Componentes de la Programación Lineal

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1 Programación Lineal El desarrollo actual de la Programación Lineal para los negocios y la industria se debe al Dr. George Dantzig. Dantzig presentó su Método Simplex (1947) para resolver este tipo de problemas. Este método fue considerado por el mundo científico como uno de los 10 mejores algoritmos del siglo XX. Componentes de la Programación Lineal Recursos. Variables de decisión. Función objetivo. Restricciones. 1

2 Recursos: disponibilidad y valor Qué es un recurso? Es un bien o elemento que puede ser usado para satisfacer una necesidad o para llevar a cabo una empresa. Clasificación de los recursos, según su disponibilidad: Escasos: son limitados y tienen un precio en el mercado, independientemente de su valor. Ejemplos: horas-hombre, agua, máquinas, vehículos, agua, semillas, fertilizantes, dinero, combustible, etc. Abundantes: son ilimitados y no tienen precio en el mercado. Ejemplos: el aire, la luz solar. Recursos: disponibilidad y valor La disponibilidad de los recursos escasos suele ser variable: depende de las circunstancias. El valor de los recursos escasos, y por lo tanto el beneficio que pueden aportar, también dependerá de las circunstancias. El problema que se plantean las empresas es cómo asignar correctamente los recursos escasos. 2

3 Recursos: disponibilidad y valor Cuando se asignan unos recursos escasos, es decir, cuando se decide cuánto usar de unos recursos escasos (lo cual representa un costo), siempre se espera obtener unos ingresos que superen dichos costos. Beneficio = Ingresos Costos Por lo tanto, el beneficio que puede aportar un recurso depende de las circunstancias. Ejemplo de beneficio variable Suponga que usted dispone de S/.5 y está frente a un puesto de venta de frutas que vende manzanas a S/.1 la unidad. Además, le interesa adquirir algunas manzanas para su consumo inmediato. 3

4 Ejemplo de beneficio variable Suponga que decide comprar la primera manzana al precio de S/.1. Esta decisión implica que comerse la primera manzana representa para usted un ingreso mayor que conservar S/.1 (supongamos S/.1,60). Benef. 1ª. manzana = 1,60 1 = S/.0,60 Ejemplo de beneficio variable Suponga que decide comprar una segunda manzana, al mismo precio de S/.1. Esta decisión implica que comerse la segunda manzana todavía representa para usted un ingreso mayor que S/.1, pero menor que S/.1,60 (supongamos S/.1,20). Benef. 2ª. manzana = 1,20 1 = S/.0,20 4

5 Ejemplo de beneficio variable Cuándo dejaría usted de adquirir más manzanas? Cuando sienta que su consumo ya no le aporte un ingreso mayor que S/.1, es decir, cuando sienta que adquirir una manzana ya no le aporte un beneficio. Probablemente esto ocurra con la tercera manzana. Otros ejemplos de beneficio variable Si una empresa tiene tres vendedores que cobran mensualmente S/ y aportan S/ mensuales, le convendría contratar a un cuarto vendedor? Se necesita saber qué ingresos tendría el cuarto vendedor Un agricultor, que está sembrando algodón, recibe una oferta de su vecino para alquilarle 10 Há a $X. De qué dependerá que acepte la oferta? Necesita calcular qué ingresos le aportaría cada Há. que alquile 5

6 Beneficio marginal Es el beneficio que aporta cada unidad de un recurso. Siempre convendrá adquirir al menos una unidad más de un recurso si el beneficio marginal es mayor que cero. En el ejemplo anterior, cree usted que hubiera sido una buena estrategia decidir la compra de tres manzanas para su consumo inmediato? Programación lineal: requerimientos Si todos los recursos fuesen ilimitados (superabundantes) no harían falta herramientas como la Programación Lineal para decidir en qué medida utilizarlos. Muchos problemas reales se pueden formular mediante modelos matemáticos. Para que un modelo sea de Programación Lineal debe cumplir unos requerimientos: 6

7 Requerimientos de un P.L. Se debe expresar un objetivo bien definido, como por ejemplo maximizar la ganancia, o minimizar los costos, al que se le denomina Función Objetivo, y se expresa en forma matemática. Debe haber otros recursos alternativos de acción. En un problema de P. L. debe ser posible escoger una solución que satisfaga la función objetivo. Requerimientos de un P.L. Debe ser posible establecer relaciones entre las variables a través de ecuaciones matemáticas que puedan describir el problema. Debe ser posible describir el problema con ecuaciones y desigualdades lineales. Debe haber un suministro limitado de recursos. 7

