CERCHAS Y PROGRESIONES

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1 CERCHAS Y PROGRESIONES I.C. Rcardo Correa Urbe acultad de Ingenería Cvl - Bogotá UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS

2 Cerchas y Progresones CONSEJO EDITORIA P. José Antono Balaguera Cepeda, O.P. Rector General P. Pedro José Díaz Camacho, O.P. Vcerrector Académco General P. Marco Antono Peña Salnas, O.P. Vcerrector Admnstratvo y nancero General P. us rancsco Sastoque Poveda, O.P. Vcerrector General de Unversdad Aberta y a Dstanca -VUAD- Omar Parra Rozo Drector Undad de Investgacón y Posgrados Aída María Bejarano Varela Edtora ISSN: Hecho el depósto que establece la ley 006 Unversdad Santo Tomás Derechos Reservados Unversdad Santo Tomás Consejo Edtoral Carrera 3 Nº Tels: e-mal: edtoral@correo.usta.edu.co Impresón Unversdad Santo Tomás Departamento de Comuncacones Edtoral y Publcacones Bogotá, D.C., Colomba 006 Págna de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

3 Cerchas y Progresones CONTENIDO INTRODUCCIÓN 4. CERCHA EN V 5. CERCHA EN N 0 3. CERCHA HOWE 8 BIBIOGRAÍA 30 Págna de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

4 Cerchas y Progresones INTRODUCCIÓN En muchos casos, la hpótess de carga predomnante en el dseño de cerchas en V, en N y en la tpo Howe consste en un conjunto de fuerzas vertcales y haca abajo de magntud aplcado en los nudos nterores de la cuerda superor y / en los nudos extremos. Se confgura así un sstema smétrco de cargas aplcadas a estructuras que tambén son smétrcas. En el caso de las correas metálcas en V y N, éstas se utlzan para transferr las cargas de la cuberta a la cercha prncpal, y en el caso de la cercha Howe para transferr las cargas de las correas a los apoyos de la msma. Estas condcones permten plantear las ecuacones generales que determnan la fuerza (traccón o compresón) en las barras de cualquer módulo de la cercha en funcón del número de orden del módulo, y las que determnan la fuerza en las barras de un módulo cualquera cuando se conocen prevamente las del módulo nmedatamente anteror (ecuacones de recurrenca). Cuando se conocen las fuerzas en las barras del prmer módulo y las ecuacones de recurrenca menconadas o s se conoce el número de orden del módulo, estas ecuacones permten determnar nmedatamente las fuerzas en todas las barras de todos los módulos de la cercha. Como se verá, en el desarrollo de estas ecuacones (totalmente deducdas por el autor) aparecen con frecuenca las denomnadas Progresones artmétcas, cuyas propedades son fundamentales en la deduccón de estas ecuacones. Págna 3 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

5 Cerchas y Progresones. CERCHA EN V / <> a / h R <> 3 3 C Y gura C t X Y t - <3> X Y R t <n-> gura gura 3 NOMENCATURA = claro de la cercha = na h = altura a = longtud de pandeo n = número par de módulos = entero postvo Tal que n/ ; nclnacón de la celosía. n n R R n = fuerza neta en el apoyo Págna 4 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

6 Cerchas y Progresones EQUIIBRIO VERTICA (IGURA) y n Y Sen 0 Y Sen n n Sen n Y Sen n Sen EQUIIBRIO VERTICA (IGURA 3) y Y Sen X Sen 0 X Y Sen X n Y X EQUIIBRIO HORIZONTA (IGURA 3) x t t t t t Y Cos X Cos t X Cos Y Cos t 0 Cos Sen X t Cos n Cos X Y t Cos X X ÓRMUA DE RECURRENCIA t t cot n 3 t 0 0 (no hay barra) EQUIIBRIO HORIZONTA (IGURA ) x t C Y Cos 0 C Y Cos t X Cos t t t t C t t t t t t t C promedo con sgno cambado 4 Págna 5 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

7 Cerchas y Progresones EJEMPO Determne las tensones en la sguente cercha V ,6 m 0,6 m 0,6 m 0,6 m 0,6 m 0,6 m 0,6 m 0,6 m 0,6 m 0,6 m 00 0,3 m R R C 6 m = 0 tramos de a 0,6 m gura 4 Datos: = 00 Kg n = 0 = 6 m h = 0,3 m Solucón tg 0,3 0,3 m Sen 0, m Cot,0 Sen 00 (0,707) Celosía: X n 0 X 55 8 Y X 5 (entero) Cnta nteror: t t cot n t ; t t 00() 3 t t t 0 5 (entero) 0 t t Cnta superor: aplcar: C -promedo 4 Tabulando las ecuacones,, 3, 4 para Págna 6 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

