Álgebra Lineal. 1) (Junio-96) Considérese el sistema de ecuaciones lineales (a, b y c son datos; las incógnitas son x, y, z):

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1 Mtemátics II Álgebr Linel (Junio-96 Considérese el sistem de ecuciones lineles ( b c son dtos; ls incógnits son : b c c b b c Si b c son no nulos el sistem tiene solución únic. Hllr dich solución. (Sol: b c b c c b ; ; bc c b (Junio-96 Se un mtri cudrd se l mtri que se obtiene de intercmbir en ls fils ª ª. Es sbido que entonces se verific que det( = - det(. Justifíquese este resultdo. (Sol: Cuestión Teóric (Junio-96 Hllr rondmente los vlores del prámetro p pr los que l mtri tiene invers. b Hllr l invers pr p= p p p / (Sol: p ; b / / / (Sept-96 Obtener ls mtrices B tles que cumplen ls siguientes condiciones: 8 B B 6 (Sol: ; B (Sept-96 Hllr el vlor del determinnte de orden cuo elemento de lugr i j (fil i ; column j vle (i j (Sol: i j 6 (Junio-97 Obtener el determinnte en función de siendo: José Mnuel del Toro lgebr Linel -

2 Mtemátics II b ' b' '' b'' b c b' c' b'' c'' c c' ' c'' '' ' '' b b' b' c c' c'' (Sol: 7 (Junio-97 Sen M ls siguientes mtrices: M b c d Determinr ls relciones entre b c de pr que se cumpl que M M (Sol: d c ; b c 8 (Sept-97 Discutir según los vlores de m el sistem de ecuciones: (Sol: Si m / SCI ; Si m / SI m 8 9 t 9 (Sept-97 Se dice que un mtri cudrd es ortogonl si se verific que I donde t es l mtri trspuest de ; I es l mtri identidd. Si B son dos mtrices ortogonles de igul tmño nlir si B es un mtri ortogonl. (Sol: Cuestión Teóric (Sept-97 Se consider un sistem S de m ecuciones lineles con n incógnits que es comptible determindo. Se S el sistem que result de prescindir en S de l últim ecución. Contest de form rond: Puede ser incomptible el sistem S? b Es comptible el sistem S? c H de ser comptible indetermindo el sistem S? (Sol: No; b Si ; c Depende de l ecución suprimid (Junio-98 Se consider el sistem de ecuciones en ls incógnits t t t Encontrr los vlores de pr que los que el rngo de l mtri de coeficientes del sistem se b Resuelve el sistem nterior pr (Sol: / ; b ( José Mnuel del Toro lgebr Linel -

3 Mtemátics II (Junio-98 Un lmcenist dispone de tres tipos de cfé: el 98 pt/kg; el B 87 pt/kg; el C 9 pt/kg. Dese hcer un mecl con los tres tipos de cfé pr suministrr un pedido de kg un precio de 9 pt/kg. Cuántos kg de cd tipo de cfé debe meclr sbiendo que debe poner del tercer tipo el doble de lo que pong del primero del segundo juntos? (Sol: Kg de ; Kg de B; 7 Kg de C (Sept-98 Se dispone de tres cjs B C con moneds de pt. Se sbe que en totl h.6 pt. El número de moneds de ecede en l sum de ls moneds de ls otrs dos cjs. Si se trsld moned de l cj B l cj est tendrá el doble de moneds que B. verigur cuánts moneds hbí en cd cj. (Sol: 9 moneds en ; moneds en B; 6 moneds en C (Sept-98 Sen ls mtrices B Se cumple l iguldd rngo B rngo rngo B? Justificr l respuest. b c b Encontrr tods ls mtrices X tles que X I donde es l mtri identidd de orden. d e f c Eiste lgun mtri Y cudrd de orden tl que Justificr l respuest. t B t Y? ( B es l mtri trspuest de B (Sol: No ; b X c c ; c No f f (Junio-99 Se considern ls mtrices B donde es culquier número rel. Encontrr los vlores de pr los que B es invertible. b Determinr los vlores de pr los que B es invertible. c Ddos b números reles culesquier. puede ser el sistem comptible determindo? b (Sol: ; b No eiste ; c No 6 (Junio-99 Discutir según los vlores de el sistem de ecuciones: 6 6 b Resolverlo pr José Mnuel del Toro lgebr Linel -