8 Las variables de decisión En todo problema de P.L. se plantean unas variables de decisión, que representan cuantitativamente las decisiones que se van a tomar. Son ejemplos de variables de decisión: número de productos que se deben producir, número de trabajadores que se deben contratar, etc. Estas variables están presentes en las restricciones y en la función objetivo. Formulación de restricciones Como los recursos que existen son escasos, su mejor asignación está condicionada a unos requerimientos. Por ejemplo: Las decisiones de un gerente de planta están restringidas por la capacidad de la planta y por la disponibilidad de recursos como: mano de obra, maquinaria, materia prima, tiempo, etc. 8

9 Formulación de restricciones La asignación de la flota y la planeación de vuelos de una línea aérea están restringidos por las necesidades de mantenimiento y por el número de empleados disponibles. La cantidad de los tipos de petróleo crudo que se debe usar en la producción de gasolina está restringida por sus características, como el octanaje, el contenido de sulfuros, etc. Formulación de la Función Objetivo En todo modelo de P. L. hay una cantidad que se va a maximizar o minimizar, que se denomina Función Objetivo. Por ejemplo: Una fábrica quiere lograr el mínimo costo de producción para satisfacer una demanda dada. La aerolínea quiere encontrar un plan de asignación de la tripulación a un costo mínimo. La empresa petrolera quiere asignar los tipos de petróleo crudo disponibles que le permita maximizar las utilidades. 9

10 Ejemplos de modelos de P.L. A continuación se presentan algunos problemas reales, deliberadamente simplificados, y sus correspondientes modelos de Programación Lineal. Poco a poco los modelos son más complejos. Ejemplo 1 En un taller de manufactura se elaboran dos tipos de juguetes de madera: autos y trenes. Estos se venden a $27 y $21, usan materia prima por $10 y $9, y tienen unos gastos de mano de obra de $14 y $10 por cada unidad producida, respectivamente. La manufactura de estos juguetes requiere de dos tipos de trabajo cualificado: carpintería y acabados. Un auto requiere de 2 h-h de acabados y 1 h-h de carpintería, mientras que un tren requiere de 1 h-h de acabados y 1 h-h de carpintería. 10

11 Ejemplo 1 Cada mes, el taller puede conseguir toda la materia prima necesaria, pero sólo dispone de h-h para el trabajo de acabados y 8000 h-h para el trabajo de carpintería. La demanda de trenes es muy grande; pero no más de 4000 autos son vendidos cada mes. Si el taller quiere maximizar los beneficios, qué cantidad de juguetes de cada tipo debe producir? Ejemplo 1 Variables de decisión x 1 = cantidad de autos que conviene producir x 2 = cantidad de trenes que conviene producir. Función Objetivo Max Z = 3x 1 + 2x 2 11

12 Ejemplo 1 Restricciones h-h acabados 2x 1 + x h-h carpintería x 1 + x Deman. autos x x 1, x 2 0 Ejemplo 2 Jaime transporta mercancía en un pequeño camión con capacidad interior de 20m 3. Una empresa de la ciudad lo ha contratado para hacer acarreos de esta mercancía, desde la planta de producción, hacia los puntos de distribución. La mercancía está empacada en cajas de tres tamaños diferentes, y la ganancia por transportar cada tipo de caja es distinta, como se muestra en la siguiente tabla. 12

13 Ejemplo 2 Volumen (m 3 ) Ganancia (soles) Caja tipo Caja tipo 2 1,2 122 Caja tipo 3 0,8 85 Ejemplo 2 Cómo debe llenar Jaime su camión para maximizar las ganancias en cada viaje que realice, si en cada viaje tiene que transportar como mínimo ocho cajas tipo 1 y cinco cajas tipo 3? 13

14 Ejemplo 2 Variables de decisión x 1 = cantidad de cajas tipo 1 que le conviene transportar en cada viaje. x 2 = cantidad de cajas tipo 2 que le conviene transportar en cada viaje. x 3 = cantidad de cajas tipo 3 que le conviene transportar en cada viaje. Ejemplo 2 Función Objetivo Max Z = 100x x x 3 Restricciones Capacidad x x x 3 20 Mín. cajas 1 x 1 8 Mín. cajas 3 x 3 5 x 1, x 2, x

15 Ejemplo 3 La Dra. Diets, dietista de una clínica, responsable de la planeación y administración de los requerimientos alimenticios de los pacientes, examina el caso de un paciente, a quien se le ha formulado una dieta especial que consta de 2 fuentes alimenticias. Al paciente no se le ha restringido la cantidad de alimentos que puede consumir; sin embargo, deben satisfacerse ciertos requerimientos nutricionales mínimos por día, como se muestra en la siguiente tabla. Ejemplo 3 Contenido por onza de alimento 1 (unidades) Contenido por onza de alimento 2 (unidades) Requerimien to mínimo (unidades) Nutriente A Nutriente B Nutriente C Costo ($/lib.)