8 Cerchas y Progresones Se obtene el sguente cuadro: X Y t C Cuadro Ahora se utlza la smetría y se colocan las fuerzas encma del esquema de la cercha. (+) = traccón (-) = compresón Ahora se hallará una fórmula para t en funcón de, es decr: t=f() cuando y están defndas. S en la fgura se toman momentos en o, se obtene: n a t h n a t h a 3... a a 3a... a 0 t t n a t h a (Suma prog. artmétca) a a a n a t h t n h a h a h ( n ) ( ) n a n 5 h S en esta fórmula hacemos = 00 kg; n= 0; a= 0,6 m; h=0,3 m Págna 7 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

9 Cerchas y Progresones Ver ejemplo. Al reemplazar en 5, se obtene: 00(0,6) t 0 (0,3) t 00 0 Ecuacón que al tabularla para Z 5, se obtene la fla de las traccones del cordón nferor (ver tercera fla del cuadro). Se fnalzará este ejemplo dbujando el dagrama de respuesta de la cercha R C gura 5 R Págna 8 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

10 Cerchas y Progresones. CERCHA EN N (n=par) / a 3 () / R NOMENCATURA a = ongtud de cada módulo n = número de módulos R = valor de cada reaccón = carga concentrada en nudos nterores superores / = Caga concentrada en los nudos extremos = varable dscreta que ndca el número de orden n C = compresón en el -ésmo módulo de la cuerda superor t = traccón en el -ésmo módulo de la cuerda nferor B nclnacón de la celosía de cada uno de los módulos D = fuerza en la -ésma dagonal que se demostrará que es sempre de traccón V = fuerza en la -ésma vertcal Reaccón en los apoyos (R) ( n ) ( / ) n R gura R Págna 9 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

11 Cerchas y Progresones n uerza neta en el apoyo zquerdo= ( n ) (n-) a 3 o C D t o C - g. gura () gura g. () 3 () V C D DIAGONAES En la fgura se tene: y ( n )... D Sen 0 (-) Veces ( n ) ( ) D Sen 0 ; smplfcando y despejando D, se obtene: D ( n ) Sen órmula que srve para todas las dagonales de la cercha; como n debe ser par, se tabula entre y n/. Calculándose de esta forma las dagonales de la prmera mtad de cercha, las dagonales de la segunda mtad se determnarán en seguda utlzando la smetría de la estructura. Dado que n/ se cumple n 0 lo cual mplca que D> 0, esto sgnfca que esta fuerza será sempre de traccón. Además, se observa que D es una funcón lneal decrecente de, lo cual quere decr que la máxma traccón se presenta cuando = en la prmera dagonal y su valor será: Págna 0 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

12 Cerchas y Progresones D ( n ()) ( n ), es decr: D máx D ( n ) Sen Sen Sen Tambén de la ecuacón se puede deducr la relacón exstente entre las traccones de dos dagonales consecutvas de la sguente forma: D D ( n ( )) ( n ) Sen Sen Después de smplfcar, queda: D D Sen 3 Esto demuestra que la traccón en las dagonales consecutvas forman una progresón artmétca de razón, lo que quere decr que hallada la traccón D de la prmera Sen dagonal se obtenen las sguentes smplemente restando la cantdad de una dagonal a la sguente. Sen cuando se pasa VERTICAES Ahora ben, en la fgura se tene: y V D Sen 0 V D Sen Reemplazando el valor de D dado por la ecuacón (), quedará: V ( n ) Sen Sen Después de smplfcar, se llega a: V ( n 3 ) 4 Págna de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

13 Cerchas y Progresones Se ve que V es una funcón lneal crecente de, además n 3 0para n/, lo cual sgnfca que V es sempre negatva, es decr, una compresón en todas las vertcales de la cercha. Nótese que la prmera vertcal ocurre en =. En este caso tambén se puede deducr una relacón entre las compresones de dos vertcales consecutvas de la sguente manera. Utlzando la ecuacón Después de smplfcar se obtene: 4 se obtene: V V n 3 ( ) n 3 V V es decr V V 5, lo que demuestra que estas compresones forman una progresón artmétca de razón, cuando satsface n/ (vertcales de la mtad zquerda de cercha) en la vertcal central smplemente se observa que su compresón es (ver nudo central superor). En la mtad derecha de la cercha, las vertcales se hallan por smetría. Como V es lneal crecente y sempre negatva, la vertcal más cargada será sempre la prmera vertcal (ecuacón 4. Para =). CUERDA SUPERIOR S en la fgura se toman momentos en o, se tene: a ( a)... ( ) a ( n ) a C h 0 a C a(... ( )) ( n h C a a ( ) ( n h Págna de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

