Estructuras Algebraicas

Transcripción

1 Estructuras Algebraicas Luis Manuel Hernández Ramos de mayo de Centro de Calculo Científico y Tecnológico, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela, Caracas. 2 luish@kuaimare.ciens.ucv.ve

2 Resumen Este es el inicio de una guía de Estructuras Algebraicas adaptada al programa de la Licenciatura en Computación de la Universidad Central de Venezuela. Se quiere que los estudiantes cuenten con algún material en Castellano con algunas demostraciones hechas, ejemplos y ejercicios.

3 Índice general 0.1. Leyes de Composición Interna (L.C.I.) Elementos Distinguidos y Propiedades Otras propiedades o Elementos Distinguidos Semigrupos Monoides Grupos Grupos Abelianos Semigrupos Homomorfismos Leyes de Composición Interna (L.C.I.) Definición (Operación Binaria) Se dice que función f es una Operación Binaria (o composición) en un conjunto X, si f es una función de X X en X (i.e. f : X X X), tal que Dom(f) = X X. La función f : Z Z dada por f(x, y) = x + y es una operación binaria en el conjunto de los números enteros. La función f : N N definida por f(x, y) = x + y es una operación binaria en el conjunto de los números naturales. La función g : N N, definida por g(x, y) = x y no es una operación binaria, puesto que la resta de dos números naturales no siempre es un número natural. En cambio, si definimos g : Z Z dada por g(x, y) = x y, si es una operación binaria. Debe enfatizarse que una operación binaria definida en un conjunto X, debe ser cerrada en X. Esto quiere decir que, para todo x, y X 1

4 entonces f(x, y) X. Dado que en cualquier operación binaria : X X X se tiene por definición que Dom( ) = X X, significa que todo par a, b X está relacionado con uno, y solo un valor (a, b) X. Para simplificar la notación, se denota entonces el elemento (a, b) (valor de la función en el punto (a, b) ), como a b. Por ejemplo, en la función f : N N definida como +(x, y) = x+y, al valor de la función +(a, b), se le denota simplemente como a + b Cuando el conjunto en donde se va a definir la operación binaria tiene cardinalidad finita, es posible definir la operación por extensión. En este caso definimos una operación binaria en el conjunto X = {a, b, c} por extensión, mediante la a b c b b a c b c c b a Aquí, los elementos del lado izquierdo de la operación binaria se muestran en la primera columna de la tabla, y los elementos del lado derecho en la primera fila. De esta tabla puede desprenderse, por ejemplo: a a = b, a b = c, b a = a. Definición (Ley de Composición Interna) Sea X un conjunto cualquiera, y sea una operación binaria definida : X X X. Entonces a la Estructura Algebraica [X, ] se le denomina Ley de Composición Interna (L.C.I.). [Z, +] es una Ley de Composición Interna, [Z,.] es una Ley de Composición Interna, [N, +] es una Ley de Composición Interna, 2

5 [N, ] no es una Ley de Composición Interna, [Z, ] es una Ley de Composición Interna, [Z, /] no es una Ley de Composición Interna Elementos Distinguidos y Propiedades Propiedad Conmutativa: Definición (Conmutativa) Una Ley de Composición Interna, [X, ] se dice Conmutativa si, a, b X : x y = y x; La operación binaria definida en X X con X = {a, b, c} mediante la a b a c b a c b c c b a es conmutativa. La operación binaria definida en X X con X = {a, b, c} mediante la a b b c b a c b c c b a no es conmutativa. En efecto, a b = b y b a = a. [Z, +] es una Ley de Composición Interna Conmutativa, [Z,.] es una Ley de Composición Interna Conmutativa, [N, +] es una Ley de Composición Interna Conmutativa, [Z, ] es una Ley de Composición Interna no Conmutativa, 3