4 Mtemátics II (Sol: Si SCD ; Si SI ; Si SCI ; b ( 7 (Sept-99 Hllr en función de el vlor del deteminnte: (Sol: ( 8 (Sept-99 Un cjero utomático continen 9 billetes de... pesets un totl de. pesets. Si el número de billetes de. es el doble que el número de billetes de.. verigu cuntos billetes h de cd tipo. (Sol: billetes de ; de ; de 9 (Sept-99 Estudir según los vlores del prámetro el siguiente sistem de ecuciones ( b Resolver el sistem en los csos en que resulte ser comptible determindo. Sol: Si SCD ; Si SCI ; b ; (Junio- Pr un mtri cudrd se define su tr como l sum de los elementos de l digonl principl. En lo que sigue B son mtrices cudrds Comprobr que se verific Tr ( B Tr ( Tr ( B b Comprobr que Tr ( B Tr ( B c Utilindo los resultdos nteriores demostrr que es imposible tener B B I donde I denot l mtri identidd. d Encontrr dos mtrices B pr ls que Tr ( B Tr ( Tr ( B (Sol: Cuestión teóric (Junio- Se consider el sistem de ecuciones Comprobr que es comptible pr todo vlor de ( ( ( ( ( ( b Describir en términos geométricos el conjunto de soluciones pr c Resolverlo pr (Sol: b Si plnos coincidentes ; Si se cortn en un rect ; c Si ( José Mnuel del Toro lgebr Linel -

5 Mtemátics II José Mnuel del Toro lgebr Linel - (Sept- Considerr el sistem de ecuciones ( ( Discutirlo según los vlores del prámetro b Resolverlo pr c Resolverlo pr (Sol: Si SCD; Si SCI ; Si SCI ; b Si ( ; c Si (Sept- Discutir en función de los vlores de k resolver el sistem: k S b Discutir en función de los vlores de resolver en los csos de comptibilidd el sistem: (Sol: Si k SCD ; Si k SCI solución ( ; b Si 7 / SCD sol: 7 ; 7 ; 7 ; Si 7/ SI (Junio- Ddo el sistem de ecuciones 6 Se pide: Discutirlo según los vlores del prámetro b Resolverlo cundo teng infinits soluciones (Sol: Si 8 SCD; Si 8 SCI; b (Junio- Se k un número nturl sen ls mtrices B C Clculr k

6 Mtemátics II b Hllr l mtri X que verific k X BC (Sol: k k k ; b X 6 (Junio- Se consider el sistem de ecuciones Discutirlo según los vlores del prámetro rel b Resolverlo pr c Resolverlo pr (Sol: SI; Si SCD ; Si SCI ; b ; c t s s t t s ( 7 (Sept- Se el sistem de ecuciones lineles: Discutir el sistem según los vlores del prámetro rel b Resolverlo pr c Resolverlo pr (Sol: Si SCD; Si SCI; Si SI ; b 8 (Sept- Dd l mtri se pide: 7 ; ; c ( Comprobr que se verific l iguldd I O siendo I l mtri identidd O l mtri nul b Justificr que tiene invers obtener c Clculr (Sol: b ; c 9 (Junio- Clculr l eddes ctules de un mdre sus dos hijos sbiendo que hce ños l edd de l mdre er veces l sum de ls eddes de los hijos en quel momento que dentro de ños l edd de l José Mnuel del Toro lgebr Linel - 6

