BALEARES JUNIO 2004 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. Contesta de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas.

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1 BALEARES JUNIO 004 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Contesta de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. OPCIÓN A ) Tres familias van a una pizzería. La primera familia pide pizza grande, medianas y 4 pequeñas, la segunda familia pide grande y pequeña, y la tercera familia, mediana y dos pequeñas. a) Sea A una matriz 33 que epresa el número de pizzas grandes, medianas y pequeñas que pide cada familia. Calcular A. (.5 puntos) b) Si la primera, la segunda y la tercera familia se han gastado en pizzas 5.50, 5.90 y euros respectivamente, calcular el precio de una pizza grande, el de una pizza mediana, y el de una pizza pequeña. ( punto) a) A = 000 ª fila ª fila ª fila + 3ª fila ª fila 4 ª fila ª fila ª fila ª fila 3ª fila 0 0 ª fila 3ª fila A = b) = precio pizza grande 5.50 X = y y = precio pizza normal B = 5.90 z z precio pizza pequeña = AX = B A AX = A B X = =

2 ) Descomponer el número 8 en dos sumandos positivos de forma que el producto del primer sumando por el cuadrado del segundo sea máimo. (.5 puntos) 8 = + y Py = y y = y+ y P y= y + y= P = y y = 0; = 8 = 7 y( 3y+ 6) = 0 6 La solución es y = = 54; = 7 = ( ) (8 ) 8 '( ) ) Una urna A contiene 5 bolas blancas y 4 negras y otra urna B contiene blanca y dos negras. Se etrae una bola al azar de la urna A y se introduce en la B. Después se etrae de la urna B un bola al azar. a) Calcula la probabilidad de que la bola etraída de la urna B sea blanca. (.5 puntos) b) Supongamos que la bola etraída de la urna B sea blanca, calcula la probabilidad de que la etraída de la urna A también sea blanca. ( punto) a) P( B blanca) = P( A blanca) P( B blanca) + P( A negra) P( B blanca) P( B blanca) = + = + = b) 5 5 P( A blanca B blanca) P( A blanca / B blanca) = = = = P( B blanca) ) El peso medio de una muestra aleatoria de 00 naranjas de una determinada variedad es de 7 g. Se sabe que la desviación típica poblacional es de 0 g. A un nivel de significación de 0.05, hay suficiente evidencia para rechazar la afirmación de que el peso medio poblacional es de 75 g? (.5 puntos) α = 0.95 Z =.96 α σ σ 0 0 I = µ Zα, µ + Zα = 75.96, = (7.08,78.9) 0 0 n n 7 (7.08,78.9) luego no se rechaza la hipótesis.

3 OPCIÓN B 5) En la preparación de dos paquetes de café, C y C, se usa café brasileño y café colombiano. Cada paquete del tipo C contiene 300 g. de café brasileño y 00 g. De café colombiano, y cada paquete del tipo C contiene 00 g. de café brasileño y 400 g. de café colombiano. Con cada paquete del tipo C se obtiene un beneficio de 0.90 euros y con cada paquete del tipo C se obtiene un beneficio de.0 euros. Se dispone de 900 Kg. de café brasileño y 600 Kg. de café colombiano. a) Cuántos paquetes de cada tipo se han de preparar para obtener un beneficio máimo? ( puntos) b) Cuál es este beneficio máimo? (0.5 puntos) = paquetes tipo C = paquetes tipo C Re stricciones : Función objetivo : f (, y) = y y y

4 Calculamos los vértices de la región factible y valoramos la función objetivo: y = 600 y = 4000 A= (0, 4000) f(0, 4000) = 4800 = y = 900 = 3000 B= (3000, 0) f(3000, 0) = 700 = y = y = 600 = 000; y = 3000 C = (000,3000) y = y = 3600 f (000,3000) = = 5400 b) 5400 euros

5 6) Dada la función f( ) =, calcula cuando eistan: 3+ a) Las asíntotas verticales y las horizontales. ( punto) b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. ( punto) c) Los máimos y mínimos relativos. (0.5 puntos) a) Asíntotas verticales : lim =+ = lim = + = 0 lim = = lim =+ + Asíntotas horizontales : lim = 0 y = 0 lim = 0 b) y c) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos : 3 Crece (,), ( 3) 3 3 f '( ) = = 0 = Máimo, 4 ( 3 ) + 3 Decrece, (, )

6 7) Calcula el área del recinto limitado por las curvas y = e y =. (.5 puntos) Hacemos la gráfica de ambas funciones : y = D = [0, ) = 0 y = 0 Puntos de corte : (0,0) = 0 = 0 Crecimiento, decrecimiento, máimos, y mínimos : y' = = = 0 0 Crece[0, ) y '' = = 0 0 Cóncava [0, ) y = D = = 0 y = 0 Corte con los ejes : (0,0) = 0 = 0 Crecimiento, decrecimiento, máimos, y mínimos : Crece (0, ) y' = = 0 Mínimo (0,0) Decrece (,0) y '' = convea

7 Calculamos los puntos de corte de ambas funciones: = = = = = = ( 8) 0 0; A = d = = = u 8) Se supone que la vida de las bombillas de un determinado tipo sigue una distribución normal de media 000 horas y desviación típica 60 horas. Se toma una muestra al azar de 5 bombillas y se calcula la media. Cuál es la probabilidad de que esta media sea menor que 996 horas? (.5 puntos) σ 60 N µ, = N 000, = N(000, 4) n PX ( < 996) = P Z< = PZ ( < ) = PZ ( > ) = PZ ( ) =

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