6 Elemento Nulo o Cero: Definición (Elemento Nulo) En una Ley de Composición Interna [X, ], se dice que un elemento z X es un Elemento Nulo si cumple que: x X : z x = x z = z En [Z,.] el elemento nulo es el 0. En cambio, en [Z, +] no existe elemento nulo. En la operación binaria definida en X X con X = {a, b, c} mediante la a a a a b a c b c a b a el elemento nulo es a. En la operación binaria definida en X X con X = {a, b, c} mediante la a a a a b a c b c b b a no hay el elemento nulo. Note que a es un elemento nulo a la izquierda, pero no a la derecha. Nota: En la bibliografía, puede encontrarse al elemento nulo bajo la denominación de Elemento Cero. Hay que tener cuidado con esta denominación, ya que el elemento 0 Z no siempre es el elemento nulo de la estructura planteada. Por ejemplo, en [Z, +], como ya dijimos, se tiene que 0 Z y sin embargo no existe un elemento nulo tal y como lo definimos anteriormente. Elemento Neutro: Definición (Elemento Neutro) En una Ley de Composición Interna [X, ], se dice que un elemento e X es un Elemento Neutro (o Identidad) 4

7 si cumple que: x X : e x = x e = x En [Z,.] el elemento neutro es el 1. En cambio, en [Z, +] el elemento neutro es el 0. En la operación binaria definida en X X, con X = {a, b, c} mediante la a a a c b a b c c b c a el elemento neutro es b. En la operación binaria definida en X X con X = {a, b, c} mediante la a a a a b a b c c b b a no hay elemento neutro. El elemento b es neutro por la izquierda, pero no por la derecha. Lema Sea [X, ] una Ley de Composición Interna. Entonces hay a lo mas un elemento neutro e X respecto a la operación. Demostración: Por reducción al absurdo, supongamos que existen dos elementos neutros e 1 X y e 2 X, e 1 e 2. Entonces, e 1 e 2 = e 2, (1) por ser e 1 un elemento neutro a la izquierda. Igualmente, e 1 e 2 = e 1, (2) por ser e 2 un elemento neutro a la derecha. Por lo tanto e 1 e 2 = e 1 = e 2, lo que contradice la suposición inicial e 1 e 2, y en consecuencia el elemento neutro es único. 5

8 Elemento Simétrico o Inverso: Definición (Elemento Simétrico o Inverso) Sea una [X, ] una Ley de Composición Interna con elemento neutro e. Sea x X un elemento cualquiera. Se dice que el elemento x 1 X es el Elemento Simétrico o Inverso de x, si cumple que: x x 1 = x 1 x = e Si además, para todo elemento x X existe un elemento inverso x 1, entonces se dice que [X, ] tiene la propiedad de inverso. La existencia del elemento simétrico, está ligada a que en la estructura haya un elemento neutro. Hay que notar que en la definición anterior no se habla de un simétrico de toda la estructura [X, ], sino que se habla del inverso de un elemento en particular x X. Pudieran haber elementos x X sin simétrico. Cuando todo elemento x X tiene elemento simétrico x 1 X, es cuando se dice que en la estructura [X, ] hay simétrico. Pero de nuevo, no se habla de un elemento simétrico de toda la estructura sino que todo elemento de la estructura tiene simétrico. El hecho de que aquí estemos denotando el simétrico de x en [X, ] como x 1 no significa que nos referimos a la operación aritmética de inversión. Tampoco significa que el elemento simétrico de x exista siempre, o que es único. Sin embargo, muchas de las estructuras algebraicas que veremos mas adelante hay unicidad del simétrico y en otras se garantiza incluso su existencia. En [Z,.] el elemento simétrico (o inverso) de un elemento x Z, x 0 cualquiera es 1/x. Como el elemento 0 no tiene elemento simétrico, entonces se dice que en [Z,.] no hay simétrico. En [Z, +] todo elemento x Z tiene elemento simétrico. En efecto, el simétrico de un elemento x Z es el elemento x Z. Es decir, (en este caso hay existencia y unicidad): x 1 = x en nuestra notación. En [Z, +] hay simétrico. 6

9 En la operación binaria definida en X X con X = {a, b, c} mediante la a a a b b a b c c b c a el elemento neutro es b. También a 1 = c, b 1 = b y c 1 = a. En la operación binaria definida en X X con X = {a, b, c} mediante la a a a c b a b c c a c a el elemento neutro es b. Aquí se tiene que b 1 = b, y los elementos a y c no tienen elemento simétrico Otras propiedades o Elementos Distinguidos Definición (Idempotencia) Sea [X, ] una Ley de Composición Interna. Un elemento a X se dice Idempotente si a a = a. En la operación binaria definida en X X con X = {a, b, c} mediante la a a a c b a b c c a c a los elementos a y b son idempotentes. En cambio, el elemento c no es idempotente. 7