7 Mtemátics II mdre será l sum de ls eddes que los hijos tendrán en ese momento que cundo el hijo mor teng l edd ctul de l mdre el hijo menor tendrá ños. (Sol: 68 ños (Junio- Clculr el rngo de l mtri según los diferentes vlores del prámetro rel (Sol : Si rng( = ; Si rng( = (Junio- Se consider el siguiente sistem linel de ecuciones dependiente del prámetro rel Discutir el sistem según los vlores del prámetro. b Resolver el sistem pr c Resolver el sistem pr (Sol: Si SCD; Si SI; Si SCI ; b ( ; c ; ; (Sept- Se consider el sistem linel de ecuciones dependientes del prámetro rel : Discutir el sistem según los diferentes vlores del prámetro. b Resolver el sistem en los csos en que se posible. c En el cso indicr l posición reltiv de los tres plnos cus ecuciones formn el sistem. (Sol: SI; Si ó c Los tres plnos se cortn dos dos SCI ; b ( ; ( (Sept- Se un mtri rel cudrd de orden n que verific l iguldd I identidd de orden n. Se pide: Epresr b Epresr en términos de. n en términos de e I pr culquier número nturl n.. c Clculr pr que I siendo siendo I l mtri (Sol: ; b n sin es impr ; c I n sin es pr José Mnuel del Toro lgebr Linel - 7

8 Mtemátics II (Junio- Se consider el sistem de ecuciones Se pide: Resolverlo pr m (Sol: ( m m b Discutirlo pr los distintos vlores de m ( m m ; ; ; b m m SCD; Si m ó m SI (Junio- Comprobr plicndo ls propieddes de los determinntes l identidd: b b b ( b b 6 (Junio- Encontrr un número rel tods ls mtrices B de dimensión (distints de l mtri nul tles que B B 9 (Sol: ; B c c 7 (Sept- Se consider el sistem de ecuciones m 9 Determinr los vlores de m pr que el sistem ddo teng solución únic. b Resolverlo pr m (Sol: m ; b ( 8 (Sept- Un morist del sector turístico vende l genci de vijes billetes destinos ncionles billetes destinos etrnjeros europeos comunitrios billetes destinos interncionles no comunitrios cobrndo por todo ello. euros. un segund genci B le vende billetes destinos ncionles interncionles no comunitrios cobr. euros. un tercer genci C le vende billetes destinos ncionles billetes destinos etrnjeros europeos comunitrios cobrndo 7. euros. Se pide: Hllr el precio de cd tipo de billete. José Mnuel del Toro lgebr Linel - 8

9 Mtemátics II b Por rones de mercdo el morist se ve obligdo bjr un por ciento el precio de todos los billetes ncionles. Hllr en qué porcentje debe incrementr el precio de todos los billetes etrnjeros europeos comunitrios (suponiendo que mntiene constnte el precio de todos los billetes interncionles no comunitrios pr mntener constntes sus ingresos totles por ls vents ls tres gencis. (Sol: euros. Porcentje. % 9 (Sept- Sen B dos mtrices invertibles que verificn l identidd B B. Comprobr que entonces se tiene l fórmul: ( I B B. b Dd l mtri hllr l mtri B pr l cul se verific B B / (Sol: B ( (Junio- Ddo el sistem ( Estudir l comptibilidd según los vlores del prámetro. b Resolver el sistem nterior cundo se comptible indetermindo. (Sol: Si SCD ; Si (Junio- Dds ls mtrices: Se pide: Hllr SCI ; b ( B b Hllr l mtri X tl que X B t (Sol: ; b X (Junio- Ddo el sistem escribir un tercer ecución de l form b c (distint de ls dos nteriores de mner que el sistem de tres ecuciones dos incógnits resultnte sig siendo comptible. b Ddo el sistem escribir un tercer ecución de l form (distint de ls dos nteriores de mner que el sistem de tres ecuciones tres incógnits resultnte se comptible indetermindo. José Mnuel del Toro lgebr Linel - 9

10 Mtemátics II (Sol: ; b (Sept- Dds ls mtrices: B Determinr l mtri invers de B. b Determinr un mtri X tl que B X / / (Sol: B ; b / / / / / X / / / (Sept- Si es un mtri tl que cuál es el vlor del determinnte de? b Clculr un número k tl que: k (Sol: ; b k (Sept- Discutir según los vlores del prámetro rel el sistem b Resolver el sistem nterior en el cso (Sol: SCD; Si ó SCI ; b t t t t ( 6 (Junio- Ddo el sistem de ecuciones: ( m m ( m ( m m Discutirlo según los distintos vlores m. b Resolverlo cundo se comptible indetermindo. (Sol: Si m SCD; Si m ó m SI ; Si m SCI ; b 9 tt t 7 (Junio- Resolver el sistem de ecuciones: b Hllr dos constntes de mner que l ñdir l sistem nterior un tercer ecución: José Mnuel del Toro lgebr Linel -

