Matemáticas II CC II PARCIAL INBAC UNIDAD DIDÁTICA #3

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1 UNIDAD DIDÁTICA #3 INDICE PÁGINA Las Letras Como Números Generalizadores Clasificación de las expresiones algebraicas Términos Semejantes Reducción de términos semejantes Monomios Variable, Coeficiente Y Grado Polinomios Valor Numérico De Una Expresión Algebraica Adición de polinomios Hoja de evaluación Bibliografía

2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS LAS LETRAS COMO NÚMEROS GENERALIZADORES Como sabemos los números expresan de forma precisa una cantidad o la medida de una magnitud. Así se dice: Ana tiene 15 años ó el área del rectángulo es 18 cm Sin embargo cuando se quiere indicar un número no conocido, una cantidad o la medida de una magnitud de forma general, se utilizan letras. Ejemplo: Así, si x es un número cualquiera, entonces: 2. x ó bien 2x designa su doble. x + 3 designa a la suma del número y 3. x 2 designa a su cuadrado. x 3 designa a su cubo. Si l es la longitud del lado de un cuadrado cualquiera, entonces: 4l expresa el perímetro del cuadrado. l 2 expresa el área del cuadrado. Si l es menor que 3 cm, entonces: l < 3 cm EXPRESIONES ALGEBRAICAS En general, una expresión algebraica es una representación de cantidades mediante números, variables y signos de operación o agrupamientos, por ejemplo: Ejemplo de expresiones algebraicas: a) x 7 b) -5xy + 2x -3 +y z 2 c) 2x - y 2

3 d) 3ab 2ab 2 - a 2 b 2 Muchas expresiones escritas en lenguaje común pueden traducirse al lenguaje matemático utilizando variables. Ejemplos: El doble de un número aumentado en tres. Sea (x) el número, entonces, la expresión se simboliza: 2x + 3 Dos unidades menos que el cuadrado de un número: x 2 2 IMPORTANTE - 3 (x 2 y) Término Coeficiente Numérico factor literal ESCRIBE EN PALABRAS. 2x + 3: El doble de un número aumentado en tres. y 2 5 : x + y : Escribe con símbolos. La raíz cuadrada de un número disminuida en 3. x - 3 El cuádruplo del cuadrado de un número. Un número disminuido en cinco. El triple de un número aumentado en diez. 3

4 Clasificación de las expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas se clasifican, en función de las operaciones que se deben realizar con sus variables, en los siguientes grupos. 1- Expresiones algebraicas racionales: son aquellas en las que no aparece ninguna variable bajo el signo radical. Ejemplo: 3a 2 c 1 b; x 3y ; x 3 ; 2 4 y x 2 3y 2 ; 3x 3 1y Las expresiones racionales, a su vez, pueden ser de dos tipos: a) Expresiones algebraicas enteras. Son aquellas en las que no aparecen variables (letras) en el denominador. Ejemplo: 1 x 2 + 2y; x 2-3y 3 ; 7x + 8y 2z ; 5 1 x y b) Expresiones algebraicas fraccionarias. Son aquellas en las que aparece alguna variable (letra) en el denominador. Ejemplo: x ; 5 ; x 3 ; x 2 + 2x 3 ; 2x y x y 5 x 2-7x + 4 x 3 2- Expresiones Algebraicas Irracionales: Son aquellas en las que aparece alguna variable bajo el signo radical. Ejemplos: 3 x ; x - x + z; y y Clasifica las siguientes expresiones en racionales e irracionales. a) 3x 2 20x + 12 b) 2 x + 5 x c) y x 4

5 d) 2 w 5 3 y e) 2 + 8x 3 Indica cuantos términos tiene cada expresión. a) 3x 2 20x + 12 b) 5 x c) 2 x + 5 x d) x + y + 1 e) 2 x 3 f) y X TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos algebraicos con la misma parte literal y los mismos exponentes. Ejemplo: Exponente variable -3x 3 y; - x 3 y, x 3 y son términos semejantes. -3xy; 2x 2 y, 5xy 2 no son términos semejantes aunque tienen variables iguales, los exponentes no son los mismos. Reducción de términos semejantes Para reducir términos semejantes se suman o restan los coeficientes y el resultado se antepone a la parte literal. Utilizando la propiedad distributiva. Ejemplos: 3m 2 n + 5m 2 n + m 2 n = ( ) m 2 n = 9m 2 n 5

