Métodos Matemá5cos en la Ingeniería Tema 1. Ecuaciones no lineales

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1 Métodos Matemá5cos en la Ingenería Tema. Ecuacones no lneales Jesús Fernández Fernández Carmen María Sordo García DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN UNIVERSIDAD DE CANTABRIA Lcense: Crea5ve Commons BY NC SA 3.0

2 TEMA9: Ecuacones No Lneales. Introduccón. Métodos cerrados: Bseccón 3. Métodos abertos: Punto Fjo Newton Secante

3 Resolucón numérca de ec. No lneales Objetvo:. Calcular el valor de, que cumple f( 0. Calcular el valor de que cumple g( h( f( g( h( 0 Dada una funcón f( determnar algún valor ' para el que se cumpla f('0. Los valores ' se llaman raíces de f(.

4 Resolucón numérca de ec. No lneales Problema a resolver: Dada una funcón f( determnar algún valor ' para el que se cumpla f('0. Los valores ' se llaman raíces de f(. Las raíces pueden ser reales o complejas. Determnar raíces reales de:. Ecuacones algebracas: f( -+. Ecuacones trascendentes (nvolucran funcones trgonométrcas, eponencales, logartmcas, etc: f(sen(+e -

5 Método Gráfco Dbujar la funcón yf( y observar dónde cruza el eje. Ese punto representa el valor de para el cual f(0, es decr, la raíz de la funcón. Ejemplo: Encontrar una raíz de la funcón 40 f( Raz Raz 4,75

6 Resolucón numérca de ec. No lneales Los métodos de resolucón numérca son de tpo teratvo: 0... n.... Métodos cerrados: Bseccón. Métodos abertos: De punto fjo Newton Secante

7 Métodos cerrados. Se basan en el hecho de que una funcón camba de sgno en la vecndad de una raíz f( f( a. Necestan dos valores ncales para la raíz: ntervalo f( b Teorema de Bolzano: f( contnua en [a,b] f(af(b < 0 En [a, b] hay un número mpar de raíces f( l En [a, b] al menos hay una raíz c d u

8 Métodos cerrados: bseccón Se genera una sucesón { } de apromacones a la raíz calculando los puntos medos de los ntervalos: f( Prmera teracón: a + b (a (b f( f(a f(b. Estmar raíz: a + b. Comprobar s es raíz: f ( 0? 3. Determnar nuevo ntervalo: f ( f ( f ( a < 0 f ( a > 0 b a ( Gráfca

9 Métodos cerrados: bseccón Se genera una sucesón { } de apromacones a la raíz calculando los puntos medos de los ntervalos: f( Prmera teracón: (a (b f( f(a a + b f(b. Estmar raíz: a + b. Comprobar s es raíz: f ( 0? 3. Determnar nuevo ntervalo: f ( f( f(b f( (a ( (b f(a f ( f ( a < 0 f ( a > 0 b a ( Gráfca Segunda teracón: Repetr con nuevo ntervalo a + b

10 Métodos cerrados: bseccón Dado un ntervalo [a,b] y la funcón f( contnua en [a,b] y tal que f(af(b<0:. Estmar la raíz usando el punto medo: ~ a + b. Comprobar s es la raíz, en otro caso, revsar el ntervalo: ~ ~ S f(af( < 0, b ~ ~ S f(af( > 0, a 3. Repetr pasos y hasta: ~ f( ε a-b ε Se alcanza el número mámo de teracones + ε a < ε + E a + < ε

11 Métodos cerrados: bseccón a S f(af(b <0 puede haber más de una raíz, al menos habrá una. El método sólo encuentra una de ellas. f( b S f( no es contnua en [a,b] no está garantzado el funconamento del método c S f(af(b > 0 el método no tene garantzado el funconamento puesto que puede no estr raíz y aunque esta no está defndo el crtero para redefnr los ntervalos f( f( l a b c u

12 Métodos cerrados: bseccón Ejemplo: Encontrar una raíz de la funcón con un error apromado mámo de 0.005

13 Métodos cerrados: bseccón Una ventaja de este método es que se puede calcular el número de teracones que deben realzarse para cometer ~ un error absoluto (E '- menor o gual de un ε prefjado. El error absoluto que se comete : Prmera teracón: E ½ (b-a Segunda teracón: E ½½ (b-a N-ésma teracón: E n (b-a/ n Para cometer un error absoluto menor o gual que una cantdad fjada ε b a ln b a ε n ' ~ ε n ln(

14 Métodos cerrados: bseccón Ventajas: Smple Buena estmacón del error absoluto E b a Convergenca garantzada E E Desventajas: Lento Requere una buena estmacón del ntervalo ncal (que encerra la raíz

