Números enteros. Los números enteros son los formados por los números naturales (1), sus opuestos (2) y el número 0
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- Antonia Guzmán Ortiz
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1 Los números enteros son los formados por los números naturales, sus opuestos (2) y el número 0 Números enteros Los números naturales son aquellos que nos permiten contar las cosas. Ej. 2 sillas, 4 patas, etc. (2) El opuesto de un número es el mismo número cambiado de signo. Ej. El opuesto de 3 es - 3 y el de -5 es +5 Números primos: Son aquellos números naturales que solo son divisibles por 1 y por si mismos. Mínimo común múltiplo (m.c.m) de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de dichos números. Para obtener el m.c.m. de dos o más números descomponemos el número en sus factores primos y se multiplican los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Los números enteros están formados por dos partes, el signo y la parte numérica. A la parte numérica la llamaremos valor absoluto y la representaremos con el numero colocado entre dos barras Ej. Valor absoluto de 12 = l12l Máximo común divisor (m.c.d) de dos o más números es el mayor número que es a la vez divisor de todos los números anteriores Para obtener el m.c.d. de dos o más números descomponemos el número en sus factores primos y se multiplican los factores comunes elevados al menor exponente. Suma de números enteros: - Si los dos números enteros tienen el mismo signo se pone el mismo signo y se suman los valores absolutos. - Si los dos números enteros tienen distinto signo se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto y se resta del mayor valor absoluto el menor 1. (+4) + (+7) Como los dos números tienen el signo + el resultado tendrá el signo + y el valor absoluto es el resultado de sumar 4 mas 7 (+4) + (+7) = +11 podríamos poner como = (+4) + (-7) Como cada número tiene un signo distinto el resultado tendrá el signo del de mayor valor absoluto (como 7 es mayor que 4 el signo será el del 7) (-) y el valor absoluto es el resultado de restar del mayor el menor (7-4) (+4) + (-7) = -3 podríamos poner como 4 + (-7) = -3 1
2 Ejemplos (cont.) 3. (-4) + (-7) Como los dos números tienen el signo - el resultado tendrá el signo - y el valor absoluto es el resultado de sumar 4 mas 7 (-4) + (-7) = (-4) + (+7) Como cada número tiene un signo distinto el resultado tendrá el signo del de mayor valor absoluto (como 7 es mayor que 4 el signo será el del 7) (+) y el valor absoluto es el resultado de restar del mayor el menor (7-4) (-4) + (+7) = +3 podríamos poner como (-4) + 7 = 3 ACTIVIDADES 1. Resuelve las siguientes sumas. a) (+6) + (-9) b) (-3) + (-8) c) (-11) + (-9) + (+5) d) (+4) + (+9) e) (-5) + (+13) f) (-7) + (+6) + (-4) + (-3) g) (-10) + (+6) h) (+7) + (-4) + (-5) + (+2) i) (-3) + (-6) + (-4) Resta de números enteros: Para restar dos números enteros sumamos al minuendo el opuesto (3) del sustraendo (2) 1. (+4) - (+7) El minuendo es +4 y el sustraendo (+7) como el opuesto de (+7) es (-7) (+4) - (+7) = (+4) + (-7) = (+4) - (-7) El minuendo es +4 y el sustraendo -7 como el opuesto de (-7) es (+7) (+4) - (-7) = (+4) + (+7) = (-4) - (+7) El minuendo es -4 y el sustraendo +7 como el opuesto de (+7) es (-7) (-4) - (+7) = (-4) + (-7) = (-4) - (-7) El minuendo es -4 y el sustraendo -7 como el opuesto de (-7) es (+7) (-4) - (-7) = (-4) + (+7) = +3 El minuendo es el primer término de la resta (3) El sustraendo es el segundo término de la resta (3) Recuerda: El opuesto de un número es el mismo número cambiando el signo. Ej. El opuesto de 3 es -3 y el de -5 es Resuelve las siguientes restas. a) (-8) (-6) b) (+5) (-4) c) (-3) (+7) d) (+5) (+12) 3. Resuelve las siguientes operaciones. a) (-6) + (+9) (+14) + (-3) (-6) b) (+7) (-6) + (-5) + (+12) (-9) c) (-15) (-7) + (-3) (-8) + (-4) d) (-10) + (-12) (-16) (+7) + (+6) e) (+7) (+5) + (-8) (+6) (+12) f) (-12) (+7) + (-5) + (-7) (+10) 2