6 -5ab + 7ab + 8ab 9ab =( )ab = 1ab Si no todos los términos de un polinomio son semejantes, se utiliza la propiedad asociativa para reducirlo. Ejemplo 2x 2 y-3xy 2 +8x 2 y+13xy 2 = Ejemplo = (2+8)x 2 y + (-3+13)xy 2 = 10x 2 y +10xy 2 2x + 3y +z= 2x + 3y + z queda igual porque no hay términos semejantes. Indica si son semejantes o no los siguientes términos. Justifica. a) 2xy; -4x No b) 5x 2 y; -3xy 2 c) 12xyz; 5xyz d) 5/8 x 2 y; 2x 2 z e) 3xy; 3yx f) - 2x; 2x Monomios Monomio, producto en el que participan un número y una o varias letras. Monomios: son expresiones algebraicas con un solo termino. Ejemplo: 5xy monomio con coeficiente 5 y parte literal xy - 4x 2 monomio con coeficiente -4 y parte literal x 2 6

7 VARIABLE, COEFICIENTE Y GRADO Las letras de un monomio se llaman variables o indeterminadas, pues representan números cualesquiera. El conjunto de todas las letras es la parte literal. El número que aparece multiplicando a las letras es el coeficiente. Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras que intervienen. Los números son monomios de grado cero. Por ejemplo: 4x 2 y es un monomio con coeficiente 4, parte literal x 2 y, y grado 3, pues la x está al cuadrado y la y elevada a 1 (2 + 1 = 3) El monomio 5x 2 es de grado dos o segundo grado. El monomio 7x 2 y 3 z es de 6 grado, ya que la suma de los exponentes de los factores es = 6, a esto se le llama grado absoluto. El grado relativo es en relación con alguna de las variables, en este caso, es de 2 grado con respecto a x, 3er grado con respecto a y. Como 8 = 8x 0, ya que x 0 = 1, (ya que todo número elevado a la cero es igual a 1) se dice que 8, o cualquier constante distinta de cero es un monomio de grado 0; con grado absoluto 0. El monomio 7x 2 y 3 z es de 6 grado, ya que la suma de los exponentes de los factores es = 6, a esto se le llama grado absoluto. El grado relativo es en relación con alguna de las variables, en este caso, es de 2 grado con respecto a x, 3er grado con respecto a z. Como 8 = 8x 0 ya que x 0 = 1, se dice que 8, o cualquier constante distinta de cero es un monomio de grado 0; con grado absoluto 0. 7

8 Polinomios Son expresiones algebraicas formadas por la suma o resta de monomios. Grado de un polinomio: con respecto a una variable, es el mayor exponente de la misma; si se refiere a dos o más variables, se suman los exponentes de cada una en todos los términos; el número mayor determina el grado absoluto. x 3 - x 2 y 2 5y Ejemplos: Dado un polinomio x 3 - x 2 y 2 + 5y Grado absoluto EJEMPLOS: El polinomio 4x 3 + 5x 2 y 2-8yx 5 Con respecto a x Con respecto a y ) Tiene grado absoluto 6, su grado respecto a x es 5 y su grado respecto a y es 2. 2) Se pueden representar en orden decreciente así: 5a 3-8a 2 6a -3; ó en orden creciente así: -3 6a 8 a 2 + 5a 3 Polinomios especiales. Con 2 términos binomio 2x 2 +3 x 2 4 Con tres términos trinomio x 2-5x + 5y x 4 + 2x 2-7 x 6 + 8x 3-3 RECORDEMOS: El grado relativo de un monomio siempre se relaciona con una letra, así 2m 3 n 5, es de 2 grado con respecto a m y de 5 grado con respecto a n. El monomio nulo Como: 0 = 0x 0 ; 0 = 0x 1 ; 0 = 0x 2 8