11 Mtemátics II el sistem resultnte se comptible indetermindo. (Sol: 7 ; b 6 8 (Junio- Hllr un mtri X tl que: X B siendo B 9 (Sol: X (Sept- Dds ls mtrices I Hllr dos constntes tles que I b Clculr utilindo l epresión obtenid en el prtdo nterior c Hllr tods ls mtrices X que stisfcen: ( X ( X X (Sol: ; b b ; c X (Sept- Dds ls mtrices: k t k B k t k Hllr b Hllr l mtri invers de B c En el cso prticulr k hllr (Sol: ( ; b B k k t t k B ; c B k (Junio-6 Ddo el sistem homogéneo : k verigur pr que vlores de k tiene soluciones ( k distints de. Resolverlo en tles csos. (Sol: k k ; b Si k ( ; Si k ( (Junio-6 Dd l mtri encontrr tods ls mtrices b P tles que P P c d (Sol: P b José Mnuel del Toro lgebr Linel -

12 Mtemátics II (Junio-6 Dd l mtri M Determinr el rngo M según los vlores del prámetro b Determinr pr que vlores de eiste l invers de M. Clculr dich mtri invers pr / / / (Sol: rngo rngo ; b M / / / / / 6 / 6 (Sept-6 Dds ls mtrices 8 I Comprobr que det ( (det( que det ( I det ( +det (I b Se M un mtri cudrd de orden. Se puede segurr que se cumple det ( M (det(m? Ronr l respuest. c Encontrr tods ls mtrices cudrds M de orden tles que: det ( M I det (M +det (I d b (Sol: c P c d (Sept-6 Resolver el sistem de ecuciones: b Hllr ls solución del sistem nterior tl que l sum de los vlores correspondientes cd un de ls tres incógnits se igul. (Sol: ( 8 b ; ; 6 (Sept-6 Hllr tods ls mtrices b distints de l mtri tles que b Pr cd un de ls mtrices obtenids en el prtdo clculr M... (Sol: ó ; b M ó 7 (Junio-7 Estudir el rngo de l mtri m m m m m( m m según los vlores del prámetro m m (Sol : Si m m rng( = ; Si m o m rng( = 8 (Junio-7 Sen ls mtrices 8 9 B. Hllr un mtri X tl que XX B 6 7 José Mnuel del Toro lgebr Linel -

13 Mtemátics II (Sol: c / X c b b 9 (Junio-7 Dds ls mtrices b B c c se pide: Encontrr ls condiciones que deben cumplir b c pr que se verifique B B b Pr b c clculr B 9 9 (Sol: b c ; b 9 9 B 6 (Sept-7 Ddo el sistem de ecuciones lineles Discutirlo según los vlores del prámetro k b Resolverlo cundo teng infinits soluciones. (Sol: k k / SI; Si k SCI ; Si / (k k k se pide: (k k k SI ; b 7 / ( / ( 6 (Sept-7 Clculr un mtri cudrd X sbiendo que verific B X B siendo (Sol: X I 6 (Sept-7 Ddo el sistem de ecuciones: se pide Clculr b de mner que l ñdir un tercer ecución de l form b el sistem resultnte teng ls misms soluciones que el sistem originl. b Clculr ls soluciones del sistem ddo tles que l sum de los vlores de ls incógnits se igul. (Sol: b 7 ; b 9/ 7 / 7 / 7 6 (Junio-8 Ddo el sistem de ecuciones lineles: Se pide: Discutir el sistem según los vlores del prámetro. Resolverlo cundo l solución se únic. b Determinr pr qué vlor o vlores de el sistem tiene un solución en l que (Sol: Si SCD; Si SCI; Si SI ; ; b José Mnuel del Toro lgebr Linel -

