SISTEMAS DE ECUACIONES

Transcripción

1 Universidad de Granada Máster de Profesorado U. D. SISTEMAS DE ECUACIONES Director del trabajo : D. Antonio López Megías SISTEMAS DE ECUACIONES Pilar FERNÁNDEZ CARDENETE <pilarfc@correo.ugr.es> Granada, 23 de febrero de 2014

2 Índice general 1. SISTEMAS DE ECUACIONES INTRODUCCIÓN TEOREMA DE ROUCHÉ EJEMPLOS REGLA DE CRAMER EJEMPLOS SISTEMAS CON PARÁMETROS SISTEMAS HOMOGÉNEOS

3 SISTEMAS DE ECUACIONES INTRODUCCIÓN Se llaman ecuaciones lineales a las ecuaciones en las que las incógnitas aparecen todas con grado 1; no están elevadas a ninguna potencia, ni bajo ningún radical, ni multiplicadas unas por otras. Ejemplos: 7x 4 = 3; 5x y = 7; 3x y + 2z = 0 Un sistema de ecuaciones es un conjunto de expresiones algebraicas, que tienen la siguiente forma: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m 3

4 Donde m es el nº de ecuaciones lineales y n el nº de incógnitas, los a i j son los coeficientes del sistema (números reales), los x j son las incógnitas y los b i son los términos independientes (también números reales). Un sistema de ecuaciones puede tener solución (COMPATIBLE) o no tenerla (INCOMPATIBLE). Los sistemas compatibles pueden tener una solución (DETERMINADOS) o infinitas soluciones (INDETERMINADOS) TEOREMA DE ROUCHÉ Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican de la siguiente forma: SISTEMAS COMPATIBLES o S.C. Sistemas compatibles determinados o S.C.D. (solución única). Sistemas compatibles indeterminados o S.C.I. (infinitas soluciones). SISTEMAS INCOMPATIBLES o S.I. (No existe solución). Denotamos por A a la matriz de coeficientes y A a la matriz ampliada con los términos independientes a 11 a a 1n a 21 a a 2n a 11 a a 1n a 11 a a 1n 4

5 A = a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b 2 a 11 a a 1n b a 11 a a 1n b n Para saber si un sistema de ecuaciones tienes solución, a partir del estudio de los rangos de la matriz A y de su ampliada A, utilizamos el Teorema de Rouché. Teorema (TEOREMA ROUCHÉ). Sea A la matriz de coeficientes, A la matriz ampliada y n el número de incógnitas: Si Rang o(a) = Rang o(a ) entonces el sistema es COMPATIBLE. Si Rang o(a) = Rang o(a ) = n entonces el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO. Si Rang o(a) = Rang o(a ) < n entonces el sistemas COMPATIBLE INDETERMINADO. Si Rang o(a) Rang o(a ) entonces el sistema es INCOMPATIBLE EJEMPLOS EJEMPLO 1: Clasifica el siguiente sistema x 2y + z = 0 x y = 1 x 4y + 3z = 4 5

6 La matriz de coeficientes es: La matriz de ampliada es: En primer lugar, calculamos el determinante de A: = = 0 = Rang (A) < Calculamos el determinante del siguiente menor: 1 2 = = 1 0 = Rang (A) = Respecto a A, sabemos que como máximo su rango es tres. Lo estudiamos, cogemos el siguiente menor (intercambiamos la última columna de A, por la columna de términos independientes ) = = 2 0 = Rang (A ) = Por tanto, el sistema es S.I. 6

7 EJEMPLO 2: Clasifica el siguiente sistema x + 3y z = 1 2x + z = 2 2y z = 0 La matriz de coeficientes es: La matriz de ampliada es: A = En primer lugar, calculamos el determinante de A: = = 0 = Rang (A) < Calculamos el determinante del siguiente menor: 1 3 = 0 6 = 6 0 = Rang (A) = Respecto a A, sabemos que como máximo su rango es tres. Lo estudiamos, cogemos el siguiente menor (intercambiamos la última colum- 7

8 na de A, por la columna de términos independientes ) = (sin necesidad de cálculos, pues tenemos dos filas iguales) NOTA: AÚN NO PODEMOS GARANTIZAR QUE EL Rang (A ) = 2, TEN- DRÍAMOS QUE COMPROBAR EL RESTO DE POSIBILIDADES (intercambiar la última columna de A, por la segunda y tercera columna de términos independiente respectivamente, y comprobar que el determinantes es 0). Pero en este caso, trivialmente, el determinante es 0. Por tanto, Rang (A) = Rang (A ) < n el sistema es S.C.I. EJEMPLO 3: Discutir según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones ax + y + z = 1 x + ay + z = 1 x + y + az = 1 En primer lugar, calculamos el determinante de A: a a 1 = a 3 3a + 2 = (a 1) 2 (a 2) = Rang (A) = a Hemos factorizado el det(a), para saber cuales son los valores del parámetro que se anulan. Son los casos a los que hay que prestar más atención. a = 1 El sistema queda reducido a una ecuación x + y + z = 1. Por tanto, S.C.I. 8

