO ordenado (u,v) con u,v V, u v V={1,2,3,,5,6 V={1,2,3,,5,6 E={(1,2),(2,2),(2,),(2,5),(,1), (,5),(5,),(6,3) E={(1,2),(1,5),(2,5),(3,6)

3 Grafos Etiquetados Relaciones de Incidencia y Adyacencia Un grafo etiquetado es un grafo G=(V,E) sobre el que se define una función f:e->a, dónde A es un conjunto cuyas componentes se llaman etiquetas. Un grafo ponderado (o con pesos o costes) es un grafo etiquetado con números reales (A R) Sea G=(V,E) un grafo dirigido. Si (u,v) E, decimos que incide desde u (sale de..) e incide en v (llega a..). Ejemplo: vértice Relaciones de Incidencia y Adyacencia (cont.) Relaciones de Incidencia y Adyacencia (cont.) Sea G=(V,E) un grafo no dirigido. Si (u,v) E, decimos que incide sobre u y v. Ejemplo: vértice 2 Sea G=(V,E) un grafo. Si (u,v) E, decimos que el vértice v es adyacente al u. La relación es simétrica en grafos no dirigidos 2 es adyacente a 1 1 NO es adyacente a 2 2 es adyacente a 1 1 es adyacente a 2

4 Relaciones de Incidencia y Adyacencia (cont.) Relaciones de Incidencia y Adyacencia (cont.) Llamaremos grado de un vértice en un g.n.d. al nº de arcos que inciden sobre él. El grado de un vértice en un g.d. es el nº de arcos que salen de él (grado de salida) más el nº de arcos que entran (grado de entrada). El grado de 2 es 2 Grado de entrada del 2=2, Grado de salida del 2 =3 Grado de 2= Relaciones de Incidencia y Adyacencia (cont.) Caminos El grado de un grafo es el del vértice de máximo grado. Un camino de longitud k desde u a u en un grafo G=(V,E) es una secuencia de vértices v 0,v 1,..,v k tal que v o =u y v k =u y i:1..k:(v i-1,v i ) E. La longitud del camino es el número de arcos. La longitud del camino con pesos es la suma d elos costes de las aristas que forman el camino Si hay un camino P desde u hasta u, decimos que u es alcanzable desde u via P. El grado de este grafo es 5

5 Caminos (cont.) Caminos (cont.) Un camino es simple si todos sus vértices son distintos. En un g.d. un camino <v 0,v 1,..,v k > forma un ciclo si v 0 =v k y el camino contiene al menos un arco. El ciclo es simple si los vértices son distintos Un bucle es un ciclo de longitud 1 <1,2,5,> es un camino simple de longitud 3 <2,5,,5> no es un camino simple <1,2,5,> es un ciclo Caminos (cont.) Ejercicio En un g.n.d. un camino <v 0,v 1,..,v k > forma un ciclo si v 0 =v k y los v i son distintos. Un grafo sin ciclos diremos que es acíclico (GDA) Sea G = (V,E) un Grafo dirigido con pesos V={v 0,v 1, v 2, v 3, v, v 6, v 6, E={ (v 0,v 1, 2), (v 0,v 3, 1), (v 1,v 3, 3), (v 1,v, 10), (v 3,v, 2), (v 3,v 6, ), (v 3,v 5, 8), (v 3,v 2, 2), (v 2,v 0, ), (v 2,v 5, 5), (v,v 6, 6), (v 6,v 5, 1) Se pide: 1.- V y E 2.- Vértices adyacentes a cada v i 3.- Grado de cada v i y del Grafo.- Caminos desde v 0 al resto de Vértices, su longitud y su longitud con pesos 5.- Vértices alcanzables desde v Caminos mínimos desde v 0 al resto de Vértices 7.- Tiene ciclos?