9 0 es el monomio cero o nulo que tiene por coeficiente 0 y que no tiene grado. Orden de un polinomio: Creciente (de menor a mayor exponente) 2 + 3x - 5x 2 + x 3 Decreciente (de mayor a menor exponente) x 3-5x 2 + 3x+ 2 X 4-3x 3 y + 2x 2 y 2 + 5xy 3 + y 4 (Observa que está en orden decreciente con respecto a x pero en orden creciente con respecto a y) VALOR NUMERICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Cuando en una expresión algebraica las variables se sustituyen por valores numéricos específicos, al resultado obtenido se le denomina valor numérico de la expresión algebraica. Se afirma entonces que: El valor numérico de 3x 2, para x = 3 es 27. Porque al sustituir el valor de x y efectuar operaciones se tiene: 3(3) 2 = 3(9) = 27 También acá se debe recordar el orden o jerarquía de operaciones, sobre todo en valores numéricos de expresiones más complejas. Se desea hallar el valor numérico de la expresión: 4m 5 12b 3 c 4, para m = 1, b = 2, c =3 2 4m 5 12b 3 c 4 expresión original 9

10 (4) ( )( Se sustituyen las variables por los valores dados = = = = = x = (2) (2) (3) 81 3 = Reduce términos semejantes y luego halla el valor numérico para: x= - 2 ; y = 3 ; z = -4 2xyz 3xyz + 4xyz = ( )xyz = 3 xyz Sustituir los valores = 3(-2) (3)(-4) y multipliquemos = -6 (3) = -18 (-4) = + 72 ADICIÓN DE POLINOMIOS La suma o resta de dos monomios semejantes es otro monomio semejante que tiene como coeficiente la suma o diferencia de los coeficientes de los monomios dados. Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios semejantes (del mismo grado). Ejemplos: 10

11 3ab + 5ab + 2 = 8ab + 2 7x 2 y (-5x 2 y) = 7x 2 y + 5x 2 y = 12x 2 y 12xyz (+ 13xyz) = 12xyz 13xyz = - xyz Suma y resta combinadas Primero se convierten las restas en sumas y se reducen términos semejantes : Ejemplo: 1) 2xy + 3xy ( - 5xy ) = 2xy + 3xy + 5xy = 10xy 2) -5x 3 y 2 (+2x 3 y 2 ) + 3x 3 y 2 = - 5x 3 y 2 2x 3 y 2 + 3x 3 y 2 = ( )x 3 y 2 = - 4 x 3 y 2 11

12 1- Reducir los términos semejantes a) a + 2a = 3a b) -9x -7x = c) 11m + 8m +12m 7m = d) 0.5x 0.3x + 1.5x -3x = HOJA DE EVALUACIÓN 2- Clasifica en polinomios, binomios o trinomios. a) 2xz + 8z 3-4x 2 b) 8m 2 5m m 3 c) 3 + 5x 2 + 3x 3 + x d) 3x 3 y + 8x 2 e) X 2 y + 8xy 2 5 e) -7a 2 + 4b 3 + 7a 2 b + 5b 3 = f) -3mn + 3m 2 n 2 5mn 14m 2 n 2 = g) pq + pq + 17pq +9pq + 21pq = f) 2 + 5x 3 3- Reduce términos semejantes y halla el valor numérico para x=-2; y = 3 a) 3x 2-5y 2 + x 2 2y 2 = b) 24xy + 5x xy + 3x 2 = 4- Si A = 3x; B= -0.5x; C= 2 x ; D= x; Calcula: a) A + B b) A B c) A + C f) A D g) A + B +C +D h) A ( B + C + D) d) A C e) A + D 12

13 BIBLIOGRAFÍA Santillana tercer ciclo, matemáticas estrategias Honduras isch&tbnid=4x6aslrprnbmvm:&imgrefurl= a-cruzalgebraica/&docid=cstkduhicut28m&imgurl= 02/imagencruzcolor.jpg&w=736&h=658&ei=hcTYT- HzEYexhAeWyKnkAw&zoom=1&iact=rc&sig= &page=12&tbnh=135&tbn w=151&ndsp=16&ved=1t:429,r:14,s:167,i:297&tx=42&ty=92 13