Ejercicio 1 Sea el circuito de la siguiente figura: a) Calcula la resistencia equivalente del circuito.

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1 Ejercicio Sea el circuito de la siguiente figura: a) Calcula la resistencia equivalente del circuito. b) Calcula la intensidad de la corriente que atraviesa el circuito. c) Calcula la diferencia de potencial en los extremos del generador. Solución: a) Calcula la resistencia equivalente del circuito. En este caso, se tiene un circuito mixto formado por dos resistencias en paralelo R2 y R3 asociadas con una resistencia en serie R. Por lo tanto, para calcular la resistencia equivalente del circuito, habrá que calcular la resistencia equivalente R23 de las dos resistencias en paralelo R2 y R3 y posteriormente calcular la resistencia equivalente Req de las dos resistencias en serie R y R23. Calculando R23 : R 23 = R 2 R 3 = 5 5 = 4 5 R 23 = 5 4 = 3. 75Ω Calculando Req: R eq = R R 23 = = Ω b) Calcula la intensidad I de la corriente que atraviesa el circuito. La intensidad que atraviesa el circuito, teniendo en cuenta la ley de Ohm, será igual a: I = V = 0 = 0. 72[A] R eq 3.75 c) Calcula la diferencia de potencial en los extremos del generador. La diferencia de potencial en extremos del generador será, en este caso, de: V = 0 [V] También podemos calcular la diferencia de potencial en extremos del generador como el producto de la intensidad suministrada por el generador al circuito por la resistencia equivalente del circuito: V = (I)(R eq ) = (0.72)(3.75) = 0[V]

2 Ejercicio 2 Encuentre el voltaje (V) y la intensidad de corriente (I) del siguiente circuito usando análisis nodal. Solución: Aplicando LVK 28 6 i 2i 2 = 0 LCK i i 2 i x = 0 2i 2 8 4i 3 = 0 i 3 i 4 = i i 2 4i 3 2i 4 = 0 Se procede poniendo en corto la fuente de voltaje de 8V y calculando la resistencia equivalente de las resistencias en paralelo. = R eq = 0 2 R eq = 0 2 = 6 5 Ω

3 Calculando V e I i = = (28)(5) 36 [A] v = 6 5 (i ) = ( 6 5 ) (28)(5) 36 = 4 3 [V] Para obtener el voltaje en el nodo Va se pone en corto circuito la fuente de voltaje de 8v y se simplifican las resistencias de 4Ω y 2Ω. R eq = R R 2 R R 2 R eq = (2)(4) 24 = (2)(4) (4)(4) = 3Ω Calculando la intensidad de corriente (i) del circuito ( ) ((28)(5) ) = = 7 3 [A] Para calcular la intensidad de corriente en el nodo Vb se pone en corto circuito la fuente de 28v y se simplifican las resistencias de 6Ω y 2Ω.

4 R eq = (6)(2) 62 = 3 2 Ω Calculando la intensidad de corriente (I) y el voltaje (V) en el circuito resultante. i = = i 3 2 i = 0 6 [A] v = (6) (3) = 9 3 [V] Se calcula la intensidad de corriente (I) en el nodo Vb. I = ( ) (6 9 ) = 4 3 [A] Finalmente se suman los resultados obtenidos en los nodos Va y Vb del circuito eléctrico. i = = 3 3 = [A] 4 v = = 30 3 = 0[V] Ejercicio 3 Determinar el voltaje (V) y la intensidad de corriente (I) que atraviesan el circuito mostrado. Solución: Se pone en corto circuito la fuente de voltaje de 8v y se calcula la resistencia equivalente de las resistencias de 5Ω y 2Ω.

5 R eq = 5 2 = 7 0 R eq = 0 7 Se calcula el voltaje y la corriente en el circuito anterior. i = Se calcula la corriente total del circuito. = 70 [A] v = ( ) (70 ) =. 59[V] 59 i = ( ) (70 59 ) = [A] Se procede a poner en corto circuito la fuente de voltaje de 0V se calcula la resistencia equivalente del circuito. Por LCK se tiene que 8 2i 2i = 0 8 4i = 0

