M edidas de dispersión P rof. S. V élez

Transcripción

1 M edidas de dispersión P rof. S. V élez

2 Introducción Las medidas de tendencia central permiten describir una distribución por medio de sus valores típicos. Sin embargo estas medidas son sólo parte de la información que se puede obtener de la distribución.

3 Medidas de dispersión. A menudo, al conformarse la descripción a una medida de tendencia central se cae en la sobre simplificación y el estereotipo. Hacen falta otras medidas que reflejen la variedad y la multiplicidad. Estas medidas que hablan de las diferencias y la diversidad son las medidas de dispersión.

4 Medidas de dispersión Describen cómo se extienden las puntuaciones de una variable de intervalo o razón a través de una distribución.

5 Medidas de dispersión Tipos de medidas de dispersión Recorrido Varianza Desviación estándar

6 Medidas de dispersión Recorrido Es la medida de distancia de una escala intervalo o razón que indica como varían las observaciones individuales en la misma. Datos agrupados Es la diferencia entre el la frontera superior de la última clase y la frontera inferior de la primera clase.

7 Medidas de dispersión Recorrido Es la medida de distancia de una escala intervalo o razón que indica como varían las observaciones individuales en la misma. Datos no agrupados Es la diferencia entre la mayor y menor observación de la distribución. r = max min

8 Ejemplo 1 En una distribución los valores que se obtienen son: 2.1, 3.4, 4.2, 5.6, 7.8, y 9.0. Cuál es el recorrido de la muestra? El recorrido es ( ) = 6.9

9 Ejemplo 2 En una distribución los valores que se obtienen son: 2.1, 3.4, 4.2, 5.6, 7.8, y El recorrido es ( ) = 50 Realmente las dos distribuciones en los ejemplos 1 y 2 se diferencian solamente por un dato con un valor extremo que en la segunda distribución da una impresión falsa de los otros valores.

10 La varianza de una muestra datos no agrupados La varianza es el grado en que los valores de una distribución difieren de la media entre sí. Conceptualmente la varianza se define como la suma de las diferencias del promedio al cuadrado dividido por la cantidad de observaciones menos uno. s s 2 2 ( ) x x = n 1 ( ) 2 X x = n n 1 2 2

11 Varianza La varianza refleja cuánto, en promedio, cada puntuación de la distribución se desvía de la media. En una muestra el símbolo que se usa es en una población es. 2 σ Es un promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada valor y la media. En símbolos esto es, 2 ( X1 X ) + ( X 2 X ) ( X n X ) s = n 1 s y

12 Se puede escribir como X Varianza s 2 i = 1 ( X X ) donde la media es, n es el tamaño de la muestra y es el enésimo valor de la variable. Debe notarse que el denominador no es n para la muestra sino n-1. Para una población, sin embargo, el denominador si es n. Esta diferencia entre la varianza de la muestra y de la población se debe a que el promedio de las varianzas de todas las muestras de un tamaño dado es igual a la varianza de la población solamente si en las muestras se usa n-1. Sin embargo, es importante recordar que la varianza es un promedio de desviaciones de cada valor con respecto a la media. = n n i 1 2 X i

13 Varianza Consideremos 10 pacientes de edades: 15 años, 21, 32, 59, 60, 60, 61, 64, 71, y 80. La media de edad de estos sujetos será de: ( ) X = = 52.3 años 10 La varianza sería: ( ) + ( ) +...( ) =

14 Medidas de dispersión Desviación estándar de una muestra Es la variación promedio de las puntuaciones con relación a la media. s = s 2

15 Desviación estándar s En una muestra el símbolo es s y en una población es σ. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. En símbolos, esto es, = ( X X ) + ( X X ) ( X X ) n n 1 s = n i= 1 ( X X ) i n 1 2

16 Pasos para hallar el cómputo de la varianza y la desviación estándar a. Se halla la media aritmética de los datos b. Se obtiene la diferencia entre cada valor y la media. c. Se cuadra cada diferencia d. Se suman los cuadrados e. Se divide la suma por n-1

17 Ejemplo 1 Halla la varianza y desviación estándar para los siguientes datos: 4.9, 6.3, 7.7, 8.9, 10.3, Solución: El primer paso es hallar la media aritmética. Esto es, X = = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) s = = s ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = =

18 Ejemplo 2 Halla la varianza y la desviación estándar en el siguiente conjunto de datos (5,10 y 15). Solución: La media es 10 ya que = = Por lo tanto, la desviación estándar es igual a 5 debido a que, s (5 10) + (10 10) + (15 10) ( 5) + (0) + (5) = = = = 25 = 5 2

19 Qué indican la varianza y la desviación estándar? Ambas muestran cuán separadas están las puntuaciones de la media. Mientras más grandes son estas medidas, más dispersión hay. La desviación estándar se prefiere a la varianza pues usa la misma unidad de las observaciones. No tiene sentido hablar de unidades cuadradas. La varianza cuadra la diferencia entre cada valor y la media, pues si no lo hiciera la suma de las diferencias sería cero.

20 Qué indican la varianza y la desviación estándar? Nótese que ni la varianza ni la desviación estándar pueden ser negativas. La varianza es una suma de cuadrados y la desviación estándar es un radical.

21 Ejemplo Veamos lo que ocurre con los datos del ejemplo anterior que son: 4.9, 6.3, 7.7, 8.9, 10.3 y En este caso ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 0 En el proceso de cuadrar se preservan estas diferencias

22 Estudia! Es la clave del éxito en tu futuro!