6 Subgrafos Conectividad de un grafo Un grafo G =(V,E ) es un subgrafo de G=(V,E) si V V y E E. Dado un conjunto V V, el subgrafo de G inducido por V es G =(V,E ):E ={(u,v) E:u,v V Un g.n.d. es conexo si cualquier par de vértices están conectados por un camino. Las componentes conexas de un grafo son las clases de equivalencia en V definidas por la relación es alcanzable desde.. Ejemplo: subgrafo inducido por {1,2,3, Conectividad de un grafo (cont.) Árboles Un g.d. es fuertemente conexo si cualquier vértice es alcanzable desde cualquier otro. Las componentes fuertemente conexas de un grafo son las clases de equivalencia en V definidas por la relación son mutuamente alcanzables Un bosque es un grafo acíclico no dirigido. Un grafo acíclico, no dirigido y conexo es un árbol (libre). (a) Árbol (b) Bosque (c) Grafo

7 Árboles Árboles con raíz Teorema: Sea G=(V,E) un g.n.d. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: Un Árbol con raíz es un árbol con un vértice distinguido denominado raíz. G es un árbol (libre) Cualquier par de vértices en G están conectados por un único camino simple G es conexo y E = V -1 G es acíclico pero si añadimos un arco a E, el grafo resultante contiene un ciclo Dem. Pág [Cormen,90] Árbol de recubrimiento de un gnd 2. REPRESENTACIÓN DE GRAFOS Un árbol de recubrimiento del grafo G=(V,E) es un árbol libre T=(V,E ) tal que V =V y E E Ejemplo: 8 7 b c d 2 9 Peso total=37 a 11 i 1 e 7 8 h g f 10 Listas de Adyacencia: Un grafo G=(V,E) se representa como un vector de listas de vértices indexado por vértices. G[v] es una lista de los vértices emergentes y/o incidentes de/a v V. Memoria: O( V + E ) Tiempo de acceso: O(Grado(G)) Matriz de Adyacencias: Un grafo G=(V,E) se representa como una matriz indexada por vértices de booleanos. La componente G[u,v] es true si (u,v) E, sino G[u,v]=false. Memoria: O( V 2 ) Tiempo de acceso: O(1)

8 Ejemplos Implementación de grafos Basada en listas de adyacencia: Implementación básica: Grafos sin pesos Vértices numerados desde 0 hasta V -1 Implementación de grafos ponderados La clase Arista Los vértices no están numerados desde 0 hasta V -1 Utilización de un diccionario (tabla hash) La clase Vertice Implementación básica Programa de prueba public class Grafo { private static final int TAMANYO_INICIAL=10; private Lista tabla []; private int numvertices; public Grafo() { numvertices=0; tabla=new Lista[TAMANYO_INICIAL]; public void insarista (int orig, int dest) { if (tabla[orig]==null) tabla[orig]=new Lista(); tabla[orig].insertar(new Integer(dest)); public String tostring() { String s=""; for (int i=0; i<tamanyo_inicial; i++) if (tabla[i]!=null) s+="or:"+i+"ady="+tabla[i].tostring()+"\n"; return s; public class pruebagrafo { public static void main (String args[]) { BufferedReader in=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); Grafo GM=new Grafo(); System.out.println("Escribe pares de vértices separados por blancos:"); try { String linea=in.readline(); while (linea.length()!=0){ StringTokenizer st=new StringTokenizer(linea); int orig=integer.parseint(st.nexttoken()); int dest=integer.parseint(st.nexttoken()); GM.insArista(orig,dest); linea=in.readline(); catch (IOException e) { System.out.println("Grafo leído:"); System.out.println(GM.toString());