14 Mtemátics II José Mnuel del Toro lgebr Linel - 6 (Junio-8 Dd l siguiente mtri de orden n: n Se pide: Clculr el determinnte de l mtri. b Clculr el determinnte de l mtri. c Clculr el determinnte de l mtri. (Sol: ; b ; c 6 (Sept-8 Dd l mtri se pide: Determinr el rngo de según los vlores del prámetro b Decir cuándo l mtri es invertible. Clculr l invers pr (Sol: Si ( rng en otro cso ( rng ; b / / / 66 (Sept-8 Resolver el siguiente sistem: 8 6 v v v (Sol: v v v 67 (Sept-8 El cjero utomático de un determind entidd bncri sólo dmite billetes de de de euros. Los viernes depositn en el cjero billetes por un importe de 7 euros. verigur el número de billetes de cd vlor depositdo sbiendo que l sum del número de billetes de de euros es el doble que el número de billetes de euros. (Sol: de 7 de de 68 (Junio-9 Ddo el sistem 9

15 Mtemátics II Discutir el sistem según los vlores del prámetro b Resolver el sistem pr (Sol: Si / SCD; Si / SI; b 69 (Junio-9 Ddo el sistem: Discutir el sistem según los vlores del prámetro b Resolver el sistem cundo se posible (Sol: Si 6 SI; Si 6 SCD; b Si ; ; Si 6 ; 7 (Junio-9 Dd l mtri: se pide: Estudir el rngo de l mtri según los vlores del prámetro b Obtener l mtri invers de pr (Sol: Si rng(=; Si rng(= ; Si rng(= ; b / / / / / / 7 (Sept-9 Dd l mtri m m M m se pide: Determinr los vlores del prámetro m pr los cules l mtri M es invertible. b Determinr los vlores del prámetro m pr los cules l mtri c Pr m clculr si es posible l mtri invers M de M. M es invertible (Sol: m m ; b m m ; c / / M / / / / 7 (Sept-9 Ddo el sistem se pide: Obtener los vlores del prámetro pr los cules el sistem tiene soluciones distints de: b Resolver el sistem pr (Sol: ó ; b t t t t R José Mnuel del Toro lgebr Linel -

16 Mtemátics II 7 (Sept-9 Dds ls mtrices: B obtener un mtri cudrd X de orden que verifique l ecución mtricil (Sol: / / X / / X B B 7 (Junio- Fse Generl Ddo el sistem homogéneo k k se pide: Determinr pr que vlores del prámetro k el sistem tiene infinits soluciones distints de b Resolverlo pr el cso k (Sol: k k / ; b (Junio- Fse Generl Dds ls mtrices: I se pide: Hllr dos constntes b tles que bi b Sin clculr eplícitmente (Sol: b ; b 9 9 utilindo sólo l epresión nterior obtener l mtri 76 (Junio- Fse Generl Ddo el sistem de ecuciones: se pide Discutirlo según los vlores del prámetro b Resolverlo pr el cso (Sol: Si SCD; Si SCI; Si SI ; b ( 77 (Junio- Fse Específic Sbiendo que 6 utilindo ls propieddes de los determinntes clculr: El determinnte de l mtri 6 6 b c 6 6 (Sol: 96 ; b ; c - José Mnuel del Toro lgebr Linel - 6

17 Mtemátics II 78 (Junio- Fse Específic Se consider el sistem de ecuciones: m ( m se pide 9 Discutirlo según los vlores de m b Resolver el sistem pr m (Sol: Si m / SCD; Si m / SI; b ; ; 79 (Junio- Fse Específic Dd l mtri: estudir pr qué vlores de tiene invers clculrl siempre que se posible. (Sol: Eiste si ( / / / / 8 (Sept- Fse Generl Dd l mtri m m Estudir el rngo de según los vlores del prámetro m. b En el cso m resolver el sistem t m m m (Sol: Si m m rng ( ; Si m rng ( ; Si m ( rng ; b ( 8 (Sept- Fse Generl Ddo el sistem Estudir l comptibilidd del sistem. b ñdir un ecución pr que el sistem se comptible determindo. Ronr l respuest c ñdir un ecución pr que el sistem se incomptible. Ronr l respuest (Sol: El sistem es siempre comptible indetermindo; b ; c 8 (Sept- Fse Generl Dd l mtri Estudir el rngo de según los vlores del prámetro. b Pr qué vlores de eiste l mtri invers José Mnuel del Toro lgebr Linel - 7? Clculr pr