14 Cerchas y Progresones Después de smplfcar se llega a: C a ( n) h 6 Válda para n/ Como <n entonces -n<0 y como Se deduce que C 0 a 0 h lo que sgnfca que C será sempre una compresón. Tambén se puede expresar C de la sguente forma: C a an h, donde es una h varable dscreta que verfca n/ ; se observa entonces que C es una funcón cuadrátca de con domno dscreto con la concavdad haca arrba con valores sempre negatvos. Todo esto sgnfca que la compresón crece (es decr, se hace más negatva) de zquerda a derecha. Para la compresón máxma se tene: dc d a an 0 h h n Es decr que la máxma compresón se obtene en los módulos centrales; para obtener su valor, se reemplaza este valor de en la ecuacón 6, obtenéndose: an C máx 8h 7 Nota: la dervada dc d se hzo como s fuera una varable contnua. a compresón mínma se produce en el prmer módulo (=) Aquí tambén se puede deducr la relacón exstente entre las compresones de dos módulos consecutvos de la cuerda superor. Utlzando la ecuacón 6, se obtene: C C a( ) a ( n) ( h h n ) Págna 3 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

15 Cerchas y Progresones a Smplfcando y despejando C+, se obtene: C C ( n) h 8 CUERDA INERIOR S en la fgura se toman momentos en o, se obtene: a ( a)... ( ) a t h ( n )( ) a 0 a... ( ) t h ( n )( ) a ( )( ) a a t h ( n )( ) t a a ( n )( ) ( )( ) h a Después de smplfcar se llega a: t ( n )( ) h 9 S en la ecuacón 6 de las compresones en la cuerda superor se camba por -, se a a obtene: C ( )( n) ( n )( ). Este resultado concde con la h h ecuacón 9, pero con sgno negatvo, es decr, C t ; por lo tanto: t C 0 Esta ecuacón sgnfca que la fuerza en el módulo de la cuerda nferor es el negatvo de la compresón del módulo anteror -; y como el negatvo de esta compresón es sempre postva, se deduce que la fuerza t será sempre de traccón para toda la cuerda nferor. Observando la ecuacón 0 se puede demostrar que las traccones máxmas se encuentran en los módulos centrales y las mínmas en los módulos extremos. A contnuacón se resolverá un ejemplo para aplcar las ecuacones aquí descrtas. Págna 4 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

16 Cerchas y Progresones EJEMPO En la cercha de la fgura 4, determne la fuerza en cada barra. 0,75 m Kn Kn Kn Kn Kn Kn Kn Kn Kn KN 3 n/ n KN m m m m m m m m m m gura 4 Solucón Aquí n= 0 (par) = KN=000 N tg (0,75/) 36,87 Sen 0,6 Dagonales: se aplcará la ecuacón para D. 000 D ( n ) (0 ) D 5000 Sen (0,6) 3 000, se obtendrá: D D D 3333, 33 0,6 N. De acuerdo con la ecuacón Es decr, D D 3333, 33 (progresón artmétca de razón r= -3333,33 y como D ya se conoce, con esta ecuacón se obtendrán todas las dagonales. Vertcales: la prmera vertcal es V que de acuerdo con la ecuacón 4 será: 000 V (0 3 ()) 9000 N. S se aplca ahora la ecuacón 5 V V quedará V V 000 (progresón artmétca de razón = 000). Y como V ya se conoce, con esta ecuacón se obtendrán todas las vertcales. Págna 5 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

17 Cerchas y Progresones Cuerda superor: tenendo en cuenta que a= m; h= 0,75 m ; n= 0 y = 000 N se aplcará la ecuacón 6 C a 000() ( n) ( 0) h (0,75) C 333,33 ( 0) donde 5 Cuerda nferor: se aplcará la ecuacón 0 t C as ecuacones obtendas se tabularán para 5 (tenendo en cuenta la smetría), con excepcón de las vertcales que comenzan en = y la vertcal central que evdente-mente tene un valor de -000 N D , , ,67 V No exste C , ,3 t No exste , A contnuacón se hará un dagrama de respuesta en la estructura consderada colocando los resultados en KN. - -, ,3-33, ,3-5 -9,7 8,3 5,67, ,3, ,3-7,7-9 5 Nota: (+) traccón (-) compresón gura 5 Págna 6 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