16 Ejemplo 3 La Dra. Diets desea determinar la combinación de fuentes alimenticias que arroje el menor costo y satisfaga todos los requerimientos nutritivos. Variables de decisión x 1 = Número de onzas de la fuente alimenticia tipo 1 que debe consumirse diariamente. x 2 = Número de onzas de la fuente alimenticia tipo 2 que debe consumirse diariamente. Ejemplo 3 Función Objetivo: Min Z = (6/16)x 1 + (8/16)x 2 Restricciones: Nutriente A 100x x Nutriente B 400x x Nutriente C 200x x x 1, x

17 Ejemplo 4 MOTORES CRASA fabrica dos tipos de motores eléctricos para una empresa que fabrica refrigeradoras. Tres veces al año, el jefe de logística de esta última empresa hace un pedido para los siguientes 4 meses, tal como se muestra en la siguiente tabla. Modelo Enero Febrero Marzo Abril ME3A ME3B Ejemplo 4 El gerente de CRASA MOTORS debe considerar lo siguiente: Producir la misma cantidad de motores cada mes simplifica los horarios de los trabajadores y de las máquinas. Ajustar la producción a los pedidos de cada mes disminuye los costos de almacenamiento. 17

18 Ejemplo 4 Los almacenes sólo disponen de capacidad para motores. El departamento de Recursos Humanos recomienda que se trabaje un mínimo de horas y un máximo de horas al mes. Cada motor ME3A requiere 1,3 horas de mano de obra y cada motor ME3B 0,9 horas. Los costos de producción son de 10 y 6 por cada motor ME3A y ME3B, respectivamente. Debido a un acuerdo con los sindicatos, estos costos se incrementarán en un 10% a partir del 1 de marzo. Ejemplo 4 Los costos de almacenamiento son de 0,18 y 0,13 por cada motor ME3A y ME3B, respectivamente. Se desea tener un inventario de 450 motores ME3A y 300 motores ME3B a finales de abril. Cuántos motores de cada tipo le conviene producir cada mes? 18

19 Ejemplo 4 Variables de decisión XA i = Número de motores ME3A que conviene producir el mes i. (i = 1, 2, 3, 4). XB i = Número de motores ME3B que conviene producir el mes i. (i = 1, 2, 3, 4). IA i = Número de motores ME3A en inventario al final del mes i. (i = 1, 2, 3, 4). IB i = Número de motores ME3B en inventario al final del mes i. (i = 1, 2, 3, 4). Ejemplo 4 Función Objetivo: Min Z = 10XA XA XA XA 4 + 6XB 1 + 6XB 2 + 6,6XB 3 + 6,6XB ,18IA 1 + 0,18IA 2 + 0,18IA 3 + 0,18IA 4 + 0,13IB 1 + 0,13IB 2 + 0,13IB 3 + 0,13IB 4 19

20 Ejemplo 4 Restricciones: Demanda de enero: XA 1 IA 1 = 800 XB 1 IB 1 = 1000 Demanda de febrero: XA 2 + IA 1 IA 2 = 700 XB 2 + IB 1 IB 2 = 1200 Ejemplo 4 Demanda de marzo: XA 3 + IA 2 IA 3 = 1000 XB 3 + IB 2 IB 3 = 1400 Demanda de abril: XA 4 + IA 3 IA 4 = 1100 XB 4 + IB 3 IB 4 = 1400 Inventario final: IA 4 = 450 IB 4 =

21 Ejemplo 4 Capacidades de los almacenes: IA 1 + IB IA 2 + IB IA 3 + IB IA 4 + IB Enero Febrero Marzo Abril Ejemplo 4 Restricciones de mano de obra: 1,3XA 1 + 0,9XB ,3XA 1 + 0,9XB ,3XA 2 + 0,9XB ,3XA 2 + 0,9XB ,3XA 3 + 0,9XB ,3XA 3 + 0,9XB ,3XA 4 + 0,9XB ,3XA 4 + 0,9XB Enero Febrero Marzo Abril 21

22 Solución gráfica de un P.L. Cuando en un problema de P.L. sólo intervienen dos variables de decisión (x 1 y x 2 ), es posible representar gráficamente la función objetivo y las restricciones, y se puede entonces determinar la solución óptima. Este método resulta de mucha utilidad pues permite sacar algunas conclusiones que se pueden extrapolar a problemas con más de dos variables. Ejemplo Una empresa que produce un lubricante elabora dos marcas (L1 y L2) en tres secciones. El tiempo disponible en las secciones y la cantidad de minutos requeridos diariamente por cada galón, para las dos marcas, son: L1 L2 Minutos disponibles por día Sección 1 0,8 0,2 60 Sección 2 0,6 0,4 72 Sección 3 0,3 0,