10 Definición (Elementos Cancelables) Sea [X, ] una Ley de Composición Interna. Un elemento x X se dice Cancelable respecto a la operación si, y 1 X, y 2 X : (x y 1 = x y 2 ) (y 1 x = y 2 x) (y 1 = y 2 ) Definición (Relaciones de Congruencia) Sea [X, ] una Ley de Composición Interna. Sea R una relación de equivalencia definida en X. Se dice que R es una Congruencia si, x 1, x 2, y 1, y 2 X : (x 1 Rx 2 ) (y 1 Ry 2 ) (x 1 y 1 )R(x 2 y 2 ) 0.2. Semigrupos Definición (Asociatividad) Sea una Ley de Composición Interna (L.C.I) en un conjunto X. Entonces, se dice que es Asociativa si, x, y, z X,: (x y) z = x (y z); [Z, +] es una Ley de Composición Interna Asociativa, [Z,.] es una Ley de Composición Interna Asociativa, [N, +] es una Ley de Composición Interna Asociativa, [Z, ] es una Ley de Composición Interna no Asociativa, Definición (Semigrupo) Sea X un conjunto cualquiera, y sea una Ley de Composición Interna definida de X X X. Entonces se dice que [X, ] es un Semigrupo si, es Asociativa. [Z, +] es un Semigrupo, [Z,.] es un Semigrupo, 8

11 [N, +] es un Semigrupo, [Z, ] no es un Semigrupo. Sea X un conjunto finito arbitrario. Sea X + el conjunto de todas las secuencias finitas no vacías de elementos de X. Sea la operación de concatenación, definida en X + como: Si a = x 1 x 2... x n X + y b = y 1 y 2... y m X + entonces: a b = x 1 x 2... x n b = y 1 y 2... y m. La estructura [X +, ], es un semigrupo denominado: el Semigrupo Libre generado por X Monoides Definición (Monoide) Sea [X, ] un Semigrupo. Si existe un elemento neutro e X, se dice que [X,, e] es un Monoide. [Z, +, 0] es un Monoide, [Z,., 1] es un Monoide, [N, +, 0] es un Monoide, Sea X un conjunto finito arbitrario. Sea X + el conjunto de todas las secuencias finitas vacías o no vacías de elementos de X. Sea Λ la secuencia vacía. Sea la operación de concatenación, definida en X + como: Si a = x 1 x 2... x n X + y b = y 1 y 2... y m X + entonces: a b = x 1 x 2... x n b = y 1 y 2... y m. La estructura [X +,, Λ], es un monoide denominado: el Monoide Libre generado por X. 9

12 Lema En un Monoide [X,, e], cada elemento x X no tiene mas de un solo elemento inverso x 1. Demostración: Supongamos que para un elemento x X existen dos elementos simétricos distintos x 1 1 y x 1 2, x 1 1 x 1 2. Entonces, x 1 1 = x 1 1 e = x 1 1 (x x 1 2 ) = (x 1 1 x) x 1 2 = e x 1 2 = x 1 2, lo que contradice la hipótesis x 1 1 x 1 2 y por lo tanto el elemento simétrico de x es único Grupos Definición (Grupo) Sea [X, ] un Monoide. Si [X, ] tiene la propiedad de inverso, se dice que [X, ] es un Grupo Grupos Abelianos Definición (Grupo Abeliano) Si un grupo [X, ] es Conmutativo, se dice que [X, ] es un Grupo Abeliano Semigrupos Definición (Grupo) Sea [X, ] un Grupo. Sea A X. Si [A, ] es también un grupo se dice que [A, ] es un Semigrupo de [X, ] Homomorfismos Definición (Homomorfismo) Sean [X, ] y [Y, ] leyes de composición internas. Entonces, una función f : X Y se dice que es un Homomorfismo de [X, ] a [Y, ] si, x 1, x 2 X : f(x 1 ) f(x 2 ) = f(x 1 x 2 ) Definición (Isomorfismo) Sean f un Homomorfismo de [X, ] a [Y, ]. Se dice que f es un Isomorfismo si f es biyectiva. 10