Universidad de Castilla la Mancha PAU/LOGSE Septiembre Opción A

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1 1 Universidad de Castilla la Mancha PAU/LOGSE Septiembre.01 Opción A SEPTIEMBRE Queremos realizar una inversión en dos tipos de acciones con las siguientes condiciones: Lo invertido en las acciones de tipo A no puede superar los euros. Lo invertido en las acciones de tipo B no puede superar los 8000 euros. La suma de la cantidad invertida en A y de la cantidad invertida en B no puede exceder de euros. La rentabilidad esperada para las acciones de tipo A es del 1% y la esperada para la acciones de tipo B es del 5 %. a Dibuja la región factible. b Determina la cantidad que debemos invertir en cada uno de los dos tipos de acciones para que, con las condiciones expuestas, el beneficio sea máximo. x: acciones tipo A y: acciones tipo B función a optimizar: R(x,y= 0.01x y x y 8000 x + y x 0 y 0 x = x + y = x = y = 5000 y = 8000 = 7000 x x + y = y = (0, (7000, 8000 (10000, 5000 Los valores que toma la función R(x,y = 0.01x y en cada uno de los vértices: En el vértice A : R(0, 8000 = 400 En el vértice B : R(7000, 8000 = 470 En el vértice C : R(10000, 5000 = 500 En el vértice D : R(10000, 0 = 100 En el vértice E : R(0, 0 = 0 Por tanto la solución óptima se encuentra en el vértice C, es decir, para x=10000 e y=5000, R(x,y toma un valor máximo de (0, (10000, Un grupo de estudiantes para financiar su viaje de fin de curso vende para el día de San Valentín claveles amarillos, blancos y rojos, por un importe de 1, y 3 euros respectivamente. Han vendido 900 claveles en total y han recaudado 1600 euros. Siendo el número de claveles blancos vendidos la mitad del total de rojos y amarillos. a Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita saber cuántos claveles de cada color han vendido. b Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. x = nº amarillos y = nº blancos z = nº rojos x + y + z = 900 x + y + z = x = 400 x + y + 3z= 1600 y = x + z x + y + 3z= 1600 ( F -F 1 ( y = 300 x - y + z= F 3 -F z = 00 Es decir, vendieron 400 claveles amarillos, 300 blancos y 00 rojos. 3.- La función G(t = t - 8t + 0, 0 t 6, representa las ganancias, en miles de euros, de una empresa durante los últimos 6 meses, siendo t el tiempo medido en meses. a Cuál fue la ganancia obtenida en el segundo mes (t =? b Cuándo la ganancia obtenida fue mínima? Cuál fue su valor? Para t = G( = = 8, es decir las ganancias fueron de 8000 Para que haya un mínimo: G (t=0 y G (t>0: G (t= t 8 G (t=0 t 8 = 0 t = 4 G (t= > 0 mínimo G(4 = 4, es decir la ganancia mínima fue en el cuarto mese, siendo de 4000.

2 Bárbara Cánovas Conesa 4.- Se considera la función f(x= (x t x 0 x si x>0 c Halla el valor de t para que f sea continua en x = 0. d Para t = 3, representa gráficamente la función f. Para que sea continua lim- f(x = lim f(x = f(0 + Examen Selectividad _ Matemáticas _ CCSS _ Castilla la Mancha lim f(x = lim (x t = 1 - t f(x = lim + + x = -1 lim f(0 = x + t = 1 - t 1 - t = -1 t = Para t = 3 f(x= (x x 0 x si x>0 3 Para x0: f(x = x + x - VX = -b = -1 VY = -3 V(-1,-3 a Corte con eje x: (0.7, 0 y (-.7, 0 1 Corte con eje y: (0, - Para x>0: f(x= x x=0 y= -1: (0, x=1 y= -: (1, - - x= y= -3: (, -3 x=3 y= -: (3, Según un estudio, el 30% de las familias españolas van al cine regularmente, el 5% leen regularmente, y el 15% hacen las dos cosas. a Si elegimos una familia al azar y va al cine regularmente, cuál es la probabilidad de que esa familia lea regularmente? b Se selecciona una familia al azar. Cuál es la probabilidad de que esa familia vaya al cine o lea regularmente? Suceso A: cine: P(A=0.3 Suceso B: lee: P(B=0.5 P(AB=0.15 Si va al cine, la probabilidad de que lea: P( B A P ( B P (A B A = P(A = P (B A = 0.5 La probabilidad de que vaya al cine o lea: P(AB P(AB = P(A + P(B - P(A B = P(A B = Se sabe que la cantidad de glucosa en la sangre en individuos adultos y sanos sigue una ley normal de media desconocida y desviación típica 0 mg/dl. Se eligió aleatoriamente una muestra de 100 personas, siendo la media de la cantidad de glucosa en sangre para esta muestra de 85 mg/dl. Se pide: a Halla el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional de la cantidad de glucosa en sangre. b Discute razonadamente el efecto que tendría sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza. El intervalo de confianza viene dado por: P [x - Zα < μ < x + n Zα ] = 1-α n x = 85 = 0 n = = 0.95 = 0.05 α = α = El valor crítico Zα es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z Zα 1 - α buscamos en la tabla P (Z Zα Zα = P [ , ] = (81.08,