9 a = = 9 0 = Rang (A ) = 3 0Rang (A) = El sistema es S.I. a 1, a 2 El sistema es S.C.D 1.4. REGLA DE CRAMER La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones: el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y la matriz de coeficientes es regular (tiene inversa). Para calcular las soluciones de un sistema utilizamos dos determinantes: Determinante de la matriz de coeficientes A. Determinante i que se obtiene al sustituir, en la matriz del sistema, la columna de la incógnita i (x, y ó z) por la columna de los términos independientes. El valor de cada incógnita se obtiene de la siguiente forma: x = det( x) det(a) y = det( y ) det(a) z = det( z) det(a) 9

10 1.5. EJEMPLOS EJEMPLO 4: Clasifica y resuelve el siguiente sistema x + y + z = 1 x 2y + 3z = 2 x + z = 5 La matriz de coeficientes es: En primer lugar, estudiamos si tiene solución: = 2 0 = Rang (A) = 3 = n Por el Teorema de Rouché es un S.C.D. Aplicamos la regla de Cramer para calcular sus soluciones: x = y =

11 z = Por tanto, las soluciones son: x = 21 2, y = = 4, z = EJEMPLO 5: Clasifica y resuelve el siguiente sistema x + 2y + z = 0 x + y = 0 2x + 3y + z = 0 Escribimos las matrices A y A : A = Calculamos sus determinantes: = (1 + 3) (2 + 2) = 0 = Rang (A) < Calculamos el determinante del siguiente menor: 1 2 = 1 = Rang (A) =

12 Para la matriz A ocurre exactamente igual; Rang (A ) = 2 = Rang (A) < nº de incógnitas. Por el Teorema de Rouché el sistema es S.C.I. Luego; (nº de parámetros) = (nº de incógnitas) - (rango de las matrices). Como para obtener Rang(A) = 2 hemos utilizado las dos primeras ecuaciones, entonces la tercera la podemos eliminar y el sistema queda: x + 2y + z = 0 x + y = 0 Si llamamos z = λ, tenemos que x + 2y + λ = 0 x + y = 0 y si pasamos los términos con λ a la derecha de las igualdades, nos queda: x + 2y = λ x + y = 0 Volvemos a escribir las matrices A y A A = 1 2 λ Como podemos observar, ahora A si es una matriz regular, porque es cuadrada y su determinante es distinto de cero. Podemos aplicar Cramer: 12

13 z = z = z = λ λ det(a) 1 λ 1 0 det(a) = λ 1 = λ = λ 1 = λ Por tanto las soluciones del sistema son λ, λ,λ 1.6. SISTEMAS CON PARÁMETROS Discutir un sistema de ecuaciones en función de uno o varios parámetros; consiste en clasificarlo según los valores que puedan tomar dichos parámetros. Para ello, seguimos los siguientes pasos: 1. Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes A en función del parámetro o parámetros, lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación. 2. Calculamos los rangos de las matrices A y B y utilizamos el teorema de Rouché Frobenius para clasificarlo. item Si es compatible (determinado o indeterminado), lo resolvemos por alguno de los métodos anteriores. EJEMPLO 3: Clasifica y resuelve el siguiente sistema 2x + y = 1 x + y 2z = 1 3x + 3y az = b Escribimos las matrices A y B: 13

14 a A = a b Calculamos el determinante de A: = a a Si a = 2 entonces Rang (A) 2 porque 2 1 = Si sustituimos a=-2 y calculamos el rango de la matriz que obtenemos al intercambiar la última columna por la columna de términos independientes: = b b Si b = 1 Rang o(a ) = 2 = Rang (A), 1 0 = 0 1 2, entonces el sistema es S.C.I. - Si b 1 Rang (A) Rang (B) el sistema es S.I. - Si a 2 A es regular y el sistema es de Cramer S.C.D. 14

15 1.7. SISTEMAS HOMOGÉNEOS Un sistema es homogéneo si todos los términos independientes son cero, y que además, estos sistemas son siempre compatibles. Si aplicamos el Teorema de Rouché Frobenius: Si Rang o(a) = Rang o(a ) entonces el sistema es S.C.D.; Solución es la trivial (0,0,0) Si Rang o(a) < Rang o(a ) entonces el sistema es S.C.I.; Infinitas soluciones, entre ellas, la trivial (0,0,0). 15

16 Bibliografía AÑADIR 16