9 Ejemplo de ejecución Ejercicio 1 Escribe pares de vértices separados por blancos: Grafo leído: Orig:1 Ady= 2 Orig:2 Ady= 5 Orig:3 Ady= 6 5 Orig: Ady= 2 Orig:5 Ady= Orig:6 Ady= 6 Definir los siguientes métodos en la clase Grafo: Método constructor para crear el grafo a partir de la información de arcos leída desde un fichero Método para consultar el número total de arcos de un grafo Método para consultar el grado de un vértice dado (grado de salida si el grafo es dirigido) Método para consultar el grado del grafo (grado de salida si el grafo es dirigido) Método para comprobar si el grafo está vacío Método para comprobar si un determinado arco pertenece al grafo 33 3 Implementación de un grafo ponderado La clase Arista public class Grafo { private static final int TAMANYO_INICIAL=10; private Lista tabla []; private int numvertices; public Grafo() { numvertices=0; tabla=new Lista[TAMANYO_INICIAL]; public void insarista (int orig, int dest, int coste) { if (tabla[orig]==null) tabla[orig]=new Lista(); tabla[orig].insertar(new Arista(dest,coste)); public String tostring() { String s=""; for (int i=0; i<tamanyo_inicial; i++) if (tabla[i]!=null) s+="or:"+i+"ady="+tabla[i].tostring()+"\n"; return s; public class Arista { // atributos: el vértice destino y el coste del arco private int dest; private int coste; public Arista(int v, int c) { dest=v;coste=c; public String tostring(){ return dest+ ("+coste+")";

10 Implementación de grafos en Java La clase Grafo La clase Arista La clase Vértice Los nombres de los vértices... En general, los vértices tendrán nombres asociados, típicamente cadenas de caracteres: Se mantendrá una tabla hash con la codificación de cada vértice Los códigos se asignan internamente con valores entre 0 y el número de vértices menos 1, conforme se va leyendo el grafo Grafo Es un vector de... Vértices Tiene una lista de... Aristas Ejemplo: D C 10 A B 12 D B 23 A D 87 E D 3 B E 11 C A 19 DICCIONARIO D 0 C 1 A 2 B 3 E La implementación del diccionario La clase Vertice class ElementoHash implements Hashable { String nombre; int codigo; public class Vertice { String nombre; //el nombre del vértice Lista ady; // la lista de vértices adyacentes (aristas) public ElementoHash (String nom) { nombre=nom; public int hash () { return ExploracionTablaCuadratica.hash(nombre); public boolean equals (Object x) { return nombre.equals( ((ElementoHash)x).nombre ); public Vertice(String v) { nombre=v; ady=new Lista(); public String tostring() { return ady.tostring();

11 La clase Grafo El método constructor de Grafo public class Grafo { private static final int TAMANYO_INICIAL=10; private Vertice tabla []; private int numvertices; private TablaHash diccio; public Grafo() { numvertices=0; tabla=new Vertice[TAMANYO_INICIAL]; diccio=new ExploracionTablaCuadratica(); public Grafo() {... public insarista (String orig,string dest,int cost) {... public String tostring() { La operación insarista La codificación de los vértices public void insarista (String orig, String dest, int cost) { int codorig=insnodo(orig); int coddest=insnodo(dest); Lista aux=tabla[codorig].ady; aux.insertar(new Arista(codDest,cost)); private int insnodo (String nomvertice) { ElementoHash aux = new ElementoHash(nomVertice); ElementoHash res; try { res= (ElementoHash) diccio.buscar(aux); return res.codigo; //Si ya está en el diccionario devolvemos su código catch (ElementoNoEncontrado e) { // Si no está, la añadimos al diccionario e incrementamos numvertices // Si fuera necesario se duplica la tabla de vértices aux.codigo=numvertices; diccio.insertar(aux); if (numvertices==tabla.length) duplicarvectortabla(); tabla[numvertices]=new Vertice(aux.nombre); return numvertices++;

12 Ejercicio 2 Repetir el ejercicio número 1 sobre la implementación completa de grafo (usando el diccionario) Ejercicio 3: definir el método tostring en Grafo de forma que se muestren siempre los Vértices mediante sus etiquetas, y no con la representación numérica interna public String tostring() { String elgrafo = ; for (int i=0;i<=numvertices;i++) { elgrafo+= Vértice: +tabla[i].nombre+ con Adyacentes ; Lista adyacentesai = tabla[i].ady; adyacentesai.inicio(); while (!adyacentesai.esfin()) { Arista actual = (Arista)adyacentesAI.recupera(); int numactual = actual.dest; String nombreactual = tabla[numactual].nombre; elgrafo+= ( +nombreactual+, +actual.coste+ ), ; elgrafo+= \n ; return elgrafo; 5 6