3 Multiplicación de números enteros: Para multiplicar números enteros comprobaremos por un lado el signo de la multiplicación y por otro realizaremos la multiplicación de los números. Para determinar el signo de la multiplicación utilizaremos la regla de signos de la multiplicación y la división La multiplicación de los números la haremos igual que en los números naturales 1. (+4) (+7) resultado es + y como 4 7 = 28 (+4) (+7) = (+28) 2. (+4) (-7) resultado es - y como 4 7 = 28 (+4) (-7) = (-28) 3. (-4) (+7) resultado es - y como 4 7 = 28 (-4) (+7) = (-28) 4. (-4) (-7) resultado es + y como 4 7 = 28 (-4) (-7) = (+28) 5. (+12) : (+3) resultado es + y como 12 : 3 = 4 (+12) : (+3) = (+4) 6. (+12) : (-3) resultado es - y como 12 : 3 = 4 (+12) : (-3) = (-4) 7. (-12) : (+3) resultado es - y como 12 : 3 = 4 (-12) : (+3) = (-4) 7. (-12) : (-3) resultado es + y como 12 : 3 = 4 (-12) : (-3) = (+4) Regla de signos de la multiplicación y la división: - Cuando se multiplican o se dividen dos números del mismo signo el números resultante tiene signo + - Cuando se multiplican o se dividen dos números de distinto signo el numero resultante tiene signo + + = = = = - + : + = + - : - = + + : - = - - : + = - 4. Resuelve las siguientes multiplicaciones. a) (+8) (-2) b) (-5) (-4) c) (+3) (+4) d) (+5) (+6) e) (+2) (-7) (-4) (+5) f) (-3) (+5) (-4) (+2) 5. Resuelve las siguientes divisiones. a) (+8) : (-2) b) (-6) (-3) c) (+15) (+3) d) (+21) (+7) e) (+24) : (+6) f) (-35) : (+5) g) (-81) : (3) h) (+42) : (-3) 3
4 Potencias de números enteros: La potencia de un número es la multiplicación de ese número por si mismo tantas veces como indica el exponente. Las partes de una potencia son : el número con su signo que se llama base y el exponente que indica cuantas veces se multiplica la base por si misma. (-3) 5. La base es (-3) y el exponente es 5. Luego (-3) 5 = (-3) (-3) (-3) (-3) (-3) = -243 Raices de números enteros: La operación inversa de la potencia es la raíz se representa con el signo a b donde a es un número natural que se llama raíz y b es un numero o expresión y se llama radicando. De esta forma la raíz 3 de un radicando es aquel número que elevado a 3 de como valor el radicando. Cuando la raíz es 2 no hace falta poner el numero en la raíz Raíz = 3, radicando = = 3. Comprobación 3 3 = = Raíz = 2, radicando = = 64 = 8. Comprobación 8 2 = 8 8 = Resuelve las siguientes potencias. a) (+8) 3 b) (-5) 4 c) (+4) 2 d) (-7) 5 Operaciones con potencias (I): - Suma y resta de potencias. Se resuelven las potencias y se suman o restan los resultados 1. (-2) 4 + (+3) 3 = (+16) + (+27) = (+43) 2. (-2) 4 - (+3) 3 = (+16) - (+27) = (+16) + (-27) = (-11) - Multiplicar y dividir potencias de distinta base y mismo exponente. Se multiplican o dividen las bases y se mantiene el exponente. 1. (-2) 4 (+3) 4 = ((-2) (+3)) 4 = (-6) 4 2. (-8) 5 : (+2) 5 = ((-8):(+2)) 5 = (-4) 5 Recuerda las reglas para sumar y restar números enteros Recuerda las reglas de los signos para multiplicar y dividir números enteros 7. Realiza las siguientes operaciones. a) (+8) 3 + (-5) 3 b) (-2) 3 - (+3) 4 c) (+4) 2 - (+3) 4 d) (-7) 2 + (-2) 3 8. Escribe como una sola potencia. a) (+8) 3 (-5) 3 b) (-2) 3 (+3) 3 c) (+10) 4 : (-5) 4 d) (-6) 2 : (-2) 2 4
5 Operaciones con potencias (II): - Multiplicar potencias de la misma base. Se suman los exponentes. (-2) 4 (-2) 3 = (-2) (4+3) = (-2) 7 - Dividir potencias de la misma base. Se restan los exponentes. (-2) 7 : (-2) 3 = (-2) (7+3) = (-2) 4 - Una potencia elevada a otra potencia. Se multiplican los exponentes. ((-2) 7 ) 3 = (-2) (7 3) = (-2) Escribe como una sola potencia. a) (+8) 3 (+8) 3 b) (-2) 3 (-2) 4 c) (+4) 2 (+4) 4 d) (-3) 2 (-3) Escribe como una sola potencia. a) ((+8) 3 ) 4 b) ((-2) 3 ) 2 c) ((+10) 4 ) 3 d) ((-6) 2 ) 5 Operaciones combinadas: Para resolver operaciones combinadas de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces seguiremos el siguiente orden: 1. Primero resolveremos los corchetes y los paréntesis. En el caso de que existan paréntesis y corchetes dentro de otro estos los iremos resolviendo de dentro a afuera. 2. Después resolveremos las potencias y las raíces. 3. Después resolveremos las multiplicaciones y las divisiones 4. En último lugar resolveremos las sumas y las restas. En el caso de que existan varias operaciones del ismo tipo las iremos resolviendo por orden una a una de izquierda a derecha 1. [ (2 5 :2 3 )] + [((-2) 3 ) 2 ( )] = [ (2 2 )] + [((-2) 6 (6 6 )] = (-12) 6 = Realiza las siguientes operaciones combinadas. a) (+8) (-3) (-6) b) ((+8) (-3)) (-6) c) (-15) 2 + (3 (-9)) d) [(-5) (3 - (-7)) - 6] ((-4) + 5) Realiza las siguientes operaciones combinadas con potencias. a) (+2) 2 (-3) 3 (-6) b) ((+8) (-3) 2 ) (-6) c) (-15) (3 (-9)) d) [(-2) (4 - (-3)) - 6] ((-2) + 3) 2 4 5
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