18 Mtemátics II (Sol: Si rng ( ; Si ó rng ( ; b Eiste si 8 (Sept- Fse Específic El sistem X B donde según se l mtri B. X tiene infinits soluciones Determinr si eisten el vlor o vlores de pr los que el sistem es comptible determindo (independientemente del vlor de B b Si ptible. c Si B determinr si eisten el vlor o vlores de b pr los que el sistem es incom- b B c determinr si eisten el vlor o vlores de c pr los que el sistem es comp- tible indetermindo. Resolver el sistem. (Sol: No eisten ; b b / ; c c ( 8 (Sept- Fse Específic Ddo el sistem de ecuciones Discutirlo según los vlores del prámetro k. b Resolverlo pr k k k k (Sol: Si k k SCD; Si k SCI; Si k SI ; b / ; / ; / k k se pide: 8 (Junio- Dd l mtri Clculr el rngo de en función de los vlores de b En el cso discutir el sistem posible. c En el cso resolver el sistem en función de los vlores de b resolverlo cundo se b José Mnuel del Toro lgebr Linel - 8

19 Mtemátics II (Sol: Si rngo ; Si o rngo ; b Si b SI ; Si c ; ; b SCI sol : ( ; 86 (Junio- Discutir el sistem de ecuciones X B donde: m m m m X B m m b Resolver el sistem en los csos m m (Sol: Si m m SCD; Si m SCI; Si m SI ; b Si m ( Si m ; ; 87 (Sept- Clculr el rngo de l mtri (Sol: rng(= sen cos 88 (Sept- Dd l mtri M cos sen Clculr el determinnte de l mtri M. según los vlores del prámetro según los vlores del prámetro b Hllr l mtri c Hllr l mtri M M (Sol: -; b M I ; c M M 89 (Sept- Ddo el sistem de ecuciones lineles k Discutirlo según los vlores del prámetro k. b Resolver el sistem pr k c Resolver el sistem pr k k k k k k se pide: (Sol: Si k k SCD; Si k o k SCI; b Si k ; ; ; c Si ( k 6 9 (Junio- Dds ls mtrices: k k k k B 6 C X se pide: k 8 Hllr el rngo de en función de los vlores de k José Mnuel del Toro lgebr Linel - 9

20 Mtemátics II b Pr k hllr si eiste l solución del sistem X B c Pr k hllr si eiste l solución del sistem X C (Sol: Si k k rng(= Si k rng(=; b / ; ; 8/ ; c No tiene solución 9 (Junio- Dds ls mtrices: B 7 8 Estudir el rngo de l mtri B en función de b Pr clculr l mtri X que verific X B (Sol: Si rng(b= Si rng(=; b X 9 (Junio- Clculr el vlor del determinnte: (Sol: ( ( ( 9 (Sept- Ddo el sistem de ecuciones lineles Discutirlo según los vlores del prámetro. b Resolver el sistem pr (Sol: Si / SCD; Si SCI; Si / ( ( SI ; b ( 6 se pide: 9 (Sept- Sen b c d R vectores column. Si: det( b d det( c d det( b c d Clculr rondmente el determinnte de ls siguientes mtrices: det( d b b det( b c d c det( d b b d (Sol: ; b - ; c 9 (Sept- Ddo el sistem de ecuciones lineles 8 se pide: Discutirlo según los vlores del prámetro. b Resolver el sistem pr (Sol: Si SCD; Si SCI; b ; ; José Mnuel del Toro lgebr Linel -