18 Cerchas y Progresones 3. CERCHA HOWE h / / h corte a = na R= n n R= gura NOMENCATURA {}= sstema de fuerzas transmtdas por las correas = luz entre apoyos h = altura nclnacón de la cuerda superor a = longtud horzontal de cada módulo n = número de módulos (sempre par) = número de orden de cada módulo ( n / ) Págna 7 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

19 Cerchas y Progresones Al efectuar un corte en el -ésmo módulo, quedará: C h D t o h (-)a a a (n-) g. () gura C = fuerza en el -ésmo módulo de la cuerda superor (se demostrará que es una compresón). t = uerza en el -ésmo módulo de la cuerda nferor, la cual será sempre de traccón. D = uerza en la -ésma dagonal que, como se verá luego, sempre saldrá de compresón. De la fgura se observa que la fuerza vertcal total en el apoyo zquerdo es n R ( n ) Este valor aparece en el extremo zquerdo la fgura. REACIONES GEOMÉTRICAS S en la fgura se desgna por h la altura de la -ésma barra vertcal, ésta se podrá expresar como sgue por trángulos semejantes: n a ( ) a h h h( ) h n Págna 8 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

20 Cerchas y Progresones Otras relacones útles serán: Cos h Cos Sen h h h Sen 3 Cos a a h a an ( an) ( ( ) n a ) Cos ( ) 4 TOMA DE MOMENTOS AREDEDOR DE O (IGURA ) ( n ) a CCos ( h ) CSen ( a) a (a)... ( ) a 0 De donde: C C asen h Cos a a... ( ) a ( n a ) asen h Cos a... ( ) ( n a ) a suma de la progresón artmétca que aparece será: ( )... ( ) ( ) ( ) Págna 9 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

21 Cerchas y Progresones Reemplazando este valor, quedará: C asen h Cos a ( ) ( n a ) C C C a asen h Cos ( ) ( n ) a asen h Cos ( n) a( n) Al susttur: h, asen h Cos Cos, Sen, dados por las ecuacones, y 3, quedará: C a h a( n) h( ) n C a( n) ah ah( ) a( n) ah ( ) a( n) ( n) C ah C 4 n. Cuando la carga y la geometría de la cercha están defndas, el 4 h térmno 4 4 h será constante, o sea que: K 4 4 h 5 Con lo cual el valor de C será K( n), es decr: K Kn C C 6 ; como <n, entonces K<Kn K Kn 0. Esto sgnfca que C < 0 es decr C es negatva, lo que equvale a decr que C sempre será una fuerza de compresón. Págna 0 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

22 Cerchas y Progresones a dferenca de compresones entre dos módulos consecutvos de la cuerda superor será: C C ) K( Kn K Kn C C K K Kn K Kn K O sea que C C K 7. Esto sgnfca que las compresones en los módulos de la cuerda superor forman una progresón artmétca de razón K. a compresón en el prmer módulo de la cnta superor será, según 6, C K() Kn o sea que C K( ) n 8 Determnando K, según ecuacón 5, y aplcando en seguda las ecuacones 8 y 7, respectvamente, se determna toda la cuerda superor. CÁCUO DE DIAGONAES Y VERTICAES nudo () C C - V D g. (3) gura 3 a fgura 3 representa el -ésmo nudo de la cuerda superor localzado en el extremo zquerdo del -ésmo módulo de la cuerda. Págna de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

23 Cerchas y Progresones DE EQUIIBRIO HORIZONTA SE OBTIENE CCos C Cos DCos 0 D ( C C ) Cos Cos ; según 7 C C K uego: D KCos reemplazando los valores de K, Cos Cos y Cos dados por las ecuacones 5 ; y 4, respectvamente, se obtene: D 4 h 4 ( ) Después de smplfcada da: D 4 h 4( ) 9 ( ) Como sempre se toma la raíz postva, D sempre resultará en una compresón (negatva). Del equlbro vertcal de la fgura 3 se obtene: En donde Sen CSen C Sen D Sen V 0 Sen h h ( ) h a 4( ) h ( ) n ( ) a n Págna de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