6 i = 8 4 = 4 7 [A] Las resistencias están en serie por lo que se suman. R eq = 7Ω 5Ω = 2Ω Se calcula la resistencia equivalente del circuito anterior. = R eq 2 2 = 4 24 = 7 2 [Ω] Calculando el voltaje (V) y la corriente (I) para el circuito. i = (2) ( 4 7 ) = 48 [A] v = ( ) ( 7 2 ) = 48 2 = 4[V] Finalmente se suman los resultados obtenidos para cada fuente de voltaje del circuito. i = [A] [A] = [A] v =. 69[V] 4[V] = 5. 69[V] Ejercicio 4 Encuentre el voltaje (V) que atraviesa el circuito mostrado para t > 0, si i(0) = [A] Solución: Se plantean las ecuaciones y las relaciones presentes en nuestro circuito. Leyes de elemento: V R = R(i R ) I c = c dv c dt Leyes de conjunto: LCK i = i c i R3Ω LVK V s = V R3Ω V c () Determinando y sustituyendo i R3Ω i R3Ω = V R 3 i = i c V R 3

7 Se plantea la ecuación para el voltaje de salida del circuito (V s ) y se sustituyen las variables conocidas de la ecuación (). V s = 6(i) V c (2) V s = 6 (i c V c 3 ) V c V s = 6 (c dv c dt V c 3 ) V c V s = 6c dv c dt 2V c V c V s = 6(0.) dv c dt 2V c V c V s = 0. 6 dv c dt 3V c Al sustituir el valor de (V s ) en la ecuación, se obtiene una ecuación diferencial lineal de primer orden que se puede resolver de forma sencilla utilizando Transformadas de Laplace dv c dt 3V c = 8 Dividiendo la ecuación entre 0.6 para dejar al diferencial en la unidad. dv c dt 5V c = 30 Resolviendo la ecuación diferencial empleando Transformadas de Laplace. L t [ dv c dt ] L t [5V c ] = L t [30 ] s [(L t [V c ])(s)] v(0) 5 [(L t [V c ])(s)] = 30 s (s 5)[(L t [V c ])(s)] v(0) = 30 s L t [V c ](s) = v(0) s 30 s(s 5) Resolviendo la ecuación por fracciones parciales. L t [V c ](s) = 6 s 6 (s 5) v(0) (s 5) Obteniendo la transformada inversa de Laplace para cada termino. V c = L s [ 6 s ] (t) L s 6 [ (s 5) ] (t) L s [ v(0) (s 5) ] (t) V c = 6 6e 5t v c (0)e 5t (3) Se calcula V c para t = 0 de la ecuación (2) V s = 6(i) V c (2) V s = 6i(0) V c (0) Despejando V c : V c (0) = V s 6i(0) Donde i(0) = [A] V c (0) = 8 6 V c (0) = 2 [V]

8 Sustituyendo el valor de V c (0) = 2 [V] en la ecuación (3). V c = 6 6e 5t 2e 5t Finalmente obtenemos el voltaje final de nuestro circuito. V c = 6 6e 5t [V] Grafica del resultado. Ejercicio 5 Determinar los voltajes en los resistores lineales para cada uno de los circuitos mostrados. Solución: A B C V R = 3[V] V R = 3[V] V RΩ = 2[V] V R3Ω = 3[V] Para los 3 circuitos anteriores calcule la resistencia disipada en cada resistor. Determine de donde viene esta potencia calculando la contribución de vida a la fuente de voltaje y la de vida de corriente.

9 Solución: Para A: p R = V2 3 = 22 3 = 4 3 [w] p v = V(I) = 2 ( 3 ) = 2 3 [w] p i = (2)( ) = 2[w] Para B: p R = ( 2 )(3) = 3[w] p v = V(I) = 2() = 2[w] p i = (5)( ) = 5[w] Para C: p Ω = V2 = 22 = 4[w] p 3Ω = I 2 (3) = ()(3) = 3[w] p v = V(I) = 2( ) = 2[w] p i = (5)( ) = 5[w] Ejercicio 6

10 Ejercicio 6 Se aplica una fuerza electromotriz de 00V a un circuito en serie RC en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia de x0 4 farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0) = 0. Encuantre la corriente i(t). Solución: Para obtener el modelo matemático en este caso, como queremos encontrar un valor (la carga q(t)), en un circuito cerrado o malla utilizaremos para modelar el circuito la LEY DE MALLAS de Kirchoff. Entonces, aplicando la ley de mallas de kirchoff al circuito mostrado, para las caídas de voltaje en función de la carga q(t), tenemos: R dq dt q = E(t) () c Donde c, R son constantes conocidas como la capacitancia y resistencia, respectivamente. La carga q(t) se llama también respuesta del sistema. Para nuestro caso la ecuacion diferencial a resolver, segun la ecuacion () y sustituyendo los valores del problema planteado, es: 200 dq dt 0 4 q = 00 Resolviendo la ecuación por el método de los 4 pasos: I. Forma estándar: dy dx P (x) y = g(x) dq dt 50 q = 2 II.Factor Integrante: e R P (x) dx = e R 50dt = e 50R dt = e 50t III.Forma de la solucion: y = y c y p q(t) = q tr(t) q ps(t) y c = Ce R P (x)dx q tr(t) = Ce R 50dt q tr(t) = Ce 50t