15 Métodos abertos. Se basan en fórmulas requeren un únco valor de nco o s requeren dos, no es necesaro que encerren a la raíz. No está garantzada la convergenca 3. En caso de converger, lo hacen mucho más rápdo que los métodos cerrados

16 Métodos abertos: De punto fjo Dado un valor ncal para la raíz se predce de forma teratva una nueva apromacón + como funcón del valor ncal Para ello se transforma la ecuacón f(0 de tal forma que g( f ( g( f ( sen 0 g( sen + + Algortmo: + g( repetr hasta que:. ε a <ε, E a <ε ~. f( ε 3. Número ma. terac. 3

17 Métodos abertos: De punto fjo Ejemplo: Use el método del punto fjo para encontrar una raíz de la funcón, empezando con el valor ncal 0 0

18 Métodos abertos: De punto fjo Convergenca del método: La ecuacón teratva satsface + g( La raíz ' verfca 'g(' El valor de la funcón g en un punto se puede epresar usando la sere de Taylor de orden como: g( g('+g'(ξ( -' con ' ξ + '+g'(ξ( -' + -'g'(ξ( -' E + g'(ξ E Convergenca lneal S g'(ξ < el error absoluto dsmnuye en cada teracón

19 Métodos abertos: Newton-Raphson La sere de Taylor para f(' donde ' es la raíz 0 f(' f( + f '( (' De donde podemos despejar la raíz: ' f ( f '( Que proporcona un método para el cálculo teratvo de la raíz: f ( + f '( Que tene la forma + g( con f '( f '( f ( f ''( g '( ( f '( f ( f ''( ( f '(

20 Métodos abertos: Newton-Raphson f( Pendente de f( en el punto f( + f( f'( f( Despejando + f( f( f( + ( + + f( f'( Repetr hasta que:. f( + < ε. ε a <ε, E a <ε 3. Número ma. ter.

21 Métodos abertos: Newton-Raphson Ejemplo: Use el método de Newton para encontrar una raíz de la funcón, empezando con el valor ncal 0 0

22 Métodos abertos: Newton-Raphson Convergenca del método: La ecuacón teratva satsface La raíz ' verfca + f( f'( f ''( ξ 0 f ( ' f ( + f '( ( ' + ( ' con ' ξ! dvendo por f '( y reorganzando f ( f ''( f ''( ξ ξ 0 + ( ' + ( ' 0 ( + + ( ' + ( ' f '(! f '(! f '( f ''( ξ ( ' + ( '! f '( E + f ''( ξ! f '( E E + es proporconal a E Convergenca cuadrátca

23 Métodos abertos: Secante Un posble problema del método de Newton es el cálculo de la dervada. En el método de la Secante se aproma la dervada medante dferencas fntas: Y se susttuye en la ecuacón del método de Newton-Raphson para obtener la epresón teratva f f f ( ( '( ( ( ( ( f f f +

24 Métodos abertos: Secante f(. Se parte de dos puntos ncales - y f '( f ( f ( f( + - f( - f(. Se calcula + + f ( f ( ( f ( Los valores se reemplazan de forma que + susttuye a y éste a - Repetr hasta que: f '( f ( f ( f( f( f( + < ε. ε a <ε, E a <ε 3. Número ma. ter.

25 Métodos abertos: Secante Ejemplo: Use el método de la Secante para encontrar una raíz de la funcón, empezando con el valor ncal - 0 y 0

26 Métodos abertos Ventajas:. Pueden ser muy rápdos Inconvenentes:. No está garantzada la convergenca. Requere una dervada (Newton-Raphson 3. Requere dos puntos ncales (Secante aunque no es necesaro que encerren a la raíz

27 Raíces múltples 4 3 data f((-3(- f((-3(- 3 f((-3(- 4 Los métodos cerrados pueden fallar ya que f(af(b> a b En, f(f'(0, por lo que los métodos de Newton- Raphson y de la secante pueden tener problemas. Pero f( alcanza el valor 0 antes que f '(, entonces s se compara el valor f( con 0 en el algortmo, éste termna antes de evaluar f'(, aunque la convergenca se hace más lenta

28 Raíces múltples: Newton-Raphson modfcado Método de Newton-Raphson modfcado para el cálculo de raíces múltples: redefnr el problema usando una nueva fc. u( u ( f ( f '( Esta funcón tene raíces en los msmos puntos que f(. Aplcando el método de Newton-Raphson a esta nueva funcón: + u( u'( calculando la dervada de u con respecto a y susttuyendo + [ f '( f ( f '( ] f ( f ''(

29 Raíces múltples Ejemplo: Con los dos métodos de Newton calcule la raíz múltple de la ecuacón: Comenzando con el valor ncal 0 0.