24 Cerchas y Progresones Ahora se despeja V de la ecuacón de equlbro vertcal. Así: V ) Sen D Sen ( C C Reemplazando C C ) ; ( Sen ; D; Sen por los valores ya obtendos, quedará: V K h 4 h 4( ) h ( ) 4( ) Y como: K 4, quedará 4 h V 4 h 4 h 4 h 4( ) h ( ) 4( ) a cual después de smplfcar quedará: V 0 Esta fórmula es válda para n/, pues en (=) no exste barra vertcal y en = n/, o sea en la cumbrera, la forma del nudo no se ajusta a la fgura 3. En la ecuacón 0 se observa que al ser, sempre se tendrá V 0 (traccón o fuerza nula). De la ecuacón 0 se obtene: V () 0 ; es decr, sempre será 0 V para este tpo de estructura con la hpótess de carga mpuesta. Además V V ( ) Págna 3 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

25 Cerchas y Progresones V V / Es decr V V /, o ben; V V /. De la ecuacón se observa que la tensón en las barras vertcales forma una progresón artmétca de razón (/). De acuerdo con esto, será V V / ; V V / y así sucesvamente todo esto 3 cuando el entero postvo () verfque n/ 4 3 PARA A VERTICA CENTRA Se ejecuta el sguente análss: V C C n / Cn / Sen VC Sen Se sabe que C=K-Kn C n/ C n/ V C 0 g. (4) gura 4 Según la ecuacón 6 uego C n / K( n / ) Kn Kn/. Susttuyendo este valor, se obtene: V C V C KnSen Kn Sen Págna 4 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

26 Cerchas y Progresones S ahora se susttuye K y Sen, dados por las ecuacones 5 y 3, respectvamente, se obtendrá: V C 4n h 4 h n n V C V C Con esta fórmula se calculará la fuerza en la barra vertcal central. CÁCUO DE A CUERDA INERIOR S en la fgura se escrbe la ecuacón de equlbro horzontal, se obtene: fx t D Cos C Cos 0 ; es decr t D Cos C Cos O sea: t K( n) 4( ) 4 h ( ) t t t h 4 ( n) 4 4 h ( n) n 4 h ( n) n 3. De acuerdo con 3, se ve que t >0; es decr, t será sempre una fuerza de traccón. Además ( ) y se observa que: t ( n ) es decr 4 h t ( n ) 4 Además t t ( n ( )) ( n ) Págna 5 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

27 Cerchas y Progresones t t t n ( n ) t n n t t o sea t t 5 O sea que las traccones en la cuerda nferor dsmnuyen en una cantdad pasa de un módulo al sguente. Sendo t cuando se ( n ) la máxma que se presenta en el prmer módulo, tambén al observar la cercha orgnal se ve que t t EJEMPO A modo de ejemplo se resolverá la sguente cercha Howe (n= 8 módulos) 000 Kg 4 m 500 Kg 000 Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg R 6 m gura 5 g. (5) R Solucón Para este caso, se tene = 000 Kg ; = 6 m; h= 4 m; (n=8) Págna 6 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

28 Cerchas y Progresones Evaluacón de constantes: K 4 4 K 8 Kg 4 h (6) 4(4) 000 Kg Cuerda superor: con la ecuacón 8 se obtene: C K( n) 8( 8) 786 Kg. Ahora se aplca la ecuacón 7 C C K ; es decr: C C 8 ( 4) Cuerda nferor: se aplcan las ecuacones 4 y 5 t ( n ) t Kg t t t t t 000 ( 4) Vertcales: V=0 y según la ecuacón V V / ; es decr: V V 500 ( 4) y según la ecuacón se tene n 8 VC 000 VC 3000 Kg Dagonales: se aplca la ecuacón 9 D 4( ) 4( ) D ( ) 4 para 4 h Págna 7 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

29 Cerchas y Progresones A contnuacón se hace un cuadro para tabular las ecuacones obtendas en b,c,d y e C no exste t no exste V no exste D no exste no exste Aplcando la smetría de la estructura, se obtenen los resultados de la mtad derecha de la cercha. Ver resultados en el esquema de la cercha. Págna 8 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe

30 Cerchas y Progresones BIBIOGRAÍA ERDINAND P., Beer; RUSSE, Jhonston y EIOT R., Esenberg. Mecánca vectoral para ngeneros. Estátca. 7 a ed. Edtoral McGraw-Hll.. COURANT / ROBBINS. Que es la matemátca? 5 a ed. Madrd: Edtoral Agular. Coleccón Cenca y Técnca. Págna 9 de 30 I.C. Rcardo Correa Urbe