11 Donde: q tr es la carga transitoria del capacitor en el circuito RC en serie. y p = Donde: qs es la carga estacionaria del capacitor. e e P(x)dx f(t)dx qs(t)= P(x)dx e 50t Por tanto la carga (total en el circuito), buscada es: qs(t)= qs(t)= q(t) = q tr(t) qs(t) = Ce 50t 00 Para encontrar el valor de C utilizamos los valores iniciales q(0) = 0. e 50t 2 dt 2 50 e 50t e 50t (50)dt 00 e 50t e 50t (50)dt qs(t)= 00 e 50t [e 50t ] qs(t)= 00 q(t) = Ce 50t 0 = Ce 50 (0) 0 = C() 0 = C 00 C = De donde la Carga en el capacitor buscada es: Graficación de la carga encontrada. q(t) = 00 e 50t 00

12 Obteniendo la corriente i(t), del circuito RC. Para este propósito utilizaremos la siguiente ecuación Ri C q=e(t) Sustituyendo los valores que conocemos, tenemos: Donde: q(t) = 00 e 50t 00, 200i De modo que despejando i(t), tenemos: e 50t 00 =00 200i 0 4 i(t) e 50t 00 e 50t i(t) e 50t = 00 = 2 = 2 i(t) 2 e 50t 2 = 2 i(t) 2 e 50t = 2 2 i(t) = 2 e 50t Por tanto la corriente en el circuito, es: i(t) = 2 e 50t La gráfica de la corriente en el circuito.

13 Ejercicio 7 Encuentre el voltaje del circuito (V) para t > 0 si i g = 2u(t)[A] Leyes de elemento: V R = Ri R V L = L di L dt i c = C dv c dt LCK i g = i R i C () i R = i L (2) LVK V R V L = V (3) Sustituyendo valores en la ecuación (3). Sustituyendo ecuación (2) en ecuación (). Sustituyendo ecuación (5) en ecuación (4). 4i L () di L dt i g = i L i C = v (4) i L = i g i C = i g C dv c dt i L = i g dv c 5 dt (5) Simplificando la ecuación: 4 (i g dv c 5 dt ) d dt (i g dv c 5 dt ) = v Suponiendo que: De la ecuación (5): d 2 v dt dv dt = c (i g i L ) 4 dv dt 5v = 5 di g dt 20i g i L = 0, V(0) = 0, u(t) = { 0 t < 0 t > 0 dv dt = 5[i g (0) i L (0)] = 0 t=0

14 Resolviendo la ecuación por el método de Transformadas de Laplace. s 2 v(s) sv(0) v (0) 4[sv(s) v(0)] 5v(s) = 5[s I g (s) i g (0)] 20I g (s) v(s) = sv(0) v (0) 4v(0) s 2 4s 5 v(s) = Resolviendo por el método de ecuaciones parciales. v(s) = s(s 4) (s 2) 2 (2 s ) 5s 20 s 2 4s 5 I g(s) 0(s 4) s[(s 2) 2 ] = a s bs c (s 2) 2 a = 2b jb c = 2b c jb = Si tenemos la ecuación: 0(s 4) (s 2) 2 s=0 bs c s= 2 j = 0(s 4) s 0( 2 j 4) 2 j 0(4 2j 2j ) 5 = 40 5 = 8 = s = 2 j 0(2 j) ( 2 j 2 j 2 j ) = 2(3 4j) = 6 8j Entonces: d 2 v dt 4 dv dt 5v = 5 di g dt 20i g h(s) = m n=0 bn sn N n=0 ans n h(s) = V z(s) 5s 20 = I g (s) s 2 4s 5 Finalmente nuestra solución a la ecuación planteada son los resultados de las fracciones parciales en el dominio del tiempo. V zs (t) = 8 e 2t [8 cos t 6 sin t]