PRACTICA DIRIGIDA SOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL POR EL MÉTODO GRÀFICO

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1 1 UNIVERSIDAD INCA GARCILASO DE LA VEGA FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS, CÓMPUTO y TELECOMUNICACIONES Carrera Profesional de Ingeniería de Sistemas y Cómputo ASIGNATURA: INVESTIGACION DE OPERACIONES I CICLO: VI PROFESOR: LIC. MIGUEL CANO PRACTICA DIRIGIDA SOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL POR EL MÉTODO GRÀFICO PROBLEMA N 1. Una empresa química Limpiadevco produce limpiadores para automóviles X y pulidores Y y gana $10 en cada lote de X, y $30 en Y. Ambos productos requieren procesarse en las mismas máquinas, A y B, pero X requiere cuatro horas en A y ocho en B, mientras que Y requiere seis horas en A y cuatro en B. Durante la semana entrante las máquinas A y B tienen 12 y 16 horas de capacidad disponible, respectivamente. Suponiendo que existe demanda de ambos productos, cuántos lotes de cada uno deben producirse para alcanzar la utilidad óptima Z?. PROBLEMA N 2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? PROBLEMA N 3. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la escuela. PROBLEMA N 4 Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?.

2 2 PROBLEMA N 5. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este? PROBLEMA N 6. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros. El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas. PROBLEMA N 7. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste. PROBLEMA N 8. Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentación dos clases de componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El médico le da dos tipos de dietas en las que la concentración de dichos componentes es: dieta D 1: 2 unidades de A y 3 unidades de B dieta D 2 : 1 unidad de A y 2 unidades de B. Sabiendo que el precio de la dieta D 1 es 2,5. y el de la dieta D 2 es 1,45. cuál es la distribución óptima para el menor coste? PROBLEMA N 9. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de 8 ha con olivos de tipo A, ni más de 10 ha con olivos del tipo B. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3. Se dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de 500 y cada una de tipo B, 225. Se dispone de 4500 para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B producen, respectivamente, 500 y 300 litros anuales de aceite: a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la producción de aceite. b) Obtener la producción máxima.

3 3 PROBLEMA N 10. Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20 euros respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. Cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio y cual sería este? PROBLEMA N 11. Disponemos de euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 7% y las del tipo B, que rinden el 9%. Decidimos invertir un máximo de euros en las del tipo A y como mínimo 6000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo B sea menor que el doble de la inversión en A. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? PROBLEMA N 12. Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y pesado, a un precio de 70 y 65 euros por barril, respectivamente. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina 95, 0,4 barriles de gasolina 95 y 0,2 barriles de gasoil. Asimismo, con cada barril de crudo pesado produce 0,1, 0,2 y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos respectivamente. La refinería debe suministrar al menos barriles de gasolina 95, barriles de gasolina 98 y barriles de gasoil. Determina cuántos barriles de cada tipo de crudo debe comprar la refinería parar cubrir sus necesidades de producción con un coste mínimo y calcula éste. PROBLEMA N 13. Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer préstamos de riesgo alto y medio, con rendimientos del 14% y 7% respectivamente. Sabiendo que se debe dedicar al menos 4 millones de euros a préstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5, determinar cuánto debe dedicarse a cada uno de los tipos de préstamos para maximizar el beneficio y calcular éste PROBLEMA N 14. Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad que dedica a los coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son de 540 por vagón de coches y 360 por vagón de motocicletas, calcular cómo se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea máximo y cuánto vale dicho beneficio PROBLEMA N 15. Un fabricante produce en dos talleres tres modelos distintos de archivadores, el A, el B y el C. Se ha comprometido a entregar 12 archivadores del modelo A, 8 del B y 24 del C. Al fabricante le cuesta 720 al día el funcionamiento del primer taller y 960 el del segundo. El primer taller produce diariamente 4 archivadores del modelo A, 2 del B y 4 del C, mientras que el segundo produce 2, 2 y 12 archivadores, respectivamente Cuántos días debe trabajar cada taller para, cumpliendo el contrato, conseguir reducir al máximo los costes de funcionamiento?. Cuál es el

4 4 valor de dicho coste? Quedaría algún excedente de algún producto en los talleres? En caso afirmativo, determinar cuánto. PROBLEMA N 16. Calcular los puntos de la región definida por: donde la función z = 3x +2y alcanza los valores máximo y mínimo. Calcula dichos valores PROBLEMA N 17. Debo tomar al menos 60mg de vitamina A y al menos 90mg de vitamina B diariamente. En la farmacia puedo adquirir dos pastillas de marcas diferentes X e Y. Cada pastilla de la marca X contiene 10mg de vitamina A y 15mg de vitamina B, y cada pastilla de la marca Y contiene 10mg de cada vitamina. Además no es conveniente tomar más de 8 pastillas diarias. Sabiendo que el precio de cada pastilla de la marca X es 50 céntimos de euro y que cada pastilla de marca Y cuesta 30 céntimos de euro, calcular de forma razonada: a) cuántas pastillas diarias de cada marca debo tomar para que el coste sea mínimo. b) Cuál es el coste mínimo. PROBLEMA N 18. Se considera la región factible dada por el siguiente conjunto de restricciones: Representar la región factible que determina el sistema de inecuaciones anterior y hallar de forma razonada el punto o puntos de la región factible donde las siguientes funciones alcanzan su máximo y mínimo: a) f(x,y)=2x +3y, b) f(x,y)=y x PROBLEMA N 19. Disponemos de euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de euros en las del tipo A y como mínimo en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? PROBLEMA N 20