21 Mtemátics II 96 (Junio- Ddo el sistem de ecuciones lineles Discutirlo según los vlores del prámetro. b Resolver el sistem en el cso c Resolver el sistem en el cso 7 se pide: (Sol: Si SCD; Si SI; Si SCI ; b Si : ; ; ; c Si ( 7 97 (Junio- Dds ls mtrices: B Hllr el vlor de pr el cul l ecución mtricil X B tiene solución únic. b Clculr l mtri X pr c Clculr el determinnte de l mtri B en función de (Sol: ; b X / / / ; c / 7 / / ( 98 (Sept- Dds ls mtrices: X O w Clculr el determinnte de. Determinr el rngo de según los vlores de. b Resolver el sistem homogéneo X O en el cso c Resolver el sistem homogéneo X O en el cso (Sol: ( ( ; Si rng(= Si rng(= Si rng(= ; b ( ; c ( 99 (Sept- Ddo el sistem ( Discutirlo según los vlores del prámetro b Resolver el sistem en el cso c Resolver el sistem en el cso ( se pide: José Mnuel del Toro lgebr Linel -

22 Mtemátics II (Sol: Si SCD; Si SCI; Si SI ; b ; ; (Junio- Dds ls mtrices X O Clculr pr que se solución del sistem X B b Si Qué condición o condiciones debe cumplir pr que el sistem linel homogéneo X O se comptible determindo? c Si resuelve el sistem X B (Sol: Si 9 / ; b ; c (Junio- Dd l mtri se pide: Hllr el vlor o los vlores de pr que l mtri teng invers b Clculr l mtri invers de en el cso (Sol: Si / ; b / / / / (Junio- Por l compr de cinco cudernos dos rotuldores tres bolígrfos se hn pgdo veintidós euros. Si se comprn dos cudernos un rotuldor seis bolígrfos el coste es de ctorce euros. Se pide: Epresr en función del precio de un bolígrfo lo que costrí un cuderno lo que costrí un rotuldor. b Clculr lo que deberímos pgr si dquirimos ocho cudernos tres rotuldores. (Sol: Si precios cuderno rotuldor bolígrfo ; b (Sept- Dds ls mtrices X O se pide: Determinr el vlor o vlores de pr los cules no eiste l mtri invers b Pr hllr l mtri invers c Pr clculr tods ls soluciones del sistem linel X O (Sol: = = = ; b / / / / / 6 /8 ; c ( R / / José Mnuel del Toro lgebr Linel -

23 Mtemátics II José Mnuel del Toro lgebr Linel - (Sept- Dd l ecución mtricil: 7 B donde B es un mtri cudrd se pide: Clculr el vlor o vlores de pr los que est ecución tiene solución. b Clculr B en el cso (Sol: 7 6 ; b B (Sept- Estudir el rngo de l mtri: 6 según los vlores del prámetro (Sol: Si 6 rngo ; Si 6 rngo 6 (Junio- Discutir según los vlores de m el sistem de ecuciones siguiente: ( m m m b Resolver el sistem nterior pr el cso o m (Sol: Si 7 m m SCD; Si m SCI; Si 7 m SI ; b 7 (Junio- Dds ls mtrices B Clculr b Resolver l ecución mtricil X B X 6 donde X es un mtri cudrd de orden (Sol: I ; b / / / / / X 8 (Junio- Dds ls mtrices t t e I se pide: Hllr el rngo de en función de t b Clculr t pr que det ( ti (Sol: Si 7 t t rng(=; Si 7 t t rng(=; b t=7 9 (Sept- Ddo el sistem de ecuciones siguiente:

24 Mtemátics II m m m Discutirlo según los vlores del prámetro m b Resolverlo en el cso m c Resolverlo en el cso m 7 8 (Sol: Si m m SCD; Si m SI; Si m SCI ; b ; c b c (Sept- Sbiendo que d e f usndo ls propieddes de los determinntes clculr el vlor de los siguientes determinntes: b d e c f b e b b c 6 d e f (Sol: - ; b - b (Sept- Dd l mtri hllr tods ls mtrices B que conmutn con es decir c d que cumplen B B (Sol: b d B b b d José Mnuel del Toro lgebr Linel -

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