23 El departamento de ventas indica que no hay problemas con la demanda de los lubricantes. La utilidad por galón es de $ 30 y $16 para los lubricantes L1 y L2 respectivamente. Cuántos galones de cada lubricante le conviene producir diariamente? Variables de decisión x 1 = cantidad de galones de L1 que conviene producir. x 2 = cantidad de galones de L2 que conviene producir. Función Objetivo Max Z = 30x x 2 23

24 Ejemplo Restricciones Sección 1 0.8x x 2 60 Sección 2 0.6x x 2 72 Sección 3 0.3x x 2 24 x 1, x 2 0 Solución gráfica De todas las posibles soluciones, cuál es la mejor? 120 La que dé el mejor valor de Z. Max Z = 30x x

25 Método de las pendientes x m 2 = 1, Recinto de posibles soluciones Solución óptima: (40, 120) m3 = 3 m 1 = 4 m = 1, x 1 Soluciones óptimas alternativas Si la pendiente de la función objetivo coincidiese con la pendiente de una de las rectas que conforman el recinto de posibles soluciones, se tendrían soluciones óptimas alternativas. x 2 Si la función objetivo fuese: Max Z = 30x x m2 = 1,5 m = 3 La pendiente sería 3. Habría varias soluciones óptimas Recinto de posibles soluciones m3 = 3 m1 = 4 Soluciones óptimas alternativas x 1 25

26 Análisis de sensibilidad Si cambiase la pendiente de la función objetivo (porque cambia cualquiera de sus coeficientes), la solución óptima se podría determinar inmediatamente. Bastaría con darse cuenta entre qué pendientes del recinto de posibles soluciones se encuentra la nueva pendiente de la función objetivo. Actualmente la F.O. es: Max Z = 30x x 2 Si el beneficio del galón de L1 aumentase a $50. La F.O. sería: Max Z = 50x x 2 La pendiente de la F.O. sería: m = 50/16 = 3,125 x m = 3,125 m 2 = 1, Recinto de posibles soluciones m3 = 3 m 1 = 4 Solución óptima: (60, 60) x 1 26

27 Si el beneficio de L1 disminuyese a $20 La F.O. sería: Max Z = 20x x 2 La pendiente de la F.O. sería: m = 20/16 = 1,25. x Solución óptima: (0, 180) m 2 = 1,5 100 Recinto de posibles soluciones m = 1,25 m3 = 3 m 1 = x 1 Rangos de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo Sean c 1 y c 2 los coeficientes de la función objetivo. Si se mantuviese constante c 2, dentro de qué rango podría variar c 1 sin que cambie la solución? x 1,5 m z 3. 2 Max Z = c 1 x1 + 16x2 O sea: 1,5 c Por lo tanto: 24 c 1 48 Este es el rango de sensibilidad de c m2 = 1,5 Recinto de posibles soluciones Solución óptima: (40, 120) m3 = 3 m1 = 4 m = c1/c2 Interpreten este rango x 1 27

28 Análisis de sensibilidad de los recursos Se dice que un recurso es escaso cuando se está empleando totalmente. Se dice que es abundante cuando se tiene un excedente. En el ejemplo: Max Z = 30x x Éstos son los recursos 2 0,8x 1 + 0,2x 2 60 Minutos disponibles en la sección 1. 0,6x 1 + 0,4x 2 72 Minutos disponibles en la sección 2. 0,3x 1 + 0,1x 2 24 Minutos disponibles en la sección 3. Si se producen 40 galones de L1 y 120 galones de L2, qué recursos son escasos o abundantes? En la solución gráfica, se puede ver qué recursos son escasos o abundantes? 28

29 Cambios en la disponibilidad de un recurso escaso Supóngase que ahora se dispone de 76 minutos (4 minutos más) en la sección 2. Cuánto convendrá producir de cada lubricante? El recinto de posibles soluciones crece La solución óptima cambia En cuánto mejoran las ganancias? En $30 Hasta cuántos minutos adicionales convendría tener disponibles en la sección 2? Pero si se aumenta mucho la disponibilidad de minutos en la sección 2, llegará un momento en que será abundante! Cuándo dejará de ser abundante? Cuál es la ecuación de esta recta? El punto (0, 240) pertenece a ella! 0,6(0) + 0,4(240) = 96 29

30 Si se dispusiera de más en la sección 1, la solución óptima no se verá afectada. Sólo aumentará la holgura en esta sección. Si se dispusiera sólo de 48 minutos en la sección 1. Nueva solución óptima: (24, 144) 30

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