5 5 La compañía CEBRA S.A.C., tiene un stock limitado de dos hierbas que se utilizan en la producción de aderezos. CEBRA S.A.C. usa los dos ingredientes, HB1 y HB2, para producir ya sea curry o pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que aunque la empresa puede vender todo el pimentón que pueda producir, sólo puede vender hasta un máximo de 1500 botellas de curry. Las hierbas no utilizadas se pueden vender a $375 la onza de HB1 y a $167 la onza de HB2. Utilizando el método gráfico, determine él consumo de especias que maximice el ingreso de la Empresa. Aderezo Ingredientes (Onzas/Bot) Demanda Precio de Venta HB1 HB2 (Botellas) por botella ($) Curry Pimentón 2 3 Ilimitada 1300 Disponibilidad (Onzas) PROBLEMA N 21 Un fabricante de cemento produce dos tipos de cemento, a saber en gránulos y polvo. Él no puede hacer más de 1600 bolsas un día debido a una escasez de vehículos para transportar el cemento fuera de la planta. Un contrato de ventas establece que él debe producir 500 bolsas al dia de cemento en polvo. Debido a restricciones del proceso, se requiere el doble del tiempo para producir una bolsa de cemento granulado en relación al tiempo requerido por el cemento en polvo. Una bolsa de cemento en polvo consume para su fabricación 0.24 minutos/bolsa y la planta opera un 8 horas al día. Su ganancia es 4 euros por la bolsa para el cemento granulado y 3 euros por la bolsa para el cemento en polvo. Formule el problema de decidir cuánto se debe producir de cada tipo de cemento para maximizar las ganancias de la Empresa, utilizando el Método Gráfico. PROBLEMA N 22 SAMSUNG fabrica dos productos: (1) el Walkman un radiocasete portátil y (2) el Shader TV, un televisor en blanco y negro del tamaño de un reloj de pulsera. El proceso de producción de ambos productos se asemeja en que los dos necesitan un número de horas de trabajo en el departamento de electrónica, y un cierto número de horas de mano de obra en el departamento de montaje. Cada Walkman necesita cuatro horas de trabajo de electrónica y dos en el taller de montaje. Cada televisor necesita tres horas de electrónica y una en montaje. Durante el actual período de producción se dispone de doscientas cuarenta horas en el departamento de electrónica y de cien horas en el de montaje. Cada Walkman vendido supone un beneficio de 7 dólares, mientras que para un televisor el beneficio unitario es de cinco dólares. El problema de SAMSUNG es determinar utilizando el Método Gráfico, la mejor combinación posible de Walkman y televisores que debe producir para alcanzar el máximo beneficio. PROBLEMA N 23 Un agricultor posee un campo de 70 hectáreas y puede cultivar ya sea trigo o cebada. Si siembra trigo gasta US$ 30 por cada hectárea plantada. En cambio si siembra cebada, su gasto es de US$ 40 por hectárea. El capital total disponible es de US$ Por otra parte, también existen restricciones en la disponibilidad de agua para los meses de octubre y noviembre, según se indica:

6 6 Mes Consumo m3 / Consumo m3 / Disponibilidad Hcta Hcta Trigo Cebada m3 Octubre Noviembre Una hectárea cultivada rinde 30 Tm de trigo o 25 Tm de cebada según sea el caso. Los precios vigentes por Tm son de US$ 4,5 para el trigo y US$ 6,0 para la cebada. Utilizando el método gráfico, determinar la cantidad de hectáreas de trigo y de cebada que debe sembrar el agricultor para que maximice su beneficio. PROBLEMA N 23 Cada mes una empresa puede gastar. Como máximo, $. en salarios y $. en energía (electricidad y gasoil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 80 $. y 50 $. por cada unidad de B. El costo salarial, y energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla: A B COSTO $ COSTO ENERGETICO $ Utilizando el método gráfico, se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo PROBLEMA N 24 La empresa McDonald s vende hamburguesas de un cuarto de libra y hamburguesas con queso. La hamburguesa de un cuarto de libra obviamente utiliza ¼ de libra de carne y la hamburguesa con queso sólo utiliza 0,2 libras. El restaurante empieza cada día con 200 libras de carne. La utilidad neta es la siguiente: 0,20$ por cada hamburguesa de cuarto de libra y $0,15 por cada hamburguesa con queso. El gerente estima además que no venderá más de 900 hamburguesas en total. Aplicando el método SIMPLEX, determine la máxima utilidad que obtiene McDonald's. PROBLEMA N 25 Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones. El camión tipo A tiene 20 m3 de espacio refrigerado y 40 m3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3 no refrigerados. Una fábrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m3 de productos refrigerados y 1200 no refrigerados. Utilizando el Método Gráfico, ccuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica para minimizar costos si el tipo A se alquila a 30 $/Km y el B a 40 $/Km?. PROBLEMA N 26 Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello, lanzan dos ofertas, A y B: La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 euros; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 euros. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?