3 3 SEPTIEMBRE 01 Al aumentar el nivel de confianza (1- el intervalo aumenta porque se trata de calcular un intervalo que abarca una zona más grande bajo la curva normal N(0,1, pero tenemos menos precisión en la determinación de la media. Y al revés si el nivel de confianza disminuye, el intervalo disminuye. / 1 - / - Z / Z / Opción B 1.- a Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: I + 3X + XA = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad. b Si A = ( 0, calcula la matriz X que cumple AX = I, donde I es la matriz identidad de orden. 5 3 I+3X+XA=B 3X+XA =B-I X(3I+A = B-I X (3I+A(3+A -1 = (B-I(3I+A -1 X=(B-I(3I+A -1 XA=I XA(A -1 =I(A -1 X = A -1 A = = 6 0 A-1 A -1 = 1 A (Ad t 1 A d = ( (Ad t = ( A-1 = 1 6 ( A-1 = (-5 1 X = ( Una compañía de autobuses oferta viajes a tres destinos diferentes: Roma, París y Lisboa. La compañía dispone de 30 autobuses. El número de autobuses que van a París es el doble de la suma de los que van a Roma y a Lisboa. Y el número de autobuses que van a Lisboa es la cuarta parte del número total de autobuses que van a Roma y a París. a Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita obtener el número de autobuses que van a Roma, París y Lisboa respectivamente. b Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. x = nº a Roma y = nº a París z = nº a Lisboa x + y + z = 30 y = (x + z z = x + y 4 x + y + z = x + y + z = 30 - x + y z = 0 (- 1-0 F +F 1 ( y = 60 -x y + 4z = F 3 +F z = 30 x = 4 y = 0 z = 6 Es decir, van 4 autobuses a Roma, 0 a París y 6 a Lisboa. 3.- Dada la función f(x = 1 3 x3 +ax +bx+c. Calcula los valores de las constantes a, b y c para que la gráfica de la función pase por el punto (0, -6, tenga un máximo relativo en el punto de abscisa x = -1, y un punto de inflexión en x = 1. (0,-6 f (0 = -6 c = -6 f(x = 1 3 x3 + ax + bx - 6 Máximo relativo en x=-1 f (-1 = 0 f (x = x +ax + b 1 -a + b = 0 Punto de inflexión en x=1 f (1 = 0 f (x = x +a + a = 0 a = (-1 + b = 0 b = -3 Por tanto, la función pedida es: f(x = 1 3 x3 x 3x 6

4 Bárbara Cánovas Conesa Se considera la función f(x= (x + 3 si x 0 x si x>0 a Estudia la continuidad en x = 0. b Calcula los extremos relativos en el intervalo (-6, 0. c Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento en (-, 0. Para que sea continua lim- f(x = lim f(x = f(0 + Examen Selectividad _ Matemáticas _ CCSS _ Castilla la Mancha lim- f(x = lim -(x + 3 = 9 lim f(x = lim + + x = -1 f(0 = 9 No es continua en x=0 La discontinuidad que tiene es del tipo inevitable de salto finito. En el intervalo (-6, 0, la función tiene la expresión f(x = (x + 3 f (x = x + 6 f (x = 0 x + 6 = 0 x = -3 f (x = f (x > 0 un mínimo relativo f (-3 = 0 Por tanto, existe un mínimo relativo en el punto (-3,0. Para los intervalos de crecimiento, estudiamos el signo de f (x: f (x = x + 6, a ambos lados del mínimo, es decir, de x = -3 f (x > 0 f (-4 = - < 0 la función es decreciente en (-, -3 f (x < 0 f (-- = > 0 la función es creciente en (-3, Una empresa tiene dos líneas de producción. La línea 1 produce el 60% de los artículos y el resto los produce la línea. Sabemos que el 0.5% de los artículos producidos por la línea 1 tiene algún defecto y así mismo el % de los artículos producidos por la línea son defectuosos. a Elegido un artículo al azar, calcula la probabilidad de que sea defectuoso. b Sabiendo que un artículo tiene defectos, cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la línea? Suceso A = elegir artículo de la línea 1 P(A = 0.6 Suceso B = elegir artículo de la línea P(B = 0.4 Suceso D = salir defectuoso P( D A = P(D B = 0.0 La probabilidad de que sea defectuoso: P (D = P(A P( D A + P(B P(D B = P (D = La probabilidad de que siendo defectuosos sea de la línea : P( B D P ( B D = P(B D P ( B D = P(B D P ( D B = P(D B P(B P(D B = P ( D B P(B } P ( B D = P (D B P(B = P (B D = 0.77

5 5 SEPTIEMBRE En un establecimiento de comida rápida se sabe que el tiempo que emplean en comer sus clientes sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 7 minutos. El tiempo que emplearon 10 clientes elegidos aleatoriamente fue de 15, 0, 8, 1, 6, 30, 16, 18, 35 y 7 minutos respectivamente. Se pide: a Halla el intervalo de confianza para la media del tiempo que tardan en comer los clientes del establecimiento con un nivel de confianza del 97 %. b Cuál debería ser como mínimo el tamaño de la muestra para que el error de estimación de la media sea inferior a minutos con el mismo nivel de confianza? El intervalo de confianza para la media es: P [x - Zα < μ < x + n Zα ] = 1-α n x = x =3.6 = 7 n = = 0.97 = 0.03 α = α = El valor crítico Zα es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z Zα 1 - α buscamos en la tabla P (Z Zα Zα =.17 Por tanto, el intervalo de confianza sería: 7 P [ , ] = (18.797, El error de estimación de la media viene dado por la expresión: E = Zα n E = Zα n n = (Zα E n > (.17 7 n > n = 58